model.qxd

u¿yteczny, zw³aszcza w ograniczonym za-

kresie czêstotliwoci, do ok. 20% czêstotli-

woci rezonansowej.

Ograniczenia modelu

klasycznego

Nie jest mo¿liwe okrelenie jednego para-

metru cewki, który by³by uniwersalny i opisy-

wa³ jej dzia³anie we wszystkich mo¿liwych

zastosowaniach. Na przyk³ad, podczas pro-

jektowania uk³adu generacyjnego lub strojo-

nego rezonansowego, najistotniejszym para-

metrem jest dobroæ Q. Natomiast przy za-

stosowaniu cewki jako elementu blokuj¹cego

wielkie czêstotliwoci, interesuj¹ca jest tylko

zale¿noæ jej impedancji od czêstotliwoci.

Przy zastosowaniu cewki do budowy filtru

wa¿ne jest, by indukcyjnoæ by³a sta³a w pe³-

nym rozpatrywanym zakresie czêstotliwoci.

Wynika st¹d, ¿e s¹ trzy czynniki charaktery-

zuj¹ce cewkê: jej czêstotliwoæ rezonansu

w³asnego, dobroæ jako funkcja czêstotliwoci

oraz impedancja jako funkcja czêstotliwoci.

U¿yteczny model musi precyzyjnie symulo-

waæ wymienione trzy wielkoci w zakresie

kilku dekad czêstotliwoci.

W klasycznym modelu by³o mo¿liwe proste

okrelenie maksymalnej impedancji w funkcji

czêstotliwoci: nastêpowa³o to przy czêstotli-

woci rezonansu w³asnego, przy której do-

broæ spada³a do zera. Drog¹ prostych przeli-

czeñ mo¿na okreliæ czêstotliwoæ, przy której

dobroæ osi¹ga maksimum, jest to przy czê-

stotliwoci f = f

√

W praktyce, wg danych producentów cewek,

punkt maksymalnej dobroci le¿y znacznie ni-

¿ej ni¿ f

√

3. Czêstotliwoæ mo¿e byæ nawet 50-

krotnie mniejsza, najczêciej jednak 3

10 krot-

nie. Stary model nie daje mo¿liwoci dok³adne-

go przewidzenia po³o¿enia punk

tu maksy-

malnej dobroci.

Udoskonalony model cewki

Wprowadzenie rezystora szeregowo z kon-

densatorem (rys. 2) zwiêksza dobroæ Q cew-

ki w zakresie czêstotliwoci powy¿ej rezo-

nansu w³asnego. Ten model charakteryzu-

je siê mniejszym rozrzutem maksymalnej

dobroci w stosunku wartoci rzeczywistych.

Dobroæ osi¹ga maksimum przy czêstotli-

woci równej jednej pi¹tej czêstotliwoci re-

zonansu w³asnego. Tym nie mniej, model

nie jest dobry szczególnie wówczas, gdy

wartoæ rezystancji rezystora po³¹czonego

szeregowo z kondensatorem osi¹ga warto-

ci bliskie 1 k

Ω

. Wtedy nastêpuj¹ znaczne

rozbie¿noci miêdzy wartociami przewi-

dywanymi a zmierzonymi.

PORADNIK

ELEKTRONIKA

Popularny schemat

zastêpczy cewki induk-

cyjnej ma kilka powa¿-

nych niedostatków,

nawet w zakresie czêsto-

tliwoci poni¿ej w³asnej

czêstotliwoci rezonan-

sowej. Nowy i bardziej

u¿yteczny model

umo¿liwia dok³adniejsze

okrelenie zachowania

siê cewki w szerokim

zakresie czêstotliwoci.

trzech podstawowych elementów

biernych _ kondensatora, cewki in-

dukcyjnej i rezystora _ cewka induk-

cyjna jest najmniej zbli¿ona do ele-

mentu idealnego, idealnej indukcyjnoci i przez

to najtrudniejsza do modelowania. Wa¿nym

czynnikiem dobrego modelowania jest mo¿li-

woæ oceny i wyboru najlepszej konstrukcji

cewki do okrelonego zastosowania.

Ju¿ w pocz¹tkach ubieg³ego wieku zdawano

sobie sprawê z rozproszonych pojemnoci

w rzeczywistej cewce i wynikaj¹cej z nich

czêstotliwoci rezonansu w³asnego. Prosty

model uwzglêdniaj¹cy to zjawisko zawiera-

j¹cy kondensator do³¹czony równolegle do

cewki ma ju¿ blisko 90 lat. Ten model wyma-

ga zast¹pienia nowym, gdy¿ w dzisiejszych

czasach nie spe³nia dobrze swojej roli.

Klasyczny model cewki

Klasyczny model jest intuicyjny (rys.1). Sk³a-

da siê z idealnej indukcyjnoci, szeregowo z

ni¹ po³¹czonej idealnej rezystancji i równole-

gle do nich do³¹czonej idealnej pojemnoci.

Zale¿nie od rozpatrywanego zakresu czê-

stotliwoci niektóre elementy sk³adowe mo-

g¹ byæ pominiête. I tak, przy bardzo ma³ych

czêstotliwociach, przy których reaktancja

indukcyjna

L jest znacznie mniejsza od re-

zystancji R, mo¿na pozostawiæ wy³¹cznie

rezystancjê. W zakresie bardzo du¿ych czê-

stotliwoci, przy których susceptancja po-

jemnociowa

C jest znacznie wiêksza od in-

dukcyjnej 1/

L, ta ostatnia mo¿e byæ pomi-

niêta i pozostanie sam kondensator. Przy

czêstotliwociach ma³ych istotnymi elemen-

tami s¹ indukcyjnoæ i rezystancja. Pomiêdzy

zakresem czêstotliwoci ma³ych i bardzo du-

¿ych le¿y zakres, w którym wystêpuje czêsto-

tliwoæ rezonansowa f

Z przedstawionych rozwa¿añ wynika, ¿e po-

miaru indukcyjnoci L nale¿y dokonywaæ

przy ma³ej czêstotliwoci, le¿¹cej daleko po-

ni¿ej czêstotliwoci rezonansu w³asnego fr,

a pojemnoæ cewki C wyznacza siê przy

czêstotliwoci rezo

nansowej z poni¿szej

zale¿noci:

Jest istotne, by zdawaæ sobie sprawê z te-

go, ¿e czêstotliwoæ rezonansu w³asnego

oznacza czêstotliwoæ rezonansow¹ obwodu

utworzonego przez elementy schematu za-

stêpczego cewki. Rezystor wystêpuj¹cy

w schemacie zastêpczym nie odzwierciedla

wy³¹cznie rzeczywistej rezystancji cewki, ale

trochê inn¹ wielkoæ, która charakteryzuje za-

chowanie siê cewki w otoczeniu czêstotliwo-

ci rezonansu w³asnego.

Ten model umo¿liwia dok³adne przewidywa-

nie wzrostu indukcyjnoci przy zbli¿aniu siê do

czêstotliwoci rezonansu w³asnego, jednak

trzeba mieæ na uwadze, ¿e rzeczywista in-

dukcyjnoæ by³a okrelana przy czêstotliwo-

ciach znacznie poni¿ej rezonansu. U¿ytecz-

na zale¿noæ wi¹¿¹ca indukcyjnoæ przy wiel-

kiej czêstotliwoci L(f) od indukcyjnoci przy

ma³ej czêstotliwoci L(0) jest nastêpuj¹ca:

Zwykle ta zale¿noæ umo¿liwia oszacowa-

nie jak ma³a powinna byæ czêstotliwoæ, aby

mo¿na by³o dok³adnie okreliæ rzeczywist¹

indukcyjnoæ. Na przyk³ad, przy czêstotliwo-

ci 10 razy mniejszej od rezonansowej, powy¿-

sza zale¿noæ wskazuje, ¿e b³¹d okrelenia in-

dukcyjnoci wynosi zaledwie 1% wartoci

zmierzonej.

Nale¿y zwróciæ uwagê na fakt, ¿e kondensa-

tor jest równolegle do³¹czony do szeregowe-

go po³¹czenia rezystora i cewki. Jest niedopu-

szczalne do³¹czenie kondensatora bezpore-

dnio równolegle do cewki, chocia¿ mo¿na zo-

baczyæ czêsto takie modele. Chwila zasta-

nowienia wskazuje, ¿e takie usytuowanie kon-

densatora prowadzi do sytuacji, w której przy

czêstotliwoci rezonansowej wyst¹pi nieskoñ-

czenie wielka impedancja, co powoduje, ¿e

model staje siê nieu¿yteczny.

Widaæ zatem, ¿e ten stary model mo¿e byæ

)

(

)

(

)

(

⋅

MODEL CEWKI NA XXI WIEK

Radioelektronik Audio-HiFi-Video 6/2003

Rys. 1. Klasyczny, blisko

100-letni model trójelementowy

cewki stratnej z rozproszon¹

pojemnoci¹ równoleg³¹

ka ma co najmniej 20 zwojów równo u³o¿o-

nych na ca³ej swej d³ugoci. Pojemnoæ w³a-

sna zmniejsza siê nieznacznie przy mniejszej

liczbie zwojów.

Dobrym przyk³adem mo¿e byæ regu³a pojem-

noci w³asnej, publikowana przez firmê Ohmi-

te (www.ohmite.com), dotycz¹ca cewek serii

KM z rdzeniem niemagnetycznym (tablica 2).

Ta sama regu³a mo¿e odnosiæ siê do cewek

bezrdzeniowych, takich jak seria 9230 cewek

z firmy JW Miller Magnetics (www.jwmiller.com).

Cewki o indukcyjnociach w zakresie 1,2

mH maj¹ pojemnoæ w³asn¹ ok. 1 pF.

Kiedy liczba zwojów cewki jest niewielka, jej po-

jemnoæ w³asna wzrasta wraz z liczb¹ zwojów.

Tê zale¿noæ przedstawiono w tablicy 3 da-

ne dotycz¹ cewek powietrznych firmy Coil-

craft (www.coilcraft.com).

Weryfikacja ka¿dego modelu musi odpowie-

dzieæ na pytanie dotycz¹ce zgodnoci z rze-

czywistoci¹. Niestety, wiele standardowych

symulatorów bazuj¹cych na jêzyku Spice nie

dopuszcza prowadzenia symulacji rezysto-

rów, których rezystancja by³aby zmienna wraz

ze zmianami czêstotliwoci. Na potrzeby takiej

symulacji trzeba przygotowaæ skrypt powo-

duj¹cy zmiany rezystancji w funkcji czêstotli-

woci, a nastêpnie wydrukowaæ wyniki. Pro-

Schemat zastêpczy cewki

rzeczywistej

Budowa schematu zastêpczego nie jest wy-

³¹cznie æwiczeniem matematycznym. Nale-

¿y odpowiedzieæ na pytanie dotycz¹ce fizycz-

nej budowy cewki _ jaki jej element ma najistot-

niejszy wp³yw na jej funkcjonowanie?

Bior¹c pod uwagê niebywa³¹ prostotê konstr-

ukcyjn¹ cewki indukcyjnej, trudno sobie wyo-

braziæ taki element. Tym nie mniej nale¿y roz-

patrzeæ dwa istotne jej elementy: cie¿kê prze-

wodz¹c¹ pr¹d i rdzeñ cewki.

cie¿kê przewodz¹c¹ tworzy zwykle mied, na

ogó³ w postaci przewodu lub cienkiej warstwy

metalu. Efekt naskórkowoci, znany od stu

lat, odgrywa silnie rolê w zakresie czêstotliwo-

ci radiowych, gdy obserwuje siê wzrost rezy-

stancji proporcjonalnie do pierwiastka kwadra-

towego czêstotliwoci. Wymieniona zale¿noæ

miêdzy rezystancj¹ a czêstotliwoci¹ mo¿e

byæ sformu³owana w inny sposób, a mianowi-

cie: w zakresie jej obowi¹zywania g³êbokoæ

wnikania pr¹du dochodzi do 1/3 rednicy prze-

wodu lub gruboci warstwy przewodz¹cej.

W przypadku izolowanego przewodu mie-

dzianego, g³êbokoæ wnikania pr¹du przy ró¿-

nych czêstotliwociach jest prosta do wyzna-

czenia (tablica 1). Jest to du¿o wiêkszy pro-

blem, kiedy poszczególne

zwoje s¹ u³o¿one bli¿ej sie-

bie. Analiza zjawiska zbli¿e-

niowego wykracza, z uwagi

na stopieñ skomplikowania,

poza ramy tego artyku³u.

Straty w rdzeniu stanowi¹ ko-

lejny problem. W przypadku

cewki z rdzeniem powietrz-

nym nie ma strat. Cewki na

zakres UHF, nawiniête na

rdzeniu ceramicznym lub in-

nym niemagnetycznym, cha-

rakteryzuj¹ siê bardzo ma³y-

mi stratami. Z drugiej strony,

straty rdzenia ferromagne-

tycznego lub ferrytowego s¹

w przybli¿eniu proporcjonalne do czêstotliwo-

ci. Analiza danych dotycz¹cych uzwojeñ sto-

sowanych w zasilaczach impulsowych wska-

zuje, ¿e straty rosn¹ nieco szybciej ni¿ czêsto-

tliwoæ, sugeruje siê, ¿e wyk³adnik potêgi po-

winien zawieraæ siê w przedziale wartoci

1,3

1,5.

Wyniki teoretycznej analizy cewki jednowar-

stwowej sugeruj¹, ¿e pojemnoæ w³asna jest

funkcj¹ jej kszta³tów i wymiarów, a w mniej-

szym stopniu zale¿y od liczby zwojów. To

przybli¿enie jest s³uszne wówczas, gdy cew-

W przeciwieñstwie do modelu trójelemento-

wego przedstawionego na rys.1, ³atwego

do obróbki matematycznej, model czteroe-

lementowy (rys. 2) jest trudniejszy w ana-

lizie. Bardziej interesuj¹cy jest model za-

wieraj¹cy dwa rezystory zwi¹zane z cewk¹

szeregowy i równoleg³y (rys. 3). Rezy-

stor szeregowy z cewk¹ powoduje, ¿e do-

broæ wzrasta ze wzrostem czêstotliwoci,

a rezystor równoleg³y powoduje zmniejsza-

nie siê dobroci ze wzrostem czêstotliwoci.

Taka kombinacja umo¿liwia uzyskanie

szczytowej wartoci dobroci przy dowolnej

czêstotliwoci. Je¿eli ta czêstotliwoæ bêdzie

przynajmniej 10-krotnie mniejsza od czê-

stotliwoci rezonansu w³asnego cewki, to jej

pojemnoæ w³asna bêdzie mia³a znikomy

wp³yw na maksymaln¹ dobroæ.

Wygoda tego modelu ³¹czy siê z prostot¹

zwi¹zanych z nim wzorów obliczeniowych,

max

jest maksymaln¹ wartoci¹ dobroci Q:

przy czêstotliwoci:

Po stosownych przekszta³ceniach otrzymu-

je siê zale¿noci okrelaj¹ce wartoci rezy-

stancji na podstawie pomiaru Q

max

przy

czêstotliwoci f

Qmax

Gdy czêstotliwoæ, przy której dobroæ osi¹-

ga maksimum zbli¿a siê do czêstotliwoci re-

zonansu w³asnego cewki, to nastêpuje

silna interakcja z pojemnoci¹ w³asn¹.

max

⋅

max

⋅

max

⋅

Radioelektronik Audio-HiFi-Video 6/2003

Rys. 2.

Do³¹czenie

rezystora

szeregowo

z kondensatorem

poprawia

skutecznoæ

modelu klasycznego

( rys. 1)

Rys. 3. Po³¹czenie

szeregowe rezystora i cewki

powoduj¹ce wzrost dobroci

w funkcji czêstotliwoci oraz

po³¹czenie równoleg³e

rezystora i cewki powoduj¹ce

zmniejszanie siê dobroci w

funkcji czêstotliwoci

umo¿liwia uzyskania szczy-

towej dobroci przy dowolnej

czêstotliwoci

Czêstotliwoæ

G³êbokoæ wnikania pr¹du

[kHz]

[

µµ

0,050

9300

930

500

50,000

9,3

T a b l i c a 1. G³êbokoæ wnikania pr¹du w funkcji

czêstotliwoci

Indukcyjnoæ Czêstotliwoæ rezonansu

Obliczona pojemnoæ

[

µµ

H] w³asnego [MHz] w³asna [pF]

0,15

525

0,61

0,47

310

0,56

1,5

160

0,66

4,7

0,67

Liczba zwojów Indukcyjnoæ

Czêstotliwoæ Pojemnoæ w³asna

rezonansu

[pF]

[nH]

w³asnego [GHz]

2,5

12,5

0,06

5,0

6,5

0,12

8,0

5,0

0,13

12,5

3,3

0,19

18,5

2,5

0,22

T a b l i c a 2. Regu³a sta³ej pojemnoci

T a b l i c a 3 Pojemnoæ w³asna cewki zale¿nie od liczby zwojów

cedura nie jest skomplikowana ani czaso-

ch³onna. Ostatnio kilka symulatorów przyjmu-

je rezystory zmieniaj¹ce siê w funkcji czêsto-

tliwoci, nale¿¹ do nich PSpice

(www.orcad.com) i ICAP (www.intusoft.com).

Model matematyczny

Pierwsz¹ czynnoci¹ niezbêdn¹ do przepro-

wadzenia procesu symulacji jest wybranie

sposobu wykrelania charakterystyk dobroci

w funkcji czêstotliwoci. Nale¿y pamiêtaæ o de-

finicji dobroci szeregowego obwodu rezonan-

sowego:

Ogólnie impedancja jest reprezentowana jako

Z = R + jX. W takiej sytuacji definicja dobroci

mo¿e byæ przekszta³cona do postaci:

)

Re(

)

Im(

w której Re(Z) i Im(Z) oznaczaj¹ odpowie-

dnio czêæ rzeczywist¹ (Re) i urojon¹ (Im) im-

pedancji Z. Ta zale¿noæ jest pomocna przy

pisaniu skryptu do tworzenia wykresu Q(f).

Alternatywnym rozwi¹zaniem mo¿e byæ zasto-

sowanie aparatu matematycznego, w posta-

ci narzêdzia MathCAD. Zale¿noæ opisuj¹ca

impedancjê przyjmuje postaæ:

Opisuje ona dwa obwody szeregowe po³¹-

czone równolegle jak na rys. 2. Rezystor R

po-

³¹czony szeregowo z kondensatorem okrela

po³o¿enie punktu maksymalnej dobroci Q.

Niewygodne jest u¿ywanie R

do badania od-

powiedzi modelu powy¿ej czêstotliwoci re-

zonansu w³asnego, poniewa¿ dane produ-

centów rzadko siêgaj¹ czêstotliwoci rezonan-

su w³asnego.

Mo¿na osi¹gn¹æ lepsze wyniki po wprowadze-

niu innej zmiennoci szeregowej rezystancji

strat z czêstotliwoci¹ w równaniu impedancji

z wykorzystaniem czynnika K

√

f, który jest nie-

zbyt wygodny w analizie. Dobrym rozwi¹za-

niem jest normalizacja rezystancji strat do tej re-

zystancji przy czêstotliwoci rezonansu w³a-

snego (R

Dla wygody mo¿na przepisaæ zale¿noæ okrela-

j¹c¹ impedancjê do postaci, wktórej 0,5

≤ η ≤

Przyk³ad praktyczny

Model cewki oznaczonej 0805HQ16N firmy

Coilcraft mo¿e byæ dobrym przyk³adem cewki

o du¿ej dobroci szczegó³owo opisanej w mate-

ria³ach informacyjnych firmy. Wartoci elemen-

tów schematu zastêpczego s¹ nastêpuj¹ce:

= 6

Ω

, L = 16,8 nH, C = 75 pF,

= 1,95

Ω

= 0,54. Nowy model jest w pe³-

ni zgodny z danymi, z tolerancj¹ dobroci

i realistycznie ekstrapoluje krzyw¹ dobroci w za-

kresie czêstotliwoci le¿¹cych wy¿ej ni¿ dane fir-

mowe (rys. 4).

Nale¿y sobie uwiadomiæ istotn¹ ró¿nicê miê-

dzy dobroci¹ Q cewki a dobroci¹ obwodu re-

zonansowego. Dobroæ cewki jest równa zeru

przy czêstotliwoci rezonansu w³asnego, gdy

przedstawia ona sob¹ wy³¹cznie rezystancjê.

Jednak¿e, wykrelaj¹c na ploterze krzyw¹ im-

pedancji w funkcji czêstotliwoci zauwa¿y siê

ostre maksimum

przy czêstotliwo-

ci rezonansu

w³asnego.

Sama

cewka mo¿e mieæ

znaczn¹ dobroæ,

gdy jest traktowa-

na jako obwód re-

zonansowy. Nie-

stety, nie mo¿na

u¿yæ samej cewki

jako obwodu rezo-

nansowego, po-

niewa¿ nie daje siê

dok³adnie przewi-

dzieæ punktu po³o-

¿enia czêstotliwo-

ci rezonansowej.

Producenci cewek

nigdy nie podaj¹

do wiadomoci

odbiorców para-

metrów zwi¹za-

nych zczêstotliwo-

ciami rezonanso-

wymi, mimo, i¿ te

wielkoci s¹ wa¿-

ne dla konstrukto-

rów sprzêtu. Bez tych informacji nie mo¿na osza-

cowaæ tolerancji pojemnoci w³asnej. W efekcie

nie mo¿na prawid³owo okreliæ pojemnoci kory-

guj¹cego trymera wspó³pracuj¹cego z cewk¹.

Modelowanie w praktyce

Zaprezentowany matematyczny model cewki

nie jest ³atwy w u¿yciu, poniewa¿ wartoci jego

elementów s¹ cile ze sob¹ powi¹zane.

Nale¿y zauwa¿yæ, ¿e je¿eli szczytowa wartoæ

Q wystêpuje przy czêstotliwoci znacznie mniej-

szej ni¿ f

/5, to nale¿y wprowadziæ dodatkowy re-

zystor równoleg³y. Jest on niezbêdny szcze-

gólnie w przypadku stosowania ferrytów lub

materia³ów ferromagnetycznych, powoduj¹-

cych, ¿e szczyt dobroci Q wystêpuje przy czê-

stotliwoci ponad 50 razy mniejszej od czêsto-

tliwoci rezonansu w³asnego.

Podsumowanie

Nie jest mo¿liwe teoretyczne przewidzenie po-

³o¿enia punktu maksymalnej dobroci Q w sto-

sunku do czêstotliwoci rezonansu w³asnego.

Wg danych producentów czêstotliwoæ, przy

której dobroæ osi¹ga maksimum, w przypadku

cewek powietrznych i cewek o rdzeniu ceramicz-

nym jest 2

9 razy mniejsza od czêstotliwoci re-

zonansu w³asnego. Ta wartoæ nale¿y do fun-

damentalnych parametrów charakteryzuj¹cych

cewkê, podawanych przez producentów.

W celu uzyskania najlepszych parametrów ob-

wodu rezonansowego nale¿y d¹¿yæ, aby dobroæ

Q cewki by³a mo¿liwie najwiêksza.

Chocia¿ s¹ osi¹galne na rynku cewki o to-

lerancjach indukcyjnoci dochodz¹cej do

2%, to ma³a tolerancja nic nie pomo¿e, gdy

cewka pracuje przy czêstotliwoci bliskiej

po³owie czêstotliwoci rezonansu w³asne-

go. W takich przypadkach, tolerancja do-

chodz¹ca do

15% nie jest niespodziank¹.

Do zastosowañ cewek jako elementów bloku-

j¹cych sk³adow¹ zmienn¹, model cewki nie

musi byæ rozbudowywany. Wszystko to, co na-

le¿y o nim wiedzieæ to minimalna indukcyjnoæ

mierzona w zakresie ma³ych czêstotliwoci

i czêstotliwoæ rezonansu w³asnego. Jak wiado-

mo, impedancja blokuj¹ca bêdzie zawsze nie

mniejsza ni¿ 2

fL w zakresie czêstotliwoci do

czêstotliwoci rezonansu w³asnego.

Cezary Rudnicki

⋅

)

(

⋅

Rys. 4. Zale¿noæ dobroci od czêstotliwoci dla cewki 0805HQ16N firmy Coilcraft

Czêstotliwoæ f [MHz]

Dobroæ Q

140

130
120

110

100

90
80

60
50
40
30
20

10 100 1000