1
Wykład piąty
Logarytmy
Funkcja wykładnicza y = a
x
, a > 0, a 6= 1 , x ∈ R ma przeciwdziedzinę R
+
i jest różnowar-
tościowa. Na zbiorze R
+
określona jest funkcja odwrotna – f.
logarytmiczna
y = log
a
x ⇔ x = a
y
i y ∈ R
Uwaga 1. Własności funkcji logarytmicznej:
1. dla każdego x > 0 i a > 0 , a 6= 1: x = a
log
a
x
;
2. dla każdych x
1
, x
2
> 0 i a > 0 , a 6= 1: log
a
x
1
+ log
a
x
2
= log
a
(x
1
· x
2
);
3. dla każdych x
1
, x
2
> 0 i a > 0 , a 6= 1: log
a
x
1
− log
a
x
2
= log
a
x
1
x
2
;
4. dla każdego x > 0 i a > 0 , a 6= 1 , α ∈ R: log
a
x
α
= α · log
a
x;
5. dla każdego x > 0 i a, b > 0 , a 6= 1, b 6= 1: log
a
x =
log
b
x
log
b
a
e = 2, 718 . . . - stała matematyczna; jeśli a = e, to log
e
x
ozn
= ln x - logarytm naturalny.
y = ln x
y = ã
x
-2
-1
1
2
X
-3
-2
-1
1
2
Y
Funkcje hiperboliczne
Funkcje hiperboliczne:
sinus hiperboliczny
(sh, sinh),
kosinus hiperboliczny
(ch, cosh),
tangens
hiperboliczny
(th, tgh),
kotangens hiperboliczny
(cth, ctgh) określone są następująco
2
1. sh x
df
=
e
x
− e
−x
2
, x ∈ R
2. ch x
df
=
e
x
+ e
−x
2
, x ∈ R
3. th x
df
=
sh x
ch x
, x ∈ R
4. cth x
df
=
ch x
sh x
, x ∈ R − {0}
Uwaga 2. Funkcja ch jest funkcją parzystą, pozostałe f.hiperboliczne są nieparzyste.
y = sh x
-4
-2
2
X
-4
-2
2
4
Y
y = ch x
-4
-2
2
X
-4
-2
2
4
Y
y = th x
-4
-2
2
X
-4
-2
2
4
Y
y = cth x
-4
-2
2
X
-4
-2
2
4
Y
3
Ciągi liczbowe
Def. 1.
Ciągiem liczbowym
(nieskończonym) nazywamy każdą funkcję a określoną na zbiorze
liczb naturalnych N o wartościach rzeczywistych. Wartość funkcji a(n) oznacza się przez a
n
i nazywa n - tym wyrazem ciągu (a
n
).
Ciąg (a
n
) jest
1.
rosnący
, jeśli a
n
< a
n+1
dla każdej liczby naturalnej n;
2.
niemalejący
, jeśli a
n
¬ a
n+1
dla każdej liczby naturalnej n;
3.
malejący
, jeśli a
n
> a
n+1
dla każdej liczby naturalnej n;
4.
nierosnący
, jeśli a
n
a
n+1
dla każdej liczby naturalnej n.
Ciąg (a
n
) jest
1.
ograniczony z góry
, jeśli ∃M ∈ R ∀n ∈ N [a
n
¬ M ];
2.
ograniczony z dołu
, jeśli ∃m ∈ R ∀n ∈ N [a
n
m];
3.
ograniczony
, jeśli jest ograniczony z dołu i z góry.
Def. 2. Liczba a ∈ R jest
granicą ciągu
liczbowego (a
n
) (ozn, lim
n→∞
a
n
= a), jeżeli
∀ > 0 ∃n
0
∈ N ∀n > n
0
|a
n
− a| <
Ciąg jest
zbieżny
, jeśli posiada granicę liczbową. Ciąg jest
rozbieżny
, jeśli zachodzi jeden z
warunków:
1. nie posiada granicy;
2. ∀M ∈ R ∃n
0
∈ N ∀n > n
0
a
n
> M - jest rozbieżny do +∞ (ozn. lim
n→∞
a
n
= +∞);
3. ∀m ∈ R ∃n
0
∈ N ∀n > n
0
a
n
< m - jest rozbieżny do −∞ (ozn. lim
n→∞
a
n
= −∞).
Twierdzenia o ciągach
1. Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.
2. Jeżeli lim
n→∞
a
n
= a, to lim
n→∞
|a
n
| = |a|. (implikacja w drugą stronę jest prawdziwa tylko
dla a = 0)
3. Jeżeli lim
n→∞
a
n
= a i lim
n→∞
b
n
= b oraz istnieje n
0
∈ N takie, że a
n
¬ b
n
dla n n
0
, to
a ¬ b.
4
4. (tw. o 3 ciągach) Jeżeli lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
c
n
= a oraz istnieje n
0
∈ N takie,że a
n
¬ b
n
¬ c
n
dla n n
0
, to lim
n→∞
b
n
= a.
5. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
6. (tw. o działaniach arytmetycznych na granicach) Jeżeli lim
n→∞
a
n
= a i lim
n→∞
b
n
= b, to
ciągi (a
n
+ b
n
) , (a
n
− b
n
) , (a
n
b
n
) ,
a
n
b
n
b
n
6= 0 są zbieżne i
(a) lim
n→∞
(a
n
+ b
n
) = a + b
(b) lim
n→∞
(a
n
− b
n
) = a − b
(c) lim
n→∞
(a
n
· b
n
) = a · b
(d) jeśli b 6= 0, to lim
n→∞
a
n
b
n
=
a
b
Znane granice
1. lim
n→∞
n
√
a = 1 , dla a > 0;
2. lim
n→∞
n
√
n = 1;
3. lim
n→∞
a
n
=
0
gdy |a| < 1
1
gdy a = 1
+∞
gdy a > 1
nie istnieje gdy a ¬ −1
4. lim
n→∞
1 +
1
n
n
= e , lim
n→∞
1 −
1
n
n
=
1
e
Oznaczenia
O = (x
0
− δ ; x
0
+ δ) –
otoczenie
punktu x
0
∈ R o promieniu δ
S = (x
0
− δ ; x
0
) ∪ (x
0
; x
0
+ δ) –
sąsiedztwo
punktu x
0
∈ R o promieniu δ
(x
0
− δ ; x
0
) –
sąsiedztwo lewostronne
punktu x
0
∈ R
(x
0
; x
0
+ δ) –
sąsiedztwo prawostronne
punktu x
0
∈ R
δ - dowolnie mała liczba dodatnia.
Granica funkcji
Zał. Funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie S = (x
0
− δ ; x
0
) ∪ (x
0
; x
0
+ δ).
Def. Liczba g jest
granicą
funkcji f w punkcie x
0
(ozn. lim
x→x
0
f (x) = g), jeśli spełniony jest
jeden z dwóch równoważnych warunków:
5
(1) ∀ > 0∃δ > 0 [|x − x
0
| < δ ⇒ |f (x) − g| < ] - def.Cauchy’go
(2) ∀(x
n
) ⊂ S [(x
n
→ x
0
) ⇒ (f (x
n
) → g)] – def.Heinego
Uwaga 1. Jeżeli istnieją dwa różne ciągi (x
0
n
), (x
”
n
) takie, że
(x
0
n
→ x
0
) ∧ (f (x
0
n
) → g
1
) i (x
”
n
→ x
0
) ∧ (f (x
”
n
) → g
2
) oraz g
1
6= g
2
,
to lim
x→x
0
f (x) nie istnieje.
y = sin(1/x)
w punkcie x = 0 nie
istnieje granica funkcji
-0.04
-0.02
0.02
X
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Y
Def. Liczba g jest
granicą lewostronną
(odp.
granicą prawostronną
) funkcji f w punkcie
x
0
, (ozn. lim
x→x
−
0
f (x) = g, odp. lim
x→x
+
0
f (x) = g) jeśli
∀(x
n
) ⊂ S [(x
n
< x
0
∧ x
n
→ x
0
) ⇒ (f (x
n
) → g)]
(odp.∀(x
n
) ⊂ S [(x
n
> x
0
∧ x
n
→ x
0
) ⇒ (f (x
n
) → g)])
Tw.4 lim
x→x
0
f (x) = g ⇔ lim
x→x
−
0
f (x) = lim
x→x
+
0
f (x) = g.