1

[e-mail]

Weryfikacja hipotez w modelach parametrycznych jedno- i dwupróbkowych

1.

Postać hipotezy

ŚREDNIA

Model
jednopróbkowy

Hipoteza zerowa:

: =

Hipotezy alternatywne:

: ≠ , : > , : <

Model
dwupróbkowy

Hipoteza zerowa:

: =

Hipotezy alternatywne:

: ≠ , : > , : <

WARIANCJA

(ODCHYLENIE

STANDARDOWE)

Model
jednopróbkowy

Hipoteza zerowa:

: =

Hipotezy alternatywne:

: ≠ , : > , : < ,

Model
dwupróbkowy

Hipoteza zerowa:

:

=

Hipotezy alternatywne:

:

≠ , :

> , :

<

ODSETEK (WSKAŹNIK

STRUKTURY, FRAKCJA)

Model
jednopróbkowy

Hipoteza zerowa:

: =

Hipotezy alternatywne:

: ≠ , : > , : <

Model
dwupróbkowy

Hipoteza zerowa:

: =

Hipotezy alternatywne:

: ≠ , : > , : <

2.

Sposób weryfikacji hipotez:

a)

przy użyciu R-a (lub dowolnego pakietu statystycznego):

−

≤ ⇒

! !

−

> ⇒ " #

$% &

' (

! !

)

b)

bez użycia komputera, tj. „na piechotę” używając odpowiednich wzorów (por. wzory z RPS)

Model

Statystyka

testująca

Obszar krytyczny

A1

(* , * , … , *

-

) . . . /( , )

- znane

=

*0 −

√'

2−∞, −

4 ,56

7

∪ [

4 ,56

, +∞)

[

4 ,56

, +∞)

(−∞, −

4 ,56

]

A2

(* , * , … , *

-

) . . . /( , )

- nieznane

% =

*0 −

$ √'

2−∞, −%

4 ,56

-4

7

∪ [%

4 ,56

-4

, +∞)

[%

4 ,56

-4

, +∞)

(−∞, −%

4 ,56

-4

]

A3

(* , * , … , *

-

) . . . ? ? ?

' ≥ 100

=

*0 −

$ √'

2−∞, −

4 ,56

7

∪ [

4 ,56

, +∞)

[

4 ,56

, +∞)

(−∞, −

4 ,56

]

A4

2* , * , … , *

-

@

A . . . /(

B

,

B

)

2C , C , … , C

-

D

A . . . /(

E

,

E

)

B

,

E

− ' '

=

*0 − C0

F

B

'

B

+

E

'

E

2−∞, −

4 ,56

7

∪ [

4 ,56

, +∞)

[

4 ,56

, +∞)

(−∞, −

4 ,56

]

A5

2* , * , … , *

-

@

A . . . /(

B

,

B

)

2C , C , … , C

-

D

A . . . /(

E

,

E

)

B

,

E

− ' ' ' ,

B

=

E

% =

*0 − C0

G$H'

B

+ $H'

E

$H

= ('

B

− 1)$

B

+ ('

E

− 1)$

E

= '

B

+ '

E

− 2

2−∞, −%

4 ,56

J

7

∪ [%

4 ,56

J

, +∞)

[%

4 ,56

J

, +∞)

(−∞, −%

4 ,56

J

]

2

[e-mail]

A6

2* , * , … , *

-

@

A . . . /(

B

,

B

)

2C , C , … , C

-

D

A . . . /(

E

,

E

)

B

,

E

− ' ' '

=

K$

B

'

B

+ $

E

'

E

L

K$

B

'

B

L

'

B

− 1 +

K$

E

'

E

L

'

E

− 1

% =

*0 − C0

F$

B

'

B

+ $

E

'

E

2−∞, −%

4 ,56

J

7

∪ [%

4 ,56

J

, +∞)

[%

4 ,56

J

, +∞)

(−∞, −%

4 ,56

J

]

A7

2* , * , … , *

-

@

A . . . ? ? ?

2C , C , … , C

-

D

A . . . ? ? ?

'

B

,

'

E

≥ 100

=

*0 − C0

F$

B

'

B

+ $

E

'

E

2−∞, −

4 ,56

7

∪ [

4 ,56

, +∞)

[

4 ,56

, +∞)

(−∞, −

4 ,56

]

A8

2* , * , … , *

-

@

A . . . /(

B

,

B

)

2C , C , … , C

-

D

A . . . /(

E

,

E

)

B

,

E

− ' ' '

"$ & !

MNOPŻ/P

% =

M̅

$

S

√'

M

T

= *

T

− C

T

2−∞, −%

4 ,56

-4

7

∪ [%

4 ,56

-4

, +∞)

[%

4 ,56

-4

, +∞)

(−∞, −%

4 ,56

-4

]

B1

(* , * , … , *

-

) . . . /( , )

U =

(' − 1)$

2−∞, −V

,56,-4

7

∪ [V

4 ,56,-4

, +∞)

[V

4 ,56,-4

, +∞) 2−∞, −V

,56,-4

7

B2

2* , * , … , *

-

@

A . . . /(

B

,

B

)

2C , C , … , C

-

D

A . . . /(

E

,

E

)

W =

$

B

X

E

[W

46

[-

@

4 ,-

D

4 ]

, +∞)

C1

(* , * , … , *

-

) . . . Y '( )

' ≥ 100

=

̂ −

[ (1 − )

√'

# = \ *

T

-

T]

̂ =

#

'

2−∞, −

4 ,56

7

∪ [

4 ,56

, +∞)

[

4 ,56

, +∞)

(−∞, −

4 ,56

]

C2

(* , * , … , *

-

) . . . Y '( )

' < 100

= 2(

$ '[ ̂

−

$ '[ )√'

C3

2* , * , … , *

-

@

A . . . Y '( )

2C , C , … , C

-

D

A . . . Y '( )

'

B

,

'

E

≥ 100

=

̂

B

− ̂

E

G H(1 − H)

'H

#

B

= \ *

T

-

@

T]

#

E

= \ C

T

-

D

T]

H =

#

B

+ #

E

'

B

+ '

E

'H =

'

B

'

E

'

B

+ '

E

̂

B

=

#

B

'

B

, ̂

E

=

#

E

'

E

2−∞, −

4 ,56

7

∪ [

4 ,56

, +∞)

[

4 ,56

, +∞)

(−∞, −

4 ,56

]

C4

2* , * , … , *

-

@

A . . . Y '( )

2C , C , … , C

-

D

A . . . Y '( )

'

B

,

'

E

< 100

= 2(

$ '[ ̂

B

−

$ '[ ̂

E

)√'

∗

$% % $% # % $% !ą ∈ a ⇒

! !

$% % $% # % $% !ą ∉ a ⇒ " #

$% &

' (

! !

)

3.

Model a sposób weryfikacji
Model

(a)

Wbudowana funkcja w R

(b)

Implementacja wzoru

uwagi

A1

brak

wyłącznie

A2

t.test(…, mu = …, alternative = …)

równoważnie

A3

t.test(…, mu = …, alternative = …)

równoważnie

A4

brak

wyłącznie

A5

t.test(…, var.equal = TRUE,
alternative = …)

równoważnie

A6

t.test(…, alternative = …)

równoważnie

A7

t.test(…, alternative = …)

równoważnie

3

[e-mail]

A8

t.test(…, paired = TRUE,
alternative = …)

równoważnie

B1

brak

wyłącznie

B2

var.test()

równoważnie

C1

binom.test(), prop.test()

równoważnie

C2

C3

prop.test()

równoważnie

C4

Uwaga: Jeśli dane podane są w postaci szeregu rozdzielczego, to do weryfikacji hipotezy możemy użyć tylko
drugiego sposobu, tj. implementacji wzorów odpowiednich dla przyjętego modelu.

4.

Obliczanie kwantyli w R

Oznaczenie kwantyla Wbudowana funkcja w R

Opis

6

qnorm(

α

)

Kwantyl rzędu α rozkładu N(0,1)

%

6

-

qt(

α

, n)

Kwantyl rzędu α rozkładu t o n stopniach swobody

V

6,-

qchisq(

α

, n)

Kwantyl rzędu α rozkładu chi-kwadrat o n stopniach swobody

W

6

[-

@

,-

D

]

qf(

α

, n

X

, n

Y

)

Kwantyl rzędu α rozkładu F o (n

X

, n

Y

) stopniach swobody