Metody numeryczne

Maraton, 12 czerwca 2014 r.

Problemy podstawowe

1. Podaj indeksową i macierzową formę metody iteracyjnej Jacobiego (metody Gaussa-

Seidla).

2. Podaj warunki stabilności metody gradientów sprzężonych. Czy są one spełnione

dla układu Ax

=

b

, gdzie:

A

=





−

3

−

1

−

2

−

1

5

1

−

2

1

10





b

=





2

−

1

2





Odpowiedź uzasadnij.

3. Podaj zwięzły opis metody Newtona-Raphsona dla układu algebraicznego F

(

x

) =

0

. Sprawdź, czy punkt

(

x, y

) = (

0, 0

)

może zostać przyjęty jako punkt startowy tej

metody zastosowanej do układu:



xy

+

x

(

x

2

+

y

2

) −

1

=

0

xy

+

4

=

0

4. Wyprowadzić metodę iteracyjną Adamsa-Basforta (Adamsa-Moultona) trzeciego rzędu

przy pomocy rozwinięcia w szereg potęgowy.

5. Dane jest zagadnienie brzegowe:



y

00

(

x

) +

2y

0

(

x

) +

y

(

x

) =

1

y

(

0

) =

y

(

1

) =

0

Zapisać wzór różnicowy dla powyższego równania przy pomocy różnic skończo-
nych drugiego rzędu. Do układu o jakiej macierzy będzie prowadzić takie równa-
nie?

6. Do czego służy odwrotna metoda potęgowa (proces iteracyjny QR)?

Problemy rozszerzone

7. Co to jest metoda iteracyjna Richardsona?

8. Porównać metody Newtona-Raphsona i Broydena.

9. Wyjaśnić, co to jest układ o macierzy sztywnej. Jakie metody iteracyjne są używane

do rozwiązywania układów o takich macierzach?

10. Rozwiązać równanie rekurencyjne:







y

k

+

2

−

4y

k

+

1

+

3y

k

=

0

y

0

=

1

y

1

=

0