X L V I I I K O N F E R E N C J A N AU K O W A

KOMITETU INŻ YNIERII LĄ DOWEJ I WODNEJ PAN

I KOMITETU NAUKI PZITB

Opole – Krynica

2002

Piotr KONDERLA

1

PROBLEM MODELOWANIA I ANALIZY

UKŁ ADÓ W PŁ YTOWO-SŁ UPOWYCH W UJĘ CIU MES

1. Wprowadzenie

Stropy ż elbetowe o konstrukcji płytowo-słupowej są typowymi rozwiązaniami stosowanymi w
wielu konstrukcjach przemysłowych, handlowych, jak ró wnież w budownictwie mieszkanio-
wym. Standardowo, jako model fizyczny tego typu konstrukcji przyjmuje się płytę cienką,
podpartą punktowo w miejscach usytuowania słupó w. W przypadku stosowania bardziej za-
awansowanych modeli stosuje się modele płytowo-prętowe, z moż liwoś cią uwzględnieniem
ró ż nych sposobó w połączenia prętó w z płytą: połączenie przegubowe, sztywne lub spręż yste.
Dla konstrukcji ż elbetowych przyjmuje się z reguły połączenie sztywne.

W wyniku analizy statycznej MES otrzymuje się rozkłady pó l przemieszczeń i sił we-

wnętrznych w konstrukcji, któ re stanowią podstawę wymiarowania konstrukcji. Na tym
etapie pojawia się problem interpretacji otrzymanych wynikó w w otoczeniu punktó w pod-
parcia płyty. Wynika to z faktu występowania osobliwoś ci w rozwiązaniu płyty cienkiej w
punktach podparcia, a ś ciś lej, w punktach tych teoretyczne wartoś ci momentó w zginających
dąż ą do nieskoń czonoś ci. Uż ytkownik programó w MES moż e nie zauważ yć tego problemu,
ponieważ otrzymuje nad podporami momenty, zwykle ekstremalne, ale o skoń czonych war-
toś ciach. Jest to konsekwencją przyjęcia skoń czenie wymiarowego modelu dyskretnego
MES. Jeż eli bezkrytycznie podejś ć do zagadnienia, to podstawą wymiarowania płyty w ob-
szarach przypodporowych są ostatecznie wartoś ci momentó w, któ re okazują się być warto-
ś ciami przypadkowymi.

Celem niniejszej pracy jest analiza poruszonego wyż ej problemu oraz sposobu właś ciwej

interpretacji otrzymanych wynikó w z MES. W pracy wykorzystuje się komercyjny program
analizy płyty cienkiej PL-Win oraz system COSMOS/M. W ramach testowania programu PL-
Win sygnalizowany problem był szeroko analizowany przez autora tej pracy. Badano wpływ
ró ż nych elementó w modelowania MES na uzyskiwane rozwiązania numeryczne.

Prezentowane w pracy iloś ciowe wyniki dotyczą typowego układu płytowo-słupowego o

konstrukcji ż elbetowej (rys. 1a). W celu uwypuklenia istotnych elementó w problemu, analizo-
wano reprezentatywny fragment takiego układu, traktując go jako benchmark (rys. 1b). Zaletą
tego układu jest istnienie rozwiązania analitycznego, co pozwoliło na ocenę iloś ciową rozwią-

1

Prof. dr hab. inż ., Wydz. Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej

94

zań numerycznych MES. W szczegó lnoś ci dyskusji poddano dwa typy zadań :
– płyta obciąż ona symetrycznie stałym obciąż eniem q=const (schemat 1 i 2),
– układ płyta-słup obciąż ony antysymetrycznie (schemat 3 w p. 5).

2. Rozwią zanie analityczne dla schematu 1

Dana jest płyta prostokątna swobodnie podparta na brzegach oraz punktowo w ś rodku płyty,
jak to pokazano na rys. 1b. Przyjęto, ż e płyta ma stała gruboś ć h oraz materiał płyty jest
liniowo spręż ysty, o stałych materiałowych E i

n

. Płyta jest obciąż ona obciąż eniem stałym o

intensywnoś ci q. Reakcję pionową na podporze ś rodkowej oznaczono przez V.

Dla tak sformułowanego zagadnienia brzegowego znane jest rozwiązanie analityczne

podane przez Naviera [1]. Dla przyjętego układu wspó łrzędnych, rozwiązania poszukuje się
w postaci podwó jnych szeregó w Fouriera:

,

cos

cos

)

,

(

,...

3

,

1

,...

3

,

1

å å

=

=

b

a

=

m

k

k

m

mk

y

x

w

y

x

w

(1)

gdzie:

.

2

,

2

b

k

a

m

k

m

p

=

b

p

=

a

Po rozwinięciu obciąż eń w analogiczne szeregi Fouriera:

å å

å å

=

=

=

=

+

+

b

a

-

=

b

a

-

p

=

,...

3

,

1

,...

3

,

1

,...

3

,

1

,...

3

,

1

1

2

/

)

(

2

cos

cos

,

cos

cos

)

1

(

16

m

k

k

m

m

k

k

m

k

m

y

x

ab

V

V

y

x

mk

q

q

(2)

i podstawieniu wyraż eń (1) i (2) do ró wnania płyty, otrzymano wspó łczynniki rozwinięcia
funkcji przemieszczenia (1), w postaci

(

)

(

)

,

)

1

(

16

2

2

2

2

2

2

2

1

2

/

)

(

k

m

k

m

k

m

mk

Dab

V

mk

D

q

w

b

+

a

-

b

+

a

p

-

=

+

+

(3)

gdzie D jest sztywnoś cią płyty.

95

Z warunku brzegowego

0

)

0

,

0

(

=

w

wyznaczono wartoś ć reakcji V :

,

)

(

0

)

(

0

q

w

w

V

V

q

=

(4)

gdzie

)

(

0

)

(

0

i

V

q

w

w

są odpowiednio przemieszczeniami w punkcie (0,0) płyty swobodnie

podpartej na brzegach i poddanej działaniu obciąż enia o jednostkowej intensywnoś ci w
pierwszym przypadku oraz sile jednostkowej na kierunku reakcji V w drugim przypadku.

Funkcja momentu zginającego ma postać

å å

=

=

b

a

=

÷

÷
ø

ö

ç

ç
è

æ

¶

¶

n

+

¶

¶

-

=

,...

3

,

1

,...

3

,

1

2

2

2

2

,

cos

cos

,

m

k

k

m

mk

x

x

y

x

M

y

w

x

w

D

M

(5)

gdzie

(

)

(

)

.

1

)

1

(

16

,

2

2

)

(

0

)

(

0

2

1

2

/

)

(

2

2

2

k

m

V

q

k

m

k

m

mk

x

ab

w

w

mk

q

M

nb

+

a

÷

÷
ø

ö

ç

ç
è

æ

-

p

-

b

+

a

=

+

+

(6)

Uzyskane rozwiązanie analityczne jest rozwiązaniem osobliwym rzędu –2. Oznacza to, ż e
pochodne funkcji przemieszczenia rzędu ró wnego lub większego od 2 zawierają punkty
osobliwe. W szczegó lnoś ci moment zginający M

x

w punkcie (0,0) nie jest okreś lony – szereg

trygonometryczny w wyraż eniu (5) nie jest zbież ny.

3. Rozwią zanie numeryczne za pomocą programu PL-Win

Program PL-Win jest uż ytkowym programem wspomagania pracy projektanta konstruktora.
W szczegó lnoś ci służ y do liniowej analizy i wymiarowania układó w płytowo-ż ebrowych

Rys. 2. Model dyskretny płyty dla schematu 1

96

dowolnie obciąż onych przy dowolnych warunkach brzegowych. W programie analiza układu
jest wykonywana za pomocą standardowego algorytmu metody elementó w skoń czonych.

W trakcie przeprowadzonych testó w badano następujące elementy modelu MES mają-

ce wpływ na rozwiązanie: rodzaj stosowanych elementó w skoń czonych, przyjęty model
dyskretny a w szczegó lnoś ci gęstoś ć podziału obszaru na elementy oraz sposó b wyznaczania
sił wewnętrznych.

Ostatecznie w programie zostały zaimplementowane elementy skoń czone tró jkątne

Spechta [2,3]. Przy wyznaczaniu macierzy sztywnoś ci stosuje się 3 punkty całkowania (cał-
kowanie zredukowane). Element czworokątny traktuje się jako złoż ony układ dwó ch par
elementó w tró jkątnych, co umoż liwia uzyskanie symetrycznego rozkładu sztywnoś ci w
przypadku, kiedy element czworokątny jest regularnym prostokątem. Siły wewnętrzne obli-
cza się ze związkó w geometrycznych w punktach całkowania, a następnie interpoluje linio-
wo do węzłó w elementu. Wartoś ci sił wewnętrznych w węzłach modelu oblicza się przez
uś rednienie tych wielkoś ci, występujących w elementach zbiegających się w danym węźle.

Na rys. 2 pokazany jest model dyskretny analizowanej płyty w oknie głó wnym pro-

gramu. Wyniki liczbowe przytoczone w pracy dotyczą płyty kwadratowej – w dalszym ciągu
przyjęto

.

a

b

=

Dla płyty o schemacie 1 model dyskretny złoż ony jest z 1600 elementó w

prostokątnych o wymiarach c*c.

4. Analiza wynikó w płyty o schemacie 1

Wyniki numeryczne uzyskane za pomocą programó w PL-Win oraz systemu COSMOS/M
poró wnano z rozwiązaniami analitycznymi. Rozwiązanie analityczne dane jest w postaci
szeregu trygonometrycznego. Wyniki liczbowe z błędem względnym poniż ej 0.1% dla
przemieszczeń oraz poniż ej 1% dla momentó w zginających uzyskano przez sumowanie 1000
wyrazó w szeregu. Szacowanie błędu nie dotyczy jedynie bezpoś redniego otoczenia punktu
osobliwego (0,0) dla funkcji sił wewnętrznych.

Na rys. 3 pokazano izolinie przemieszczeń oraz rozkład przemieszczeń w przekroju

x

y

=

. Wyniki numeryczne są zbliż one do rozwiązania analitycznego Błąd względny w tym

przypadku nie przekracza 0.3%.

Rys. 3. Przemieszczenia płyty dla schematu 1

97

Rys. 4. Momenty zginające M

x

w płycie dla schematu 1

Tabela 1. Zestawienie

2

/ qa

M

x

dla schematu 1

Punkt

Analityczne

PL-Win

Cosmos/M

A

-

¥

-0.4472

-0.5013

B

-0.1899

-0.2039

-0.1877

C

-0.0984

-0.0977

-0.0975

D

-0.2790

-0.2744

-0.2861

E

-0.1872

-0.1763

-0.1837

F

-0.1884

-0.1927

-0.1877

ś rednia na obw.

-0.2114

-0.2159

-0.2123

Na rys. 4a pokazano rozkłady momentu zginającego w przekroju płyty

0

=

y

. Na rys.

4b poró wnano rozkłady momentu M

x

rozwiązań numerycznych z rozwiązaniem analitycz-

nym w otoczeniu punktu (0,0). Szczegó łowe wartoś ci liczbowe uzyskanych wynikó w dla
tych rozwiązań zestawiono w tabeli 1.

Na podstawie otrzymanych wartoś ci momentu zginającego M

x

w otoczeniu punktu

A=(0,0) sformułowane następujące wnioski:
a) Poró wnywanie wynikó w numerycznych w punkcie A jest bezprzedmiotowe, ponieważ

rozwiązanie analityczne w tym punkcie jest nieskoń czone. Tym samym przyjmowanie
tych wartoś ci jako podstawy wymiarowania płyty jest niewłaś ciwe.

b) Wyniki liczbowe uzyskane z rozwiązań numerycznych w bezpoś rednim otoczeniu punk-

tu A są wyznaczone z błędem mniejszym niż 6%, w stosunku do rozwiązania analitycz-
nego.

c) Przy założ eniu, ż e punkty B,F i D leż ą na obwodzie słupa, wartoś ci momentó w zginają-

cych w tych punktach są miarodajnymi wartoś ciami, na podstawie któ rych należ y wy-
miarować płytę w otoczeniu punktu podparcia.

d) W programie PL-Win, przy ustawieniu odpowiedniej opcji, w punkcie A zamiast warto-

ś ci momentu zginającego wyznaczonego bezpoś rednio, podawana jest wartoś ć momentu
zginającego wyznaczona jako ś rednia wartoś ć z wszystkich charakterystycznych punk-
tó w na obwodzie słupa. Podeś cie takie wydaje się w pełni uzasadnione z punktu widzenia
pracy płyty w obrębie podparcia na słupie. Błąd wyznaczenia wartoś ci ś rednich, uzyska-
ne numerycznie, nie przekracza 2% w stosunku do rozwiązania analitycznego.

98

5. Płyta o schemacie 2

Modelowanie MES połączenia słupa z płytą jako połączenia punktowego jest akceptowane i
powszechnie stosowane w praktyce inż ynierskiej. Przez prostą modyfikację, model ten moż -
na udoskonalić. W tym celu należ y dla podobszaru płyty leż ącej bezpoś rednio nad słupem

V

V

Î

s

przyjąć zastępczą sztywnoś ć D

z

będącą wielokrotnoś cią sztywnoś ci płyty D. Jest to

w pełni uzasadnione z uwagi na monolityczne połączenia płyty ze słupem. Pozostając przy
punktowym podparciu, przy wymiarowaniu pomija się siły wewnętrzne występujące w ob-
szarze płyty leż ącym nad słupem.

W celu sprawdzenia efektó w takiego modelowania analizowano płytę o schemacie 2

pokazanym na rys. 5. Przyjęto wymiary oraz obciąż enie płyty jak w schemacie 1, wymiary

słupa

c

c 2

2

´

oraz

D

D

g

=

z

. Analizowano płytę dla zmiennego parametru

.

100

,

10

,

3

=

g

Model dyskretny MES przyjęto jak dla schematu 1.

Na rys. 6 pokazane są rozkłady momentu zginającego M

x

(dla

10

=

g

) natomiast w ta-

beli 2 zestawiono szczegó łowe wartoś ci momentu M

x

, w zależ noś ci od parametru

g.

Tabela 2. Zestawienie

2

/ qa

M

x

dla schematu 2

Punkt

*

3

=

g

10

=

g

100

=

g

A

- 0.5548

-0.5874

-0.5803

B

-0.2866

-0.3133

-0.3097

C

-0.1440

-0.1709

-0.1834

D

-0.3170

-0.3458

-0.3628

E

-0.1558

-0.1204

-0.0852

F

-0.2339

-0.2996

-0.3628

ś rednia

na obw.

-0.3105

-0.3477

-0.3663

* oznaczenia punktó w jak w tabeli 1

Rys. 5. Schemat 2 płyty

Rys. 6. Momenty zginające w płycie dla schematu 2

99

Uzyskane wyniki pozwalaj na sformułowanie następujących wnioskó w:

a) Średnie wartoś ci momentó w są nieliniową funkcją parametru

g,

mającą asymptotę po-

ziomą dla

¥

®

g

.

b) Zmiana sztywnoś ci płyty w podobszarze D

z

jest powodem istotnego zwiększenia się

wartoś ci momentó w zginających w otoczeniu punktu podparcia w stosunku do wartoś ci
momentó w w płycie o stałej sztywnoś ci (schemat 1). Dla

g=10

ś rednie wartoś ci momen-

tó w zwiększyły się o ponad 60%.

6. Płyta o schemacie 3

Przy analizie konstrukcji płytowo-słupowej naturalnym modelem jest płyta sztywno połączona ze
słupami traktowanymi jako pręty. W takich przypadkach płyta w miejscu połączenia ze słupem
obciąż ona jest nie tylko reakcją w postaci siły skupionej, ale ró wnież momentem skupionym.
Problem ten był analizowany na przykładzie płyty o schemacie 3 (rys. 7). Z uwagi na ograniczoną
objętoś ć pracy poniż ej przytoczono jedynie omó wienie tej analizy.

Płyta obciąż ona jest antysymetrycznie oraz sztywno połączona ze spręż ystym słupem.

W miejscu połączenia, płyta obciąż ona jest jedynie momentem skupionym. Zadanie to bez
trudu moż na rozwiązać numerycznie przy uż yciu MES. Tymczasem, tak postawione zadanie
z punktu widzenia modelu fizycznego nie jest poprawne. Uzasadnieniem tego stwierdzenia
są następujące fakty:
a) Wykorzystując rozwiązanie Naviera, moż na otrzymać rozwiązanie płyty obciąż onej

momentem skupionym. Jest to rozwiązanie osobliwe rzędu –1, co oznacza, ż e
w miejscu przyłoż enia momentu sku-pionego pochodne funkcji przemieszczenia, po-

czynając od pierwszej, są nieokreś lone.

b) Z powyż szego wynika, ż e przyłoż enie

momentu skupionego o dowolnej wielkoś ci
wywołuje nieokreś lony kąt obrotu przekro-
ju, w miejscu przyłoż enia obciąż enia. W
takim razie, uzyskanie poprawnego rozwią-
zania układu płyta-pręt nie jest moż liwe, z
uwagi na brak moż liwoś ci spełnienia wa-
runku zgodnoś ci przemieszczenia kątowe-
go w miejscu połączenia.

Rozwiązanie numeryczne MES jest

aproksymacją rozwiązania analitycznego
(aproksymacją zachowania się modelu fi-
zycznego). Ponieważ rozwiązanie analitycz-
ne nie istnieje, stąd uzyskane rozwiązanie
numeryczne nie moż na uznać za poprawne.
W tym przypadku nie jest moż liwe „obej-
ś cie” problemu osobliwoś ci rozwiązania, jak
to było moż liwe w przypadku siły skupionej.
Nie jest moż liwe poprawne wyznaczenie kąta
obrotu w miejscu połączenia płyty ze słupem,
oraz momentu utwierdzenia płyty w słupie. W

rozwiązaniu numerycznym wartoś ci te są zależ ne od gęstoś ci podziału na elementy skoń czone i
nie są zbież ne.

Rys. 7. Układ płyta-słup obciąż ony

antysymetrycznie

100

Oczywiste jest, ż e uzyskane za pomocą MES rozkłady momentó w zginających w płycie

obarczone są tymi samymi wadami. Przy okazji należ y zauważ yć, ż e rozwiązania numeryczne na
ogó ł nie „dostrzegają” osobliwoś ci momentu zginającego w miejscu połączenia.

6. Podsumowanie

W pracy badano poprawnoś ć sformułowania oraz rozwiązań numerycznych układó w płytowo-
słupowych, któ re są podstawą wymiarowania konstrukcji znajdujących powszechne zastosowanie
w budownictwie. Na ich podstawie moż na sformułować następujące wnioski koń cowe:
1) Powszechnie stosowane i akceptowane modelowanie MES układó w płytowo-słupowych

nie zawsze jest poprawne z punktu widzenia modeli fizycznych tych układó w. Uż ytkow-
nicy programó w obliczeniowych nie zawsze są ś wiadomi, ż e modelują w tym przypadku
zagadnienia zawierające osobliwoś ci. Formalnie rozwiązanie MES jest aproksymacją
rozwiązania analitycznego w przestrzeni skoń czenie wymiarowej, czego skutkiem jest
otrzymywanie skoń czonych wartoś ci rozwiązania w punktach osobliwych.

2) Rozwiązania MES uzyskiwane na podporach punktowych nie mogą być podstawą wy-

miarowania konstrukcji. Jako miarodajne należ y przyjmować wartoś ci sił wewnętrznych
w otoczeniu tego punktu. Miarę tego otoczenia należ y wiązać z wymiarami słupa stano-
wiącego podporę.

3) Optymalnym rozwiązaniem problemu osobliwoś ci na podporach punktowych jest przyję-

cie modelu płyty ze zmienną sztywnoś cią, jak to pokazano w p. 5. Rozwiązanie takie nie
wprowadza nowych modeli fizycznych i pozwala na pozostaniu przy wygodnym mode-
lowaniu podpó r jako podpó r punktowych. Przy wymiarowaniu moż na nie brać pod uwa-
gę podobszaró w płyty o zastępczej sztywnoś ci D

z

(nad słupami), natomiast na pozosta-

łym obszarze punkty osobliwe w rozwiązaniach nie występują.

Literatura

[1] KĄ CZKOWSKI Z., Płyty, obliczenia statyczne. Arkady, Warszawa 1980.
[2] ZIENKIEWICZ O.C., TAYLOR R.L., The finite element method. McGraw-Hill Book

Company, London 1991.

[3] SPECHT B., Modified shape functions for the tree-node plate bending element passing

the patch test. Int. J. Num. Meth. Eng., 26, 705-15, 1988.

PROBLEM OF MODELLING AND ANALYSIS

OF PLATE-COLUMNS SYSTEMS BY FEM

Summary

The paper deals with some important problems referring to plate–columns systems which are
important from the engineering point of view. The commonly applied physical model of such
structures are systems of thin plates connected with columns at points. In analytical solutions
of such systems singular points are encountered. In the paper the correctness of FE modelling
of singular solutions of plates were compared with analytical solutions. It was revealed, that
models adopted in engineering practice are not fully accurate. Moreover the paper includes
practical conclusions referring to proper interpretation of results obtained numerically.