1
Wykład ósmy
Wzór Taylora i Maclaurina
Tw 1. (Taylora) Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne do n − 1 rzędu, n 1, włącznie
w przedziale domkniętym o końcach x i x
0
oraz ma pochodną n–tego rzędu wewnątrz tego
przedziału, to istnieje punkt c z wnętrza tego przedziału taki, że
f (x)−f (x
0
) = f
0
(x
0
)·(x−x
0
)+
f
00
(x
0
)
2!
·(x−x
0
)
2
+· · ·++
f
(n−1)
(x
0
)
(n − 1)!
·(x−x
0
)
n−1
+
f
(n)
(c)
n!
·(x−x
0
)
n
wzór Taylora z n–tą pochodną
dla funkcji f i punktu x
0
,
ostatni składnik – n–ta reszta
wzoru Taylora
.
Po przeniesieniu składnika f (x
0
) na prawą stronę wzór Taylora można zapisać w postaci:
f (x) =
n−1
X
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
· (x − x
0
)
k
+
f
(n)
(c)
n!
· (x − x
0
)
n
.
Pomijając ostatni składnik otrzymujemy przybliżenie
f (x) ≈
n−1
X
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
· (x − x
0
)
k
Wartość bezwzględna błędu przybliżenia nie przekracza
|f
(n)
(c)|
n!
· |x − x
0
|
n
.
Dla x
0
= 0 wzór Taylora – zwany wówczas
wzorem Maclaurina
– ma postać
f (x) =
n−1
X
k=0
f
(k)
(0)
k!
· x
k
+
f
(n)
(c)
n!
· x
n
, c − między 0 i x;
a przybliżenie
f (x) ≈
n−1
X
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
· x
k
Ważne przykłady rozwinięć wg wzoru Maclaurina
1. Dla funkcji f (x) = e
x
wzór Maclaurina dla dowolnego n i x ∈ R ma postać
e
x
=
n−1
X
k=0
1
k!
· x
k
+
e
c
n!
x
n
c leży między 0 i x
2
2. Dla f (x) = sin x dla każdego x ∈ R i n ∈ N:
sin x = x −
x
3
3!
+
x
5
5!
+ · · · +
sin
(n − 1) ·
π
2
(n − 1)!
x
(n−1)
+
sin
c + n ·
π
2
n!
x
n
c leży między 0 i x.
3. Dla f (x) = cos x dla każdego x ∈ R i n ∈ N:
cos x = 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
+ · · · +
cos
(n − 1) ·
π
2
(n − 1)!
x
(n−1)
+
cos
c + n ·
π
2
n!
x
n
c leży między 0 i x.
y = 1 + x +
x
2
2
y = 1 + x +
x
2
2
+
x
3
6
y = ã
x
-3
-2
-1
1
2
3
X
5
10
15
Y
y = sinx
y = x -
x
3
6
y = x -
x
3
6
+
x
5
120
-2
2
4
X
-4
-2
2
4
Y
y = cosx
y = 1 -
x
2
2
y = 1 -
x
2
2
+
x
4
24
-2
2
4
X
-4
-2
2
4
Y
3
Całka nieoznaczona
Def. 1. Funkcja F jest
funkcją pierwotną
funkcji f na przedziale X, jeśli zachodzi równość
F
0
(x) = f (x) dla każdego x ∈ X .
Operacja wyznaczania funkcji pierwotnej jest operacją odwrotną do operacji różniczkowania.
Tw 2. Jeżeli funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X, to
1. każda funkcja postaci F +C , C ∈ R jest funkcją pierwotną funkcji f na tym przedziale;
2. jeżeli F
1
jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X, to F
1
= F + C
0
dla
pewnego C
0
∈ R.
Ostatnie zdanie przestaje być prawdziwe, gdy X nie jest przedziałem.
Operacje wyznaczania funkcji pierwotnej funkcji f na przedziale X nazywamy
całkowaniem
.
Def. 2. Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f na danym przedziale nazywamy
całką
nieoznaczoną
funkcji f i oznaczamy przez
Z
f (x)dx.
x –
zmienna całkowania
;
f –
funkcja podcałkowa
;
f (x)dx –
wyrażenie podcałkowe
.
Uwaga 1. Jeśli F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f , to
Z
f (x)dx =
Z
F
0
(x)dx = F (x) + C , C ∈ R
Tw 3. (O istnieniu funkcji pierwotnej) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale X, to posiada
w tym przedziale funkcję pierwotną.
Z reguł różniczkowania wynikają wzory:
Z
(f (x) + g(x))dx =
Z
f (x)dx +
Z
g(x)dx ,
Z
A · f (x)dx = A ·
Z
f (x)dx , A ∈ R
4
Wzory podstawowe
Z definicji funkcji pierwotnej i wzorów na pochodne funkcji elementarnych wynikają nastę-
pujące wzory podstawowe:
Z
0dx = C
Z
dx = x + C
Z
x
α
dx =
x
α+1
α + 1
+ C, α 6= −1
Z
dx
x
= ln |x| + C
Z
sin xdx = − cos x + C
Z
cos xdx = sin x + C
Z
dx
cos
2
x
= tg x + C
Z
dx
sin
2
x
= − ctg x + C
Z
dx
1 + x
2
= arctg x + C
Z
dx
√
1 − x
2
= arcsin x + C
Z
e
x
dx = e
x
+ C,
Z
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C, a > 0 ∧ a 6= 1
Z
sh xdx = ch x + C
Z
ch xdx = sh x + C
Tw 4. (o całkowaniu przez części) Jeżeli funkcje f , f
0
, g , g
0
są ciągłe na przedziale X,
to
Z
f (x)g
0
(x)dx = f (x)g(x) −
Z
f
0
(x)g(x)dx.
Tw. o całkowaniu przez części można stosować więcej niż jeden raz.