1

Wykład piąty

Logarytmy

Funkcja wykładnicza y = a

x

, a > 0, a 6= 1 , x ∈ R ma przeciwdziedzinę R

+

i jest różnowar-

tościowa. Na zbiorze R

+

określona jest funkcja odwrotna – f.

logarytmiczna

y = log

a

x ⇔ x = a

y

i y ∈ R

Uwaga 1. Własności funkcji logarytmicznej:

1. dla każdego x > 0 i a > 0 , a 6= 1: x = a

log

a

x

;

2. dla każdych x

1

, x

2

> 0 i a > 0 , a 6= 1: log

a

x

1

+ log

a

x

2

= log

a

(x

1

· x

2

);

3. dla każdych x

1

, x

2

> 0 i a > 0 , a 6= 1: log

a

x

1

− log

a

x

2

= log

a



x

1

x

2



;

4. dla każdego x > 0 i a > 0 , a 6= 1 , α ∈ R: log

a

x

α

= α · log

a

x;

5. dla każdego x > 0 i a, b > 0 , a 6= 1, b 6= 1: log

a

x =

log

b

x

log

b

a

e = 2, 718 . . . - stała matematyczna; jeśli a = e, to log

e

x

ozn

= ln x - logarytm naturalny.

y = ln x

y = ã

x

-2

-1

1

2

X

-3

-2

-1

1

2

Y

Funkcje hiperboliczne

Funkcje hiperboliczne:

sinus hiperboliczny

(sh, sinh),

kosinus hiperboliczny

(ch, cosh),

tangens

hiperboliczny

(th, tgh),

kotangens hiperboliczny

(cth, ctgh) określone są następująco

2

1. sh x

df

=

e

x

− e

−x

2

, x ∈ R

2. ch x

df

=

e

x

+ e

−x

2

, x ∈ R

3. th x

df

=

sh x

ch x

, x ∈ R

4. cth x

df

=

ch x

sh x

, x ∈ R − {0}

Uwaga 2. Funkcja ch jest funkcją parzystą, pozostałe f.hiperboliczne są nieparzyste.

y = sh x

-4

-2

2

X

-4

-2

2

4

Y

y = ch x

-4

-2

2

X

-4

-2

2

4

Y

y = th x

-4

-2

2

X

-4

-2

2

4

Y

y = cth x

-4

-2

2

X

-4

-2

2

4

Y

3

Ciągi liczbowe

Def. 1.

Ciągiem liczbowym

(nieskończonym) nazywamy każdą funkcję a określoną na zbiorze

liczb naturalnych N o wartościach rzeczywistych. Wartość funkcji a(n) oznacza się przez a

n

i nazywa n - tym wyrazem ciągu (a

n

).

Ciąg (a

n

) jest

1.

rosnący

, jeśli a

n

< a

n+1

dla każdej liczby naturalnej n;

2.

niemalejący

, jeśli a

n

¬ a

n+1

dla każdej liczby naturalnej n;

3.

malejący

, jeśli a

n

> a

n+1

dla każdej liczby naturalnej n;

4.

nierosnący

, jeśli a

n

­ a

n+1

dla każdej liczby naturalnej n.

Ciąg (a

n

) jest

1.

ograniczony z góry

, jeśli ∃M ∈ R ∀n ∈ N [a

n

¬ M ];

2.

ograniczony z dołu

, jeśli ∃m ∈ R ∀n ∈ N [a

n

­ m];

3.

ograniczony

, jeśli jest ograniczony z dołu i z góry.

Def. 2. Liczba a ∈ R jest

granicą ciągu

liczbowego (a

n

) (ozn, lim

n→∞

a

n

= a), jeżeli

∀ > 0 ∃n

0

∈ N ∀n > n

0

|a

n

− a| < 

Ciąg jest

zbieżny

, jeśli posiada granicę liczbową. Ciąg jest

rozbieżny

, jeśli zachodzi jeden z

warunków:

1. nie posiada granicy;

2. ∀M ∈ R ∃n

0

∈ N ∀n > n

0

a

n

> M - jest rozbieżny do +∞ (ozn. lim

n→∞

a

n

= +∞);

3. ∀m ∈ R ∃n

0

∈ N ∀n > n

0

a

n

< m - jest rozbieżny do −∞ (ozn. lim

n→∞

a

n

= −∞).

Twierdzenia o ciągach

1. Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.

2. Jeżeli lim

n→∞

a

n

= a, to lim

n→∞

|a

n

| = |a|. (implikacja w drugą stronę jest prawdziwa tylko

dla a = 0)

3. Jeżeli lim

n→∞

a

n

= a i lim

n→∞

b

n

= b oraz istnieje n

0

∈ N takie, że a

n

¬ b

n

dla n ­ n

0

, to

a ¬ b.

4

4. (tw. o 3 ciągach) Jeżeli lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

c

n

= a oraz istnieje n

0

∈ N takie,że a

n

¬ b

n

¬ c

n

dla n ­ n

0

, to lim

n→∞

b

n

= a.

5. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

6. (tw. o działaniach arytmetycznych na granicach) Jeżeli lim

n→∞

a

n

= a i lim

n→∞

b

n

= b, to

ciągi (a

n

+ b

n

) , (a

n

− b

n

) , (a

n

b

n

) ,



a

n

b

n



b

n

6= 0 są zbieżne i

(a) lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = a + b

(b) lim

n→∞

(a

n

− b

n

) = a − b

(c) lim

n→∞

(a

n

· b

n

) = a · b

(d) jeśli b 6= 0, to lim

n→∞



a

n

b

n



=

a

b

Znane granice

1. lim

n→∞

n

√

a = 1 , dla a > 0;

2. lim

n→∞

n

√

n = 1;

3. lim

n→∞

a

n

=



















0

gdy |a| < 1

1

gdy a = 1

+∞

gdy a > 1

nie istnieje gdy a ¬ −1

4. lim

n→∞



1 +

1

n



n

= e , lim

n→∞



1 −

1

n



n

=

1

e

Oznaczenia

O = (x

0

− δ ; x

0

+ δ) –

otoczenie

punktu x

0

∈ R o promieniu δ

S = (x

0

− δ ; x

0

) ∪ (x

0

; x

0

+ δ) –

sąsiedztwo

punktu x

0

∈ R o promieniu δ

(x

0

− δ ; x

0

) –

sąsiedztwo lewostronne

punktu x

0

∈ R

(x

0

; x

0

+ δ) –

sąsiedztwo prawostronne

punktu x

0

∈ R

δ - dowolnie mała liczba dodatnia.

Granica funkcji

Zał. Funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie S = (x

0

− δ ; x

0

) ∪ (x

0

; x

0

+ δ).

Def. Liczba g jest

granicą

funkcji f w punkcie x

0

(ozn. lim

x→x

0

f (x) = g), jeśli spełniony jest

jeden z dwóch równoważnych warunków:

5

(1) ∀ > 0∃δ > 0 [|x − x

0

| < δ ⇒ |f (x) − g| < ] - def.Cauchy’go

(2) ∀(x

n

) ⊂ S [(x

n

→ x

0

) ⇒ (f (x

n

) → g)] – def.Heinego

Uwaga 1. Jeżeli istnieją dwa różne ciągi (x

0

n

), (x

”
n

) takie, że

(x

0

n

→ x

0

) ∧ (f (x

0

n

) → g

1

) i (x

”
n

→ x

0

) ∧ (f (x

”
n

) → g

2

) oraz g

1

6= g

2

,

to lim

x→x

0

f (x) nie istnieje.

y = sin(1/x)

w punkcie x = 0 nie

istnieje granica funkcji

-0.04

-0.02

0.02

X

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Y

Def. Liczba g jest

granicą lewostronną

(odp.

granicą prawostronną

) funkcji f w punkcie

x

0

, (ozn. lim

x→x

−
0

f (x) = g, odp. lim

x→x

+
0

f (x) = g) jeśli

∀(x

n

) ⊂ S [(x

n

< x

0

∧ x

n

→ x

0

) ⇒ (f (x

n

) → g)]

(odp.∀(x

n

) ⊂ S [(x

n

> x

0

∧ x

n

→ x

0

) ⇒ (f (x

n

) → g)])

Tw.4 lim

x→x

0

f (x) = g ⇔ lim

x→x

−
0

f (x) = lim

x→x

+
0

f (x) = g.