Egzamin z algebry liniowej 1A, zadania
1. [5 pt.] Pªaszczyzny Π
1
i Π
2
zadane s¡ równaniami −x + 3y + z − 1 = 0 oraz x − 3y − z − 2 = 0. Uzasadnij, »e
pªaszczyzny te s¡ równolegªe, oraz znajd¹ odlegªo±¢ pomi¦dzy nimi.
2. [5 pt.] Znajd¹ jakiekolwiek dwa wektory wªasne macierzy
µ
1
1
−2 4
¶
takie, »e zbudowany na nich równolegªobok ma pole 2010.
3. [5 pt.] Rozwi¡» równanie macierzowe:
µ
1
−1
−2
3
¶
X
µ
2 −1
3 −2
¶
=
µ
5
−3
−2
5
¶
.
4. [5 pt.] Znajd¹ liczb¦ zespolon¡ z tak¡, »e Re(¯z/(1 + i)) = 2 oraz Im[(z + 1)(1 + i)] = −3. Uªó» w tym celu i
rozwi¡» metod¡ wyznaczników ukªad równa«.
5. [5 pt. ] Dla jakich macierzy diagonalnych D (rozmiaru 2 × 2) obrazem hiperboli xy = 1 przez przeksztaªcenie
liniowe zadane macierz¡ D jest ta sama hiperbola? Znajd¹ wszystkie takie macierze.
6. [5 pt.] W równolegªoboku ABCD dªugo±ci boków wynosz¡ |AB| = 3, |AD| = 2, za± k¡t w wierzchoªku A ma
miar¦ π/3.
(a) Znajd¹ wspóªrz¦dne wierzchoªków tego równolegªoboku w tak dobranym ukªadzie, »e A jest jego pocz¡tkiem,
B
le»y na dodatniej póªosi Ox, za± D le»y we wn¦trzu pierwszej ¢wiartki.
(b) Niech P b¦dzie ±rodkiem boku BC za± Q ±rodkiem AB. Wyprowad¹ równania prostych AP i DQ.
(c) Znajd¹ wspóªrz¦dne punktu S przeci¦cia prostych AP i DQ.
(d) Wylicz stosunek w jakim punkt S dzieli odcinek AP .
1