1 |

S t r o n a

Dr inż. Remigiusz Nowak
Wydział Energetyki i Paliw
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Modelowanie Matematyczne

Zestaw IIIa

Równania różniczkowe zwyczajnie rzędu I

Równania liniowe

Ogólna postać równania różniczkowego zwyczajnego, liniowego, rzędu I jest następująca:

( )

( )

dy

P x

y

f x

dx

+

⋅ =

(1)

Rozwiązując tego typu równanie, należy obie jego strony pomnożyć przez czynnik całkujący zdefiniowany
jako:

( )

( )

P x dx

x

e

µ

∫

=

(2)

Po przemnożeniu równania (1) przez czynnik całkujący (2) dostajemy

( )

( )

( )

( )

( )

P x dx

P x dx

P x dx

dy

e

P x e

y

e

f x

dx

∫

∫

∫

⋅

+

⋅

⋅ =

⋅

Ze wzoru na pochodną iloczynu wiemy, że zaznaczony obszar to:

( )

P x dx

d

e

y

dx





∫

⋅









Stąd:

( )

( )

( )

P x dx

P x dx

d

e

y

e

f x

dx





∫

∫

⋅

=

⋅









całkujemy obustronnie i dostajemy wynik

Przykład

6

4

x

dy

x

y

x e

dx

−

=

5

4

x

dy

y

x e

dx

x

−

=

Rozwiązanie

4

4

( )

4ln

ln

4

( )

dx

P x dx

x

x

x

x

e

e

e

e

x

µ

−

−

−

−

∫

∫

=

=

=

=

=

czynnik całkujący

4

5

4

4

5

4

4

x

x

dy

dy

x

y

x e

x

x

x y

xe

dx

x

dx

−

−

−

−





−

=

⋅

=

⋅

−

=









4

x

d

x y

xe

dx

−





=





Po obustronnym scałkowaniu:

4

x

x

x y

xe

e

c

−

=

− +

2 |

S t r o n a

Dr inż. Remigiusz Nowak
Wydział Energetyki i Paliw
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zadania

Znajdź rozwiązanie poniższych równań różniczkowych.

(a)

2

10

1

dy

y

dx

+

=

(k)

2

3

cos

sin

( cos

1)

0

x

xdy

y

x

dx

+

−

=

(b)

3x

dy

y

e

dx

+ =

(l)

(

2

)

0

y

ydx

xy

x

ye dy

+

+

−

=

(c)

2

2

' 3

y

x y

x

+

=

(m)

3

(3

1)

x

dy

x

x

y

e

dx

−

+

+

=

(d)

2

'

1

x y

xy

+

=

(n)

6

4(

)

0

ydx

x

y dy

−

+

=

(e)

2

(

4

)

2

0

x

y dy

ydx

+

+

=

(o)

2

1

x

x

x

dy

e

y

dx

e

e

−

−

−

+ =

+

,

(f)

( sin

)

xdy

x

x

y dx

=

−

(p)

5

20

dy

y

dx

+

=

,

(0)

2

y

=

(g)

(1

)

0

x

x

dy

e

e y

dx

+

+

=

(q)

di

L

Ri

E

dt

+

=

, L,R,E = const.,

( )

0

0

i

i

=

(h)

cos

sin

1

dy

x

y

x

dx

+

=

(r)

2

' (tan )

cos

y

x y

x

+

=

,

(0)

1

y

= −

(i)

3

4

dy

x

y

x

x

dx

+

= −

(s)

(

1)

ln

dy

x

y

x

dx

+

+ =

,

(1) 10

y

=

(j)

(

)

2

'

2

x

x y

x x

y

e

+

+

=

(t)

dy

y

dx

y

x

=

−

,

(5)

2

y

=