Odpowiedzi do zadań z matematyki dla Towaroznawstwa - Zestaw IV

Zadanie 1
a) Wartość najmniejsza:

1

)

2

(





f

, wartość największa:

3

)

0

(



f

.

b) Wartość najmniejsza:

7

)

6

(





f

, wartość największa:

9

)

2

(



f

.

c) Wartość najmniejsza:

12

)

2

(



f

, wartość największa:

20

)

4

(



f

.

d) Wartość najmniejsza:

 

1

3

)

0

(



 f

f

, wartość największa:

 

5

4

)

1

(



 f

f

.

e) Wartość najmniejsza:

0

)

2

(





f

, wartość największa:

32

)

2

(



f

.

f) Wartość najmniejsza:

4

1

4

1

















f

, wartość największa:

2

)

4

(



f

.

g) Wartość najmniejsza:

12

)

4

(



f

, wartość największa:

20

)

16

(



f

.

h) Wartość najmniejsza:

1

)

(







f

, wartość największa:

2

4













 

f

.

Zadanie 2

a)

R

D

f



,

 

0



x

f

brak miejsc zerowych,

 

 

















x

f

x

f

x

x

lim

lim

,

minimum lokalne dla

1





x

, wartość minimalna

 

2

1 



f

,

funkcja malejąca dla





1

, 







x

i rosnąca dla











,

1

x

,

funkcja wypukła w całej dziedzinie,
brak punktów przegięcia.

b)

R

D

f



, miejsca zerowe:

 

5

1

0













x

x

x

f

,

 

 

















x

f

x

f

x

x

lim

lim

,

maksimum lokalne dla

2



x

, wartość maqksymalna

 

9

2 

f

,

funkcja malejąca dla









,

2

x

i rosnąca dla





2

,





x

,

funkcja wklęsła w całej dziedzinie,
brak punktów przegięcia.

c)

R

D

f



, miejsca zerowe:

 

21

0

24

0

















x

x

x

x

f

,

 











x

f

x

lim

,

 









x

f

x

lim

,

maksimum lokalne dla

14





x

, wartość maksymalna





4900

14 



f

,

minimum lokalne dla

12



x

, wartość minimalna

 

3888

12





f

,

funkcja malejąca dla





12

,

14





x

i rosnąca dla



 













,

12

14

,

x

,

funkcja wklęsła dla





1

, 







x

i wypukła dla











,

1

x

,

punkt przegięcia w

1





x

.

d)

R

D

f



, miejsca zerowe:

 

15

0

48

0

















x

x

x

x

f

,

 











x

f

x

lim

,

 









x

f

x

lim

,

maksimum lokalne dla

8



x

, wartość maksymalna

 

3136

8 

f

,

minimum lokalne dla

30





x

, wartość minimalna





24300

30







f

,

funkcja rosnąca dla





8

,

30





x

i malejąca dla



 













,

8

30

,

x

,

funkcja wypukła dla





11

, 







x

i wklęsła dla











,

11

x

,

punkt przegięcia w

11





x

.

e)

R

D

f



, miejsca zerowe:

 

9

0

15

0

















x

x

x

x

f

,

 











x

f

x

lim

,

 









x

f

x

lim

,

maksimum lokalne dla

5



x

, wartość maksymalna

 

400

5 

f

,

minimum lokalne dla

9





x

, wartość minimalna





972

9







f

,

funkcja rosnąca dla





5

,

9





x

i malejąca dla



 













,

5

9

,

x

,

funkcja wypukła dla





2

, 







x

i wklęsła dla











,

2

x

,

punkt przegięcia w

2





x

.

f)

R

D

f



, miejsca zerowe:

 

11

2

13

0

















x

x

x

x

f

,

 











x

f

x

lim

,

 









x

f

x

lim

,

maksimum lokalne dla

7





x

, wartość maksymalna





972

7 



f

,

minimum lokalne dla

7



x

, wartość minimalna

 

400

7





f

,

funkcja malejąca dla





7

,

7





x

i rosnąca dla



 













,

7

7

,

x

,

funkcja wklęsła dla





0

,







x

i wypukła dla









,

0

x

,

punkt przegięcia w

0



x

.

g)

R

D

f



, miejsca zerowe:

 

5

1

1

5

0























x

x

x

x

x

f

,

 











x

f

x

lim

,

 









x

f

x

lim

,

maksimum lokalne dla

0



x

, wartość maksymalna

 

5

0 

f

,

minima lokalne dla

3





x

oraz

3



x

, wartość minimalna:





 

4

3

3









f

f

,

funkcja malejąca dla



 



3

,

0

3

,











x

i rosnąca dla



 











,

3

0

,

3

x

,

funkcja wklęsła dla





1

,

1





x

i wypukła dla



 















,

1

1

,

x

,

punkty przegięcia w

1





x

oraz

1



x

.

h)

R

D

f



, miejsce zerowe:

 

2

0









x

x

f

,

 











x

f

x

lim

,

 









x

f

x

lim

,

nie ma ekstremów,
funkcja rosnąca dla



 











,

0

0

,

x

,

funkcja wklęsła dla





0

,







x

i wypukła dla









,

0

x

,

punkt przegięcia w

0



x

.

i)

R

D

f



, miejsca zerowe:

 

1

1

0













x

x

x

f

,

 











x

f

x

lim

,

 









x

f

x

lim

,

minimum lokalne dla

0



x

, wartość minimalna

 

1

0





f

,

funkcja malejąca dla





0

,







x

i rosnąca dla









,

0

x

,

funkcja wypukła dla



 













,

0

0

,

x

,

nie ma punktów przegięcia.

Zadanie 3

a)

 

0



 R

D

f

, brak miejsc zerowych,

 

0

lim









x

f

x

,

 









x

f

x

0

lim

,

 









x

f

x

0

lim

,

 

0

lim







x

f

x

,

brak ekstremów i punktów przegięcia,
funkcja malejąca w całej dziedzinie,
funkcja wklęsła dla





0

,







x

i wypukła dla









,

0

x

.

b)

 

3





 R

D

f

, miejsce zerowe:

 

5

.

3

0









x

x

f

,

 

2

lim









x

f

x

,

 











x

f

x

3

lim

,

 









x

f

x

3

lim

,

 

2

lim







x

f

x

,

brak ekstremów i punktów przegięcia,
funkcja malejąca w całej dziedzinie,
funkcja wklęsła dla





3

, 







x

i wypukła dla











,

3

x

.

c)

 

0



 R

D

f

, nie ma miejsc zerowych

 











x

f

x

lim

,

 









x

f

x

0

lim

,

 









x

f

x

0

lim

,

 









x

f

x

lim

,

maksimum lokalne dla

1





x

, wartość maksymalna

 

2

1







f

,

minimum lokalne dla

1



x

, wartość minimalna

 

2

1 

f

,

funkcja malejąca dla



 



1

,

0

0

,

1







x

i rosnąca dla



 













,

1

1

,

x

,

funkcja wklęsła dla





0

,







x

i wypukła dla









,

0

x

,

punkt przegięcia nie istnieje.

d)

 

1





 R

D

f

, miejsce zerowe:

 

1

0







x

x

f

,

 

1

lim









x

f

x

,

 











x

f

x

1

lim

,

 











x

f

x

1

lim

,

 

1

lim







x

f

x

,

 





2

1

2







x

x

f

,

 





3

1

4









x

x

f

,

nie ma ekstremów ani punktów przegięcia,
funkcja rosnąca w całej dziedzinie,
funkcja wypukła dla





1

, 







x

i wklęsła dla











,

1

x

.

e)

 

1



 R

D

f

, miejsca zerowe:

 

0

0







x

x

f

,

 











x

f

x

lim

,

 









x

f

x

1

lim

,

 









x

f

x

1

lim

,

 









x

f

x

lim

,

 





2

2

1

2









x

x

x

x

f

,

 





3

1

2







x

x

f

,

maksimum lokalne dla

0



x

, wartość maksymalna

 

0

0 

f

,

minimum lokalne dla

2



x

, wartość minimalna

 

4

2 

f

,

funkcja malejąca dla



 



2

,

1

1

,

0





x

i rosnąca dla



 











,

2

0

,

x

,

funkcja wklęsła dla





1

,







x

i wypukła dla







 ,

1

x

,

nie ma punktów przegięcia.

f)

 

2





 R

D

f

, miejsca zerowe:

 

0

0







x

x

f

,

 

0

lim









x

f

x

,

 











x

f

x

2

lim

,

 











x

f

x

2

lim

,

 

0

lim







x

f

x

,

 





3

2

2









x

x

x

f

,

 





4

2

7

2









x

x

x

f

,

maksimum lokalne dla

2



x

, wartość maksymalna

 

8

1

2 

f

,

funkcja malejąca dla



 















,

2

2

,

x

i rosnąca dla





2

,

2





x

,

funkcja wklęsła dla



 



5

.

3

,

2

2

,













x

i wypukła dla









,

5

.

3

x

,

punkt przegięcia w

5

.

3



x

.

g)

 

1





 R

D

f

, miejsca zerowe:

 

2

0









x

x

f

,

 

0

lim









x

f

x

,

 









x

f

x

0

lim

,

 









x

f

x

0

lim

,

 

0

lim







x

f

x

,

 





3

1

3











x

x

x

f

,

 





4

1

8

2









x

x

x

f

,

minimum lokalne dla

3





x

, wartość minimalna

 

4

1

3







f

,

funkcja malejąca dla



 

















,

1

3

,

x

i rosnąca dla





1

,

3 





x

,

funkcja wklęsła dla





4

, 







x

i wypukła dla



 















,

1

1

,

4

x

,

punkt przegięcia w

4





x

.

h)









,

0

f

D

, brak miejsc zerowych,

 









x

f

x

0

lim

,

 









x

f

x

lim

,

minimum lokalne dla

1



x

, wartość minimalna

 

2

1 

f

,

funkcja malejąca dla





1

,

0



x

i rosnąca dla







 ,

1

x

,

funkcja wypukła dla





3

,

0



x

i wklęsła dla







 ,

3

x

,

punkt przegięcia w

3



x

.

Zadanie 4

Zbadaj przebieg zmienności funkcji. Narysuj wykresy.

a)

R

D

f



, miejsca zerowe:

 

0

0







x

x

f

,

 











x

f

x

lim

,

 









x

f

x

lim

,

nie ma ekstremów,
funkcja rosnąca w całej dziedzinie,
funkcja wklęsła dla





0

,







x

i wypukła dla









,

0

x

,

punkt przegięcia w

0



x

.

b)

R

D

f



, nie ma miejsc zerowych,

 











x

f

x

lim

,

 









x

f

x

lim

,

minimum lokalne dla

0



x

, wartość minimalna:

 

1

0 

f

,

funkcja malejąca dla





0

,







x

i rosnąca dla









,

0

x

,

funkcja wklęsła w całej dziedzinie,
brak punktów przegięcia.

c)

R

D

f



, miejsca zerowe:

 

0

0







x

x

f

,

 









x

f

x

lim

,

minimum lokalne dla

1





x

, wartość minimalna:

 

e

f

1

1







,

funkcja malejąca dla





1

, 







x

i rosnąca dla











,

1

x

,

funkcja wklęsła dla





2

, 







x

i wypukła dla











,

2

x

,

punkt przegięcia w

2





x

.

d)

 

0



 R

D

f

, nie ma miejsc zerowych,

 

0

lim









x

f

x

,

 









x

f

x

0

lim

,

 









x

f

x

0

lim

,

minimum lokalne dla

1



x

, wartość minimalna:

 

e

f



1

,

funkcja malejąca dla



 



1

,

0

0

,









x

i rosnąca dla







 ,

1

x

,

funkcja wklęsła dla





0

,







x

i wypukła dla









,

0

x

,

brak punktów przegięcia.

e)









,

0

f

D

, miejsce zerowe:

 

1

0







x

x

f

,

 









x

f

x

lim

,

minimum lokalne dla

e

x

1



, wartość minimalna:

e

e

f

1

1

















,

funkcja malejąca dla















e

x

1

,

0

i rosnąca dla















,

1

e

,

funkcja wypukła w całej dziedzinie,
brak punktów przegięcia.


Zadanie 5

a)

R

D

f



, miejsce zerowe:

 

1

0









x

x

f

,

 











x

f

x

lim

,

maksimum lokalne dla

0



x

, wartość maksymalna

 

1

0 

f

,

funkcja rosnąca dla





0

,







x

i malejąca dla









,

0

x

,

funkcja wklęsła dla





1

,







x

i wypukła dla







 ,

1

x

,

punkt przegięcia w

1



x

.

b)

R

D

f



, miejsce zerowe:

 

0

0







x

x

f

,

 









x

f

x

lim

,

maksimum lokalne dla

2





x

, wartość maksymalna





54

.

0

4

2

2







e

f

,

minimum lokalne dla

0



x

, wartość minimalna

 

0

0 

f

,

funkcja malejąca dla





0

,

2





x

i rosnąca dla



 













,

0

2

,

x

,

funkcja wklęsła dla





2

2

,

2

2











x

i wypukła dla



 





















,

2

2

2

2

,

x

,

dwa punkty przegięcia:

2

2 





x

oraz

2

2 





x

.

c)

R

D

f



, nie ma miejsc zerowych,

 









x

f

x

lim

,

nie ma ekstremów
funkcja rosnąca dla



 

















,

1

1

,

x

, czyli w całej dziedzinie poza punktem

1





x

,

funkcja wklęsła dla





1

,

3 





x

i wypukła dla



 

















,

1

3

,

x

,

dwa punkty przegięcia

3





x

oraz

1





x

.

d)

 

1



 R

D

f

, nie ma miejsc zerowych,

 









x

f

x

1

lim

,

 









x

f

x

1

lim

,

 

0

lim







x

f

x

,

 





2

1













x

e

x

x

f

x

,

 





x

e

x

x

x

f













3

2

1

1

,

maksimum lokalne dla

0



x

, wartość maksymalna

 

1

0





f

,

funkcja rosnąca dla





0

,







x

i malejąca dla



 









,

1

1

,

0

x

,

funkcja wklęsła dla





1

,







x

i wypukła dla







 ,

1

x

,

brak punktów przegięcia.

e)





0

,







f

D

, miejsce zerowe:

 

1

0









x

x

f

,

 











x

f

x

lim

,

maksimum lokalne dla

e

x

1





, wartość maksymalna

e

e

f

1

1

















,

funkcja rosnąca dla





















e

x

1

,

i malejąca dla

















0

,

1

e

x

,

funkcja wklęsła w całej dziedzinie,
nie ma punktów przegięcia.

f)









,

0

f

D

, miejsce zerowe:

 

1

0







x

x

f

,

 









x

f

x

lim

,

minimum lokalne dla

61

.

0

1





e

x

, wartość minimalna

18

.

0

2

1

1





















e

e

f

,

funkcja malejąca dla















e

x

1

,

0

i rosnąca dla

















,

1

e

x

,

funkcja wklęsła dla

















3

1

,

0

e

x

i wypukła dla



















,

1

3

e

x

,

punkt przegięcia w

22

.

0

1

2

3

3









e

e

x

.

g)









,

0

f

D

, miejsce zerowe:

 

1

0







x

x

f

,

 









x

f

x

0

lim

,

maksimum lokalne dla

6

.

1





e

x

, wartość maksymalna

 

e

e

f

2

1



,

funkcja rosnąca dla





e

x

,

0



i malejąca dla









,

e

x

,

funkcja wklęsła dla

















6

5

,

0 e

x

i wypukła dla



















,

6

5

e

x

,

punkt przegięcia w

3

.

2

6

5



 e

x

.

Zadanie 6

a)









,

3

f

D

, miejsce zerowe:

 

3

0







x

x

f

,

 









x

f

x

lim

,

nie ma ekstremów ani punktów przegięcia,
funkcja rosnąca i wklęsła dla







 ,

3

x

,

b)

R

D

f



, nie ma miejsc zerowych,

 











x

f

x

lim

,

 









x

f

x

lim

,

 

4

2







x

x

x

f

,

 





2

3

2

4

4







x

x

f

,

minimum lokalne dla

0



x

, wartość minimalna

 

2

12 

f

,

funkcja malejąca dla





0

,







x

i rosnąca dla









,

0

x

,

funkcja wypukła w całej dziedzinie,
nie ma punktów przegięcia.

c)

















,

2

2

,

f

D

, miejsca zerowe:

 

2

2

0













x

x

x

f

,

 











x

f

x

lim

,

 





0

2

lim

2













f

x

f

x

,

 

 

0

2

lim

2









f

x

f

x

,

 









x

f

x

lim

,

 

4

2







x

x

x

f

,

 





2

3

2

4

4









x

x

f

,

nie ma ekstremów ani punktów przegięcia,
funkcja malejąca dla





2

, 







x

i rosnąca dla









,

2

x

,

funkcja wklęsła w całej dziedzinie.

d)

R

D

f



, nie ma miejsc zerowych,

 











x

f

x

lim

,

 









x

f

x

lim

,

minimum lokalne dla

0



x

, wartość minimalna

 

1

0 

f

,

funkcja malejąca dla





0

,







x

i rosnąca dla









,

0

x

,

funkcja wypukła w całej dziedzinie,
nie ma punktów przegięcia.

e)

R

D

f



, nie ma miejsc zerowych,

 

0

lim









x

f

x

,

 

0

lim







x

f

x

,

maksimum lokalne dla

0



x

, wartość maksymalna

 

1

0 

f

,

funkcja rosnąca dla





0

,







x

i malejąca dla









,

0

x

,

funkcja wklęsła dla















2

1

,

2

1

x

i wypukła dla

































,

2

1

2

1

,

x

,

dwa punkty przegięcia:

2

1





x

oraz

2

1



x

.

f)

R

D

f



, miejsce zerowe:

 

0

0







x

x

f

,

 











x

f

x

lim

,

 









x

f

x

lim

,

 

1

2

2







x

x

x

f

,

 





2

2

2

1

2

2









x

x

x

f

,

minimum lokalne dla

0



x

, wartość minimalna

 

0

0 

f

,

funkcja malejąca dla





0

,







x

i rosnąca dla









,

0

x

,

funkcja wklęsła dla



 















,

1

1

,

x

i wypukła dla





1

,

1





x

,

dwa punkty przegięcia:

1





x

oraz

1



x

.

g)



 















,

1

1

,

f

D

, miejsca zerowe:

 

2

2

0













x

x

x

f

,

 











x

f

x

lim

,

 











x

f

x

1

lim

,

 









x

f

x

1

lim

,

 









x

f

x

lim

,

 

1

2

2







x

x

x

f

,

 





2

2

2

1

1

2













x

x

x

f

,

brak ekstremów i punktów przegięcia,
funkcja malejąca dla





1

, 







x

i rosnąca dla







 ,

1

x

,

funkcja wklęsła w całej dziedzinie.

h)



 













,

5

1

,

f

D

, miejsca zerowe:

 

5

3

5

3

0















x

x

x

f

,

 











x

f

x

lim

,

 









x

f

x

1

lim

,

 









x

f

x

5

lim

,

 









x

f

x

lim

,

brak ekstremów i punktów przegięcia,
funkcja malejąca dla





1

,







x

i rosnąca dla







 ,

5

x

,

funkcja wklęsła w całej dziedzinie.

Zadanie 7
Rozwiązaniem zadania są liczby a = 2 i b = 4. Najmniejsza suma 2a

2

+b

2

= 24.

Zadanie 8
Aby uzyskać największy iloczyn liczbę 49 należy rozłożyć na dwa równe składniki a = b = 49/2. Ich
iloczyn wynosi wówczas 600,25.

Zadanie 9
Rozwiązaniem zadania są liczby a = 18 i b = 6. Największy iloczyn ab = 108.

Zadanie 10

Obwód będzie najmniejszy, gdy prostokąt będzie kwadratem o bokach równych

S

b

a





Zadanie 11

Pole będzie największe, gdy prostokąt będzie kwadratem o bokach

4

L

b

a





Zadanie 12
Krawędzie podstawy powinny mieć długość 3 cm oraz 6 cm, a wysokość powinna być równa 4 cm.

Zadanie 13

Objętość prostopadłościanu będzie największa dla

3

1

1 



x

. Długości krawędzi będą wtedy

równe:

3

3

3 



a

,

3

3



b

oraz

3

3

3 



c

. Maksymalna objętość wynosi

3

3

2



V

.

Zadanie 14
Przekątna będzie najmniejsza, gdy prostopadłościan będzie sześcianem o krawędziach podstawy

i wysokości równych

3

V

h

a





. Minimalna długość przekątnej wynosi

3

3

V

l





.

Zadanie 15

Koszt przebycia drogi będzie najmniejszy przy prędkości

3

2b

a

v 

.