Odpowiedzi do zadań z matematyki dla Towaroznawstwa - Zestaw IV 

Zadanie 1 
a)  Wartość najmniejsza:

1

)

2

(





f

, wartość największa:

3

)

0

(



f

. 

b)  Wartość najmniejsza:

7

)

6

(





f

, wartość największa:

9

)

2

(



f

. 

c)  Wartość najmniejsza:

12

)

2

(



f

, wartość największa:

20

)

4

(



f

. 

d)  Wartość najmniejsza:

 

1

3

)

0

(



 f

f

, wartość największa:

 

5

4

)

1

(



 f

f

. 

e)  Wartość najmniejsza:

0

)

2

(





f

, wartość największa:

32

)

2

(



f

. 

f)  Wartość najmniejsza:

4

1

4

1

















f

, wartość największa:

2

)

4

(



f

. 

g)  Wartość najmniejsza:

12

)

4

(



f

, wartość największa:

20

)

16

(



f

. 

h)  Wartość najmniejsza:

1

)

(







f

, wartość największa:

2

4













 

f

. 

Zadanie 2 

a) 

R

D

f



, 

 

0



x

f

 brak miejsc zerowych,  

 

 

















x

f

x

f

x

x

lim

lim

,  

minimum lokalne dla 

1





x

, wartość minimalna 

 

2

1 



f

, 

funkcja malejąca dla 





1

, 







x

 i rosnąca dla 











,

1

x

, 

funkcja wypukła w całej dziedzinie, 
brak punktów przegięcia. 

b) 

R

D

f



, miejsca zerowe:

 

5

1

0













x

x

x

f

,  

 

 

















x

f

x

f

x

x

lim

lim

,  

maksimum lokalne dla 

2



x

, wartość maqksymalna 

 

9

2 

f

, 

funkcja malejąca dla 









,

2

x

 i rosnąca dla 





2

,





x

, 

funkcja wklęsła w całej dziedzinie, 
brak punktów przegięcia. 

c) 

R

D

f



, miejsca zerowe:

 

21

0

24

0

















x

x

x

x

f

,  

 











x

f

x

lim

, 

 









x

f

x

lim

,  

maksimum lokalne dla 

14





x

, wartość maksymalna 





4900

14 



f

, 

minimum lokalne dla 

12



x

, wartość minimalna 

 

3888

12





f

, 

funkcja malejąca dla 





12

,

14





x

 i rosnąca dla 



 













,

12

14

,

x

, 

funkcja wklęsła dla 





1

, 







x

 i wypukła dla 











,

1

x

, 

punkt przegięcia w 

1





x

. 

d) 

R

D

f



, miejsca zerowe:

 

15

0

48

0

















x

x

x

x

f

,  

 











x

f

x

lim

, 

 









x

f

x

lim

,  

maksimum lokalne dla 

8



x

, wartość maksymalna 

 

3136

8 

f

, 

minimum lokalne dla 

30





x

, wartość minimalna 





24300

30







f

, 

funkcja rosnąca dla 





8

,

30





x

 i malejąca dla 



 













,

8

30

,

x

, 

funkcja wypukła dla 





11

, 







x

 i wklęsła dla 











,

11

x

, 

punkt przegięcia w 

11





x

. 

e) 

R

D

f



, miejsca zerowe:

 

9

0

15

0

















x

x

x

x

f

,  

 











x

f

x

lim

, 

 









x

f

x

lim

,  

maksimum lokalne dla 

5



x

, wartość maksymalna 

 

400

5 

f

, 

minimum lokalne dla 

9





x

, wartość minimalna 





972

9







f

, 

funkcja rosnąca dla 





5

,

9





x

 i malejąca dla 



 













,

5

9

,

x

, 

funkcja wypukła dla 





2

, 







x

 i wklęsła dla 











,

2

x

, 

punkt przegięcia w 

2





x

. 

f) 

R

D

f



, miejsca zerowe:

 

11

2

13

0

















x

x

x

x

f

,  

 











x

f

x

lim

, 

 









x

f

x

lim

,  

maksimum lokalne dla 

7





x

, wartość maksymalna 





972

7 



f

, 

minimum lokalne dla 

7



x

, wartość minimalna 

 

400

7





f

, 

funkcja malejąca dla 





7

,

7





x

 i rosnąca dla 



 













,

7

7

,

x

, 

funkcja wklęsła dla 





0

,







x

 i wypukła dla 









,

0

x

, 

punkt przegięcia w 

0



x

. 

g) 

R

D

f



, miejsca zerowe:

 

5

1

1

5

0























x

x

x

x

x

f

,  

 











x

f

x

lim

, 

 









x

f

x

lim

,  

maksimum lokalne dla 

0



x

, wartość maksymalna 

 

5

0 

f

, 

minima lokalne dla 

3





x

 oraz 

3



x

, wartość minimalna: 





 

4

3

3









f

f

, 

funkcja malejąca dla 



 



3

,

0

3

,











x

 i rosnąca dla 



 











,

3

0

,

3

x

, 

funkcja wklęsła dla 





1

,

1





x

 i wypukła dla 



 















,

1

1

,

x

, 

punkty przegięcia w 

1





x

 oraz 

1



x

. 

h) 

R

D

f



, miejsce zerowe:

 

2

0









x

x

f

,  

 











x

f

x

lim

, 

 









x

f

x

lim

,  

nie ma ekstremów, 
funkcja rosnąca dla 



 











,

0

0

,

x

, 

funkcja wklęsła dla 





0

,







x

 i wypukła dla 









,

0

x

, 

punkt przegięcia w 

0



x

. 

i) 

R

D

f



, miejsca zerowe:

 

1

1

0













x

x

x

f

,  

 











x

f

x

lim

, 

 









x

f

x

lim

,  

minimum lokalne dla 

0



x

, wartość minimalna 

 

1

0





f

, 

funkcja malejąca dla 





0

,







x

 i rosnąca dla 









,

0

x

, 

funkcja wypukła dla 



 













,

0

0

,

x

, 

nie ma punktów przegięcia. 

Zadanie 3 

a) 

 

0



 R

D

f

, brak miejsc zerowych,  

 

0

lim









x

f

x

, 

 









x

f

x

0

lim

, 

 









x

f

x

0

lim

, 

 

0

lim







x

f

x

,  

brak ekstremów i punktów przegięcia, 
funkcja malejąca w całej dziedzinie, 
funkcja wklęsła dla 





0

,







x

 i wypukła dla 









,

0

x

. 

b) 

 

3





 R

D

f

, miejsce zerowe:

 

5

.

3

0









x

x

f

, 

 

2

lim









x

f

x

, 

 











x

f

x

3

lim

, 

 









x

f

x

3

lim

, 

 

2

lim







x

f

x

,  

brak ekstremów i punktów przegięcia, 
funkcja malejąca w całej dziedzinie, 
funkcja wklęsła dla 





3

, 







x

 i wypukła dla 











,

3

x

. 

c) 

 

0



 R

D

f

, nie ma miejsc zerowych 

 











x

f

x

lim

, 

 









x

f

x

0

lim

, 

 









x

f

x

0

lim

, 

 









x

f

x

lim

,  

maksimum lokalne dla 

1





x

, wartość maksymalna 

 

2

1







f

, 

minimum lokalne dla 

1



x

, wartość minimalna 

 

2

1 

f

, 

funkcja malejąca dla 



 



1

,

0

0

,

1







x

 i rosnąca dla 



 













,

1

1

,

x

, 

funkcja wklęsła dla 





0

,







x

 i wypukła dla 









,

0

x

, 

punkt przegięcia nie istnieje. 

d) 

 

1





 R

D

f

, miejsce zerowe:

 

1

0







x

x

f

,  

 

1

lim









x

f

x

, 

 











x

f

x

1

lim

, 

 











x

f

x

1

lim

, 

 

1

lim







x

f

x

,  

 





2

1

2







x

x

f

, 

 





3

1

4









x

x

f

, 

nie ma ekstremów ani punktów przegięcia, 
funkcja rosnąca w całej dziedzinie, 
funkcja wypukła dla 





1

, 







x

 i wklęsła dla 











,

1

x

. 

e) 

 

1



 R

D

f

, miejsca zerowe:

 

0

0







x

x

f

,  

 











x

f

x

lim

, 

 









x

f

x

1

lim

, 

 









x

f

x

1

lim

, 

 









x

f

x

lim

,  

 





2

2

1

2









x

x

x

x

f

, 

 





3

1

2







x

x

f

, 

maksimum lokalne dla 

0



x

, wartość maksymalna 

 

0

0 

f

, 

minimum lokalne dla 

2



x

, wartość minimalna 

 

4

2 

f

, 

funkcja malejąca dla 



 



2

,

1

1

,

0





x

 i rosnąca dla 



 











,

2

0

,

x

, 

funkcja wklęsła dla 





1

,







x

 i wypukła dla 







 ,

1

x

, 

nie ma punktów przegięcia. 

f) 

 

2





 R

D

f

, miejsca zerowe:

 

0

0







x

x

f

,  

 

0

lim









x

f

x

, 

 











x

f

x

2

lim

, 

 











x

f

x

2

lim

, 

 

0

lim







x

f

x

,  

 





3

2

2









x

x

x

f

, 

 





4

2

7

2









x

x

x

f

, 

maksimum lokalne dla 

2



x

, wartość maksymalna 

 

8

1

2 

f

, 

funkcja malejąca dla 



 















,

2

2

,

x

 i rosnąca dla 





2

,

2





x

, 

funkcja wklęsła dla 



 



5

.

3

,

2

2

,













x

 i wypukła dla 









,

5

.

3

x

, 

punkt przegięcia w 

5

.

3



x

. 

g) 

 

1





 R

D

f

, miejsca zerowe:

 

2

0









x

x

f

,  

 

0

lim









x

f

x

, 

 









x

f

x

0

lim

, 

 









x

f

x

0

lim

, 

 

0

lim







x

f

x

,  

 





3

1

3











x

x

x

f

, 

 





4

1

8

2









x

x

x

f

, 

minimum lokalne dla 

3





x

, wartość minimalna 

 

4

1

3







f

, 

funkcja malejąca dla 



 

















,

1

3

,

x

 i rosnąca dla 





1

,

3 





x

, 

funkcja wklęsła dla 





4

, 







x

 i wypukła dla 



 















,

1

1

,

4

x

, 

punkt przegięcia w 

4





x

. 

h) 









,

0

f

D

, brak miejsc zerowych,  

 









x

f

x

0

lim

, 

 









x

f

x

lim

,  

minimum lokalne dla 

1



x

, wartość minimalna 

 

2

1 

f

, 

funkcja malejąca dla 





1

,

0



x

 i rosnąca dla 







 ,

1

x

, 

funkcja wypukła dla 





3

,

0



x

 i wklęsła dla 







 ,

3

x

, 

punkt przegięcia w 

3



x

. 

 
Zadanie 4 

Zbadaj przebieg zmienności funkcji. Narysuj wykresy.  

a) 

R

D

f



, miejsca zerowe:

 

0

0







x

x

f

,  

 











x

f

x

lim

, 

 









x

f

x

lim

,  

nie ma ekstremów, 
funkcja rosnąca w całej dziedzinie, 
funkcja wklęsła dla 





0

,







x

 i wypukła dla 









,

0

x

, 

punkt przegięcia w 

0



x

. 

b) 

R

D

f



, nie ma miejsc zerowych,  

 











x

f

x

lim

, 

 









x

f

x

lim

,  

minimum lokalne dla 

0



x

, wartość minimalna: 

 

1

0 

f

, 

funkcja malejąca dla 





0

,







x

 i rosnąca dla 









,

0

x

, 

funkcja wklęsła w całej dziedzinie, 
brak punktów przegięcia. 

c) 

R

D

f



, miejsca zerowe:

 

0

0







x

x

f

,  

 









x

f

x

lim

,  

minimum lokalne dla 

1





x

, wartość minimalna: 

 

e

f

1

1







, 

funkcja malejąca dla 





1

, 







x

 i rosnąca dla 











,

1

x

, 

funkcja wklęsła dla 





2

, 







x

 i wypukła dla 











,

2

x

, 

punkt przegięcia w 

2





x

. 

d) 

 

0



 R

D

f

, nie ma miejsc zerowych,  

 

0

lim









x

f

x

, 

 









x

f

x

0

lim

, 

 









x

f

x

0

lim

,  

minimum lokalne dla 

1



x

 , wartość minimalna: 

 

e

f



1

, 

funkcja malejąca dla 



 



1

,

0

0

,









x

 i rosnąca dla 







 ,

1

x

, 

funkcja wklęsła dla 





0

,







x

 i wypukła dla 









,

0

x

, 

brak punktów przegięcia. 

e) 









,

0

f

D

, miejsce zerowe:

 

1

0







x

x

f

,  

 









x

f

x

lim

,  

minimum lokalne dla 

e

x

1



, wartość minimalna: 

e

e

f

1

1

















, 

funkcja malejąca dla 















e

x

1

,

0

 i rosnąca dla 















,

1

e

, 

funkcja wypukła w całej dziedzinie, 
brak punktów przegięcia. 
 
 
Zadanie 5 

a) 

R

D

f



, miejsce zerowe:

 

1

0









x

x

f

,  

 











x

f

x

lim

, 

maksimum lokalne dla 

0



x

, wartość maksymalna 

 

1

0 

f

, 

funkcja rosnąca dla 





0

,







x

 i malejąca dla 









,

0

x

, 

funkcja wklęsła dla 





1

,







x

 i wypukła dla 







 ,

1

x

, 

punkt przegięcia w 

1



x

. 

b) 

R

D

f



, miejsce zerowe:

 

0

0







x

x

f

,  

 









x

f

x

lim

,  

maksimum lokalne dla 

2





x

, wartość maksymalna 





54

.

0

4

2

2







e

f

, 

minimum lokalne dla 

0



x

, wartość minimalna 

 

0

0 

f

, 

funkcja malejąca dla 





0

,

2





x

 i rosnąca dla 



 













,

0

2

,

x

, 

funkcja wklęsła dla 





2

2

,

2

2











x

 i wypukła dla 



 





















,

2

2

2

2

,

x

, 

dwa punkty przegięcia: 

2

2 





x

 oraz 

2

2 





x

. 

 
c) 

R

D

f



, nie ma miejsc zerowych, 

 









x

f

x

lim

, 

nie ma ekstremów 
funkcja rosnąca dla 



 

















,

1

1

,

x

, czyli w całej dziedzinie poza punktem 

1





x

, 

funkcja wklęsła dla 





1

,

3 





x

 i wypukła dla 



 

















,

1

3

,

x

, 

dwa punkty przegięcia 

3





x

 oraz 

1





x

. 

d) 

 

1



 R

D

f

, nie ma miejsc zerowych, 

 









x

f

x

1

lim

, 

 









x

f

x

1

lim

, 

 

0

lim







x

f

x

, 

 





2

1













x

e

x

x

f

x

, 

 





x

e

x

x

x

f













3

2

1

1

, 

maksimum lokalne dla 

0



x

, wartość maksymalna 

 

1

0





f

, 

funkcja rosnąca dla 





0

,







x

 i malejąca dla 



 









,

1

1

,

0

x

, 

funkcja wklęsła dla 





1

,







x

 i wypukła dla 







 ,

1

x

, 

brak punktów przegięcia. 

e) 





0

,







f

D

, miejsce zerowe:

 

1

0









x

x

f

, 

 











x

f

x

lim

, 

maksimum lokalne dla 

e

x

1





, wartość maksymalna 

e

e

f

1

1

















, 

funkcja rosnąca dla 





















e

x

1

,

 i malejąca dla 

















0

,

1

e

x

, 

funkcja wklęsła w całej dziedzinie, 
nie ma punktów przegięcia. 

f) 









,

0

f

D

, miejsce zerowe:

 

1

0







x

x

f

,  

 









x

f

x

lim

,  

minimum lokalne dla 

61

.

0

1





e

x

, wartość minimalna 

18

.

0

2

1

1





















e

e

f

, 

funkcja malejąca dla 















e

x

1

,

0

 i rosnąca dla 

















,

1

e

x

, 

funkcja wklęsła dla 

















3

1

,

0

e

x

 i wypukła dla 



















,

1

3

e

x

, 

punkt przegięcia w 

22

.

0

1

2

3

3









e

e

x

. 

 
g) 









,

0

f

D

, miejsce zerowe:

 

1

0







x

x

f

, 

 









x

f

x

0

lim

, 

maksimum lokalne dla 

6

.

1





e

x

, wartość maksymalna 

 

e

e

f

2

1



, 

funkcja rosnąca dla 





e

x

,

0



 i malejąca dla 









,

e

x

, 

funkcja wklęsła dla 

















6

5

,

0 e

x

 i wypukła dla 



















,

6

5

e

x

, 

punkt przegięcia w 

3

.

2

6

5



 e

x

. 

 
 
Zadanie 6 

a) 









,

3

f

D

, miejsce zerowe:

 

3

0







x

x

f

,  

 









x

f

x

lim

,  

nie ma ekstremów ani punktów przegięcia, 
funkcja rosnąca i wklęsła dla 







 ,

3

x

, 

b) 

R

D

f



, nie ma miejsc zerowych,  

 











x

f

x

lim

, 

 









x

f

x

lim

,  

 

4

2







x

x

x

f

, 

 





2

3

2

4

4







x

x

f

, 

minimum lokalne dla 

0



x

, wartość minimalna 

 

2

12 

f

, 

funkcja malejąca dla 





0

,







x

 i rosnąca dla 









,

0

x

, 

funkcja wypukła w całej dziedzinie, 
nie ma punktów przegięcia. 

c) 

















,

2

2

,

f

D

, miejsca zerowe:

 

2

2

0













x

x

x

f

,  

 











x

f

x

lim

, 

 





0

2

lim

2













f

x

f

x

, 

 

 

0

2

lim

2









f

x

f

x

, 

 









x

f

x

lim

,  

 

4

2







x

x

x

f

, 

 





2

3

2

4

4









x

x

f

, 

nie ma ekstremów ani punktów przegięcia, 
funkcja malejąca dla 





2

, 







x

 i rosnąca dla 









,

2

x

, 

funkcja wklęsła w całej dziedzinie. 

d) 

R

D

f



, nie ma miejsc zerowych, 

 











x

f

x

lim

, 

 









x

f

x

lim

,  

minimum lokalne dla 

0



x

, wartość minimalna 

 

1

0 

f

, 

funkcja malejąca dla 





0

,







x

 i rosnąca dla 









,

0

x

, 

funkcja wypukła w całej dziedzinie, 
nie ma punktów przegięcia. 

 
e) 

R

D

f



, nie ma miejsc zerowych, 

 

0

lim









x

f

x

, 

 

0

lim







x

f

x

,  

maksimum lokalne dla 

0



x

, wartość maksymalna 

 

1

0 

f

, 

funkcja rosnąca dla 





0

,







x

 i malejąca dla 









,

0

x

, 

funkcja wklęsła dla 















2

1

,

2

1

x

 i wypukła dla 

































,

2

1

2

1

,

x

, 

dwa punkty przegięcia: 

2

1





x

 oraz 

2

1



x

. 

f) 

R

D

f



, miejsce zerowe:

 

0

0







x

x

f

,  

 











x

f

x

lim

, 

 









x

f

x

lim

,  

 

1

2

2







x

x

x

f

, 

 





2

2

2

1

2

2









x

x

x

f

, 

minimum lokalne dla 

0



x

, wartość minimalna 

 

0

0 

f

, 

funkcja malejąca dla 





0

,







x

 i rosnąca dla 









,

0

x

, 

funkcja wklęsła dla 



 















,

1

1

,

x

 i wypukła dla 





1

,

1





x

, 

dwa punkty przegięcia: 

1





x

 oraz 

1



x

. 

g) 



 















,

1

1

,

f

D

, miejsca zerowe:

 

2

2

0













x

x

x

f

,  

 











x

f

x

lim

, 

 











x

f

x

1

lim

, 

 









x

f

x

1

lim

, 

 









x

f

x

lim

,  

 

1

2

2







x

x

x

f

, 

 





2

2

2

1

1

2













x

x

x

f

, 

brak ekstremów i punktów przegięcia, 
funkcja malejąca dla 





1

, 







x

 i rosnąca dla 







 ,

1

x

, 

funkcja wklęsła w całej dziedzinie. 

h) 



 













,

5

1

,

f

D

, miejsca zerowe:

 

5

3

5

3

0















x

x

x

f

, 

 











x

f

x

lim

, 

 









x

f

x

1

lim

, 

 









x

f

x

5

lim

, 

 









x

f

x

lim

,  

brak ekstremów i punktów przegięcia, 
funkcja malejąca dla 





1

,







x

 i rosnąca dla 







 ,

5

x

, 

funkcja wklęsła w całej dziedzinie. 
 

 

Zadanie 7  
Rozwiązaniem zadania są liczby a = 2 i b = 4. Najmniejsza suma 2a

2

+b

2 

= 24. 

 
Zadanie 8 
Aby uzyskać największy iloczyn liczbę 49 należy rozłożyć na dwa równe składniki a = b = 49/2. Ich 
iloczyn wynosi wówczas 600,25. 
 
Zadanie 9 
Rozwiązaniem zadania są liczby a = 18 i b = 6. Największy iloczyn ab = 108. 

 

Zadanie 10 

Obwód będzie najmniejszy, gdy prostokąt będzie kwadratem o bokach równych 

S

b

a





 

 
Zadanie 11 

Pole będzie największe, gdy prostokąt będzie kwadratem o bokach 

4

L

b

a





 

 
Zadanie 12 
Krawędzie podstawy powinny mieć długość 3 cm oraz 6 cm, a wysokość powinna być równa 4 cm. 
 
Zadanie 13 

Objętość prostopadłościanu będzie największa dla 

3

1

1 



x

. Długości krawędzi będą wtedy 

równe:

3

3

3 



a

, 

3

3



b

 oraz 

3

3

3 



c

. Maksymalna objętość wynosi 

3

3

2



V

. 

 
Zadanie 14 
Przekątna  będzie  najmniejsza,  gdy  prostopadłościan  będzie  sześcianem  o  krawędziach  podstawy 

i wysokości równych 

3

V

h

a





. Minimalna długość przekątnej wynosi 

3

3

V

l





. 

 
Zadanie 15 

Koszt przebycia drogi będzie najmniejszy przy prędkości 

3

2b

a

v 

.