Egzamin poprawkowy, semestr 1, 2010/2011

Zad 1 - 4 pkt

Zapisać wzór Taylora dla funkcji y = f (x). Resztę zapisać odpowiednim wzorem. Następnie

napisać wzór Maclaurina rzędu n=1 dla funkcji f (x) = arctg x.

Zad 2 - 4 pkt

Podać twierdzenie Rolle’a. Czy funkcja f (x) = (|x| − 1)

2

spełnia założenia twierdzenia Rolle’a

na przedziale [−1, 1]?

Zad 3 - 4 pkt

Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie. Wykazać, że funkcja f (x) =

3

√

x nie jest różniczkowalna

w punkcie x

0

= 0.

Zad 4 - 4 pkt

Podać definicję minimum lokalnego funkcji. Czy funkcja f (x) =







0

x = 0

1

x 6= 0

ma minimum

lokalne?

Zad 5 - 4 pkt

Podać definicję różniczki funkcji. Korzystając z różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

0.99

0.99

.

Egzamin, semestr 1, 2010/2011

Zad 1 - 4 pkt

Podać definicję granicy ciągu i w oparciu o nią wykazać, że lim

n→∞

1

n

= 0.

Zad 2 - 4 pkt

Podać i zastosować twierdzenie Lagrange’a do funkcji f (x) = ln x na przedziale [1, e]. Zas-

tosować, to znaczy wyznaczyć punkty o istnieniu których mówi to twierdzenie.

Zad 3 - 4 pkt

Podać definicję różniczki funkcji. Obliczyć w przybliżeniu

p1 + (2.1)

3

.

Zad 4 - 4 pkt

Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji f (x) = arctg x i podać twierdzenie o pochodnej funkcji

odwrotnej, z którego trzeba skorzystać.

Zad 5 - 4 pkt

Podać definicję funkcji pierwotnej. Wykazać, że F (x) = arcsin x+

√

1 − x

2

jest funkcją pierwotną

dla f (x) =

1−x

√

1−x

2

w pewnym przedziale. Wyznaczyć ten przedział.

Egzamin, semestr 1, 2009/2010

Zad 1 - 5 pkt

Podaj definicję funkcji odwrotnej. Czy funkcja f (x) = e

2x

− 1 posiada funkcję odwrotną?

Odpowiedź uzasadnij. Wyznacz tę funkcje (podaj jej dziedzinę i przecwidziedzinę).

Zad 2 - 4 pkt

Podaj definicję ciągu malejącego. Uzasadnij, że ciąg a

n

=

2

n

(n+1)!

jest malejący.

Zad 3 - 4 pkt

Podaj definicję pochodnej funkcji w punkcie. Zbadaj różniczkowalność funkcji f (x) =

3

√

x.

Zad 4 - 3 pkt

Podaj definicję funkcji pierwotnej. Wykazać, że F (x) = arcsin x+

√

1 − x

2

jest funkcją pierwotną

dla f (x) =

1−x

√

1−x

2

w pewnym przedziale. Wyznacz ten przedział.

Zad 5 - 4 pkt

Napisz definicję różniczki funkcji. Oblicz w przybliżeniu

√

0.98.