Wykªad 14/15 (wst¦p)

Fizyka (Informatyka - EEIiA 2008/09)

13 01 2009

c

Mariusz Krasi«ski 2009

Spis tre±ci

1 Mechanika kwantowa - wprowadzenie

1

1.1 Promieniowanie ciaªa doskonale czarnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Efekt fotoelektryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3 Linie widmowe wodoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4 Compton [1923] - do±wiadczenie potwierdzaj¡ce hipotez¦ kwantow¡ . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5 Cz¡stki jako fale - de Broglie [1924] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.6 Cz¡stka jako paczka falowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

UWAGA! To jest przewodnik do samodzielnej nauki.

1 Mechanika kwantowa - wprowadzenie

To jest bardzo szkicowe wprowadzenie do mechaniki kwantowej. Poni»sze zagadnienia nie b¦d¡ omawiane na

wykªadzie ale ich znajomo±¢ uªatwia zrozumienie tre±ci wykªadu. Wi¦kszo±¢ z tych zagadnie« powinna by¢

omawiana w szkole. Je±li nie, to przeczytaj poni»szy szkic a nast¦pnie uzupeªnij informacje korzystaj¡c z

dodatkowych ¹ródeª. Te zagadnienia s¡ omawiane w prawie ka»dej ksi¡»ce do zyki. Mo»esz na przykªad

wykorzysta¢ nast¦puj¡ce podr¦czniki (zalecane na pierwszym wykªadzie):

1. D. Haliday, R. Resnick, J. Walker; Podstawy zyki (tom 5, rozdziaª 39), PWN Warszawa 2003

2. Wst¦p do analizy matematycznej i wybranych zagadnie« z zyki, red. A. Just, Wyd. PŠ, Šód¹ 2007.

(Rozdziaª 13, P. Sªoma, J. Tomaszewski Fizyka wspóªczesna )

Pami¦taj, »e poni»sze przypomnienie w »aden sposób nie oddaje historycznego kontekstu opisywanych odkry¢.

Rzeczywisto±¢ byªa bardziej skomplikowana.

1.1 Promieniowanie ciaªa doskonale czarnego

1.1.1 Eksperyment

Prawo Wiena

λ

max

T = const = b

(1.1)

gdzie b = 2, 8978 · 10

−3

mK

Stefan (prawo Stefana-Boltzmana)

P

A

= σT

4

(1.2)

1

1.1 Promieniowanie ciaªa doskonale czarnego

1 MECHANIKA KWANTOWA - WPROWADZENIE

1.1.2 Teoria

Prawo Rayleigha-Jeansa [1900, 1905] nieudane próby teoretycznego opisu

(ν, T ) =

dE

dν

=

2πν

2

c

2

kT

Wynik zgodny z eksperymentem jedynie dla dªugich fal (tak zwana ultraoletowa katastrofa). Po obliczeniu

caªkowitej wypromieniowywanej energii zamiast prawa Stefana-Boltzmana (równanie 1.2) otrzymujemy

E(T ) =

Z

∞

0

(ν, T )dν = ∞

Rysunek 1: Promieniowanie ciaªa doskonale czarnego.

Planck [1900]
Zastosowaª teoretyczny trick

E = hν

h → 0

Idealna zgodno±¢ z eksperymentem gdy h przyjmuje pewn¡ konkretn¡ warto±¢

h = 6, 62 · 10

−34

J · s

obecnie znan¡ jako staªa Plancka.
Prawo Plancka opisuje promieniowanie ciaªa doskonale czarnego

(ν, T ) =

2πhν

3

c

2

1

e

hν
kT

− 1

Z prawa Plancka mo»na otrzyma¢:

•

Prawo Stefana-Boltzmana

Obecnie caªkowanie po wszystkich cz¦sto±ciach daje sko«czony wynik (taki jak w równaniu (1.2) i mo»na

pokaza¢, »e:

P (T )

A

=

Z

∞

0

(ν, T )dν =

2π

5

k

4

15c

2

h

3

T

4

= σT

4

•

Prawo Wiena

Mo»emy znale¹¢ cz¦stotliwo±¢ przy której wyst¦puje maksimum rozkªadu Plancka:

d

dν

((ν, T )) =

d

dν

 2πhν

3

c

2

1

e

hν
kT

− 1



= 0

a st¡d po przeksztaªceniach otrzymamy zale»no±¢ (1.1)

λ

max

=

const

T

c

Mariusz Krasi«ski 2009

2

1.2 Efekt fotoelektryczny

1 MECHANIKA KWANTOWA - WPROWADZENIE

1.2 Efekt fotoelektryczny

1.2.1 Eksperyment

Hertz [1897-1900]

•

Wzrost nat¦»enia ±wiatªa (ultraolet) powoduje wzrost ilo±ci elektronów emitowanych z o±wietlanego met-

alu ale nie ich pr¦dko±ci (energii kinetycznej)

•

Pr¦dko±¢ elektronów zale»y od dªugo±ci fali

•

Emisja wyst¦puje nawet dla bardzo maªego nat¦»enia o±wietlenia

1.2.2 Teoria - je±li ±wiatªo jest fal¡

•

Wzrost nat¦»enia ±wiatªa powinien powodowa¢ wzrost pr¦dko±ci elektronów (brak zgodno±ci z ekspery-

mentem)

•

Zmiana dªugo±ci fali nie powinna powodowa¢ zmiany pr¦dko±ci elektronów (brak zgodno±ci z ekspery-

mentem)

•

Powinno istnie¢ minimalne nat¦»enie ±wiatªa poni»ej którego efekt nie zachodzi (brak zgodno±ci z ekspery-

mentem)

1.2.3 Einstein [1905] - wyja±nienie.

Hipoteza kwantów.

E

fot

= hν

Wyja±nia zjawiska opisane powy»ej przy zaªo»eniu oddziaªywania typu: jeden foton ⇒ jeden elektron.

Uwaga:

•

Hipoteza uznana dopiero okoªo roku 1923 (po do±wiadczeniu Comptona)

•

Nazwa foton pojawia si¦ w 1926 roku

1.3 Linie widmowe wodoru

1.3.1 Eksperyment - Balmer [1885]

λ

n

∝

n

2

n

2

− 4

gdzie n = 3, 4, 5 . . .

1

λ

= R

H



1

n

1

2

−

1

n

2

2



1.3.2 Model atomu planetarnego - Bohr [1913].

(a)

(b)

Rysunek 2: Orbity (a) i odpowiadaj¡ce im poziomy energetyczne (b). Obecnie nie u»ywamy ju» poj¦cia orbit

ale poziomy energetyczne pozostaªy i nie mo»emy si¦ bez nich obej±¢.

c

Mariusz Krasi«ski 2009

3

1.4 Compton [1923] - do±wiadczenie potwierdzaj¡ce hipotez¦ kwantow¡

1 MECHANIKA KWANTOWA - WPROWADZENIE

•

Elektrony kr¡»¡ po stacjonarnych orbitach

•

Dozwolone s¡ tylko te orbity, dla których moment p¦du elektronu jest wielokrotno±ci¡ staªej Plancka

mv · r =

h

2π

n

gdzie n = 1, 2, 3 . . .

•

Emisja i pochªanianie fotonów nast¦puje tylko podczas przeskoków mi¦dzy poziomami (orbitami)

W wyniku tych zaªo»e« otrzymujemy

•

Promie« orbity jest skwantowany:

r

n

=



0

h

2

n

2

πe

2

Zm

= A n

2

•

Energia elektronu jest skwantowana

E

n

= −

Z

2

me

4

8

2

0

h

2

1

n

2

= const

1

n

2

Stosuj¡c poj¦cie kwantu ±wiatªa (Bohr nie uznawaª wtedy koncepcji kwantów za cokolwiek powa»nego) otrzy-

mamy energi¦ kwantu ±wiatªa emitowanego (pochªanianego) podczas przeskoku z poziomu energetycznego E

k

na poziom E

n

hν = const

 1

n

2

−

1

k

2



1.4 Compton [1923] - do±wiadczenie potwierdzaj¡ce hipotez¦ kwantow¡

Zmiana cz¦stotliwo±ci fotonu (promieniowanie X) przy zderzeniu z elektronem swobodnym.

(a)

(b)

Rysunek 3: Efekt Comptona. (a) krzywe do±wiadczalne, (b) wyja±nienie kwantowe.

Od tego momentu teoria kwantów zaczyna zdobywa¢ powszechn¡ akceptacj¦.

1.5 Cz¡stki jako fale - de Broglie [1924]

Cz¡stce mo»na przyporz¡dkowa¢ fal¦ o dªugo±ci λ

λ =

h

p

(1.3)

gdzie p jest p¦dem cz¡stki.

Problem! Pr¦dko±¢ fali wynosi

v =

λ

T

=

1

T

1

λ

=

hν

h
λ

=

E

p

=

mc

2

mv

=

c

2

v

=

c

v

c > c

Dodatkowo: Gdzie znajduje si¦ niesko«czona fala?????

c

Mariusz Krasi«ski 2009

4

1.6 Cz¡stka jako paczka falowa

1 MECHANIKA KWANTOWA - WPROWADZENIE

1.5.1 Je±li fale to powinna by¢ interferencja

Thompson (syn) [1928] elektrony i folia metalowa (przypadkowo zorientowane krysztaªy). Jonsson [1961] dwie

szczeliny.

Rysunek 4: Do±wiadczenie Younga dla elektronów.

1.6 Cz¡stka jako paczka falowa - lepsze przedstawienie

Lepszym przedstawieniem cz¡stki ni» pojedyncza fala jest paczka falowa. Pr¦dko±¢ grupow¡ liczymy z zale»no±ci

v

g

=

dω

dk

i mo»na pokaza¢, »e w takim przypadku pr¦dko±¢ grupowa jest równa pr¦dko±ci cz¡stki.

c

Mariusz Krasi«ski 2009

5