Wykład czwarty

Różniczka funkcji

Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x

0

oraz istnieje f

0

(x

0

) (właściwa),

to

f

0

(x

0

) = lim

∆x→0

f (x

0

+ ∆x) − f (x

0

)

∆x

⇔ lim

∆x→0

f (x

0

+ ∆x) − f (x

0

) − f

0

(x

0

) · ∆x

∆x

= 0.

Wyrażenie f

0

(x

0

) · ∆x nazywamy różniczką funkcji f w punkcie x

0

. Zastępując x

0

:= x

otrzymujemy różniczkę funkcji f , którą oznaczamy przez df (lub dy, jeśli y = f (x)), tzn.
df = f

0

(x) · ∆x. Różniczkę zmiennej niezależnej x oznaczamy przez dx. Ponieważ dx =

(x)

0

· ∆x = 1 · ∆x = ∆x, więc ostatecznie df = f

0

(x)dx, co uzasadnia spotykany zapis na

pochodną: f

0

(x) =

df

dx

=

dy

dx

.

(zauważmy, że przy ustalonym dx różniczka df jest funkcją zmiennej x)

Różniczką drugiego rzędu funkcji f nazywamy funkcję d

2

f = f

00

(x)(dx)

2

.

Tw. Rolle’a i tw. Lagrange’a

Tw. Rolle’a. Jeżeli funkcja f jest ciągła w ha; bi, f

0

istnieje w (a; b) oraz f (a) = f (b), to

istnieje c ∈ (a; b) taki, że f

0

(c) = 0.

Tw. Lagrange’a (o przyrostach). Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym o
końcach x i x

0

oraz posiada pochodną wewnątrz tego przedziału, to istnieje punkt c z wnętrza

tego przedziału taki, że

f (x) − f (x

0

) = f

0

(c)(x − x

0

).

Wnioski z tw.Lagrange’a.

1. Jeżeli f

0

(x) = 0 dla każdego x ∈ (a; b), to funkcja f jest funkcją stałą w tym przedziale.

2. Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale ha; bi, f

0

istnieje w (a; b) oraz f jest ściśle

rosnąca (ściśle malejąca) w (a; b), to f

0

­ 0 w (a; b) (odp.f

0

¬ 0 w (a; b)).

3. Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale ha; bi, f

0

istnieje w (a; b) oraz f

0

> 0 w (a; b)

(f

0

< 0 w (a; b)) z wyjątkiem, być może, skończonej liczby punktów, to f jest ściśle

rosnąca (odp.ściśle malejąca) w (a; b).

Uwaga 1. Wnioski pozostają prawdziwe dla przedziałów nieskończonych. Wnioski dotyczą
przedziałów, nie można ich stosować do innych zbiorów.

1

y = -

1

x

y = -

1

x

-2

-1

1

X

-4

-2

2

4

Y

Funkcja f (x) = −

1

x

jest określona w D = (−∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) i f

0

(x) > 0 dla x ∈ D. Funkcja

f jest rosnąca w każdym z przedziałów osobno, ale nie w zbiorze D.

Zał. Funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu O punktu x

0

.

Def. Funkcja f ma w punkcie x

0

maksimum lokalne (odp.minimum lokalne), jeżeli

∀x ∈ O

1

⊂ O [f (x) ¬ f (x

0

)] (odp. ∀x ∈ O

1

⊂ O [f (x) ­ f (x

0

)])

Funkcja f ma w punkcie x

0

ekstremum lokalne, jeśli ma w tym punkcie minimum lub mak-

simum lokalne. Jeśli w definicji zamiast nierówności słabej jest nierówność mocna, to ekstre-
mum jest właściwe.

Tw. (WK istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f ma w punkcie x

0

ekstremum i f

0

(x

0

) istnieje,

to f

0

(x

0

) = 0.

Uwaga 2. Funkcja f może mieć ekstremum tylko w tych punktach, w których pochodna nie
istnieje lub jest równa 0.

Tw. (I WW istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x

0

oraz posiada

pochodną f

0

na pewnym sąsiedztwie (x

0

− δ ; x

0

) ∪ (x

0

: x

0

+ δ) oraz f

0

(x

1

) > 0 i f

0

(x

2

) < 0

dla x

1

∈ (x

0

− δ ; x

0

), x

2

∈ (x

0

: x

0

+ δ) lub na odwrót, to funkcja f ma ekstremum właściwe

w punkcie x

0

.

2

y = x

y = x - sinx

-2

2

4

6

8

X

-4

-2

2

4

6

8

Y

Funkcja f (x) = x − sin x jest rosnąca w R. f

0

(x) = 0 dla nieskończenie wielu x ∈ R.

y =

Ix

2

M

1

3

H1 + xL

-3

-2

-1

1

X

-2

-1

1

Y

Funkcja f (x) = (x + 1) ·

3

√

x

2

ma w punkcie x = 0 minimum właściwe, f

0

(0) nie istnieje.

f

0

(x) > 0 dla x < −2/5 , f

0

(x) < 0 dla x > −2/5, więc w x = −2/5 funkcja f ma maksimum

właściwe.

Wzór Taylora i Maclaurina

Tw.(Taylora) Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne do n − 1 , n ­ 1 rzędu włącznie w
przedziale domkniętym o końcach x i x

0

oraz ma pochodną n–tego rzędu wewnątrz tego

przedziału, to istnieje punkt c z wnętrza tego przedziału taki, że

f (x)−f (x

0

) = f

0

(x

0

)·(x−x

0

)+

f

00

(x

0

)

2!

·(x−x

0

)

2

+· · ·+

f

(n−1)

(x

0

)

(n − 1)!

·(x−x

0

)

n−1

+

f

n

(c)

n!

·(x−x

0

)

n

inaczej

f (x) =

n−1

X

k=0

f

(k)

(x

0

)

k!

· (x − x

0

)

k

+

f

n

(c)

n!

· (x − x

0

)

n

.

Powyższy wzór jest nazywany wzorem Taylora z n–tą pochodną dla funkcji f i punktu x

0

, a

ostatni składnik – n–tą resztą wzoru Taylora.

3

Jeśli x

0

= 0, to wzór – zwany wówczas wzorem Maclaurina – ma postać

f (x) =

n−1

X

k=0

f

(k)

(0)

k!

· x

k

+

f

n

(c)

n!

· x

n

.

Pomijając ostatni składnik otrzymujemy przybliżenie

f (x) ≈

n−1

X

k=0

f

(k)

(0)

k!

· x

k

Wartość bezwzględna błędu przybliżenia nie przekracza

|f

n

(c)|

n!

· |x|

n

.

Tw. (II WW istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu x

0

pochodne do n – tego rzędu włącznie, pochodna f

(n)

jest ciągła w punkcie x

0

i n jest liczbą

parzystą oraz

f

(k)

(x

0

) = 0 dla k = 1, 2, . . . , n − 1 oraz f

(n)

(x

0

) 6= 0

to funkcja f ma w punkcie x

0

maksimum właściwe, gdy f

(n)

(x

0

) < 0, natomiast minimum

właściwe, gdy f

(n)

(x

0

) > 0.

Ważne przykłady

1. Dla funkcji f (x) = e

x

wzór Maclaurina dla dowolnego n i x ∈ R ma postać

e

x

=

n−1

X

k=0

1

k!

· x

k

+

e

c

n!

x

n

c leży między 0 i x

2. Dla f (x) = sin x dla każdego x ∈ R i n ∈ N:

sin x = x −

x

3

3!

+

x

5

5!

+ · · · +

sin



(n − 1) ·

π

2



(n − 1)!

x

(n−1)

+

sin



c + n ·

π

2



n!

x

n

c leży między 0 i x.

3. Dla f (x) = cos x dla każdego x ∈ R i n ∈ N:

cos x = 1 −

x

2

2!

+

x

4

4!

+ · · · +

cos



(n − 1) ·

π

2



(n − 1)!

x

(n−1)

+

cos



c + n ·

π

2



n!

x

n

c leży między 0 i x.

4

y = 1 + x +

x

2

2

y = 1 + x +

x

2

2

+

x

3

6

y = ã

x

-3

-2

-1

1

2

3

X

5

10

15

Y

y = sinx

y = x -

x

3

6

y = x -

x

3

6

+

x

5

120

-2

2

4

X

-4

-2

2

4

Y

y = cosx

y = 1 -

x

2

2

y = 1 -

x

2

2

+

x

4

24

-2

2

4

X

-4

-2

2

4

Y

5