1

Wykład pierwszy

Oznaczenia

N – zbiór liczb naturalnych

Z – zbiór liczb całkowitych

Q – zbiór liczb wymiernych

R – zbiór liczb rzeczywistych

∀ – kwantyfikator ogólny – ”dla każdego”

∃ – kwantyfikator szczegółowy – ”istnieje”

Podstawowe własności funkcji

X, Y - dowolne zbiory niepuste; f : X → Y - funkcja f określona na zbiorze X o wartościach
w zbiorze Y . x -

argument funkcji f

(zmienna niezależna); y = f (x)

wartość funkcji f

(zmienna

zależna).

X

df

= D

f

-

dziedzina funkcji f

;

R

f

df

={y ∈ Y : y = f (x) dla pewnego x ∈ D

f

} -

przeciwdziedzina funkcji f

.

Jeśli D

f

⊂ R, R

f

⊂ R, to f - funkcja

liczbowa

.

Def. 1. Funkcje f

1

, f

2

są

równe

, jeśli 1) D

f

1

= D

f

2

; 2) ∀x ∈ D

f

1

[f

1

(x) = f

2

(x)].

Def. 2. Niech f : X → Y i A ⊂ X. Funkcja f jest

różnowartościowa

na zbiorze A, jeśli

∀x

1

, x

2

∈ A [x

1

6= x

2

⇒ f (x

1

) 6= f (x

2

)] ≡ ∀x

1

, x

2

∈ A [f (x

1

) = f (x

2

) ⇒ x

1

= x

2

]

Def. 3. Niech f : X → Y , g : Y → Z. Funkcja

złożona

(

superpozycja

) funkcji f (f.

we-

wnętrzna

) i g (f.

zewnętrzna

)to funkcja h : X → Z określona wzorem ∀x ∈ X[h(x)

df

= g(f (x)).

h

ozn

= g ◦ f .

Jeśli f : X → Y taka, że R

f

= Y i f - różnowartościowa, to można określić funkcję

g : Y → X wzorem

∀x ∈ X, y ∈ Y [g(y) = x

df

⇔ f (x) = y]

Funkcja g

ozn

= f

−1

- funkcja

odwrotna

do funkcji f .

Uwaga 1. f ◦ f

−1

= id

Y

, f

−1

◦ f = id

X

.

2

Def. 4. Funkcja f : X → Y jest

parzysta

, jeśli ∀x ∈ X[−x ∈ X ∧ f (−x) = f (x)];

Funkcja f : X → Y jest

nieparzysta

, jeśli ∀x ∈ X[−x ∈ X ∧ f (−x) = −f (x)].

Uwaga 2. Iloczyn dwóch funkcji parzystych (nieparzystych) jest funkcją parzystą. Iloczyn
funkcji parzystej i funkcji nieparzystej jest funkcja nieparzystą.

Def. 5. Funkcja f : X → Y jest

rosnąca

(odp.

niemalejąca

) na zbiorze A ⊂ X, jeśli

∀x

1

, x

2

∈ A [x

1

< x

2

⇒ f (x

1

) < f (x

2

)]

(odp. ∀x

1

, x

2

∈ A [x

1

< x

2

⇒ f (x

1

) ¬ f (x

2

)] )

Def. 6. Funkcja f : X → Y jest

malejąca

(odp.

nierosnąca

) na zbiorze A ⊂ X, jeśli

∀x

1

, x

2

∈ A [x

1

< x

2

⇒ f (x

1

) > f (x

2

)]

(odp. ∀x

1

, x

2

∈ A [x

1

< x

2

⇒ f (x

1

) ­ f (x

2

)] )

Def. 7. Funkcja f jest

monotoniczna

(odp.

ściśle monotoniczna

) na zbiorze A, jeśli jest na

tym zbiorze niemalejąca lub nierosnąca (odp. rosnąca lub malejąca).

Zał. Funkcja f jest określona w pewnym przedziale O = (x

0

− δ; x

0

+ δ).

Def. 8. Funkcja f ma w punkcie x

0

maksimum lokalne

(odp.

minimum lokalne

), jeżeli

∀x ∈ O

1

⊂ O [f (x) ¬ f (x

0

)] (odp. ∀x ∈ O

1

⊂ O [f (x) ­ f (x

0

)])

Funkcja f ma w punkcie x

0

ekstremum lokalne

, jeśli ma w tym punkcie minimum lub

maksimum lokalne. Jeśli w definicji zamiast nierówności słabej jest nierówność mocna, to
ekstremum jest

właściwe

.

Funkcje cyklometryczne (kołowe)

Funkcja x = sin y na przedziale h−

π

2

;

π

2

i ma przeciwdziedzinę h−1 ; 1i i jest różnowartościo-

wa. Na zbiorze h−1 ; 1i określona jest funkcja odwrotna

arkus sinus

(arcsin):

y = arcsin x ⇔ x = sin y i y ∈ h−

π

2

;

π

2

i

Funkcja x = cos y na przedziale h0 ; πi ma przeciwdziedzinę h−1 ; 1i i jest różnowartościowa.
Na zbiorze h−1 ; 1i określona jest funkcja odwrotna

arkus kosinus

(arccos):

y = arccos x ⇔ x = cos y i y ∈ h0 ; πi

Funkcja x = tg y na przedziale (−

π

2

;

π

2

) ma przeciwdziedzinę R i jest różnowartościowa.

Na zbiorze R określona jest funkcja odwrotna

arkus tangens

(arctg ):

y = arctg x ⇔ x = tg y i y ∈ (−

π

2

;

π

2

)

Funkcja x = ctg y na przedziale (0 ; π) ma przeciwdziedzinę R i jest różnowartościowa. Na
zbiorze R określona jest funkcja odwrotna

arkus kotangens

(arcctg ):

y = arcctg x ⇔ x = ctg y i y ∈ (0 ; π)

3

y = arcsin x

y = sin x

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

X

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Y

y = arccos x

y = cos x

-1

1

2

X

-1

1

2

Y

y = tg x

y = arctg x

-4

-2

2

4

X

-6

-4

-2

2

4

Y

y = arcctg x

y = ctg x

-4

-2

2

4

X

-6

-4

-2

2

4

Y

Uwaga 3. Dla każdego x ∈ h−1 ; 1i:

1. sin(arcsin x) = x, cos(arccos x) = x

2. sin(arccos x) = cos(arcsin x) =

√

1 − x

2

Logarytmy

Funkcja wykładnicza y = a

x

, a > 0, a 6= 1 , x ∈ R ma przeciwdziedzinę R

+

i jest różnowar-

tościowa. Na zbiorze R

+

określona jest funkcja odwrotna – f.

logarytmiczna

4

y = log

a

x ⇔ x = a

y

i y ∈ R

Uwaga 4. Własności funkcji logarytmicznej:

1. dla każdego x > 0 i a > 0 , a 6= 1: x = a

log

a

x

;

2. dla każdych x

1

, x

2

> 0 i a > 0 , a 6= 1: log

a

x

1

+ log

a

x

2

= log

a

(x

1

· x

2

);

3. dla każdych x

1

, x

2

> 0 i a > 0 , a 6= 1: log

a

x

1

− log

a

x

2

= log

a



x

1

x

2



;

4. dla każdego x > 0 i a > 0 , a 6= 1 , α ∈ R: log

a

x

α

= α · log

a

x;

5. dla każdego x > 0 i a, b > 0 , a 6= 1, b 6= 1: log

a

x =

log

b

x

log

b

a

e = 2, 718 . . . - stała matematyczna; jeśli a = e, to log

e

x

ozn

= ln x - logarytm naturalny.

y = ã

x

y = ln x

-2

-1

1

2

X

-3

-2

-1

1

2

Y

Funkcje hiperboliczne

Funkcje hiperboliczne:

sinus hiperboliczny

(sh, sinh),

kosinus hiperboliczny

(ch, cosh),

tangens

hiperboliczny

(th, tgh),

kotangens hiperboliczny

(cth, ctgh) określone są następująco

1. sh x

df

=

e

x

− e

−x

2

, x ∈ R

2. ch x

df

=

e

x

+ e

−x

2

, x ∈ R

3. th x

df

=

sh x

ch x

, x ∈ R

5

4. cth x

df

=

ch x

sh x

, x ∈ R − {0}

Uwaga 5. Funkcja ch jest funkcją parzystą, pozostałe f.hiperboliczne są nieparzyste.

y = sh x

-4

-2

2

X

-4

-2

2

4

Y

y = ch x

-4

-2

2

X

-4

-2

2

4

Y

y = th x

-4

-2

2

X

-4

-2

2

4

Y

y = cth x

-4

-2

2

X

-4

-2

2

4

Y