Wykład czwarty
Różniczka funkcji
Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x
0
oraz istnieje f
0
(x
0
) (właściwa),
to
f
0
(x
0
) = lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
⇔ lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
) − f
0
(x
0
) · ∆x
∆x
= 0.
Wyrażenie f
0
(x
0
) · ∆x nazywamy różniczką funkcji f w punkcie x
0
. Zastępując x
0
:= x
otrzymujemy różniczkę funkcji f , którą oznaczamy przez df (lub dy, jeśli y = f (x)), tzn.
df = f
0
(x) · ∆x. Różniczkę zmiennej niezależnej x oznaczamy przez dx. Ponieważ dx =
(x)
0
· ∆x = 1 · ∆x = ∆x, więc ostatecznie df = f
0
(x)dx, co uzasadnia spotykany zapis na
pochodną: f
0
(x) =
df
dx
=
dy
dx
.
(zauważmy, że przy ustalonym dx różniczka df jest funkcją zmiennej x)
Różniczką drugiego rzędu funkcji f nazywamy funkcję d
2
f = f
00
(x)(dx)
2
.
Tw. Rolle’a i tw. Lagrange’a
Tw. Rolle’a. Jeżeli funkcja f jest ciągła w ha; bi, f
0
istnieje w (a; b) oraz f (a) = f (b), to
istnieje c ∈ (a; b) taki, że f
0
(c) = 0.
Tw. Lagrange’a (o przyrostach). Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym o
końcach x i x
0
oraz posiada pochodną wewnątrz tego przedziału, to istnieje punkt c z wnętrza
tego przedziału taki, że
f (x) − f (x
0
) = f
0
(c)(x − x
0
).
Wnioski z tw.Lagrange’a.
1. Jeżeli f
0
(x) = 0 dla każdego x ∈ (a; b), to funkcja f jest funkcją stałą w tym przedziale.
2. Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale ha; bi, f
0
istnieje w (a; b) oraz f jest ściśle
rosnąca (ściśle malejąca) w (a; b), to f
0
0 w (a; b) (odp.f
0
¬ 0 w (a; b)).
3. Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale ha; bi, f
0
istnieje w (a; b) oraz f
0
> 0 w (a; b)
(f
0
< 0 w (a; b)) z wyjątkiem, być może, skończonej liczby punktów, to f jest ściśle
rosnąca (odp.ściśle malejąca) w (a; b).
Uwaga 1. Wnioski pozostają prawdziwe dla przedziałów nieskończonych. Wnioski dotyczą
przedziałów, nie można ich stosować do innych zbiorów.
1
y = -
1
x
y = -
1
x
-2
-1
1
X
-4
-2
2
4
Y
Funkcja f (x) = −
1
x
jest określona w D = (−∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) i f
0
(x) > 0 dla x ∈ D. Funkcja
f jest rosnąca w każdym z przedziałów osobno, ale nie w zbiorze D.
Zał. Funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu O punktu x
0
.
Def. Funkcja f ma w punkcie x
0
maksimum lokalne (odp.minimum lokalne), jeżeli
∀x ∈ O
1
⊂ O [f (x) ¬ f (x
0
)] (odp. ∀x ∈ O
1
⊂ O [f (x) f (x
0
)])
Funkcja f ma w punkcie x
0
ekstremum lokalne, jeśli ma w tym punkcie minimum lub mak-
simum lokalne. Jeśli w definicji zamiast nierówności słabej jest nierówność mocna, to ekstre-
mum jest właściwe.
Tw. (WK istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f ma w punkcie x
0
ekstremum i f
0
(x
0
) istnieje,
to f
0
(x
0
) = 0.
Uwaga 2. Funkcja f może mieć ekstremum tylko w tych punktach, w których pochodna nie
istnieje lub jest równa 0.
Tw. (I WW istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
oraz posiada
pochodną f
0
na pewnym sąsiedztwie (x
0
− δ ; x
0
) ∪ (x
0
: x
0
+ δ) oraz f
0
(x
1
) > 0 i f
0
(x
2
) < 0
dla x
1
∈ (x
0
− δ ; x
0
), x
2
∈ (x
0
: x
0
+ δ) lub na odwrót, to funkcja f ma ekstremum właściwe
w punkcie x
0
.
2
y = x
y = x - sinx
-2
2
4
6
8
X
-4
-2
2
4
6
8
Y
Funkcja f (x) = x − sin x jest rosnąca w R. f
0
(x) = 0 dla nieskończenie wielu x ∈ R.
y =
Ix
2
M
1
3
H1 + xL
-3
-2
-1
1
X
-2
-1
1
Y
Funkcja f (x) = (x + 1) ·
3
√
x
2
ma w punkcie x = 0 minimum właściwe, f
0
(0) nie istnieje.
f
0
(x) > 0 dla x < −2/5 , f
0
(x) < 0 dla x > −2/5, więc w x = −2/5 funkcja f ma maksimum
właściwe.
Wzór Taylora i Maclaurina
Tw.(Taylora) Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne do n − 1 , n 1 rzędu włącznie w
przedziale domkniętym o końcach x i x
0
oraz ma pochodną n–tego rzędu wewnątrz tego
przedziału, to istnieje punkt c z wnętrza tego przedziału taki, że
f (x)−f (x
0
) = f
0
(x
0
)·(x−x
0
)+
f
00
(x
0
)
2!
·(x−x
0
)
2
+· · ·+
f
(n−1)
(x
0
)
(n − 1)!
·(x−x
0
)
n−1
+
f
n
(c)
n!
·(x−x
0
)
n
inaczej
f (x) =
n−1
X
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
· (x − x
0
)
k
+
f
n
(c)
n!
· (x − x
0
)
n
.
Powyższy wzór jest nazywany wzorem Taylora z n–tą pochodną dla funkcji f i punktu x
0
, a
ostatni składnik – n–tą resztą wzoru Taylora.
3
Jeśli x
0
= 0, to wzór – zwany wówczas wzorem Maclaurina – ma postać
f (x) =
n−1
X
k=0
f
(k)
(0)
k!
· x
k
+
f
n
(c)
n!
· x
n
.
Pomijając ostatni składnik otrzymujemy przybliżenie
f (x) ≈
n−1
X
k=0
f
(k)
(0)
k!
· x
k
Wartość bezwzględna błędu przybliżenia nie przekracza
|f
n
(c)|
n!
· |x|
n
.
Tw. (II WW istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu x
0
pochodne do n – tego rzędu włącznie, pochodna f
(n)
jest ciągła w punkcie x
0
i n jest liczbą
parzystą oraz
f
(k)
(x
0
) = 0 dla k = 1, 2, . . . , n − 1 oraz f
(n)
(x
0
) 6= 0
to funkcja f ma w punkcie x
0
maksimum właściwe, gdy f
(n)
(x
0
) < 0, natomiast minimum
właściwe, gdy f
(n)
(x
0
) > 0.
Ważne przykłady
1. Dla funkcji f (x) = e
x
wzór Maclaurina dla dowolnego n i x ∈ R ma postać
e
x
=
n−1
X
k=0
1
k!
· x
k
+
e
c
n!
x
n
c leży między 0 i x
2. Dla f (x) = sin x dla każdego x ∈ R i n ∈ N:
sin x = x −
x
3
3!
+
x
5
5!
+ · · · +
sin
(n − 1) ·
π
2
(n − 1)!
x
(n−1)
+
sin
c + n ·
π
2
n!
x
n
c leży między 0 i x.
3. Dla f (x) = cos x dla każdego x ∈ R i n ∈ N:
cos x = 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
+ · · · +
cos
(n − 1) ·
π
2
(n − 1)!
x
(n−1)
+
cos
c + n ·
π
2
n!
x
n
c leży między 0 i x.
4
