1

Wykład 4

Tw.Kroneckera-Capellego

Dla układu (∗∗)



















a

11

x

1

+

a

12

x

2

+

. . .

+a

1n

x

n

=

b

1

a

21

x

1

+

a

22

x

2

+

. . .

+a

2n

x

n

=

b

2

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ . . . +a

mn

x

n

= b

m

macierzą rozszerzoną

nazywamy macierz [A, B].

Twierdzenie 1. (Kroneckera-Capellego)

1. Układ (∗∗) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R([A, B]);

2. Jeżeli R(A) = R([A, B]) = n, to układ (∗∗) ma dokładnie jedno rozwiązanie;

3. Jeżeli R(A) = R([A, B]) = k < n, to układ (∗∗) ma nieskończenie wiele rozwiązań

zależnych od n − k parametrów.

Podstawowe własności funkcji

X, Y - dowolne zbiory niepuste; f : X → Y - funkcja f określona na zbiorze X o wartościach
w zbiorze Y . x -

argument funkcji f

(zmienna niezależna); y = f (x)

wartość funkcji f

(zmienna

zależna).

X

df

= D

f

-

dziedzina funkcji f

;

R

f

df

={y ∈ Y : y = f (x) dla pewnego x ∈ D

f

} -

przeciwdziedzina funkcji f

.

Jeśli D

f

⊂ R, R

f

⊂ R, to f - funkcja

liczbowa

.

Definicja 1. Funkcje f

1

, f

2

są

równe

, jeśli 1) D

f

1

= D

f

2

; 2) ∀x ∈ D

f

1

[f

1

(x) = f

2

(x)].

Definicja 2. Niech f : X → Y i A ⊂ X. Funkcja f jest

różnowartościowa

na zbiorze A, jeśli

∀x

1

, x

2

∈ A [x

1

6= x

2

⇒ f (x

1

) 6= f (x

2

)] ≡ ∀x

1

, x

2

∈ A [f (x

1

) = f (x

2

) ⇒ x

1

= x

2

]

Definicja 3. Niech f : X → Y , g : Y → Z. Funkcja

złożona

(

superpozycja

) funkcji f (f.

we-

wnętrzna

) i g (f.

zewnętrzna

)to funkcja h : X → Z określona wzorem ∀x ∈ X[h(x)

df

= g(f (x)).

h

ozn

= g ◦ f .

Jeśli f : X → Y taka, że R

f

= Y i f - różnowartościowa, to można określić funkcję

g : Y → X wzorem

∀x ∈ X, y ∈ Y [g(y) = x

df

⇔ f (x) = y]

Funkcja g

ozn

= f

−1

- funkcja

odwrotna

do funkcji f .

2

Uwaga 1. f ◦ f

−1

= id

Y

, f

−1

◦ f = id

X

.

Definicja 4. Funkcja f : X → Y jest

parzysta

, jeśli ∀x ∈ X[−x ∈ X ∧ f (−x) = f (x)];

Funkcja f : X → Y jest

nieparzysta

, jeśli ∀x ∈ X[−x ∈ X ∧ f (−x) = −f (x)].

Uwaga 2. Iloczyn dwóch funkcji parzystych (nieparzystych) jest funkcją parzystą. Iloczyn
funkcji parzystej i funkcji nieparzystej jest funkcja nieparzystą.

Definicja 5. Funkcja f : X → Y jest

rosnąca

(odp.

niemalejąca

) na zbiorze A ⊂ X, jeśli

∀x

1

, x

2

∈ A [x

1

< x

2

⇒ f (x

1

) < f (x

2

)]

(odp. ∀x

1

, x

2

∈ A [x

1

< x

2

⇒ f (x

1

) ¬ f (x

2

)] )

Definicja 6. Funkcja f : X → Y jest

malejąca

(odp.

nierosnąca

) na zbiorze A ⊂ X, jeśli

∀x

1

, x

2

∈ A [x

1

< x

2

⇒ f (x

1

) > f (x

2

)]

(odp. ∀x

1

, x

2

∈ A [x

1

< x

2

⇒ f (x

1

) ­ f (x

2

)] )

Definicja 7. Funkcja f jest

monotoniczna

(odp.

ściśle monotoniczna

) na zbiorze A, jeśli jest

na tym zbiorze niemalejąca lub nierosnąca (odp. rosnąca lub malejąca).

Zał. Funkcja f jest określona w pewnym przedziale O = (x

0

− δ; x

0

+ δ).

Definicja 8. Funkcja f ma w punkcie x

0

maksimum lokalne

(odp.

minimum lokalne

), jeżeli

∀x ∈ O

1

⊂ O [f (x) ¬ f (x

0

)] (odp. ∀x ∈ O

1

⊂ O [f (x) ­ f (x

0

)])

Funkcja f ma w punkcie x

0

ekstremum lokalne

, jeśli ma w tym punkcie minimum lub

maksimum lokalne. Jeśli w definicji zamiast nierówności słabej jest nierówność mocna, to
ekstremum jest

właściwe

.

Funkcje cyklometryczne (kołowe)

Funkcja x = sin y na przedziale h−

π

2

;

π

2

i ma przeciwdziedzinę h−1 ; 1i i jest różnowartościo-

wa. Na zbiorze h−1 ; 1i określona jest funkcja odwrotna

arkus sinus

(arcsin):

y = arcsin x ⇔ x = sin y i y ∈ h−

π

2

;

π

2

i

Funkcja x = cos y na przedziale h0 ; πi ma przeciwdziedzinę h−1 ; 1i i jest różnowartościowa.
Na zbiorze h−1 ; 1i określona jest funkcja odwrotna

arkus kosinus

(arccos):

y = arccos x ⇔ x = cos y i y ∈ h0 ; πi

Funkcja x = tg y na przedziale (−

π

2

;

π

2

) ma przeciwdziedzinę R i jest różnowartościowa.

Na zbiorze R określona jest funkcja odwrotna

arkus tangens

(arctg ):

y = arctg x ⇔ x = tg y i y ∈ (−

π

2

;

π

2

)

3

y = sin x

y = arcsin x

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

X

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Y

y = cos x

y = arccos x

-1

1

2

X

-1

1

2

Y

y = arctg x

y = tg x

-4

-2

2

4

X

-6

-4

-2

2

4

Y

y = ctg x

y = arcctg x

-4

-2

2

4

X

-6

-4

-2

2

4

Y

Funkcja x = ctg y na przedziale (0 ; π) ma przeciwdziedzinę R i jest różnowartościowa. Na
zbiorze R określona jest funkcja odwrotna

arkus kotangens

(arcctg ):

y = arcctg x ⇔ x = ctg y i y ∈ (0 ; π)

Uwaga 3. Dla każdego x ∈ h−1 ; 1i:

1. sin(arcsin x) = x, cos(arccos x) = x

2. sin(arccos x) = cos(arcsin x) =

√

1 − x

2