1

Wykład ósmy

Wzór Taylora i Maclaurina

Tw 1. (Taylora) Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne do n − 1 rzędu, n ­ 1, włącznie
w przedziale domkniętym o końcach x i x

0

oraz ma pochodną n–tego rzędu wewnątrz tego

przedziału, to istnieje punkt c z wnętrza tego przedziału taki, że

f (x)−f (x

0

) = f

0

(x

0

)·(x−x

0

)+

f

00

(x

0

)

2!

·(x−x

0

)

2

+· · ·++

f

(n−1)

(x

0

)

(n − 1)!

·(x−x

0

)

n−1

+

f

(n)

(c)

n!

·(x−x

0

)

n

wzór Taylora z n–tą pochodną

dla funkcji f i punktu x

0

,

ostatni składnik – n–ta reszta

wzoru Taylora

.

Po przeniesieniu składnika f (x

0

) na prawą stronę wzór Taylora można zapisać w postaci:

f (x) =

n−1

X

k=0

f

(k)

(x

0

)

k!

· (x − x

0

)

k

+

f

(n)

(c)

n!

· (x − x

0

)

n

.

Pomijając ostatni składnik otrzymujemy przybliżenie

f (x) ≈

n−1

X

k=0

f

(k)

(x

0

)

k!

· (x − x

0

)

k

Wartość bezwzględna błędu przybliżenia nie przekracza

|f

(n)

(c)|

n!

· |x − x

0

|

n

.

Dla x

0

= 0 wzór Taylora – zwany wówczas

wzorem Maclaurina

– ma postać

f (x) =

n−1

X

k=0

f

(k)

(0)

k!

· x

k

+

f

(n)

(c)

n!

· x

n

, c − między 0 i x;

a przybliżenie

f (x) ≈

n−1

X

k=0

f

(k)

(x

0

)

k!

· x

k

Ważne przykłady rozwinięć wg wzoru Maclaurina

1. Dla funkcji f (x) = e

x

wzór Maclaurina dla dowolnego n i x ∈ R ma postać

e

x

=

n−1

X

k=0

1

k!

· x

k

+

e

c

n!

x

n

c leży między 0 i x

2

2. Dla f (x) = sin x dla każdego x ∈ R i n ∈ N:

sin x = x −

x

3

3!

+

x

5

5!

+ · · · +

sin



(n − 1) ·

π

2



(n − 1)!

x

(n−1)

+

sin



c + n ·

π

2



n!

x

n

c leży między 0 i x.

3. Dla f (x) = cos x dla każdego x ∈ R i n ∈ N:

cos x = 1 −

x

2

2!

+

x

4

4!

+ · · · +

cos



(n − 1) ·

π

2



(n − 1)!

x

(n−1)

+

cos



c + n ·

π

2



n!

x

n

c leży między 0 i x.

y = 1 + x +

x

2

2

y = 1 + x +

x

2

2

+

x

3

6

y = ã

x

-3

-2

-1

1

2

3

X

5

10

15

Y

y = sinx

y = x -

x

3

6

y = x -

x

3

6

+

x

5

120

-2

2

4

X

-4

-2

2

4

Y

y = cosx

y = 1 -

x

2

2

y = 1 -

x

2

2

+

x

4

24

-2

2

4

X

-4

-2

2

4

Y

3

Całka nieoznaczona

Def. 1. Funkcja F jest

funkcją pierwotną

funkcji f na przedziale X, jeśli zachodzi równość

F

0

(x) = f (x) dla każdego x ∈ X .

Operacja wyznaczania funkcji pierwotnej jest operacją odwrotną do operacji różniczkowania.

Tw 2. Jeżeli funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X, to

1. każda funkcja postaci F +C , C ∈ R jest funkcją pierwotną funkcji f na tym przedziale;

2. jeżeli F

1

jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X, to F

1

= F + C

0

dla

pewnego C

0

∈ R.

Ostatnie zdanie przestaje być prawdziwe, gdy X nie jest przedziałem.

Operacje wyznaczania funkcji pierwotnej funkcji f na przedziale X nazywamy

całkowaniem

.

Def. 2. Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f na danym przedziale nazywamy

całką

nieoznaczoną

funkcji f i oznaczamy przez

Z

f (x)dx.

x –

zmienna całkowania

;

f –

funkcja podcałkowa

;

f (x)dx –

wyrażenie podcałkowe

.

Uwaga 1. Jeśli F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f , to

Z

f (x)dx =

Z

F

0

(x)dx = F (x) + C , C ∈ R

Tw 3. (O istnieniu funkcji pierwotnej) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale X, to posiada
w tym przedziale funkcję pierwotną.

Z reguł różniczkowania wynikają wzory:

Z

(f (x) + g(x))dx =

Z

f (x)dx +

Z

g(x)dx ,

Z

A · f (x)dx = A ·

Z

f (x)dx , A ∈ R

4

Wzory podstawowe

Z definicji funkcji pierwotnej i wzorów na pochodne funkcji elementarnych wynikają nastę-
pujące wzory podstawowe:

Z

0dx = C

Z

dx = x + C

Z

x

α

dx =

x

α+1

α + 1

+ C, α 6= −1

Z

dx

x

= ln |x| + C

Z

sin xdx = − cos x + C

Z

cos xdx = sin x + C

Z

dx

cos

2

x

= tg x + C

Z

dx

sin

2

x

= − ctg x + C

Z

dx

1 + x

2

= arctg x + C

Z

dx

√

1 − x

2

= arcsin x + C

Z

e

x

dx = e

x

+ C,

Z

a

x

dx =

a

x

ln a

+ C, a > 0 ∧ a 6= 1

Z

sh xdx = ch x + C

Z

ch xdx = sh x + C

Tw 4. (o całkowaniu przez części) Jeżeli funkcje f , f

0

, g , g

0

są ciągłe na przedziale X,

to

Z

f (x)g

0

(x)dx = f (x)g(x) −

Z

f

0

(x)g(x)dx.

Tw. o całkowaniu przez części można stosować więcej niż jeden raz.