Weryfikacja hipotez w modelach parametrycznych jedno- i dwupróbkowych

1. Postać hipotezy

Model

Hipoteza zerowa:

: =

jednopróbkowy Hipotezy alternatywne:

: ≠ , : > , : < ŚREDNIA

Model

Hipoteza zerowa:

: =

dwupróbkowy

Hipotezy alternatywne:

: ≠ , : > , : < Model

Hipoteza zerowa:

: =

WARIANCJA

jednopróbkowy Hipotezy alternatywne:

: ≠ , : > , : < , (ODCHYLENIE

STANDARDOWE)

Model

Hipoteza zerowa:

:

=

dwupróbkowy

Hipotezy alternatywne:

:

≠ , :

> , :

<

Model

Hipoteza zerowa:

: =

jednopróbkowy

ODSETEK (WSKAŹNIK

Hipotezy alternatywne:

: ≠ , : > , : < STRUKTURY, FRAKCJA)

Model

Hipoteza zerowa:

: =

dwupróbkowy

Hipotezy alternatywne:

: ≠ , : > , : < 2. Sposób weryfikacji hipotez: a) przy użyciu R-a (lub dowolnego pakietu statystycznego):

−

≤ ⇒

! !

−

> ⇒ " #

$% &

' (

! !

)

b) bez użycia komputera, tj. „na piechotę” używając odpowiednich wzorów (por. wzory z RPS) Model

Statystyka

Obszar krytyczny

testująca

A1 (* , * , … , *-) . . . /( , )

*0 −

2−∞, − 4 ,567

[ 4 ,56, +∞)

(−∞, − 4 ,56]

- znane

=

√'

∪ [ 4 ,56, +∞)

A2 (* , * , … , *

-4

-4

-) . . . /( , )

*0 −

2−∞, −%-44 ,567

[% 4 ,56, +∞)

(−∞, −% 4 ,56]

- nieznane

% =

$ √'

∪ [%-44 ,56, +∞)

A3 (* , * , … , *-) . . . ? ? ?

*0 −

2−∞, − 4 ,567

[ 4 ,56, +∞)

(−∞, − 4 ,56]

' ≥ 100

=

$ √'

∪ [ 4 ,56, +∞)

A4 2* , * , … , *- A . . . /(

*0 − C0

2−∞, −

[

@

B, B)

4 ,567

4 ,56, +∞)

(−∞, − 4 ,56]

2C , C , … , C

=

- A . . . /(

∪ [

D

E, E)

4 ,56, +∞)

B, E − ' '

F B

' + E

B

'E

A5 2* , * , … , *

J

J

J

- A . . . /(

*0 − C0

2−∞, −%

7

[%

, +∞)

(−∞, −%

]

@

B, B)

4 ,56

4 ,56

4 ,56

2C , C , … , C

% =

J

- A . . . /(

∪ [%

, +∞)

D

E, E)

G$H + $H

4 ,56

B, E − ' ' ' ,

B = E

'B 'E

$H= ('B −1)$B

+ ('E − 1)$E

= 'B +'E −2

1

[e-mail]

A6 2* , * , … , *

J

J

J

- A . . . /(

2−∞, −%

7

[%

, +∞)

(−∞, −%

]

@

B, B)

4 ,56

4 ,56

4 ,56

2C , C , … , C

J

- A . . . /(

∪ [%

, +∞)

D

E, E)

K$B + $EL

4 ,56

B, E − ' ' '

=

'B 'E

K$B

' L

K$EL

B

'E

'B − 1 + 'E − 1

*0 − C0

% =

F$B

' + $E

B

'E

A7 2* , * , … , *- A . . . ? ? ?

*0 − C0

2−∞, −

[

@

4 ,567

4 ,56, +∞)

(−∞, − 4 ,56]

2C , C , … , C

=

- A . . . ? ? ?

∪ [

D

4 ,56, +∞)

'B, 'E ≥ 100

F$B

' + $E

B

'E

A8 2* , * , … , *

-4

-4

-4

- A . . . /(

M̅

2−∞, −%

7

[%

, +∞)

(−∞, −%

]

@

B, B)

4 ,56

4 ,56

4 ,56

2C , C , … , C

% = √'

-4

- A . . . /(

$

∪ [%

, +∞)

D

E, E)

S

4 ,56

B, E − ' ' '

"$ & !

MNOPŻ/P

MT = *T − CT

B1

(* , * , … , *-) . . ./( , ) (' − 1)$

U =

2−∞, −V

[V

,56,-4 7

4 ,56,-4 , +∞)

2−∞, −V ,56,-4 7

∪ [V 4 ,56,-4 , +∞)

B2

2* , * , … , *

[-

- A . . . /(

$

@4 ,-D4 ]

@

B, B)

B

[W 46

, +∞)

2C , C , … , C

W =

- A . . . /(

X

D

E, E)

E

C1

(* , * , … , *-) . . . Y '( )

' ≥ 100

̂ −

=

√'

[ (1 − )

-

# = \ *T

T]

2−∞, − 4 ,567

#

[ 4 ,56, +∞)

(−∞, − 4 ,56]

̂ =

∪ [ 4 ,56, +∞)

'

C2

(* , * , … , *-) . . . Y '( )

' < 100

= 2(

$ '[ ̂

−

$ '[ )√'

C3

2* , * , … , *- A . . . Y '( )

̂

@

= B − ̂E

2C , C , … , C- A . . . Y '( ) D

G H(1 − H)

'B, 'E ≥ 100

'H

-

#

@

B = \

*T

T]

-

#

D

E = \

CT

T]

#

2−∞, − 4 ,567

H = B + #E

'

∪ [

[

B + 'E

4 ,56, +∞)

4 ,56, +∞)

(−∞, − 4 ,56]

'

'H = B'E

'

B + 'E

#

#

̂

B

E

B = ' , ̂E =

B

'E

C4

2* , * , … , *- A . . . Y '( )

@

2C , C , … , C- A . . . Y '( )

= 2(

$ '[ ̂

D

B

'B, 'E < 100

−

$ '[ ̂E)√'∗

$% % $% # % $% !ą ∈ a ⇒

! !

$% % $% # % $% !ą ∉ a ⇒ " #

$% &

' (

! !

)

3. Model a sposób weryfikacji Model

(a) Wbudowana funkcja w R

(b) Implementacja wzoru

uwagi

A1

brak

wyłącznie

A2

t.test(…, mu = …, alternative = …) równoważnie

A3

t.test(…, mu = …, alternative = …) równoważnie

A4

brak

wyłącznie

A5

t.test(…, var.equal = TRUE, równoważnie

alternative = …)

A6

t.test(…, alternative = …) równoważnie

A7

t.test(…, alternative = …) równoważnie

2

[e-mail]

A8

t.test(…, paired = TRUE,

równoważnie

alternative = …)

B1

brak

wyłącznie

B2

var.test()

równoważnie

C1

binom.test(), prop.test() równoważnie

C2

C3

prop.test()

równoważnie

C4

Uwaga: Jeśli dane podane są w postaci szeregu rozdzielczego, to do weryfikacji hipotezy możemy użyć tylko drugiego sposobu, tj. implementacji wzorów odpowiednich dla przyjętego modelu.

4. Obliczanie kwantyli w R

Oznaczenie kwantyla Wbudowana funkcja w R

Opis

6

qnorm(α)

Kwantyl rzędu α rozkładu N(0,1)

%-6

qt(α, n)

Kwantyl rzędu α rozkładu t o n stopniach swobody V6,-

qchisq(α, n)

Kwantyl rzędu α rozkładu chi-kwadrat o n stopniach swobody W[-@,-D]

6

qf(α, nX, nY)

Kwantyl rzędu α rozkładu F o (nX, nY) stopniach swobody 3

[e-mail]