1
Wykład piąty
Pochodne wyższych rzędów
Zał. f
0
jest określona w pewnym otoczeniu punktu x
0
.
Definicja 1. Granicę właściwą lim
∆x→0
f
0
(x
0
+ ∆x) − f
0
(x
0
)
∆x
nazywamy
pochodną drugiego
rzędu
funkcji f w punkcie x
0
i oznaczamy przez f
00
(x
0
).
f
00
– funkcja drugiej pochodnej funkcji f .
Ogólnie określamy
pochodną n – tego rzędu
funkcji f jako:
f
(n)
(x)
df
=
f
(n−1)
(x)
0
, n = 2, 3, . . . .
Uwaga 1. Jeżeli funkcja f ma pochodną n–tego rzędu, to ma pochodne wszystkich niższych
rzędów.
Twierdzenie 1. (Rolle’a). Jeżeli funkcja f jest ciągła w ha; bi, f
0
istnieje w (a; b) oraz
f (a) = f (b), to istnieje c ∈ (a; b) taki, że f
0
(c) = 0.
Twierdzenie 2. Lagrange’a (o przyrostach). Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale
domkniętym o końcach x i x
0
oraz posiada pochodną f
0
wewnątrz tego przedziału, to istnieje
punkt c z wnętrza tego przedziału taki, że
f (x) − f (x
0
) = f
0
(c)(x − x
0
).
Wnioski z twierdzenia Lagrange’a
1. Jeżeli f
0
(x) = 0 dla każdego x ∈ (a ; b), to funkcja f jest stała w tym przedziale.
2. Jeżeli f
0
(x) = g
0
(x) dla każdego x ∈ (a ; b), to funkcje f i g różnią się na tym przedziale
o stałą.
3. Jeżeli f
0
(x) > 0 dla każdego x ∈ (a ; b), to funkcja f jest rosnąca na tym przedziale.
4. Jeżeli f
0
(x) < 0 dla każdego x ∈ (a ; b), to funkcja f jest malejąca na tym przedziale.
Powyższe wnioski pozostają prawdziwe dla przedziałów (−∞ ; a), (a ; +∞) i (−∞ ; +∞).
2
Zastosowania rachunku różniczkowego w wyznaczaniu ekstremów
Twierdzenie 3. (WK istnienia ekstremum)Jeżeli funkcja f ma w punkcie x
0
ekstremum
i f
0
(x
0
) istnieje, to f
0
(x
0
) = 0.
Uwaga 2. Funkcja f może mieć ekstremum tylko w tych punktach, w których pochodna nie
istnieje lub jest równa 0.
Twierdzenie 4. (I WW istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
oraz posiada pochodną f
0
na pewnym sąsiedztwie (x
0
− δ ; x
0
) ∪ (x
0
: x
0
+ δ) oraz f
0
(x) > 0
dla x ∈ (x
0
− δ ; x
0
) i f
0
(x) < 0 dla x ∈ (x
0
: x
0
+ δ) lub na odwrót, to funkcja f ma
ekstremum właściwe w punkcie x
0
.
y =
Ix
2
M
1
3
H1 + xL
-3
-2
-1
1
X
-2
-1
1
Y
Różniczka funkcji
Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x
0
oraz istnieje f
0
(x
0
) (właściwa),
to
f
0
(x
0
) = lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
⇔ lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
) − f
0
(x
0
) · ∆x
∆x
= 0.
Wyrażenie f
0
(x
0
) · ∆x nazywamy
różniczką funkcji
f
w punkcie
x
0
. Zastępując x
0
:= x
otrzymujemy
różniczkę funkcji
f , którą oznaczamy przez df (lub dy, jeśli y = f (x)), tzn.
df = f
0
(x) · ∆x.
3
Różniczkę zmiennej niezależnej x oznaczamy przez dx. Ponieważ dx = (x)
0
·∆x = 1·∆x = ∆x,
więc ostatecznie df = f
0
(x)dx, co uzasadnia spotykany zapis na pochodną: f
0
(x) =
df
dx
=
dy
dx
.
(przy ustalonym dx różniczka df jest funkcją zmiennej x)
Α
Hx
0
, f
Hx
0
LL
Hx
0
+ D
x, f
Hx
0
+ D
x
LL
y = f
HxL
Α
D
f
df
-
1
1
2
3
4
X
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Y
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
anl1 w02 zima2012 id 65272 Nieznany (2)
anl1 w01 zima2012 id 65270 Nieznany (2)
al1 w05 zima2011 id 54567 Nieznany (2)
anl1 w04 zima2012 id 65275 Nieznany (2)
anl1 w03 zima2012 id 65273 Nieznany (2)
pdt w05 info id 353036 Nieznany
al1 w07 zima2011 id 54569 Nieznany (2)
787 W05 Modbus id 46027 Nieznany (2)
anl1 w02 lato2009 id 65271 Nieznany (2)
al1 w08 zima2011 id 54571 Nieznany (2)
al1 w04 zima2011 id 54566 Nieznany (2)
al1 w06 zima2011 id 54568 Nieznany (2)
anl1 w04 lato2009 id 65274 Nieznany (2)
M W05 58 id 274845 Nieznany
IMW W05 Model mech jazdy id 212 Nieznany
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany
metro sciaga id 296943 Nieznany
więcej podobnych podstron