Granice funkcji. Ci ¾

ag÷

o´s´c funkcji

1

Zadania z rozwi ¾

azaniami

1. Wyznaczy´c na podstawie de…nicji granic ¾

e funkcji f (x) =

x

2

9

x 3

w punkcie

x

0

= 3:

Rozwiazanie:

Niech (x

n

)

1
n=1

b ¾

edzie dowolnym ci ¾

agiem o wyrazach róznych

od 3 i takim, ·

ze lim

n

!1

x

n

= 3: Obliczmy posta´c wyrazu ogólnego ci ¾

agu

(f (x

n

))

1
n=1

f (x

n

) =

x

2

n

9

x

n

3

=

(x

n

3)(x

n

+ 3)

x

n

3

= x

n

+ 3:

Zatem, z uwagi na fakt, i·

z lim

n

!1

x

n

= 3 oraz lim

n

!1

3 = 3, mamy

lim

n

!1

f (x

n

) = lim

n

!1

(x

n

+ 3) = lim

n

!1

x

n

+ lim

n

!1

3 = 3 + 3 = 6:

St ¾

ad, na mocy de…nicji granicy funkcji w punkcie, mamy

lim

x

!3

f (x) = 6:

2. Wyznaczy´c , na podstawie de…nicji , granice funkcji f (x) =

x

2

9x 2

2x 3

gdy

(a) x ! +1;

(b) x ! 1.

Rozwi ¾

azanie:

a Niech (x

n

)

1
n=1

b ¾

edzie dowolnym ci ¾

agiem takim, ·

ze lim

n

!1

x

n

= +1:

Przekszta÷

caj ¾

ac ogólny wyraz ci ¾

agu (f (x

n

))

1
n=1

mamy

f (x

n

) =

x

2

n

9x

n

2

2x

n

3

=

x

n

9

2

x

n

2

3

x

n

:

(1)

Zauwa·

zmy, ·

ze

lim

n

!1

2

x

n

= lim

n

!1

3

x

n

= 0:

(2)

Zatem

lim

n

!1

f (x

n

) = lim

n

!1

x

n

9

2

x

n

2

3

x

n

= +1:

1

Na mocy de…nicji granicy funkcji otrzymujemy

lim

x

!+1

f (x) = +1

b Niech teraz (x

n

)

1
n=1

b ¾

edzie dowolnym ci ¾

agiem takim, ·

ze lim

n

!1

x

n

=

1: Korzystaj ¾

ac z (1) oraz (2) mamy

lim

n

!1

f (x

n

) = lim

n

!1

x

n

9

2

x

n

2

3

x

n

=

1:

St ¾

ad, na mocy de…nicji granicy funkcji, mamy

lim

x

! 1

f (x) =

1:

3. Wyznaczy´c granic ¾

e funkcji f (x) =

x

3

27

x

2

5x+6

w punkcie x = 3:

Rozwi ¾

azanie:

Przekszta÷

caj ¾

ac wzór funkcji mamy

f (x) =

x

3

27

x

2

5x + 6

=

(x

3) x

2

+ x + 9

(x

3)(x

2)

=

x

2

+ x + 9

x

2

:

Zatem

lim

x

!3

f (x) = lim

x

!3

x

2

+ x + 9

x

2

= 21:

4. Wyznaczy´c granice jednostronne funkcji f (x) =

x+6
x 3

w miejscu zerowym

mianownika.
Rozwi ¾

azanie:

Zauwa·

zmy, ·

ze

x

3 < 0 dla x 2 ( 1; 3) oraz x

3 > 0 dla x 2 (3; +1)

oraz

lim

x

!3

(x

3) = 0 i lim

x

!3

(x + 6) = 9

Obliczamy granic ¾

e lewostronn ¾

a:

lim

x

!3

f (x) = lim

x

!3

x + 6
x

3

=

1:

Obliczamy granic ¾

e prawostronn ¾

a:

lim

x

!3

+

f (x) = lim

x

!3

+

x + 6
x

3

= +1:

5. Zbada´c ci ¾

ag÷

o´s´c nastepuj ¾

acych funkcji

(a)

f (x) =

8

<

:

x + 2

dla

x > 2

4

dla

x = 2

x

2

+ 2

dla

x < 2;

2

(b)

f (x) =

x + 1

dla

x < 0

2

x

dla

x

0:

Rozwi ¾

azania:

a Zauwa·

zmy, ·

ze funkcja f jest ci ¾

ag÷

a w przedziale (2; +1) jako funkcja

liniowa. Podobnie, funkcja f jest ci ¾

ag÷

a w przedziale ( 1; 2) jako funkcja

kwadratowa. Sprawdzamy zatem ci ¾

ag÷

o´s´c funkcji f w punkcie x

0

= 2: W

tym celu obliczamy granice jednostrone funkcji w punkcie x

0

:

lim

x

!2

+

f (x) = lim

x

!2

+

(x + 2) = 4;

lim

x

!2

f (x) = lim

x

!2

x

2

+ 2 =

2:

Poniewa·

z granice jednostronne funkcji w punkcie x

0

= 2 s ¾

a ró·

zne, zatem

nie istenieje granica funkcji f w punkcie x

0

= 2; a st ¾

ad funckja nie jest

ci ¾

ag÷

a w punkcie x

0

= 2:

b Zauwa·

zmy, ·

ze funkcja f jest ci ¾

ag÷

a w przedziale (0; +1) jako funkcja

wyk÷

adnicza. Podobnie, funkcja f jest ci ¾

ag÷

a w przedziale ( 1; 0) jako

funkcja liniowa.

Badamy ci ¾

ag÷

o´s´c funkcji f w punkcie x

0

= 0: Wyz-

naczamy granice jednostrone funkcji w punkcie x

0

:

lim

x

!0

+

f (x) = lim

x

!0

+

2

x

= 1;

lim

x

!0

f (x) = lim

x

!0

(x + 1) = 1:

Zatem istnieje granica funkcji f w punkcie x

0

lim

x

!0

f (x) = lim

x

!0

+

f (x) = lim

x

!0

f (x) = 1:

Jednocze´snie f (x

0

) = f (0) = 1;w konsekwencji

lim

x

!0

f (x) = f (0):

Stwierdzamy zatem, ·

ze f jest ci ¾

ag÷

a równie·

z w punkcie x

0

= 0:

2

Zadania do samodzielnego rozwi ¾

azania

1. Oblicz ( o ile istniej ¾

a) granice funkcji w podanym punkcie

(a) f (x) = 5x

2

3x + 4 w punkcie x

0

=

2;

(b) f (x) =

x

2

2x+1

x

2

1

w punkcie x

0

= 1;

(c) f (x) =

x

2

4x+4

x 2

w punkcie x

0

= 2;

3

(d) f (x) =

p

x+1

p

1 x

x

w punkcie x

0

= 0;

(e) f (x) =

p

1+x

2

1

p

25+x

2

5

w punkcie x

0

= 0;

(f) f (x) =

sin 5x
sin 2x

w punkcie x

0

= 0;

(g) f (x) = e

1

1

x

w punkcie x

0

=

1;

(h) f (x) =

x 1

3

p

x+26 3

w punkcie x

0

= 1;

(i) f (x) =

3

1

x2

+5

5

1

x2

+3

w punkcie x

0

= 0;

(j) f (x) = 2

x 2

w punkcie x

0

= 2;

(k) f (x) =

x+5
x+4

w punkcie x

0

=

4;

(l) f (x) =

x 3

x

2

9

w punkcie x

0

= 3;

÷

. f (x) =

2
5

2 x

w punkcie x

0

= 5

m. f (x) = 5

2

x

x+1

w punkcie x

0

=

1

n. f (x) =

(x 1)

p

2 x

(x

2

1)

w punkcie x

0

= 1:

2. Wyzanczy´c graniece funkcji f gdy x ! +1 oraz x ! 1:

(a) f (x) =

3x

2

+4

x 1

;

(b) f (x) =

x

2

+x+1

x

3

4

;

(c) f (x) =

7x

5

4x

3

x;

(d) f (x) = 3x

4

3x

3

+ 5;

(e) f (x) = e

1

1

x2

;

(f) f (x) =

2+cos x

x

2

;

(g) f (x) = 2

x

;

(h) f (x) = 3

1

x2

+1

;

(i) f (x) = 3

4x

2

x+1

;

(j) f (x) = 3

2x

2

x 3

;

(k) f (x) = log

2

4x

3

+1

x

3

;

(l) f (x) = log

2

9x

4

x

2

+3

x

4

+2

;

÷

. f (x) =

1
2

3x

3

x+5

;

m. f (x) = 4

x2 +4x+7

x

1

:

3. Obliczy´c granice jednostronne funkcji w podanym punkcie x

0

i stwiedzi´c,

czy funkcja posiada w granic ¾

e w punkcie x

0

(a) f (x) = x

2

x + 5 w punkcie x

0

= 1;

4

(b) f (x) =

1

x

2

4

w punkcie x

0

=

2;

(c) f (x) =

x

2

+6x+9

x+3

w punkcie x

0

=

3;

(d) f (x) =

p

2+x+

p

2 x

x+1

w punkcie x

0

=

1;

(e) f (x) =

1
4

1

x

w punkcie x

0

= 0:

4. Zbada´c ci ¾

ag÷

o´s´c nast ¾

epuj ¾

acych funkcji

(a)

f (x) =

x

dla

x > 0

x

2

dla

x

0;

(b)

f (x) =

8

<

:

x

3

+ 1

dla

x >

1

1

dla

x =

1

x + 1

dla

x <

1;

(c)

f (x) =

x 1

x

3

1

dla

x 6= 1

1
3

dla

x = 1;

(d)

f (x) =

3x 3

x 2

dla

x 6= 2

4

dla

x = 2;

(e)

f (x) =

(

log

2

1

x

2

+4

dla

x 6= 2

0

dla

x =

2;

(f)

f (x) =

2

x

dla

x

2

2x

dla

x > 2;

(g)

f (x) =

x

1

dla

x < 0

1

dla

x

0;

(h)

f (x) =

8

<

:

1
3

x

dla

x < 0

0

dla

x = 0

x

2

1

dla

x > 0:

5. Zbada´c ciag÷

o´s´c funkcji w zale·

zno´sci od parametru p

f (x) =

x

2

+ 3x + p

dla

x

1

5x

2

+ 3p + 1

dla

x > 1:

5

2.1

Odpowiedzi

1. (a) 30; (b) 0; (c) 0; (d) 1; (e) 5; (f ) 5=2; (g) e

1
2

; (h) 27; (i) 0; (j) 1; (k) nie

istnieje; (l)

1
6

; (÷

)

125

8

; (m) nie istnieje; (n)

1
2

.

3. (a) granica istnieje i jest równa 5; (b) granica nie istnieje; (c) granica

istnieje i jest równa 0; (d) granica nie istnieje; (e) granica nie istnieje.

4. (a) funkcja ciag÷

a; (b) funkcja nie jest ci ¾

ag÷

a; (c) funkcja ci ¾

ag÷

a; (d) funkcja

nie jest ci ¾

ag÷

a; (e) funkcja nie jest ci ¾

ag÷

a; (f) funkcja ci ¾

ag÷

a; (g) funkcja

ci ¾

ag÷

a; (h) funkcja nie jest ci ¾

ag÷

a.

5. Funkcja jest ciag÷

a dla p =

1.

6