Pierścienie
Pierścień składa się ze zbioru R i dwóch działań
dwuargumentowych + i · nazywanych dodawaniem i mnożeniem
na zbiorze R, który spełnia następujące aksjomaty:
1
R jest grupą abelową,
2
mnożenie jest działaniem łącznym, z elementem neutralnym,
3
mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, tj.
x · (y + z) = x · y + x · z oraz (x + z) · y = y · x + z · x dla
każdego x , y , z ∈ R.
Jeśli pierścień R spełnia dodatkowy aksjomat, tj. x · z = z · x dla
każdego x , z ∈ R nazywany jest pierścieniem przemiennym.
Ciało
Ciało jest to pierścień przemienny F , taki, że każdy niezerowy
element a ∈ F posiada element odwrotny dla działania mnożenia.
Liczby urojone
Urojonymi nazywa się liczby, których wyniki podniesienia do
kwadratu są ujemnymi liczbami rzeczywistymi.
Jednostką urojoną jest liczba, której kwadrat jest równy -1. Liczbę
tę oznaczamy jako i lub j .
Postać kanoniczna liczby zespolonej
Liczby zespolone przedstawia się najczęściej w następującej tzw.
kanonicznej postaci:
z = a + ib
Liczbę a nazywa się częścią rzeczywistą liczby zespolonej z i
zapisuje:
a = <z
Liczbę b nazywa się częścią urojoną liczby zespolonej z i zapisuje:
b = =z
Dodawanie liczb zespolonych
Rozważmy dwie liczby zespolone:
z
1
= a + ib
z
2
= c + id
Sumą liczb zespolonych jest z
1
i z
2
jest:
z = z
1
+ z
2
= (a + ib) + (c + id ) = (a + c) + i (b + d )
Mnożenie liczb zespolonych
Rozważmy dwie liczby zespolone:
z
1
= a + ib
z
2
= c + id
Iloczynem liczb zespolonych z
1
i z
2
jest liczba:
z + z
1
+ z
2
= (3 + i 7)(2 − i 5) = 41 − i 1
Dzielenie liczb zespolonych
Rozważmy dwie liczby zespolone:
z
1
= a + ib
z
2
= c + id 6= 0
Ilorazem liczb zespolonych jest liczba:
z
1
z
2
=
a + jb
c + jd
(a + ib)(c − id )
(c + id )(c − id )
=
(ac + bd ) + i (bd − ad )
c
2
+ d
2
ac + bd
c
2
+ d
2
+ j
bc − ad
c
2
+ d
2
Liczby zespolone sprzężone
z = a + ib, z
∗
= a − ib
(z
∗
)
∗
= z
z + z
∗
= 2<z
z − z
∗
= i 2=z
zz
∗
= a
2
+ b
2
= |z|
2
= |z
∗
|
2
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
z = r (cos φ + i sin φ)
r = |z|
φ = argz
argz = arc tg
=z
<z
Potęgowanie liczb zespolonych
Wzór De Moivre’a
[r (cos t + i sin t)]
n
= r
n
(cos nt + i sin nt)
Wzór Moivre’a-Newtona
cos nφ + i sin nφ =
n
X
k=0
n
ki
n−k
cos
k
φ sin
n−k
φ
!
Pierwiastki liczby zespolonej
n
√
z =
n
q
r (cos φ + i sin φ)
n
√
r
cos(
φ
n
+
2π
n
k) + i sin(
φ
n
+
2π
n
k)
k = 0, 1, . . . , n − 1
Zadanie 4
Narysuj zespolone pierwiastki sześcienne liczby 8 na płaszczyźnie
zespolonej. Zrób to samo dla czterech pierwiastków czwartego
stopnia liczby 16.
Zadanie 5
Jeśli z jest liczbą zespoloną, pokaż, że istnieje liczba zespolona w ,
dla której |w | = 1 i wz = |z|.
Zadanie 6
Wzór De Moivre’a to: [r (cos t + i sin t)]
n
= r
n
(cos nt + i sin nt) dla
n będącego liczbą całkowitą dodatnią. Czy wzór działa dla
wszystkich liczb całkowitych, nawet ujemnych? Wyjaśnij.
Zadanie 7
Wykorzystując wzór De Moivre’a, wyprowadź wzór na sin 5x i
cos 5x . Wykorzystaj twierdzenie wielomianu.
Zadanie 8
Jeśli z i w są dwoma liczbami zespolonymi a w formie kołowej, z
ma kąt θ a w ma kąt φ. Pokaż, że dla formy kołowej liczby zw , kąt
jest równy θ + φ.
Zadanie 10
Zapisz x
3
+ 27 w postaci (x + 3)(x
2
+ ax + b) gdzie x
2
+ ax + b
nie może już być sfaktoryzowane z wykorzystaniem jedynie liczb
rzeczysistych.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
HUR2006 02 id 207255 Nieznany
02 Charakteryzowanie produkcji Nieznany (2)
02 Transmisjaid 3819 Nieznany
02 scinanieid 3779 Nieznany
26429 02 id 31504 Nieznany (2)
02 Nityid 3689 Nieznany
02 Lutyid 3666 Nieznany (2)
CwiczenieArcGIS 02 id 125937 Nieznany
Grafy Grafy[02] id 704802 Nieznany
02 11id 3346 Nieznany (2)
02 Kosztorysowanieid 3648 Nieznany
awans 02 id 74352 Nieznany (2)
02 kotowskaid 3416 Nieznany (2)
Zestaw 02 id 587899 Nieznany
DTR S72 2 2007 02 12 dopisane w Nieznany
DGP 2014 02 03 rachunkowosc i a Nieznany
02 a, l, o, m , t, iid 3562 Nieznany
cwiczenie 02 id 125037 Nieznany
więcej podobnych podstron