Wykªad 14

Fizyka (Informatyka - EEIiA 2008/09)

13 01 2009

c

Mariusz Krasi«ski 2009

Spis tre±ci

1 Mechanika kwantowa

1

1.1 Postulat I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Zasada nieoznaczono±ci (Heisenberga) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3 Postulat II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4 Postulat III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.5 Postulat IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Wykresy energetyczne

4

2.1 Praca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2 Energia potencjalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.3 Jak czyta¢ wykresy energetyczne? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3 Niesko«czona studnia potencjaªu

6

4 Laser

8

4.1 Emisja spontaniczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

4.2 Emisja wymuszona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

4.3 Jak dziaªa laser? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

UWAGA! Wi¦kszo±¢ rysunków wymaga wªasnor¦cznego dopisania oznacze«! Wyliczenia zamieszczone w

ramkach stanowi¡ materiaª uzupeªniaj¡cy.

1 Mechanika kwantowa

1.1 Postulat I

Postulat I

Stan cz¡stki okre±lony jest przez funkcj¦ falow¡ Ψ(x, y, z, t)

1.1.1 Sens zyczny funkcji Ψ(x, t) (przypadek 1D)

|Ψ(x, t)|

2

= Ψ

?

(x, t)Ψ(x, t)

jest g¦sto±ci¡ prawdopodobie«stwa znalezienia cz¡stki w punkcie x w chwili t.
W takim razie wyra»enie:

1

1.2 Zasada nieoznaczono±ci (Heisenberga)

1 MECHANIKA KWANTOWA

dP(x) = |Ψ(x, t)|

2

dx

(1.1)

jest prawdopodobie«stwem znalezienia cz¡stki w pobli»u punktu x (dokªadniej pomi¦dzy x i x + dx) w chwili t.
Aby okre±li¢ prawdopodobie«stwo znalezienia cz¡stki w obszarze od x

1

do x

2

musimy skorzysta¢ z zale»no±ci

P(x

1

, x

2

, t) =

Z

x

2

x

1

|Ψ(x, t)|

2

dx

(1.2)

pod warunkiem, »e funkcja falowa Ψ(x, t) b¦dzie unormowana czyli speªniony b¦dzie warunek:

Z

+∞

−∞

|Ψ(x)|

2

dx = 1

(1.3)

1.1.2 Uwagi na temat funkcji falowej

Je±li rozpatrujemy przypadek trójwymiarowy wtedy funkcj¦ falow¡ zapisujemy jako Ψ(~r,t)
Funkcja falowa Ψ(~r,t) mo»e mie¢ warto±ci zespolone Ψ(~r,t) ∈ C
Funkcja falowa Ψ(~r,t) musi speªnia¢ okre±lone warunki. Musi wi¦c by¢:

•

jednowarto±ciowa

•

ci¡gªa

•

gªadka

• Ψ(x) → 0

gdy x → ±∞

•

caªkowalna z kwadratem

Z

V

|Ψ(~

r ,t)|

2

d

3

r < ∞

albo jednowymiarowo i stacjonarnie

Z

+∞

−∞

|Ψ(x)|

2

dx < ∞

1.2 Zasada nieoznaczono±ci (Heisenberga)

∆x ∆p >

h

2π

Fundamentalny sens zasady Heisenberga

Rysunek 1: Zasada nieoznaczono±ci wynika z potraktowania cz¡stki jako paczki falowej.

1.3 Postulat II

Postulat II

Wielko±ci mechaniczne opisuj¡ce cz¡stk¦ (np. energia, p¦d) reprezentowane s¡

przez operatory liniowe dziaªaj¡ce na przestrzeni funkcji falowych.

c

Mariusz Krasi«ski 2009

2

1.4 Postulat III

1 MECHANIKA KWANTOWA

Zapis ˆ

AΨ

oznacza, »e operator ˆ

A

dziaªa na funkcj¦ Ψ. Wynikiem b¦dzie inna funkcja. (Przypomnij sobie, »e

u»ywali±my ju» operatora ∇ (nabla))
Operator nazywamy liniowym je±li speªniona jest zale»no±¢

ˆ

A(c

1

Ψ

1

+ c

2

Ψ

2

) = c

1

ˆ

AΨ

1

+ c

2

ˆ

AΨ

2

wielko±¢

operator

poªo»enie

ˆ

xf = xf

p¦d (skªadowa x)

ˆ

p

x

f = −i~

df

dx

Energia kinetyczna

ˆ

T f = −

~

2

2m

∇

2

f

Energia potencjalna

ˆ

V f = V (x)f

Energia caªkowita (Hamiltonian)

ˆ

H = ˆ

T + ˆ

V

1.4 Postulat III

Postulat III

Ewolucja w czasie stanu cz¡stki, reprezentowanej przez funkcj¦ falow¡ Ψ(x, t)

okre±lona jest równaniem Schrödingera zale»nym od czasu

ˆ

HΨ(x ,t) = i~

∂Ψ(x ,t)

∂t

W przypadku jednowymiarowym powy»sze równanie przyjmuje posta¢:

−

~

2

2m

∂

2

Ψ

∂x

2

+ V Ψ = i~

∂Ψ

∂t

Je±li Hamiltonian nie zale»y od czasu wtedy speªnione musi by¢ równanie Schrödingera niezale»ne od czasu:

ˆ

HΨ(x) = EΨ(x)

(1.4)

czyli

−

~

2

2m

∇

2

Ψ + V Ψ = EΨ

−

~

2

2m

∂

2

Ψ

∂x

2

+

∂

2

Ψ

∂y

2

+

∂

2

Ψ

∂z

2

+ V Ψ = EΨ

W przypadku jednowymiarowym

−

~

2

2m

∂

2

Ψ

∂x

2

+ V Ψ = EΨ

(1.5)

1.5 Postulat IV

Postulat IV

Wynikiem pojedynczego pomiaru wielko±ci A mo»e by¢ tylko warto±¢ wªasna
a

k

operatora ˆ

A

odpowiadaj¡ca funkcji wªasnej Ψ

k

(x)

speªniaj¡ca równanie

ˆ

AΨ

k

= a

k

Ψ

k

Tak wi¦c wynikiem pomiaru energii cz¡stki musi by¢ warto±¢ E

k

b¦d¡ca rozwi¡zaniem równania

ˆ

EΨ

k

= E

k

Ψ

k

c

Mariusz Krasi«ski 2009

3

2 WYKRESY ENERGETYCZNE

2 Wykresy energetyczne

2.1 Praca

Praca wykonana przy niesko«czenie maªym przesuni¦ciu ~

ds

dW = ~

F · ~

ds

Praca przy:

•

zmiennej sile

•

lub zmiennym k¡cie pomi¦dzy siª¡ a przesuni¦ciem

W =

Z

s

2

s

1

~

F · ~

ds

Rysunek 2: Siªa jest taka sama we wszystkich punktach toru ale k¡t pomi¦dzy siª¡ a przesuni¦ciem zmienia si¦.

Przykªad

Spr¦»yna (Nasza praca przy rozci¡ganiu spr¦»yny)

W (x

1

,x

2

) =

Z

x

2

x

1

~

F (x) · d~

x =

Z

x

2

x

1

kx dx =

1

2

k(x

2

)

2

−

1

2

k(x

1

)

2

Je±li dziaªa wi¦cej siª na ciaªo:

dW = ~

F

1

· d~s + ~

F

2

· d~s +

... =

X

i

~

F

i

!

· d~s

2.2 Energia potencjalna

2.2.1 Co to jest energia potencjalna?

Je±li wyobrazimy sobie, »e to my przemieszczamy ciaªo ze staª¡ pr¦dko±ci¡ z punktu A do B w polu pewnej

siªy (grawitacji, spr¦»ysto±ci itp.) to musimy caªy czas dziaªa¢ siª¡ równ¡ co do warto±ci sile jak¡ dziaªa pole w

ka»dym punkcie toru na ciaªo. Nasza siªa musi by¢ jednak przeciwnie skierowana.
Nasza, czyli zewn¦trzna, siªa wykona wtedy prac¦ W

z(AB )

W polu zachowawczym praca ta nie zale»y od drogi na której zostaªa wykonana. Zale»y jedynie od miejsca

startu (A) i zako«czenia (B) przemieszczania ciaªa

W

z(AB )

= f (A, B)

Mo»na wi¦c wprowadzi¢ jednoznaczn¡ funkcj¦ E(x, y, z) zale»n¡ TYLKO od poªo»enia, charakteryzuj¡c¡ pole,

deniowan¡ jako:

E(x, y, z) = E

0

(x

0

, y

0

, z

0

) + W

z

[(x

0

, y

0

, z

0

) → (x, y, z)]

To jest denicja energii potencjalnej.

c

Mariusz Krasi«ski 2009

4

2.3 Jak czyta¢ wykresy energetyczne?

2 WYKRESY ENERGETYCZNE

Ta denicja ma sens jedynie wtedy gdy W

z

[(x

0

, y

0

, z

0

) → (x, y, z)]

(a wi¦c tak»e W

p

[(x

0

, y

0

, z

0

) → (x, y, z)]

)

nie zale»y od drogi po której wykonujemy (lub pole wykonuje) prac¦.
W ka»dym innym przypadku, startuj¡c z punktu pocz¡tkowego gdzie energia wynosi E

0

otrzymamy bardzo

wiele warto±ci na energi¦ ko«cow¡ E w zale»no±ci od drogi, na której wykonano prac¦. Taka funkcja byªaby

zupeªnie bezwarto±ciowa.
Energi¦ potencjaln¡ mo»na wi¦c wprowadzi¢ wyª¡cznie w polach zachowawczych (zwanych inaczej potencjal-

nymi). Sk¡d ta nazwa?

2.2.2 Siªa jako gradient energii potencjalnej

Dopisz KONIECZNIE komentarze na wykªadzie. To tylko wzory!

F

x

= −

∂E

p

∂x

F

y

= −

∂E

p

∂y

F

z

= −

∂E

p

∂z

albo bardziej formalnie

~

F = − grad E

p

= − ~

∇E

p

gdzie operator nabla

~

∇ =

∂

∂x

~i +

∂

∂y

~j +

∂

∂z

~

k

a wi¦c ostatecznie

~

F = − ~

∇E

p

= −

∂E

p

∂x

~i +

∂E

p

∂y

~j +

∂E

p

∂z

~

k

ZAPAMI†TAJ!

•

Energia potencjalna ? Ale czego ? Pami¦taj zawsze o podaniu jakich oddziaªywa« dotyczy ta energia!

•

NIE KA›DA energia potencjalna wynosi E

p

= mgh

!!!!

•

Je±li w jakim± punkcie ~F = 0 to NIE ZNACZY, »e E

pot

= 0

2.3 Jak czyta¢ wykresy energetyczne?

Szczegóªowe opisy zanotuj na wykªadzie. Poni»ej tylko pomocnicze rysunki i dodatkowy przykªad.

(a)

(b)

Rysunek 3: Z wykresu energetycznego mo»na odczyta¢ (a) obszar dost¦pny dla ciaªa, (b) warto±¢ energii

kinetycznej w ka»dym punkcie tego obszaru.

c

Mariusz Krasi«ski 2009

5

3 NIESKO‹CZONA STUDNIA POTENCJAŠU

2.3.1 Przykªad

Rysunek 4: Wykres energetyczny ciaªa w pewnym polu siª.(Abstrakcyjnym i do±¢ niezycznym)

Dla wykresu powy»ej przyjmijmy, »e a = 1 m oraz m = 1 kg :

•

Siªa dziaªaj¡ca na obiekt w punkcie x = 3, 9 m wynosi........... Ciaªa nigdy nie ma w tym punkcie!

•

Siªa dziaªaj¡ca na obiekt w punkcie x = 3, 2 m wynosi:

F

x

(x = 3, 2

m) = −

∂E

p

∂x

= −

E

2

− E

1

x

2

− x

1

= −

6

[J] − 0[J]

4

m − 3m

= − 6

N

i dziaªa w lewo (znak minus)

•

Siªa dziaªaj¡ca na obiekt w punkcie x = 1, 8 m wynosi:

F

x

(x = 1, 8

m) = −

∂E

p

∂x

= −

E

2

− E

1

x

2

− x

1

= −

0

[J] − 4[J]

2

m − 1m

= 4

N

i dziaªa w prawo (znak plus)

•

Pr¦dko±¢ ciaªa w x = 2, 5 m wynosi

v(x = 2, 5

m) =

r

2E

kin

m

=

r

2(E

C

− E

pot

)

m

=

s

2(3

J − 2J)

1

kg

=

√

2

m
s

2

3 Niesko«czona studnia potencjaªu

Ten przykªad nie ma wªa±ciwie sensu zycznego ale stanowi dobry (bo ªatwy) trening w rozwi¡zywaniu równania

Schrödingera. Dokªadniejsze komentarze podane zostan¡ na wykªadzie.

Rysunek 5: Niesko«czona studnia potencjaªu. Wykres energetyczny.

Funkcja opisuj¡ca energi¦ potencjaln¡ w tym zagadnieniu ma posta¢

c

Mariusz Krasi«ski 2009

6

3 NIESKO‹CZONA STUDNIA POTENCJAŠU

• V = 0

dla 0 < x < L

• V = ∞

dla x ≤ 0 lub x ≥ L

Cz¡stka mo»e przebywa¢ tylko w obszarze pomi¦dzy ±cianami (dlaczego?) wi¦c:
dla x ≤ 0

Ψ(x) = 0

(3.1)

dla x ≥ L

Ψ(x) = 0

(3.2)

Korzystaj¡c z (1.5) mo»emy zapisa¢ równanie Schrödingera dla obszaru pomi¦dzy ±cianami w postaci:

−~

2

2m

∂

2

Ψ

∂x

2

= EΨ

czyli

∂

2

Ψ

∂x

2

= −

2mE

~

2

Ψ

(3.3)

Wprowad¹my oznaczenie:

k

2

=

2mE

~

2

(3.4)

Równanie (3.3) przyjmie wtedy posta¢:

∂

2

Ψ

∂x

2

= −k

2

Ψ

(3.5)

Aby rozwi¡za¢ równanie ró»niczkowe (3.5) mo»na skorzysta¢ z metody opisanej w Dodatku (Rozdziaª ??)

albo zauwa»y¢, »e jest to równanie identyczne jak w przypadku ruchu harmonicznego tªumionego. Równanie

charakterystyczne dla (3.5) b¦dzie miaªo posta¢:

r

2

= −k

2

Pierwiastki równania charakterystycznego wynosz¡

r = ±

√

−1k = ±ik

a rozwi¡zaniem równania (3.5) b¦dzie funkcja postaci:

Ψ(x) = Ae

ikx

+ Be

−ikx

(3.6)

Dobra funkcja falowa musi speªnia¢ okre±lone warunki. Przede wszystkim musi by¢ ci¡gªa. Korzystaj¡c z

równa« (3.1) i (3.2) mo»emy wi¦c zapisa¢

Ψ(0) = 0

(3.7)

Ψ(L) = 0

(3.8)

Z równa« (3.6) i (3.7) wynika, »e

Ψ(0) = Ae

0

+ Be

0

= A + B = 0

wi¦c

A = −B

(3.9)

Podstawiaj¡c relacj¦ (3.9) do rozwi¡zania (3.6) otrzymamy

c

Mariusz Krasi«ski 2009

7

4 LASER

Ψ(x) = A e

ikx

− e

−ikx

= A [cos(kx ) + i sin(kx ) − cos(kx ) + i sin(kx )] = 2Ai sin(kx )

(3.10)

Zastosujemy teraz drugi warunek ci¡gªo±ci. Korzystaj¡c z (3.8) i (3.10) otrzymamy

Ψ(L) = 2Ai sin(kL) = 0

co jest równowa»ne

kL = nπ

(3.11)

Podstawiaj¡c warto±¢ k (wzór 3.4) do warunku (3.11) mo»emy wyliczy¢ energi¦ cz¡stki uwi¦zionej w studni

potencjaªu

√

2mE

~

L = nπ

a st¡d

E =

~

2

π

2

2mL

2

n

2

(3.12)

Ostateczn¡ posta¢ funkcji falowej znajdujemy wykorzystuj¡c (3.12) w równaniu (3.10)

Ψ(x) = 2Ai sin(kx) = 2Ai sin

√

2mE

~

x

!

Warto±¢ wspóªczynnika A mo»emy znale¹¢ wykorzystuj¡c warunek unormowania funkcji falowej (równanie (1.3))

Z

L

0

2Ai sin

√

2mE

~

x

!

2

dx = 1

czyli

A =

1

4

R

L

0

sin

2

√

2mE

~

x

dx

Poniewa» sens zyczny ma dopiero kwadrat moduªu funkcji falowej, wi¦c

|Ψ(x ,t)|

2

= 4A

2

sin

2

√

2mE

~

x

!

Interpretacja, wykresy..... na wykªadzie

4 Laser

4.1 Emisja spontaniczna

Pobudzony przez foton elektron przeskakuje na wy»szy poziom energetyczny. Po pewnym czasie wzbudzony

elektron spada na poziom ni»szy (niekoniecznie na ten sam z którego zostaª pobudzony) emituj¡c foton o

energii równej ró»nicy energii poziomu górnego i dolnego. Spadek odbywa si¦ spontanicznie!!

Rysunek 6: Przebieg emisji spontanicznej.

c

Mariusz Krasi«ski 2009

8

4.2 Emisja wymuszona

4 LASER

4.2 Emisja wymuszona

Emisja wymuszona polega na zmuszeniu elektronu do przej±cia na ni»szy poziom energetyczny. Czynnikiem

wymuszaj¡cym jest inny foton, którego energia wynosi dokªadnie

E

f ot

= E

G

− E

D

gdzie E

G

jest energi¡ elektronu na poziomie z którego ma nast¡pi¢ przeskok za± E

D

jest energi¡ elektronu

na poziomie na który przeskoczy. W wyniku procesu powstaje wi¦c dodatkowy foton o energii identycznej z

fotonem wymuszaj¡cym. Foton wymuszaj¡cy »yje dalej tak jakby nic si¦ nie staªo.

Rysunek 7: Podstaw¡ dziaªania lasera jest zjawisko emisji wymuszonej

4.3 Jak dziaªa laser?

Na rysunku 8 przedstawiono ukªad poziomów energetycznych w rubinie. Zasada dziaªania lasera rubinowego

(jako prosty przykªad lasera) zostanie omówiona szczegóªowo na wykªadzie.

Rysunek 8: Zasada dziaªania lasera rubinowego

Niezb¦dne elementy lasera to:

•

o±rodek czynny (krysztaª, zª¡cze, gaz itp)

•

wzbudzacz (lampa bªyskowa, pole elektryczne itp)

•

lustra tworz¡ce rezonator (fala stoj¡ca)

Rysunek 9: Podstawowe elementy lasera rubinowego.

c

Mariusz Krasi«ski 2009

9