1 

Ćwiczenie 1 

 

Pomiar współczynnika filtracji ośrodka porowatego 

 

 

I.

 

Celem  ćwiczenia  jest  eksperymentalne  określenie  współczynnika  filtracji 

wybranego ośrodka porowatego. 

 

II.

 

Wprowadzenie 

Z filtracją do czynienia mamy wszędzie tam, gdzie występuje przepływ płynu przez 

ośrodek  porowaty.  Ośrodkiem  porowatym  może  być  dowolny  grunt,  w  którym  istnieje 

pusta  ( l u b   wypełniona  cieczą)  przestrzeń  między  ziarnami  ciał  stałych.  Ruch  cieczy  w 

ośrodku  porowatym  może  odbywać  się  jedynie  wtedy,  gdy  istnieje  różnica  ciśnień  lub 

różnica  gęstości  cieczy.  Typowym  przykładem  przepływu  cieczy  przez  ośrodek 

porowaty  jest  ruch  wód  gruntowych,  który  nazywamy  filtracją.  Zjawisko  filtracji 

wykorzystuje  się  na  przykład  w  mechanicznych  oczyszczalniach  wody,  w  których 

zanieczyszczoną wodę przepuszcza się przez piasek. 

Ruch  wód  gruntowych  jest  szczególnym  przypadkiem  przepływu  cieczy  przez 

ośrodek  porowaty.  Własności  filtracyjne  zależą  przede  wszystkim  od  fizycznych  cech 

gruntu,  takich  jak  porowatość,  kształt  ziaren,  ich  rodzaj,  wielkość,  sposób  ułożenia  itp. 

Jeżeli woda wypełnia pory gruntu, to przy odpowiednich wielkościach porów może się 

poruszać pod wpływem siły ciężkości lub też różnicy ciśnień wody i podlega oczywiście 

opisowi za pomocą równań Naviera-Stokesa. Jednakże ruch wody odbywa się w porach i 

szczelinach, tworzących często nieregularny, rozgałęziony i krzyżujący się układ kana-

lików,  które  mogą  mieć  również  zmieniający  się  przekrój.  Ponieważ  określenie  pręd-

kości  przepływu  w  poszczególnych  kanalikach  jest  bardzo  trudne,  często  wręcz 

niemożliwe, przyjmuje się uproszczenie polegające na wprowadzeniu pewnej umownej 

uśrednionej  prędkości  przepływu,  zwanej  prędkością  filtracji,  określonej  przez 

wyrażenie: 

=

Q

v

F

   

 

 

 

 

 

(1.1)

 

gdzie: 

Q – natężenie przepływu rzeczywistego przez kanaliki gruntu, 

 

F – całkowite pole powierzchni przekroju próbki. 

 

2 

czyli 

 

 

 

 

 

= +

p

z

F F

F

 

 

 

 

 

 

(1.2) 

gdzie: F

p

 – powierzchnia przekroju porów, 

 

F

z

 – powierzchnia przekroju ziaren, 

 

a więc:  

=

+

p

z

Q

v

F

F

 

 

 

 

 

 

(1.3) 

Wprowadzając pojęcie współczynnika porowatości powierzchniowej: 

p

p

p

F

p

z

F

F

V

n

n

F

F

F

V

=

=

≈

=

+

 

 

 

 

 

(1.4) 

gdzie: 

V

p

 – objętość porów, 

 

V – objętość całkowita próbki, 

 

n – współczynnik porowatości objętościowej 

  

można ustalić zależność pomiędzy rzeczywistą średnią prędkością strumienia cieczy 

v’, a 

prędkością  filtracji 

v.  Rzeczywista  średnia  prędkość  strumienia  cieczy  przepływającej 

przez pory gruntu wynosi: 

′ =

p

Q

v

F

 

 

 

 

 

 

(1.5) 

Dzieląc  (1.3) i (1.5) stronami mamy: 

=

=

=

′

p

F

F

v

n

n

v

F

 

 

 

 

 

(1.6) 

stąd: 

′

= ⋅

v

n v

 

 

 

 

 

 

(1.7) 

 

Prędkość filtracji 

v jest więc fikcyjną prędkością, różną od rzeczywistej prędkości 

przepływu. Ciecz poruszałaby się z taką prędkością w przypadku gdyby z rury (rys.1.1) 

usunięto  grunt,  a  natężenie  przepływu  pozostało  równe  dawnemu 

Q.  Prędkość  filtracji 

jest zatem mniejsza od rzeczywistej średniej prędkości, gdyż współczynnik porowatości 

jest zawsze mniejszy od jedności.  

 

Podstawowe 

prawo filtracji ustalił doświadczalnie Darcy. Można je wyjaśnić za 

pomocą  aparatury  (rys.1.1),  składającego  się  z  pionowego  naczynia  cylindrycznego 

zaopatrzonego  w  piezometry  (2).  Wewnątrz  naczynie  wypełnione  jest  gruntem  (1), 

 

3 

podtrzymywanym od dołu siatką (3). Pod siatką znajduje się otwór w ściance cylindra, 

odprowadzający  wodę  do  kalibrowanego  naczynia  (4).  Do  górnej  powierzchni 

pionowego  cylindra  doprowadza  się  wodę.  W  trakcie  badania  zachowuje  się  stały 

poziom doprowadzanej wody, co umożliwia przelew powyżej próbki gruntu (5). 

 

Rys.1.1.

 Schemat przyrządu Darcy’ego do pomiaru współczynnika filtracji 

1 – prbka gruntu, 2 – piezometry, 3 – siatka, 4 – naczynie pomiarowe, 5 – przelew 

 

 

Po  ustaleniu  przepływu  wody  przez  grunt  (poziom  wody  w  piezometrach  nie 

zmienia się w czasie), można określić spadek hydrauliczny I w postaci zależności: 

 

∆

=

h

I

L

  

 

 

 

 

 

(1.8) 

Gdzie 

L  oznacza  odległość  pomiędzy  piezometrami,  a  ∆h  różnicę  wysokości  poziomów 

piezometrycznych,  Różnica  poziomu  wody  w  piezometrach  świadczy  o  tym,  że  na 

drodze  przepływu  wody  przez  grunt  występują  opory  ruchu,  równe  stracie  ciśnienia. 

Mierząc objętościowe natężenie przepływu wody przez próbkę gruntu Darcy stwierdził, 

że: 

∆

= ⋅ ⋅

h

Q

F k

L

    

 

 

 

 

(1.9) 

Gdzie 

F jest powierzchnią przekroju poprzecznego próbki, a k współczynnikiem filtracji. 

Ponieważ 

= ⋅

Q

v F

, więc prędkość filtracji wynosi 

 

∆

= ⋅

= ⋅

h

v

k

k I

L

 

 

 

              

(1.10) 

 

4 

Z równania (1.10) wynika, że prędkość filtracji jest liniowo zależna od spadku ciśnienia 

(straty są wprost proporcjonalne do prędkości przepływu). Oznacza to, że prawo Darcy 

jest słuszne jedynie dla przepływu laminarnego. 

 

III.

 

  Wyznaczanie współczynnika filtracji 

Współczynnik filtracji k zależy od rodzaju gruntu (jego uziarnienia), porowatości 

i lepkości cieczy (a więc od jej temperatury). Ogólnie można stwierdzić, że im większe są 

ziarna  gruntu  i  im  mniejsze  jest  ich  zagęszczenie,  tym  większe  wartości  osiągnie 

współczynnik  filtracji.  Jak  wynika  ze  wzoru  (1.10),  współczynnik  k  ma  wymiar 

prędkości  i  w  przypadku  jednostkowego  spadku  hydraulicznego  (I  =  1),  równy  jest 

prędkości  filtracji.  Miarodajna  wartość  współczynnika  filtracji  przyjmowana  jest  dla 

cieczy o temperaturze T = 10

o

C. Jeżeli pomiar tego współczynnika przeprowadza się w 

innych  warunkach,  to  wówczas,  korzystając  z  empirycznego  wzoru  Hazena,  można 

obliczyć współczynnik filtracji dla temperatury T = 10

o

C 

 

=

+

⋅

r

10

o

k

k

0,7 0,03 T[ C]

 

 

 

 

(1.11) 

gdzie k

r

 – oznacza współczynnik filtracji określony w temperaturze T. 

 

Ścisłe  określenie  wartości  współczynnika  filtracji  sprawia  wiele  kłopotów. 

Powoduje  to  złożona  struktura  gruntów,  trudna  do  ujęcia  matematycznego.  W 

naturalnym  położeniu  gruntowym,  nawet  w  punktach  znajdujących  się  blisko  siebie, 

mogą  wystąpić  duże  różnice  wartości  tego  współczynnika.  Praktycznie  współczynnik 

filtracji określa się metodami polowymi, obliczeniowymi lub laboratoryjnymi. 

Ze  wzorów  empirycznych  najprostszymi  znajdującymi  zastosowanie  w  praktyce 

są wzory: 

–

 

Schlichtera   

=

ν

2

3,3

10

g

k

0,0105 d m

,  

 

 

  

(1.12) 

–

 

Hazena 

 

(

)

=

+

2
10

k

C 0,7 0,03T d

 

 

 

 

(1.13) 

gdzie: 

10

d

 - średnica miarodajna ziaren, 

10

1, 5

d

=

 [mm] 

ν

 - kinematyczny współczynnik lepkości, 

6

10

ν

−

=

 [m

2

/s] 

m

 - porowatość objętościowa, 

0, 35

m

=

 

T

 - temperatura wody w 

o

C, 

10

T

=

o

C 

C

 - stała 

 

5 

IV.

 

Przebieg ćwiczenia 

Zasada  działania  stanowiska  do  pomiaru  współczynnika  filtracji  k  jest 

analogiczna do zasady działania przyrządu zaproponowanego przez Darcy’ego. Schemat 

stanowiska  przedstawiono  na  rysunku  1.2.  Zestaw  pomiarowy  składa  się  z  pionowego 

naczynia (5) w kształcie walca o stałym przekroju, wypełnionego badanym gruntem (6). 

Próbka gruntu umieszczona jest między dwoma siatkami (7). Z boku walca dołączone są 

rurki  piezometryczne  (1-4).  Woda  doprowadzana  jest  z  instalacji  wodociągowej  (8), 

natomiast  wypływa  z  modelu  do  naczynia  (9)  o  objętości  V,  za  pomocą  którego 

mierzymy wydatek. Pomiar temperatury wody dokonuje się termometrem. 

 

 

Rys.1.2. Schemat stanowiska pomiarowego współczynnika filtracji k

 

 

Sposób wykonania ćwiczenia 

 

1.

 

Przed rozpoczęciem badania należy piezometry odpowietrzyć. 

2.

 

Zmierzyć wielkość drogi filtracji ΔL

i

. 

3.

 

Otwarciem  zaworu  ustalić  przepływ  wody  przez  próbkę  (zaczynając  od 

minimalnego). 

4.

 

Zmierzyć poziom zwierciadła wody w piezometrach. 

5.

 

Zmierzyć  metodą  wolumetryczną  ilość  wody  przepływającej  w  czasie  przez 

kolumnę filtracyjną oraz obliczyć natężenie przepływu Q. 

 

6 

6.

 

Zwiększając stopniowo natężenie przepływu wody przez złoże, wykonać pomiar 

10-krotnie  (10  serii),  powtarzając  2-krotnie  pomiary  zwierciadła  wody  w 

piezometrach dla danego położenia zaworu. 

7.

 

Zmierzyć temperaturę wody na odpływie. 

8.

 

Obliczyć wyniki pomiarów. 

9.

 

Sporządzić wykres zależności 

( )

=

k

f Q

, 

( )

=

v

f I

 (wzór Darcy’ego). 

10.

 

Wartość 

obliczonego 

współczynnika 

filtracji 

k 

porównać 

z 

danymi 

literaturowymi oraz obliczonymi za pomocą wzorów empirycznych. 

 

 

V.

 

Bibliografia 

1.

 

Biernacki  M.,  Burzyński  K.,  Geringer  J.,  Granatowicz  J.,  Sawicki  J.M., Wołoszyn  E. 
„Laboratorium  z  mechaniki  płynów  i  hydrauliki”,  Wydawnictwo  Politechniki 
Gdańskiej, Gdańsk 1995. 

 
2.

 

Bohdan  T.,  Charun  H.,  Ewertowska  Z.,  Majka  K.,  Sławecki  J.  „Ćwiczenia 
laboratoryjne  z  mechaniki  płynów”,  Wydawnictwo  Uczelniane  Politechniki 
Koszalińskiej, Koszalin 2001. 

 

3.

 

Filek  K.,  Roszczynialski  W.,  Wacławik  J.  „Laboratorium  mechaniki  płynów  z 
elementami pomiaroznawstwa”, Wydawnictwo AGH, Kraków 1990. 

 

7 

Karta pomiaru współczynnika filtracji 

 

Imię i nazwisko studenta:  1 ………………………………………………………………………….……………. 

 

 

 

 

2 ………………………………………………………………………….……………. 

 

 

 

 

3 ………………………………………………………………….……………………. 

 

 

 

 

4 ……………………………….………………………………………………………. 

Rok studiów: ………………………………………   

Grupa: ……………..………………………………… 

Data: …………………………………………………..   

Godzina: ……………………………………………. 

 

 

Temperatura otoczenia: ……………………...   

Ciśnienie otoczenia: …………………………… 

Rodzaj cieczy przepływającej przez ośrodek porowaty: ………………………………………………... 

Rodzaj ośrodka porowatego: ……………….   

Temperatura cieczy: …………………………... 

Średnica wewnętrzna cylindra: ……………   

Długość odcinka ∆L: …………………………... 

 

 

Tab.1.1. Zestawienie wyników pomiaru 

Pomiary 
seria, nr 

V 

[cm

3

] 

t 

[s] 

Q 

[m

3

/s] 

v 

[m/s] 

H

1

 

[mm] 

H

2

 

[mm] 

H

3

 

[mm] 

H

4

 

[mm] 

I

1-2 

I

2-3 

I

3-4 

I

śr 

k 

[m/s] 

1 

 

 

 

 

 

 

 

I 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

 

 

 

 

 

 

 

II 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

 

 

 

 

 

 

 

III 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

 

 

 

 

 

 

 

IV 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

 

 

 

 

 

 

 

V 

2