Wykład drugi

Granica funkcji

Zał. Funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie S = (x

0

− δ ; x

0

) ∪ (x

0

; x

0

+ δ).

Def. Liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x

0

(ozn. lim

x→x

0

f (x) = g), jeśli spełniony jest jeden

z dwóch równoważnych warunków:

(1) ∀ > 0∃δ > 0 [|x − x

0

| < δ ⇒ |f (x) − g| < ] - def.Cauchy’go

(2) ∀(x

n

) ⊂ S [(x

n

→ x

0

) ⇒ (f (x

n

) → g)] – def.Heinego

Uwaga 1. Jeżeli istnieje ciąg (x

n

) taki, że (x

n

→ x

0

) ∧ (f (x

n

) → g

1

) ∧ g

1

6= g, to lim

x→x

0

f (x) 6= g.

Jeżeli istnieją dwa różne ciągi (x

0

n

), (x

”
n

) takie, że

(x

0

n

→ x

0

) ∧ (f (x

”
n

) → g

1

) i (x

”
n

→ x

0

) ∧ (f (x

”
n

) → g

2

) oraz g

1

6= g

2

,

to lim

x→x

0

f (x) nie istnieje.

y = sin(1/x)

w punkcie x = 0 nie

istnieje granica funkcji

-0.04

-0.02

0.02

X

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Y

Def. Liczba g jest granicą lewostronną

(odp.granicą prawostronną) funkcji f w punkcie x

0

,

(ozn. lim

x→x

−
0

f (x) = g, odp. lim

x→x

+
0

f (x) = g) jeśli

∀(x

n

) ⊂ S [(x

n

< x

0

∧ x

n

→ x

0

) ⇒ (f (x

n

) → g)]

(odp.∀(x

n

) ⊂ S [(x

n

> x

0

∧ x

n

→ x

0

) ⇒ (f (x

n

) → g)])

Tw.1 lim

x→x

0

f (x) = g ⇔ lim

x→x

−
0

f (x) = lim

x→x

+
0

f (x) = g.

Tw.2 ( działaniach arytmetycznych na granicach). Jeżeli funkcje f

1

,f

2

są określone na pewnym

otoczeniu punktu x

0

oraz lim

x→x

0

f

1

(x) = g

1

i lim

x→x

0

f

2

(x) = g

2

, to

1. lim

x→x

0

(f

1

(x) + f

2

(x) = g

1

+ g

2

,

2. lim

x→x

0

(f

1

(x) − f

2

(x) = g

1

− g

2

,

3. lim

x→x

0

f

1

(x) · f

2

(x) = g

1

· g

2

,

4. lim

x→x

0

f

1

(x)

f

2

(x)

=

g

1

g

2

, jeśli g

2

6= 0.

Tw.3 (O trzech funkcjach) Jeżeli w pewnym sąsiedztwie S punktu x

0

zachodzą nierówności

f (x) ¬ h(x) ¬ k(x) dla każdego x ∈ S oraz lim

x→x

0

f (x) = lim

x→x

0

k(x) = g, to lim

x→x

0

h(x) = g.

Tw.4 (O granicy funkcji złożonej) Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = g, f (x) 6= g dla x 6= x

0

oraz lim

y→g

h(y) = p,

to lim

x→x

0

h(f (x)) = p.

Ważne granice. lim

x→0

sin x

x

= 1, lim

x→0

a

x

− 1

x

= ln a (lim

x→0

e

x

− 1

x

= 1).

y = sinx/x dla x ¹ 0

y = 1 dla x = 0

-15

-10

-5

5

10

X

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Y

Granice niewłaściwe

Zał. Funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie S = (x

0

− δ ; x

0

) ∪ (x

0

; x

0

+ δ).

Def. Funkcja f posiada w punkcie x

0

granicę niewłaściwą +∞ (odp.−∞) (ozn. lim

x→x

0

f (x) = +∞,

odp. lim

x→x

0

f (x) = −∞), jeśli

∀(x

n

) ⊂ S [(x

n

→ x

0

) ⇒ (f (x

n

) → +∞)]

odp.∀(x

n

) ⊂ S [(x

n

→ x

0

) ⇒ (f (x

n

) → −∞)]

Granice w nieskończoności

Def Funkcja f posiada w +∞ granicę g, jeśli

∀(x

n

) ⊂ D

f

[(x

n

→ +∞) ⇒ (f (x

n

) → g)]. (ozn. lim

x→+∞

f (x) = g)

Podobnie definiuje się granice w −∞ (właściwe i niewłaściwe).

Ważne granice. lim

x→+∞



1 +

1

x



x

= lim

x→−∞



1 +

1

x



x

= e, lim

x→+∞



1 −

1

x



x

=

1

e

.

Ciągłość funkcji

Zał. Funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x

0

.

Def. Funkcja f jest ciągła w punkcie x

0

, jeśli lim

x→x

0

f (x) = f (x

0

).

Uwaga 2. Suma (f + g), różnica (f − g), iloczyn (f · g) oraz iloraz

f

g

, gdy g(x

0

) 6= 0

!

funkcji

ciągłych w punkcie x

0

jest funkcją ciągłą w punkcie x

0

.

Def. Funkcja f jest ciągła w zbiorze A ⊂ R, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

Uwaga 3. Wielomiany, f. wymierne, f. trygonometryczne, f. wykładnicze, f. logarytmiczne, f.
hiperboliczne są ciągłe w swoich dziedzinach naturalnych.

Punkt x

0

∈ D

f

, w którym funkcja f nie jest ciągła nazywamy punktem nieciągłości tej funkcji.

Jeżeli punkt x

0

jest punktem nieciągłości funkcji f i jest ona ciągła na pewnym jego sąsiedztwie,

to nazywamy go odosobnionym punktem nieciągłości funkcji f .

Def. Odosobniony punkt nieciągłości x

0

funkcji f jest punktem nieciągłości I rodzaju, jeśli

istnieją granice jednostronne lim

x→x

−
0

f (x), lim

x→x

+
0

f (x) i są skończone. W przeciwnym wypadku punkt

x

0

jest punktem nieciągłości II rodzaju.

0.5

1.0

1.5

X

1

2

3

Y

-2

-1

1

X

-4

-2

2

4

Y

Punkt nieciągłości I rodzaju (po lewej) i II rodzaju (po prawej)

Uwaga 4. Jeżeli funkcja f jest nieciągła w punkcie x

0

i istnieje lim

x→x

0

f (x), to można tę niecią-

głość usunąć.

Własności funkcji ciągłych

1. (tw. o ciągłości funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcja f jest ciągła i rosnąca (odp.malejąca) na

przedziale A ⊂ R, to f (A) jest przedziałem oraz funkcja odwrotna f

−1

jest ciągła i rosnąca

(odp.malejąca) na przedziale f (A).

2. (tw. o lokalnym zachowaniu znaku) Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x

)

oraz f (x

0

) < 0

(odp. f (x

0

) > 0), to istnieje takie otoczenie O punktu x

0

, że dla każdego x ∈ O ∩ D

f

zachodzi nierówność f (x) < 0 (odp.f (x) > 0).
Zastosowanie: jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x

0

i f (x

0

) 6= 0, to na pewnym otoczeniu

punktu x

0

wartości funkcji f mają ten sam znak co liczba f (x

0

).

3. (tw. o przyjmowaniu wartości pośrednich) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale A (do-

mkniętym lub otwartym, ograniczonym lub nieograniczonym) oraz dla pewnych x

1

, x

2

∈

A : f (x

1

) = a

1

6= f (x

2

) = a

2

, to dla każdej liczby c leżącej między a

1

i a

2

istnieje x ∈ A

taki, że f (x) = c.
Zastosowanie: Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale ha; bi oraz f (a)·f (b) < 0, to istnieje
c ∈ (a; b) taki, że f (c) = 0.

4. (tw. o ciągłości funkcji złożonej) Jeżeli funkcja wewnętrzna f jest ciągła w punkcie x

0

i

funkcja zewnętrzna g jest ciągła w punkcie y

0

= f (x

0

), to funkcja złożona g ◦ f jest ciągła

w punkcie x

0

.

5. (tw. o wchodzeniu granicy do argumentu funkcji ciągłej) Jeżeli istnieje granica właściwa

lim

x→x

0

f (x) = y

0

i funkcja zewnętrzna g jest ciągła w punkcie y

0

, to

lim

x→x

0

(g ◦ f )(x) = g



lim

x→x

0

f (x)



= g(y

0

)

6. (tw.Weierstrassa) jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym ha; bi, to

(a) f jest ograniczona w ha; bi (tzn.∃m, M ∈ R ∀x ∈ ha; bi [m ¬ f (x) ¬ M ]),

(b) istnieją takie liczby x

1

, x

2

∈ ha; bi, że sup

x∈ha;bi

f (x) = f (x

1

) oraz

inf

x∈ha;bi

f (x) = f (x

2

).