1
Wykład piąty
Pochodne wyższych rzędów
Zał. f
0
jest określona w pewnym otoczeniu punktu x
0
.
Definicja 1. Granicę właściwą lim
∆x→0
f
0
(x
0
+ ∆x) − f
0
(x
0
)
∆x
nazywamy
pochodną drugiego
rzędu
funkcji f w punkcie x
0
i oznaczamy przez f
00
(x
0
).
f
00
– funkcja drugiej pochodnej funkcji f .
Ogólnie określamy
pochodną n – tego rzędu
funkcji f jako:
f
(n)
(x)
df
=
f
(n−1)
(x)
0
, n = 2, 3, . . . .
Uwaga 1. Jeżeli funkcja f ma pochodną n–tego rzędu, to ma pochodne wszystkich niższych
rzędów.
Twierdzenie 1. (Rolle’a). Jeżeli funkcja f jest ciągła w ha; bi, f
0
istnieje w (a; b) oraz
f (a) = f (b), to istnieje c ∈ (a; b) taki, że f
0
(c) = 0.
Twierdzenie 2. Lagrange’a (o przyrostach). Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale
domkniętym o końcach x i x
0
oraz posiada pochodną f
0
wewnątrz tego przedziału, to istnieje
punkt c z wnętrza tego przedziału taki, że
f (x) − f (x
0
) = f
0
(c)(x − x
0
).
Wnioski z twierdzenia Lagrange’a
1. Jeżeli f
0
(x) = 0 dla każdego x ∈ (a ; b), to funkcja f jest stała w tym przedziale.
2. Jeżeli f
0
(x) = g
0
(x) dla każdego x ∈ (a ; b), to funkcje f i g różnią się na tym przedziale
o stałą.
3. Jeżeli f
0
(x) > 0 dla każdego x ∈ (a ; b), to funkcja f jest rosnąca na tym przedziale.
4. Jeżeli f
0
(x) < 0 dla każdego x ∈ (a ; b), to funkcja f jest malejąca na tym przedziale.
Powyższe wnioski pozostają prawdziwe dla przedziałów (−∞ ; a), (a ; +∞) i (−∞ ; +∞).
2
Zastosowania rachunku różniczkowego w wyznaczaniu ekstremów
Twierdzenie 3. (WK istnienia ekstremum)Jeżeli funkcja f ma w punkcie x
0
ekstremum
i f
0
(x
0
) istnieje, to f
0
(x
0
) = 0.
Uwaga 2. Funkcja f może mieć ekstremum tylko w tych punktach, w których pochodna nie
istnieje lub jest równa 0.
Twierdzenie 4. (I WW istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
oraz posiada pochodną f
0
na pewnym sąsiedztwie (x
0
− δ ; x
0
) ∪ (x
0
: x
0
+ δ) oraz f
0
(x) > 0
dla x ∈ (x
0
− δ ; x
0
) i f
0
(x) < 0 dla x ∈ (x
0
: x
0
+ δ) lub na odwrót, to funkcja f ma
ekstremum właściwe w punkcie x
0
.
y =
Ix
2
M
1
3
H1 + xL
-3
-2
-1
1
X
-2
-1
1
Y
Różniczka funkcji
Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x
0
oraz istnieje f
0
(x
0
) (właściwa),
to
f
0
(x
0
) = lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
⇔ lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
) − f
0
(x
0
) · ∆x
∆x
= 0.
Wyrażenie f
0
(x
0
) · ∆x nazywamy
różniczką funkcji
f
w punkcie
x
0
. Zastępując x
0
:= x
otrzymujemy
różniczkę funkcji
f , którą oznaczamy przez df (lub dy, jeśli y = f (x)), tzn.
df = f
0
(x) · ∆x.
3
Różniczkę zmiennej niezależnej x oznaczamy przez dx. Ponieważ dx = (x)
0
·∆x = 1·∆x = ∆x,
więc ostatecznie df = f
0
(x)dx, co uzasadnia spotykany zapis na pochodną: f
0
(x) =
df
dx
=
dy
dx
.
(przy ustalonym dx różniczka df jest funkcją zmiennej x)
Α
Hx
0
, f
Hx
0
LL
Hx
0
+ D
x, f
Hx
0
+ D
x
LL
y = f
HxL
Α
D
f
df
-
1
1
2
3
4
X
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Y