ALGEBRA LINIOWA 1

Specjalna lista zadań*

Uwaga. Lista zawiera zadania trudniejsze i jest ona przeznaczona dla studentów pragnących głębiej zastanowić się nad
tematyką kursu. Lista jest przygotowana również z myślą o tych osobach, które zamierzają ubiegać się w przyszłości o ocenę
celującą 5,5 z ALGEBRY LINIOWEJ 1, ALGEBRY Z GEOMETRIĄ ANALITCZNĄ oraz kursów pokrewnych. Prezen-
towane tu zadania pojawiły się na egzaminach na ocenę celującą organizowanych od roku 1995. Lista jest podzielona na cztery
części tematyczne, a zadania są ułożone w kolejności merytorycznej.

Oryginalne zestawy zadań z poprzednich egzaminów na

ocenę celującą wraz z odpowiedziami i wskazówkami znajdują się w zbiorze: M. Gewert, Z. Skoczylas (opr.), Algebra liniowa
1. Kolokwia i egzaminy

.

Specjalna lista zadań, standardowa lista zadań oraz inne materiały dotyczące tego kursu znajdują się

także na stronie

www.im.pwr.wroc.pl

/~tjurlew

Egzamin na ocenę celującą będzie się składał z czterech zadań o podobnym stopniu trudności ocenianych w skali od 0 do 5

punktów. Uzyskanie w czasie trzech godzin co najmniej 10 punktów będzie gwarancją sukcesu.

LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA

:

[1] P. R. Halmos, Linear Algebra Problem Book, Dolciani Mathematical Expositions, No 16, The Mathematical

Association of America, Washington 1995

[2] J. Klukowski, Algebra w zadaniach, Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1991
[3] Pod red. A. I. Kostrikina, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1995
[4] S. Przybyło, A Szlachtowski, Algebra i geometria afiniczna w zadaniach, WNT Warszawa 1983
[5] I. V. Proskuryakov, Problems in Linear Algebra, Mir Publishers, Moscow 1978
[6] Fuzhen Zhang, Linear algebra, Challenging Problems for Students, The Johns Hopkins University Press, Baltimore and

London 1996.

Teresa Jurlewicz

, Zbigniew Skoczylas, luty 2007

ZADANIA

1. Liczby zespolone

1.1*

Liczby zespolone i spełniają warunki

. Czy

?

u

v

u

5

= v

5

, u

17

= v

17

u

= v

Odpowiedź uzasadnić.

(cel-05-1)

1.2*

Zbadać postać zbioru

w zależności od liczby zespo-

{ z ∈ C :

z

− z

0

= r }

lonej

i liczby dodatniej .

(cel-15-1)

z

0

r

1.3*

Wyrazić

w zależności od

i

wiedząc, że moduły

arg

( z

1

− z

2

)

arg z

1

arg z

2

liczb zespolonych

są jednakowe.

(cel-13-1)

z

1

, z

2

1.4*

Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone

spełniające układ równań

z

1

, z

2

, z

3

.

(cel-06-4)










z

1

= z

2

= z

3

= 1

z

1

+ z

2

+ z

3

= 1

z

1

⋅ z

2

⋅ z

3

= 1

1.5*

Kąty ostre

są określone warunkami

.

α, β, γ

tg

α = 1, tg β =

1
2

, tg

γ =

1
3

Za pomocą działań na liczbach zespolonych obliczyć

.

(cel-11-1)

α + β + γ

1.6*

Zbadać, dla jakich liczb naturalnych oraz dla jakich kątów prawdziwy jest

n

α

"przekręcony wzór de Moivre'a"

.

(cel-17-1)

( sin α + i cos α )

n

= sin nα + i cos nα

1.7*

Zbadać, czy istnieje liczba naturalna taka, że

jest liczbą rzeczywistą.

n

( 2 + i )

n

(cel-07-3)

1.8*

W okrąg o promieniu wpisano siedmiokąt foremny o wierzchołkach

,

1

A

1

. Na okręgu wybrano punkt . Korzystając z liczb zespolonych udo-

A

2

,

…, A

7

P

wodnić, że suma

nie zależy od położenia

( PA

1

)

2

+ ( PA

2

)

2

+ … + ( PA

7

)

2

punktu .

(cel-02-3)

P

1.9*

Na wszystkich bokach równoległoboku zbudowano zewnętrzne kwadraty. Korzy-
stając z liczb zespolonych pokazać, że środki tych kwadratów tworzą kwadrat.

(cel-19-2)

1.10* Niech

oraz będą liczbami naturalnymi. Wykorzystując liczby zespolone

a

, b

n

udowodnić, że istnieją liczby całkowite

, dla których zachodzi równość

x

, y

.

(cel-01-4)

( a

2

+ b

2

)

n

= x

2

+ y

2

1.11* Liczba zespolona spełnia związek

. Obliczyć

z

z

+

1

z

= 2 cos

π

2000

.

(cel-10-1)

z

2000

+

1

z

2000

1.12* Znaleźć wszystkie pary

liczb całkowitych, dla których zachodzi równość

( p, q )

.

(cel-16-1)





1
2

+ i

3

2





p

=





2

2

− i

2

2





q

1.13* Niech

. Pokazać, że

2001

1

= { 1, z

1

, z

2

, ..., z

2000

}

.

(cel-12-1)

Π

k

= 1

2000

( 1 − z

k

) = 2001

1.14* Uzasadnić, że istnieją liczby naturalne

spełniające warunek

m

≠ n

.

(cel-18a-1)

e

im

− e

in

<

1

2006

2. Wielomiany

2.1*

Znaleźć wszystkie liczby całkowite , dla których wielomian

p

P

( x ) =

jest podzielny przez wielomian

.

(cel-02-4)

x

13

+ x + 90

Q

( x ) = x

2

− x + p

2.2*

Znaleźć liczby wymierne

, dla których liczba

jest

p

, q

x

1

= 3 + 2

pierwiastkiem wielomianu

.

(ce1-13-2)

W

( x ) = x

4

+ px

2

+ q

2.3*

Uzasadnić, że liczba

jest wymierna.

(cel-10-2)

3

2

+ 5 +

3

2

− 5

2.4*

Znaleźć resztę z dzielenia wielomianu

przez wielomian

x

2000

+ x

1999

+ 2001

.

(cel-09-1)

( x

2

+ 1 )

2

2.5*

Czy istnieje wielomian

stopnia

, który spełnia warunki

W

2002

oraz

,

W(

1)

= W(2) = W(3) = ... = W(2001) = 1

W(

2002)

= 2

. Odpowiedź uzasadnić.

(ce1-15-2)

W(

2003)

= 3

2.6*

Wielomian stopnia mniejszego od

spełnia warunek

2005

.

W

(1) = W (2) = ... = W (2005)

Podać wartość

(cel-17-2)

W

(2006) − W (0).

2.7*

Pokazać, że wielomiany

,

z

4

− z

3

+ z

2

+ 2z − 6 z

4

+ z

3

+ 3z

2

+ 4z + 6

mają wspólne pierwiastki zespolone.

(cel-16-2)

2.8*

Liczby zespolone

są pierwiastkami wielomianu

z

1

, z

2

,

…, z

9

. Obliczyć sumę

.

(cel-03-2)

W

( z ) = z

9

+ 13z

8

+ 5z − 2

Σ

i

= 1

9

z

i

2

2.9*

Prosta

przecina wykres funkcji

y

= mx + b

y

= 2x

5

− x

3

+ 4x

2

+ 3x − 7

w pięciu różnych punktach

. Pokazać,

( x

1

, y

1

), ( x

2

, y

2

), ..., ( x

5

, y

5

)

ż

e liczba

nie zależy od parametrów

i .

(cel-01-3)

x

1

+ x

2

+ … + x

5

5

m

b

2.10* Liczby zespolone

są pierwiastkami wielomianu

. Obliczyć

α, β, γ

x

3

+ x + 1

wartość wyrażenia

.

(cel-08-2)

1

α + i

+

1

β + i

+

1

γ + i

2.11* Liczby zespolone

są pierwiastkami wielomianu

α, β, γ

Uzasadnić, że

.

(cel-04-1)

W

( z ) = z

3

+ ( 1 − 2i ) z + 3 − 5i.

α

3

+ β

3

+ γ

3

= 3αβγ

2.12* Wielomian

ma współczynniki

W

( z ) = z

n

+ a

n

−1

z

n

−1

+ ... + a

1

z

+ a

0

rzeczywiste. Pierwiastkiem tego wielomianu jest liczba

, gdzie

z

0

= e

i

ϕ

. Uzasadnić równość

ϕ ∈ R

(cel-06-1)

a

n

−1

sin

ϕ + a

n

−2

sin 2

ϕ + ... + a

1

sin

[ (n − 1) ϕ ] + a

0

sin n

ϕ = 0.

2.13* Wielomian

rozłożyć na czynniki rzeczywiste.

(cel-11-2)

x

2001

+ x

2000

+ ... + x + 1

2.14* Wykorzystując rozkład wielomianu

na czynniki rzeczywiste uzasadnić

x

2n

− 1

równość:

.

(cel-18a-2)

sin

π

2n

⋅ sin

2

π

2n

⋅ sin

3

π

2n

⋅ ... ⋅ sin

( n−1 )π

2n

=

n

2

n

−1

2.15* Zbadać, czy istnieje wielomian zespolony

taki, że

W

.

(ce1-14-1)

W

2

( z ) = z

2002

+ z

2001

+ z

2000

+ ... + z + 1

2.16* Znaleźć niezerowy wielomian o współczynnikach całkowitych, możliwie naj-

niższego stopnia, którego pierwiastkami są liczby

, gdzie

.

(ce1-18-2)

e

4 k

π

101

i

k

= 1, 2, 3, ..., 50

2.17* Niech

. Znaleźć wszystkie pierwiastki zespolone równania

f

( x ) = x

2

+ 12x + 30

.

(ce1-14-3)

f

{ f [ f ( x ) ] } = 0

2.19* Adam napisał i ukrył wielomian

pewnego stopnia o nieujemnych współ-

W

( x )

czynnikach całkowitych. Bartek chce odgadnąć ten wielomian. Adam może mu
podać wartość wielomianu dla dowolnego argumentu wymiernego . Pokazać,

x

ż

e Bartek może odgadnąć wielomian zadając tylko dwa pytania, przy czym drugie

po uzyskaniu odpowiedzi na pierwsze z nich.

(cel-19-1)

3. Macierze i wyznaczniki

3.1*

Uzasadnić, że nie istnieją macierze

spełniające warunek

A

, B

,

AB

− BA = I

gdzie oznacza macierz jednostkową.

(cel-11-3)

I

3.2*

Znaleźć wszystkie macierze stopnia

, które spełniają równości

A

1998

.

A

1997

= I,

A

2000

= I

Odpowiedź uzasadnić.

(cel-6-2)

3.3*

Pokazać, że macierz

jest nieosobliwa.














102495 550429 873296 660697
370628 909093 127450 925601
835044 601178 624655 263392
663780 487252 292276 593107














Odpowiedź uzasadnić.

(cel-09-3 )

3.4*

Elementami macierzy kwadratowej stopnia są tylko liczby

oraz (dowol-

4

−2

1

nie ustawione). Pokazać, że wyznacznik tej macierzy jest podzielny przez

.

(cel-12-2)

27

3.5*

Pokazać, że istnieje macierz kwadratowa stopnia

, złożona tylko z liczb

12

, której wyznacznik jest równy

.

(cel-02-2)

−1, 0, 1

1995

3.6*

Obliczyć wyznacznik macierzy kwadratowej

stopnia

, gdzie

[a

ij

]

n

∈ N

dla

.

(cel-14-2)

a

ij

= min { i, j }

1

≤ i, j ≤ n

3.7*

Obliczyć wyznacznik macierzy

stopnia

, której elementy mają postać

[a

ij

]

n

≥ 3

.

(cel-15-3)

a

ij

=










2 dla i

= j,

1 dla

i

− j = 1,

0 dla

i

− j ≥ 2.

3.8*

Obliczyć

dla macierzy

stopnia

określonej następująco:

det A

A

= [a

ij

]

2005

dla

,

dla

,

a

i i

+1

= 2005

1

≤ i ≤ 2004 a

i i

+2

= −2004

1

≤ i ≤ 2003

dla

,

dla

,

a

ii

−1

= −2005

2

≤ i ≤ 2005 a

i i

−2

= 2004

3

≤ i ≤ 2005

w pozostałych przypadkach.

(cel-17-3)

a

ij

= 0

3.9*

Niech będzie antysymetryczną macierzą stopnia

. Obliczyć wyznacznik

A

1997

macierzy

.

(cel-05-2)

1996 A

− 1998 A

T

3.10*. Macierz spełnia warunek

. Pokazać, że wówczas

A

A

2007

= O

.

(cel-19-3)

det

( I + A + A

2

+ ... + A

2006

) ≠ 0

3.11* Elementami macierzy kwadratowej są liczby

. Każdy wiersz

0, 1, 2,

…, 9

tej macierzy czytany jako liczba w systemie dziesiętnym jest podzielny przez .

7

Udowodnić, że wyznacznik tej macierzy także jest podzielny przez .

(cel-03-1)

7

3.12* Miejscowości

położone są przy prostoliniowej drodze. Odleg-

M

1

, M

2

, ..., M

n

łość między miejscowościami

oraz

jest równa

, gdzie

.

M

i

M

j

d

ij

1

≤ i, j ≤ n

Udowodnić, że

.

(cel-01-1)

det

[d

ij

] ≠ 0

3.13* Pierwszy wiersz wyznacznika stopnia , gdzie

, tworzą kolejne liczby

n

n

≥ 2

pierwsze

. Pokazać, że w pozostałe wiersze wyznacznika

2, 3, 5, ..., p

n

można wpisać liczby naturalne tak, aby był on równy .

(cel-16-3)

1

3.14* Niech oznacza macierz jednostkową stopnia

. Ponadto niech

I

n

∈ N

oraz

będą liczbami rzeczywistymi.

a

1

, a

2

, ..., a

n

b

1

, b

2

, ..., b

n

Uzasadnić równość

(cel-08-4)

.

det

( I +














a

1

a

2

.

..

a

n














 b

1

b

2

. .

. b

n

 ) = 1 + det (  b

1

b

2

. .

. b

n
















a

1

a

2

.

..

a

n














)

3.15* Na płaszczyźnie zespolonej dane są trójkąty o wierzchołkach

oraz

z

1

, z

2

, z

3

. Pokazać, że te trójkąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy

w

1

, w

2

, w

3

.

(cel-18-1)

det










z

1

z

2

z

3

w

1

w

2

w

3

1

1

1










= 0

3.16* Uzasadnić, że równanie macierzowe

2X

2

+ 2X =










−1

5

3

−2

1

2

0

−4 −3










nie ma rozwiązań w zbiorze macierzy rzeczywistych.

(cel-18-3)

3.17* Niech

oraz

. Macierze

X

1

= [ 1 1 1 ], X

2

= [ 1 −1 2 ]

X

3

= [ 2 2 1 ]

i wymiaru

spełniają równości:

A

B

3

× 1999

.

X

1

A

= X

1

B

,

X

2

A

= X

2

B

,

X

3

A

= X

3

B

Czy

? Odpowiedź uzasadnić.

(cel-08-3)

A

= B

3.18* Macierz jest odwracalna i ma następującą własność: wszystkie elementy

A

jej głównej przekątnej są jednakowe oraz wszystkie elementy spoza jej głównej
przekątnej są jednakowe. Zbadać, czy macierz

ma tę samą własność.

(cel-18a-3)

A

−1

3.19* Macierz spełnia warunek

. Obliczyć

.

(cel-07-1)

A

A

+ A

−1

=










1 3 5
0 2 4
0 0 3










A

3

+ A

−3

3.20* Macierz jest odwracalna. Obliczyć sumę wszystkich elementów głównej

P

przekątnej macierzy

.

(cel-10-3)

A

= P

−1

⋅















1 0 0 . .

.

0

0 2 0 . .

.

0

0 0 3 . .

.

0

.

..

.

..

.

..

.

.

.

.

..

0 0 0 . .

. 2000















⋅ P

3.21* Liczba zespolona

jest pierwiastkiem równania

. Uzupełnić zapis

z

≠ 1

z

5

= 1

.

(ce1-13-3)















1 1 1 1 1
1 z z

2

z

3

z

4

1 z

4

z

3

z

2

z

1 z

2

z

4

z

1

z

3

1 z

3

z

1

z

4

z

2















−1

=

1
5















1 1 1 1 1
1 . . . .
1 . . . .
1 . . . .
1 . . . .















4. Układy równań liniowych

4.1*

Wzór Eulera wyrażający zależność między liczbą ścian , liczbą krawędzi

S

K

oraz liczbą wierzchołków

dowolnego wielościanu wypukłego ma postać

W

,

αS + βK + γW + δ = 0

gdzie

są nieznanymi współczynnikami. Znaleźć ten wzór.

(ce1-10-2)

α, β, γ, δ

4.2*

Pokazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych

oraz

x

1

< x

2

y

1

, y

2

, y

1

, y

2

istnieje wielomian

stopnia

spełniający warunki

W

≤ 3

oraz

.

(ce1-12-3)

W

( x

1

) = y

1

, W

( x

2

) = y

2

W

( x

1

) = y

1

, W

( x

2

) = y

2

4.3*

Elementami macierzy kwadratowej

stopnia są liczby całkowite.

[a

ij

]

n

Udowodnić, że jedynym rozwiązaniem układu równań














x

1

2

= a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ … + a

1n

x

n

x

2

2

= a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ … + a

2n

x

n

.

..

.

..

.

..

.

.

.

.

..

x

n

2

= a

n

1

x

1

+ a

n

2

x

2

+ … + a

nn

x

n

jest

.

(cel-04-2)

x

1

= x

2

= … = x

n

= 0

5. Geometria przestrzeni

R

3

5.1* Korzystając z rachunku wektorowego uzasadnić, że środkowe trójkąta przecinają

się w jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku

licząc od

2 : 1

wierzchołków.

(Ćw. 5.1.8e*)

5.2*

Ś

rodkiem ciężkości trójkąta nazywamy punkt, w którym przecinają się jego

ś

rodkowe. Uzasadnić, że odcinek łączący wierzchołki czworościanu ze środkami

ciężkości przeciwległych boków przecinają się w jednym punkcie, który dzieli te
odcinki w stosunku

licząc od wierzchołków.

(cel-18a-4a)

3 : 1

5.3*

Niech

będą dowolnymi wektorami w

. Uzasadnić tożsamość

→

u

,

→

v

,

→

w

R

3

3

(

→

u

2

+

→

v

2

+

→

w

2

) =

→

u

+

→

v

+

→

w

2

+

.

(cel-03-4)

→

u

−

→

w

2

+

→

v

−

→

w

2

+

→

w

−

→

u

2

5.4*

Na sferze o promieniu znajdują się punkty

.

1

P

1

, P

2

, ..., P

2002

Uzasadnić, że suma kwadratów odległości wszystkich par punktów

, dla

, nie przekracza liczby

.

P

i

, P

j

1

≤ i < j ≤ 2002

(2002)

2

Przy jakim rozmieszczeniu punktów wartość

jest osiągnięta?

(ce1-13-4)

(2002)

2

5.5*

Do każdej ściany dowolnego czworościanu wystawiono wektor prostopadły
o długości równej polu tej ściany, skierowany na zewnątrz. Udowodnić, że
suma tych wektorów jest wektorem zerowym.

(cel-02-1)

5.6*

Korzystając z rachunku wektorowego
wyznaczyć cosinus kąta dwuściennego
między sąsiednimi ścianami dwudzie-
stościanu foremnego.

Wskazówka. W rozwiązaniu można wyko-

rzystać równość

Jak

cos 72

o

=

5

−1

4

.

ją uzasadnić w oparciu o liczby zespolone?

Rysynek wykonano wykorzystując
pakiet Mathematica.

(ce1-7-4)

5.7*

Wektory

oraz

spełniają warunek

→



OA

,

→



OB

→



OC

.

→



OA

×

→



OB

+

→



OB

×

→



OC

+

→



OC

×

→



OA

=

→

O

Pokazać, że punkty

są współliniowe.

(ce1-12-4)

A

, B, C

5.8*

Określić liczbę rozwiązań układu równań

w zależności od














→

x

×

→

y

=

→

a

→

y

×

→

z

=

→

b

→

z

×

→

x

=

→

c

wektorów

.

(ce1-5-3)

→

a

,

→

b

,

→

c

∈ R

3

5.9*

Niech

będą dowolnymi wektorami w

. Uzasadnić tożsamość

→

a

,

→

b

,

→

c

,

→

d

R

3

.

(ce1-4-3)

→

a

→

c

→

a

→

d

→

b

→

c

→

b

→

d

= (

→

a

×

→

b

) (

→

c

×

→

d

)

5.10* Cztery punkty poruszają się w przestrzeni

po prostych ze stałymi pręd-

R

3

kościami. Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną taką, że jeżeli w chwilach

n

,

punkty były współpłaszczyznowe, to w dowolnej

t

= 1, t = 2, ... t = n

chwili także będą współpłaszczyznowe.

(ce1-6-3)

5.11* Punkt porusza się w przestrzeni

w ten sposób, że współrzędne jego położenia

R

3

w chwili są wielomianami zmiennej stopnia nie większego niż . Pokazać,

t

t

2

ż

e tor punktu jest zawarty w pewnej płaszczyźnie.

(cel-19-4)

5.12* Równoległościan rozpięty na wektorach

ma objętość . Podać

→

u

,

→

v

,

→

w

V

objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach

.

(ce1-11-4)

→

u

×

→

v

,

→

u

×

→

w

,

→

v

×

→

w

5.13* Wewnątrz czworościanu

wybrano punkt

. Udowodnić równość

ABCD

O

,

V

OBCD

⋅

→



OA

+ V

OCDA

⋅

→



OB

+V

OABD

⋅

→



OC

+ V

OABC

⋅

→



OD

=

→

0

gdzie

oznacza objętość czworościanu o wierzchołkach

.

(cel-16-4)

V

XYZT

X

, Y, Z, T

5.14* Napisać równanie prostej, która przecina trzy parami skośne proste

.

l

1

:

x

− 1

1

=

y

− 1

2

=

z

− 1

3

l

2

:

x

−1

=

y

1

=

z

2

l

3

:

x

+ 1

2

=

y

+ 1

1

=

z

− 2

−2

Ile jest takich prostych.

(ce1-4-4)

5.15* W

dane są proste skośne i . Znaleźć zbiór środków odcinków o końcach

R

3

k

l

i położonych odpowiednio na prostych i .

(cel-15-4)

K

L

k

l

5.16* W przestrzeni

dane są niewspółpłaszczyznowe wektory

.

R

3

→

p

,

→

q

,

→

r

Znaleźć wersor, który tworzy z nimi jednakowe kąty.

(ce1-10-4)

5.17* W przestrzeni

dany jest sześciokąt foremny

. Odległości

R

3

ABCDEF

wierzchołków

sześciokąta od pewnej płaszczyzny są równe

A

, B, C

odpowiednio

. Obliczyć odległości pozostałych wierzchołków

1, 2, 5

sześciokąta od tej płaszczyzny.

(cel-17-4)

5.18* Wiadomo, że punkty

,

są końcami jednej

A

= ( 0, 0, 0 ) C = ( 0, 0, 3 )

z przekątnych sześcianu

. Ponadto wiadomo, że wierzchołek

ABCDA B C D

sześcianu należy do płaszczyzny

. Wyznaczyć współrzędne pozostałych

B

xOz

wierzchołków tego sześcianu.

(cel-18-4)

5.19* Dane są proste

, gdzie

, przy czym

l

1

:

→

r

=

→

r

1

+ t

→

v

1

, l

2

:

→

r

=

→

r

2

+ t

→

v

2

t

∈ R

. Uzasadnić, że odległość między tymi prostymi wyraża się wzorem

→

v

1

×

→

v

2

≠

→

0

.

(ce1-9-4)

d

=

(

→

r

1

−

→

r

2

,

→

v

1

,

→

v

2

)

→

v

1

×

→

v

2

5.20* Snajper strzela z punktu

w kierunku wektora

.

P

= ( 5, 5, 5 )

→

v

= (−4, −3, −7 )

Zbadać, czy trafi on w czworościan o wierzchołkach

A

= ( 1, 6, 0 ), B = ( 0, 1, −2 ), C = ( 3, 2, −3 ), D = ( 0, 0, 0 ).

Odpowiedź uzasadnić.

(ce1-5-4)

5.21* Płaszczyzny pierwszego oktantu współrzędnych są zwierciadłami. Promień świetlny

wychodzi z punktu

i po odbiciu od zwierciadeł

,

A

= ( 2, 4, 8 )

x

= 0 y = 0

i

dociera do punktu

. Wyznaczyć punkty odbić promienia

z

= 0

B

= ( 4, 6, 2 )

od tych zwierciadeł.

(ce1-1-2)

5.22* Punkt

obrócono o kąt a)

; b)

wokół prostej

A

= ( 3, 8, 1 )

α =

2

π

3

α =

π
3

. Znaleźć obraz tego punktu.

(ce1-3-3)

l

: x

= y = z

5.23* Kwadratowa płyta, której bok ma długość ,

a

jest zawieszona poziomo na czterech
pionowych linach o długości . Obliczyć,

l

o ile podniesie się płyta po jej obrocie o kąt

wokół pionowej osi symetrii.

0

< ϕ ≤ π

Jakie warunki powinny liczby i ,

a

l

aby taki obrót był możliwy?

(ce1-8-1)

Rysunek wykonała
Małgorzata Jurlewicz
IZ/INF/SI
2004/2005

5.24* Czy możliwe jest ułożenie ołówków przedstawione poniżej? Odpowiedź

uzasadnić korzystając z geometrii analitycznej w

.

(cel-14-4)

R

3

Rysunek wykonał
Michał Bryłka
IZ/INF/PPI
2003/2004

l

ϕ

.

a