A

lge

br

a

lin

iow

a

1

Sp

ec

ja

ln

a

lis

ta

za

da

*

U

w

ag

a:

za

da

nia

z

tej

lis

ty

prz

ez

na

cz

on

e

s

dla

stu

de

ntó

w

pra

gn

cy

ch

w

prz

ys

zło

ci

ub

ieg

a

si

o

oc

en

ce

lu

j

c

5,5

z

A

L

G

E

B

R

Y

L

IN

IO

W

E

J

1.

E

gz

am

in

na

oc

en

ce

lu

j

c

b

dz

ie

si

sk

ład

ał

z

cz

ter

ec

h

za

da

o

po

do

bn

ym

sto

pn

iu

tru

dn

o

ci

oc

en

ian

yc

h

w

sk

ali

od

0

do

5

pu

nk

tó

w

.U

zy

sk

an

ie

w

cz

as

ie

18

0

m

in

ut

co

na

jm

nie

j1

0

pu

nk

tó

w

b

dz

ie

gw

ara

nc

j

su

kc

es

u.

Pr

ez

en

to

w

an

e

po

ni

ej

za

da

nia

by

ły

ro

zw

i

zy

w

an

e

prz

ez

stu

de

ntó

w

ce

lu

j

cy

ch

w

ci

gu

dz

iew

i

ciu

po

prz

ed

nic

h

lat

.L

ist

a

za

da

jes

tp

od

zie

lo

na

na

cz
ci

tem

aty

cz

ne

,a

za

da

nia

s

uło

on

e

w

ko

lej

no

ci

m

ery

to

ry

cz

ne

j.

O

ry

gin

aln

e

ze

sta

w

y

za

da

z

po

prz

ed

nic

h

eg

za

m

in

ów

na

oc

en

ce

lu

j

c

w

ra

z

z

od

po

w

ied

zia

m

ii

w

sk

az

ów

ka

m

id

o

za

da

zn

ajd

uj

si

w

zb

io

rz

e:

M

.G

ew

ert

,Z

.S

ko

cz

yla

s

(o

pr.

),

A

lg

eb

ra

lin

io

w

a

1.

K

olo

kw

ia

ie

gz

am

in

y.

LI

T

E

R

A

T

U

R

A

U

ZU

PE

Ł

N

IA

J

C

A

:

[1

]

P.

R

.H

alm

os

,L

in

ea

r

A

lg

eb

ra

P

ro

ble

m

B

oo

k,

D

olc

ian

iM

ath

em

ati

ca

lE

xp

os

itio

ns

,N

o

16

,T

he

M

ath

em

ati

ca

l

A

sso

cia

tio

n

of

A

m

eri

ca

,W

as

hin

gto

n

19

95

[2

]

J.

K

lu

ko

w

sk

i,

A

lg

eb

ra

w

za

da

nia

ch

,W

yd

aw

nic

tw

o

Po

lite

ch

nik

iW

ars

za

w

sk

iej

,W

ars

za

w

a

19

91

[3

]

Po

d

re

d.

A

.I.

K

os

trik

in

a,

Zb

ió

r

za

da
z

alg

eb

ry

,P

W

N

,W

ars

za

w

a

19

95

[4

]

S.

Pr

zy

by

ło

,A

Sz

lac

hto

w

sk

i,

A

lg

eb

ra

ig

eo

m

etr

ia

afi

nic

zn

a

w

za

da

nia

ch

,W

N

T

W

ars

za

w

a

19

83

[5

]

I.

V

.P

ro

sk

ury

ak

ov

,P

ro

ble

m

s

in

Lin

ea

r

A

lg

eb

ra

,M

ir

Pu

bli

sh

ers

,M

os

co

w

19

78

[6

]

Fu

zh

en

Zh

an

g,

Lin

ea

r

alg

eb

ra

,C

ha

lle

ng

in

g

P

ro

ble

m

s

fo

r

Stu

de

nts

,T

he

Jo

hn

s

H

op

kin

s

U

niv

ers

ity

Pr

es

s,

B

alt

im

ore

an

d

Lo

nd

on

19

96

.

Te

re

sa

Ju

rle

w

icz

,Z

big

nie

w

Sk

oc

zy

la

s,

pa

dz

ier

nik

20

04

Z

A

D

A

N

IA

1.

L

icz

by

ze

sp

olo

ne

1.1

*
Lic

zb

y

ze

sp

olo

ne

i

sp

ełn

iaj

w

aru

nk

i

.

C

zy

?

u
v

u

5

=

v

5

,

u

17

=

v

17

u

=

v

O

dp

ow

ied

uz

as

ad

ni

.

(c

el-

05

-1

)

1.2

*
Zb

ad

a

po

sta

zb

io

ru

w

za

le

no

ci

od

lic

zb

y

ze

sp

o-

{

z

∈

C

:

z

−

z

0

=

r

}

lo

ne

j

ili

cz

by

do

da

tn

iej
.

(c

el-

15

-1

)

z

0

r

1.3

*
W

yra

zi

w

za

le

no

ci

od

i

w

ied

z

c,

e

m

od

uły

arg

(
z

1

−

z

2

)

arg

z

1

arg

z

2

lic

zb

ze

sp

olo

ny

ch

s

jed

na

ko

w

e.

(c

el-

13

-1

)

z

1

,

z

2

1.4

*
W

yz

na

cz

y

w

sz

ys

tk

ie

lic

zb

y

ze

sp

olo

ne

sp

ełn

iaj

ce

uk

ład

ró

w

na

z

1

,

z

2

,

z

3

.

(c

el-

06

-4

)

z

1

=

z

2

=

z

3

=

1

z

1

+

z

2

+

z

3

=

1

z

1

⋅
z

2

⋅
z

3

=

1

1.5

*
K

ty

os

tre

s

ok

re

lo

ne

w

aru

nk

am

i

α
,

β
,

γ

tg

α

=

1,

tg

β

=

1

2

,

tg

γ

=

1

3

.

Za

po

m

oc

dz

iał

a

na

lic

zb

ac

h

ze

sp

olo

ny

ch

ob

lic

zy

.

(c

el-

11

-1

)

α

+

β

+

γ

1.6

*
Zb

ad

a

,c

zy

ist

nie

je

lic

zb

a

na

tu

ra

ln

a

tak

a,

e

jes

tli

cz

b

rz

ec

zy

w

ist

.

n

(
2

+

i

)

n

(c

el-

07

-3

)

1.7

*
W

ok

r

g

o

pro

m

ien

iu

w

pis

an

o

sie

dm

io

k

tfo

re

m

ny

o

w

ier

zc

ho

łk

ac

h

,

1

A

1

.

N

a

ok

r

gu

w

yb

ra

no

pu

nk

t
.

K

orz

ys

taj

c

z

lic

zb

ze

sp

olo

ny

ch

ud

o-

A

2

,…

,

A

7

P

w

od

ni

,

e

su

m

a

nie

za

le

y

od

po

ło

en

ia

(
P

A

1

)

2

+

(
P

A

2

)

2

+

…
+

(
P

A

7

)

2

pu

nk

tu
.

(c

el-

02

-3

)

P

1.8

*
N

iec

h

ora

z

b

d

lic

zb

am

in

atu

ra

ln

ym

i.

W

yk

orz

ys

tu

j

c

lic

zb

y

ze

sp

olo

ne

a,

b

n

ud

ow

od

ni

,

e

ist

nie

j

lic

zb

y

ca

łk

ow

ite

,

dla

któ

ry

ch

za

ch

od

zi

ró

w

no

x,

y

.

(c

el-

01

-4

)

(a

2

+

b

2

)

n

=

x

2

+

y

2

1.9

*
Lic

zb

a

ze

sp

olo

na
sp

ełn

ia

zw

i

ze

k

.

O

bli

cz

y

z

z

+

1

z

=

2

co

s

π

20

00

.

(c

el-

10

-1

)

z

20

00

+

1

z

20

00

1.1

0*

Zn

ale
w

sz

ys

tk

ie

pa

ry

lic

zb

ca

łk

ow

ity

ch

,d

la

któ

ry

ch

za

ch

od

zi

ró

w

no

(
p,

q

)

.

(c

el-

16

-1

)

1

2

+

i

3

2

p

=

2

2

−

i

2

2

q

1.1

1*

N

iec

h

.

Po

ka

za

,

e

20

01

1

=

{

1,

z

1

,

z

2

,

...,

z

20

00

}

.

(c

el-

12

-1

)

Π

k

=

1

20

00

(1

−

z

k

)

=

20

01

2.

W

ielo

m

ian

y

2.1

*
Zn

ale
w

sz

ys

tk

ie

lic

zb

y

ca

łk

ow

ite
,

dla

któ

ry

ch

w

iel

om

ian

p

P

(
x

)

=

jes

tp

od

zie

ln

y

prz

ez

w

iel

om

ian

.

(c

el-

02

-4

)

x

13

+

x

+

90

Q

(
x

)

=

x

2

−

x

+

p

2.2

*
Zn

ale
lic

zb

y

w

ym

ier

ne

,

dla

któ

ry

ch

lic

zb

a

jes

t

p,

q

x

1

=

3

+
2

pie

rw

ias

tk

iem

w

iel

om

ian

u

.

(c

el-

13

-2

)

W
(
x

)

=

x

4

+

px

2

+

q

2.3

*
U

za

sa

dn

i

,

e

lic

zb

a

jes

tw

ym

ier

na

.

(c

el-

10

-2

)

3

2

+
5

+

3

2

−
5

2.4

*
Zn

ale
re

sz

t

z

dz

iel

en

ia

w

iel

om

ian

u

prz

ez

w

iel

om

ian

x

20

00

+

x

19

99

+

20

01

.

(c

el-

09

-1

)

(
x

2

+

1

)

2

2.5

*
C

zy

ist

nie

je

w

iel

om

ian

sto

pn

ia

,

któ

ry

sp

ełn

ia

w

aru

nk

i

W

20

02

ora

z

,

W

(1

)

=

W

(2

)

=

W

(3

)

=

...

=

W

(20

01

)

=

1

W

(20

02

)

=

2

.O

dp

ow

ied

uz

as

ad

ni

.

(c

e1

-1

5-2

)

W

(20

03

)

=

3

2.6

*
Po

ka

za

,

e

w

iel

om

ian

y

,

m

aj

z

4

−

z

3

+

z

2

+

2z

−

6
z

4

+

z

3

+

3z

2

+

4z

+

6

w

sp

óln

e

pie

rw

ias

tk

iz

es

po

lo

ne

.

(c

el-

16

-2

)

2.7

*
Lic

zb

y

ze

sp

olo

ne

s

pie

rw

ias

tk

am

iw

iel

om

ian

u

z

1

,

z

2

,

…

,

z

9

.

O

bli

cz

y

su

m

.

(c

el-

03

-2

)

W
(
z

)

=

z

9

+

13

z

8

+

5z

−

2

Σ

i=

1

9

(z

i

)

2

2.8

*
Pr

os

ta

prz

ec

in

a

w

yk

re

s

fu

nk

cji

y

=

m

x

+

b

y

=

2x

5

−

x

3

+

4x

2

+

3x

−

7

w

pi

ciu

ró

ny

ch

pu

nk

tac

h

.

Po

ka

za

,

e

(
x

1

,y

1

),

(
x

2

,y

2

),

...,

(
x

5

,y

5

)

lic

zb

a

nie

za

le

y

od

pa

ra

m

etr

ów

i
.

(c

el-

01

-3

)

x

1

+
x

2

+

…
+
x

5

5

m

b

2.9

*
Lic

zb

y

ze

sp

olo

ne

s

pie

rw

ias

tk

am

iw

iel

om

ian

u

.O

bli

cz

y

α
,

β
,

γ

x

3

+

x

+

1

w

art

o
w

yra

en

ia

.

(c

el-

08

-2

)

1

α

+

i

+

1

β

+

i

+

1

γ

+

i

2.1

0*

Lic

zb

y

ze

sp

olo

ne

s

pie

rw

ias

tk

am

iw

iel

om

ian

u

α
,

β
,

γ

U

za

sa

dn

i

,

e

.

(c

el-

04

-1

)

W
(
z

)

=

z

3

+

(
1

−

2i

)
z

+

3

−

5i.

α

3

+

β

3

+

γ

3

=

3

α

β

γ

2.1

1*

W

iel

om

ian

m

a

w

sp

ółc

zy

n-

W
(
z

)

=

z

n

+

a

n

−
1

z

n

−
1

+

...

+

a

1

z

+

a

0

nik

irz

ec

zy

w

ist

e.

Pie

rw

ias

tk

iem

teg

o

w

iel

om

ian

u

jes

tli

cz

ba

,

z

0

=

e

iϕ

gd

zie

.

U

za

sa

dn

i

ró

w

no

ϕ

∈

R

(c

el-

06

-1

)

a

n

−
1

sin

ϕ

+

a

n

−
2

sin

2

ϕ

+

...

+

a

1

sin

(n

−

1

)ϕ

+

a

0

sin

n

ϕ

=

0.

2.1

2*

W

iel

om

ian

ro

zło

y

na

cz

yn

nik

irz

ec

zy

w

ist

e.

(c

el-

11

-2

)

x

20

01

+

x

20

00

+

...

+

x

+

1

2.1

3*

Zb

ad

a

,c

zy

ist

nie

je

w

iel

om

ian

ze

sp

olo

ny

tak

i,

e

W

.

(c

e1

-1

4-1

)

W

2

(
z

)

=

z

20

02

+

z

20

01

+

z

20

00

+

...

+

z

+

1

2.1

4*

N

iec

h

.

Zn

ale
w

sz

ys

tk

ie

pie

rw

ias

tk

iz

es

po

lo

ne

ró

w

na

nia

f

(
x

)

=

x

2

+

12

x

+

30

.

(c

e1

-1

4-3

)

f

{

f

[
f

(
x

)

]

}

=

0

3.

M

ac

ier

ze

iw

yz

na

cz

nik

i

3.1

*
U

za

sa

dn

i

,

e

nie

ist

nie

j

m

ac

ier

ze

sp

ełn

iaj

ce

zw

i

ze

k

A

,

B

,

A

B

−

B

A

=

I

gd

zie
oz

na

cz

a

m

ac

ier

z

jed

no

stk

ow

.

(c

el-

11

-3

)

I

3.2

*
Zn

ale
w

sz

ys

tk

ie

m

ac

ier

ze

sto

pn

ia

,k

tó

re

sp

ełn

iaj

ró

w

no

ci

A

19

98

.

A

19

97

=

I,
A

20

00

=

I

O

dp

ow

ied

uz

as

ad

ni

.

(c

el-

06

-2

)

3.3

*
Po

ka

za

,

e

m

ac

ier

z

10

24

95

55

04

29

87

32

96

66

06

97

37

06

28

90

90

93

12

74

50

92

56

01

83

50

44

60

11

78

62

46

55

26

33

92

66

37

80

48

72

52

29

22

76

59

31

07

jes

tn

ieo

so

bli

w

a.

O

dp

ow

ied

uz

as

ad

ni

.

(c

el-

09

-3

)

3.4

*
E

lem

en

tam

im

ac

ier

zy

kw

ad

ra

to

w

ej

sto

pn

ia

s

ty

lk

o

lic

zb

y

ora

z
(d

ow

ol-

4

−
2

1

nie

us

taw

io

ne

).

Po

ka

za

,

e

w

yz

na

cz

nik

tej

m

ac

ier

zy

jes

tp

od

zie

ln

y

prz

ez

.

27

(c

el-

12

-2

)

3.5

*
Po

ka

za

,

e

ist

nie

je

m

ac

ier

z

kw

ad

ra

to

w

a

sto

pn

ia

,z

ło

on

a

ty

lk

o

z

lic

zb

12

,

któ

re

jw

yz

na

cz

nik

jes

tró

w

ny

.

(c

el-

02

-2

)

−
1,

0,

1

19

95

3.6

*
O

bli

cz

y

w

yz

na

cz

nik

m

ac

ier

zy

kw

ad

ra

to

w

ej

sto

pn

ia

,

gd

zie

[a

ij

]

n

∈

N

dla

.

(c

el-

14

-2

)

a

ij

=

m

in

{

i,

j

}

1

≤

i,

j

≤

n

3.7

*
O

bli

cz

y

w

yz

na

cz

nik

m

ac

ier

zy

sto

pn

ia

,

któ

re

je

lem

en

ty

m

aj

po

sta

[a

ij

]

n

≥

3

.

(c

el-

15

-3

)

a

ij

=

2

dla

i

=

j,

1

dla

i

−

j

=

1,

0

dla

i

−

j

≥

2.

3.8

*
N

iec

h

b

dz

ie

an

ty

sy

m

etr

yc

zn

m

ac

ier

z

sto

pn

ia

.O

bli

cz

y

w

yz

na

cz

nik

A

19

97

m

ac

ier

zy

.

(c

el-

05

-2

)

19

96

A

−

19

98

A

T

3.9

*
E

lem

en

tam

im

ac

ier

zy

kw

ad

ra

to

w

ej

s

lic

zb

y

.K

a

dy

w

ier

sz

0,

1,

2,

…

,

9

tej

m

ac

ier

zy

cz

yta

ny

jak

o

lic

zb

a

w

sy

ste

m

ie

dz

ies

i

tn

ym

jes

tp

od

zie

ln

y

prz

ez
.

7

U

do

w

od

ni

,

e

w

yz

na

cz

nik

tej

m

ac

ier

zy

tak

e

jes

tp

od

zie

ln

y

prz

ez
.

(c

el-

03

-1

)

7

3.1

0*

M

iej

sc

ow

o

ci

po

ło

on

e

s

prz

y

pro

sto

lin

io

w

ej

dro

dz

e.

O

dle

gło

M

1

,M

2

,...

,M

n

m

i

dz

y

m

iej

sc

ow

o

cia

m

i

ora

z

jes

tró

w

na

,g

dz

ie

.

M

i

M

j

d

ij

1

≤

i,

j

≤

n

U

do

w

od

ni

,

e

.

(c

el-

01

-1

)

de

t

[d

ij

]

≠

0

3.1

1*

Pie

rw

sz

y

w

ier

sz

w

yz

na

cz

nik

a

sto

pn

ia
,

gd

zie

,

tw

orz

ko

lej

ne

lic

zb

y

n

n

≥

2

pie

rw

sz

e

.

Po

ka

za

,

e

w

po

zo

sta

łe

w

ier

sz

e

w

yz

na

cz

nik

a

m

o

na

2,

3,

5,

...,

p

n

w

pis

a

lic

zb

y

na

tu

ra

ln

e

tak

,a

by

by

ło

n

ró

w

ny
.

(c

el-

16

-3

)

1

3.1

2*

N

iec

h

oz

na

cz

a

m

ac

ier

z

jed

no

stk

ow
sto

pn

ia

.P

on

ad

to

nie

ch

I

n

∈

N

ora

z

b

d

lic

zb

am

irz

ec

zy

w

ist

ym

i.

U

za

sa

dn

i

a

1

,

a

2

,

...,

a

n

b

1

,

b

2

,

...,

b

n

ró

w

no

(c

el-

08

-4

)

.

de

t

(
I

+

a

1

a

2

.

. .

a

n

b

1

b

2

.

..

b

n

)

=

1

+

de

t

(

b

1

b

2

.

..

b

n

a

1

a

2

.

. .

a

n

)

3.1

3*

N

iec

h

ora

z

.

M

ac

ier

ze

i

X

1

=

[
1

1

1

],

X

2

=

[
1

−
1

2

]

X

3

=

[
2

2

1

]

A
B

w

ym

iar

u

sp

ełn

iaj

ró

w

no

ci:

3

×

19

99

.

X

1

A

=

X

1

B

,
X

2

A

=

X

2

B

,
X

3

A

=

X

3

B

C

zy

?

O

dp

ow

ied

uz

as

ad

ni

.

(c

el-

08

-3

)

A

=

B

3.1

4*

M

ac

ier

z

sp

ełn

ia

w

aru

ne

k

.O

bli

cz

y

.

(c

el-

07

-1

)

A

A

+

A

−
1

=

1

3

5

0

2

4

0

0

3

A

3

+

A

−
3

3.1

5*

M

ac

ier

z

jes

to

dw

ra

ca

ln

a.

O

bli

cz

y

su

m
w

sz

ys

tk

ich

ele

m

en

tó

w

głó

w

ne

j

P

prz

ek

tn

ej

m

ac

ier

zy

.

(c

el-

10

-3

)

A

=

P

−
1

⋅

1

0

0

.

..

0

0

2

0

.

..

0

0

0

3

.

..

0

.

. .

.

. .

.

. .

.

. .

.

. .

0

0

0

.

..

20

00

⋅
P

3.1

6*

Lic

zb

a

ze

sp

olo

na

jes

tp

ier

w

ias

tk

iem

ró

w

na

nia

.U

zu

pe

łn

i

za

pis

z

≠

1

z

5

=

1

.

(c

e1

-1

3-3

)

1

1
1
1
1

1

z

z

2

z

3

z

4

1

z

4

z

3

z

2

z

1

z

2

z

4

z

1

z

3

1

z

3

z

1

z

4

z

2

−
1

=

1

5

1

1

1

1

1

1

.

.

.

.

1

.

.

.

.

1

.

.

.

.

1

.

.

.

.

4.

U

kła

dy

ró

w

na
lin

iow

yc

h

4.1

*
W

zó

rE

ule

ra

w

yra

aj

cy

za

le

no
m

i

dz

y

lic

zb
cia

n
,

lic

zb

kra

w

dz

i

S

K

ora

z

lic

zb

w

ier

zc

ho

łk

ów

do

w

oln

eg

o

w

iel

o

cia

nu

w

yp

uk

łeg

o

m

a

po

sta

W

,

α
S

+

β
K

+

γW
+

δ

=

0

gd

zie

s

nie

zn

an

ym

iw

sp

ółc

zy

nn

ik

am

i.

Zn

ale
ten

w

zó

r.

(c

el-

10

-2

)

α
,

β
,

γ,

δ

4.2

*
Po

ka

za

,

e

dla

do

w

oln

yc

h

lic

zb

rz

ec

zy

w

ist

yc

h

ora

z

x

1

<

x

2

y

1

,

y

2

,

y

1

,

y

2

ist

nie

je

w

iel

om

ian

sto

pn

ia

sp

ełn

iaj

cy

w

aru

nk

i

W

≤

3

ora

z

.

(c

e1

-1

2-3

)

W
(
x

1

)

=

y

1

,

W
(
x

2

)

=

y

2

W
(
x

1

)

=

y

1

,

W
(
x

2

)

=

y

2

4.3

*
E

lem

en

tam

im

ac

ier

zy

kw

ad

ra

to

w

ej

sto

pn

ia

s

lic

zb

y

ca

łk

ow

ite

.

[a

ij

]

n

U

do

w

od

ni

,

e

jed

yn

ym

ro

zw

i

za

nie

m

uk

ład

u

ró

w

na

x

1

2

=

a

11

x

1

+

a

12

x

2

+
…

+

a

1n

x

n

x

2

2

=

a

21

x

1

+

a

22

x

2

+
…

+

a

2n

x

n

.

. .

.

. .

.

. .

.

. .

.

. .

x

n

2

=

a

n1

x

1

+

a

n2

x

2

+
…

+

a

nn

x

n

jes

t

.

(c

el-

04

-2

)

x

1

=

x

2

=

…
=

x

n

=

0

5.

G

eo

m

etr

ia

pr

ze

str

ze

ni

R

3

5.1

*
K

orz

ys

taj

c

z

ra

ch

un

ku

w

ek

to

ro

w

eg

o

uz

as

ad

ni

,

e

ro

dk

ow

e

tró

jk

ta

prz

ec

in

aj

si

w

jed

ny

m

pu

nk

cie

,k

tó

ry

dz

iel

ik

a

d

z

nic

h

w

sto

su

nk

u

lic

z

c

od

2

:1

w

ier

zc

ho

łk

ów

.

(

w

.5

.1

.8

e*

)

5.2

*
N

iec

h

b

d

do

w

oln

ym

iw

ek

to

ra

m

iw

.U

za

sa

dn

i

to

sa

m

o

→

u

,

→

v

,

→

w

R

3

3

→

u

2

+

→

v

2

+

→

w

2

=

→

u

+

→

v

+

→

w

2

+

.

(c

el-

03

-4

)

→

u

−

→

w

2

+

→

v

−

→

w

2

+

→

w
−

→

u

2

5.3

*
N

a

sfe

rz

e

o

pro

m

ien

iu

zn

ajd

uj

si

pu

nk

ty

.

1

P

1

,

P

2

,...

,

P

20

02

U

za

sa

dn

i

,

e

su

m

a

kw

ad

ra

tó

w

od

leg

ło

ci

w

sz

ys

tk

ich

pa

rp

un

któ

w

,

dla

,

nie

prz

ek

ra

cz

a

lic

zb

y

.

P

i

,

P

j

1

≤

i

<

j

≤

20

02

(20

02

)

2

Pr

zy

jak

im

ro

zm

ies

zc

ze

niu

pu

nk

tó

w

w

art

o

jes

to

si

gn

i

ta?

(c

e1

-1

3-4

)

(20

02

)

2

5.4

*
D

o

ka

de

j

cia

ny

do

w

oln

eg

o

cz

w

oro

cia

nu

w

ys

taw

io

no

w

ek

to

rp

ro

sto

pa

dły

o

dłu

go

ci

ró

w

ne

jp

olu

tej

cia

ny

,s

kie

ro

w

an

y

na

ze

w

n

trz

.U

do

w

od

ni

,

e

su

m

a

ty

ch

w

ek

to

ró

w

jes

tw

ek

to

re

m

ze

ro

w

ym

.

(c

e1

-0

2-1

)

5.5

*
K

orz

ys

taj

c

z

ra

ch

un

ku

w

ek

to

ro

w

eg

o

w

yz

na

cz

y

co

sin

us

k

ta

dw

u

cie

nn

eg

o

m

i

dz

y

s

sie

dn

im

i

cia

na

m

id

w

ud

zie

sto

cia

nu

fo

re

m

ne

go

.

W

sk

az

ów

ka

.W

ro

zw

i

za

niu

m

o

na

w

yk

orz

ys

ta

ró

w

no

(c

el-

07

-4

)

co

s7

2

o

=

5

−
1

4

.

5.6

*
W

ek

to

ry

ora

z

sp

ełn

iaj

w

aru

ne

k

→

O

A

,

→

O

B

→

O

C

.

→

O

A

×

→

O

B

+

→

O

B

×

→

O

C

+

→

O

C

×

→

O

A

=

→

O

Po

ka

za

,

e

pu

nk

ty

s

w

sp

ółl

in

io

w

e.

(c

e1

-1

2-4

)

A

,

B

,

C

5.7

*
O

kre

li

lic

zb

ro

zw

i

za

uk

ład

u

ró

w

na

w

za

le

no

ci

od

→

x

×

→

y

=

→

a

→

y

×

→

z

=

→

b

→

z

×

→

x

=

→

c

w

ek

to

ró

w

.

(c

e1

-5

-3

)

→

a

, →

b

, →c

∈

R

3

5.8

*
N

iec

h

b

d

do

w

oln

ym

iw

ek

to

ra

m

iw

.U

za

sa

dn

i

to

sa

m

o

→

a

, →

b

, →c

, →

d

R

3

.

(c

el-

04

-3

)

→

a

→

c

→

a

→

d

→

b

→

c

→

b

→

d

=

( →a

×

→

b

)
( →c

×

→

d

)

5.9

*
C

zte

ry

pu

nk

ty

po

ru

sz

aj

si

w

prz

es

trz

en

i

po

pro

sty

ch

ze

sta

ły

m

ip

r

d-

R

3

ko

cia

m

i.

Zn

ale
na

jm

nie

jsz

lic

zb

na

tu

ra

ln

tak

,

e

je

eli

w

ch

w

ila

ch

n

,

pu

nk

ty

by

ły

w

sp

ółp

łas

zc

zy

zn

ow

e,

to

w

do

w

oln

ej

t

=

1,

t

=

2,

...

t

=

n

ch

w

ili

tak

e

b

d

w

sp

ółp

łas

zc

zy

zn

ow

e.

(c

el-

06

-3

)

5.1

0*

R

ów

no

leg

ło

cia

n

ro

zp

i

ty

na

w

ek

to

ra

ch

m

a

ob

j

to

.

→

u

,

→

v

,

→

w

V

Po

da

ob

j

to
ró

w

no

leg

ło

cia

nu

ro

zp

i

teg

o

na

w

ek

to

ra

ch

.

(c

el-

11

-4

)

→

u

×

→

v

,

→

u

×

→

w

,

→

v

×

→

w

5.1

1*

W

ew

n

trz

cz

w

oro

cia

nu

w

yb

ra

no

pu

nk

t
.

U

do

w

od

ni

ró

w

no

A

B

C

D

O

,

V

O

B

C

D

⋅

→

O

A

+

V

O

C

D

A

⋅

→

O

B

+
V

O

A

B

D

⋅

→

O

C

+

V

O

A

B

C

⋅

→

O

D

=

→

0

gd

zie

oz

na

cz

a

ob

j

to
cz

w

oro

cia

nu

o

w

ier

zc

ho

łk

ac

h

.

(c

el-

16

-4

)

V

X

YZ

T

X

,

Y,

Z,

T

5.1

2*

N

ap

isa

ró

w

na

nie

pro

ste

j,

któ

ra

prz

ec

in

a

trz

y

pa

ra

m

is

ko

ne

pro

ste

.

l

1

:

x

−
1

1

=

y

−
1

2

=

z−

1

3

l

2

:

x

−
1

=

y

1

=

z

2

l

3

:

x

+
1

2

=

y

+
1

1

=

z−

2

−
2

Ile

jes

tta

kic

h

pro

sty

ch

.

(c

el-

04

-4

)

5.1

3*

W

da

ne

s

pro

ste

sk

o

ne
i

.

Zn

ale
zb

ió

r

ro

dk

ów

od

cin

kó

w

o

ko

ca

ch

R

3

k
l

i

po

ło

on

yc

h

od

po

w

ied

nio

na

pro

sty

ch

i

.

(c

el-

15

-4

)

K

L

k
l

5.1

4*

W

prz

es

trz

en

i

da

ne

s

nie

w

sp

ółp

łas

zc

zy

zn

ow

e

w

ek

to

ry

.

Zn

ale

R

3

→

p

,

→

q

,

→

r

w

ers

or,

któ

ry

tw

orz

y

z

nim

ije

dn

ak

ow

e

k

ty

.

(c

el-

10

-4

)

5.1

5*

D

an

e

s

pro

ste

,g

dz

ie

,p

rz

y

cz

ym

l

1

:

→

r

=

→

r

1

+

t →v

1

,

l

2

:

→

r

=

→

r

2

+

t →v

2

t

∈

R

.U

za

sa

dn

i

,

e

od

leg

ło
m

i

dz

y

ty

m

ip

ro

sty

m

iw

yra

a

si

w

zo

re

m

→

v

1

×

→

v

2

≠

→

0

.

(c

el-

09

-4

)

d

=

( →r

1

−

→

r

2

,

→

v

1

,

→

v

2

)

→

v

1

×

→

v

2

5.1

6*

Sn

ajp

er

str

ze

la

z

pu

nk

tu

w

kie

ru

nk

u

w

ek

to

ra

.

P

=

(
5,

5,

5

)

→

v

=

(−

4,

−
3,

−
7

)

Zb

ad

a

,c

zy

tra

fi

on

w

cz

w

oro

cia

n

o

w

ier

zc

ho

łk

ac

h

A

=

(
1,

6,

0

),

B

=

(
0,

1,

−
2

),

C

=

(
3,

2,

−
3

),

D

=

(
0,

0,

0

).

O

dp

ow

ied

uz

as

ad

ni

.

(c

el-

05

-4

)

5.1

7*

Pła

sz

cz

yz

ny

pie

rw

sz

eg

o

ok

tan

tu

w

sp

ółr

z

dn

yc

h

s

zw

ier

cia

dła

m

i.

Pr

om

ie
w

iet

ln

y

w

yc

ho

dz

iz

pu

nk

tu

ip

o

od

bic

iu

od

zw

ier

cia

de

ł

,

A

=

(
2,

4,

8

)

x

=

0
y

=

0

i

do

cie

ra

do

pu

nk

tu

.W

yz

na

cz

y

pu

nk

ty

od

bi

pro

m

ien

ia

od

z

=

0

B

=

(
4,

6,

2

)

ty

ch

zw

ier

cia

de

ł.

(c

el-

01

-2

)

5.1

8*

Pu

nk

t

ob

ró

co

no

o

k

t

a)

;

b)

w

ok

ół

pro

ste

j

A

=

(
3,

8,

1

)

α

=

2

π

3

α

=

π

3

.

Zn

ale
ob

ra

z

teg

o

pu

nk

tu

.

(c

el-

03

-3

)

l:

x

=

y

=

z

5.1

9*

K

w

ad

ra

to

w

a

pły

ta,

któ

re

jb

ok

m

a

dłu

go

,je

st

za

w

ies

zo

na

po

zio

m

o

na

cz

ter

ec

h

a

pio

no

w

yc

h

lin

ac

h

o

dłu

go

ci

.

O

bli

cz

y

,o

ile

po

dn

ies

ie

si

pły

ta

po

jej

ob

ro

cie

l

o

k

t

w

ok

ół

pio

no

w

ej

os

is

ym

etr

ii.

Ja

kie

w

aru

nk

ip

ow

in

ny

lic

zb

y

0

<

ϕ

≤

π

i

,

ab

y

tak

io

bró

tb

ył

m

o

liw

y?

(c

el-

08

-1

)

a
l

5.2

0*

C

zy

m

o

liw

e

jes

tu

ło

en

ie

ołó

w

kó

w

prz

ed

sta

w

io

ne

po

ni

ej?

O

dp

ow

ied

uz

as

ad

ni

ko

rz

ys

taj

c

z

ge

om

etr

ii

an

ali

ty

cz

ne

jw

.

(c

el-

14

-4

)

R

3

R

ys

un

ek

w

yk

on

ał

M

ich

ał

B

ry

łk

a,

stu

de

nt

W

yd

zia

łu

In

fo

rm

aty

ki

iZ

arz

dz

an

ia,

IN

F

/P

PI

.