Metody numeryczne
Maraton, 12 czerwca 2014 r.
Problemy podstawowe
1. Podaj indeksową i macierzową formę metody iteracyjnej Jacobiego (metody Gaussa-
Seidla).
2. Podaj warunki stabilności metody gradientów sprzężonych. Czy są one spełnione
dla układu Ax
=
b
, gdzie:
A
=
−
3
−
1
−
2
−
1
5
1
−
2
1
10
b
=
2
−
1
2
Odpowiedź uzasadnij.
3. Podaj zwięzły opis metody Newtona-Raphsona dla układu algebraicznego F
(
x
) =
0
. Sprawdź, czy punkt
(
x, y
) = (
0, 0
)
może zostać przyjęty jako punkt startowy tej
metody zastosowanej do układu:
xy
+
x
(
x
2
+
y
2
) −
1
=
0
xy
+
4
=
0
4. Wyprowadzić metodę iteracyjną Adamsa-Basforta (Adamsa-Moultona) trzeciego rzędu
przy pomocy rozwinięcia w szereg potęgowy.
5. Dane jest zagadnienie brzegowe:
y
00
(
x
) +
2y
0
(
x
) +
y
(
x
) =
1
y
(
0
) =
y
(
1
) =
0
Zapisać wzór różnicowy dla powyższego równania przy pomocy różnic skończo-
nych drugiego rzędu. Do układu o jakiej macierzy będzie prowadzić takie równa-
nie?
6. Do czego służy odwrotna metoda potęgowa (proces iteracyjny QR)?
Problemy rozszerzone
7. Co to jest metoda iteracyjna Richardsona?
8. Porównać metody Newtona-Raphsona i Broydena.
9. Wyjaśnić, co to jest układ o macierzy sztywnej. Jakie metody iteracyjne są używane
do rozwiązywania układów o takich macierzach?
10. Rozwiązać równanie rekurencyjne:
y
k
+
2
−
4y
k
+
1
+
3y
k
=
0
y
0
=
1
y
1
=
0