Egzamin poprawkowy z Rachunku Prawdopodobie´

nstwa II,

cz¸

e´

s´

c pierwsza (3 III 2008)

1.

X, X

1

, X

2

, . . . i Y, Y

1

, Y

2

, . . . s¸

a rzeczywistymi zmiennymi losowymi, przy

czym IP (X = 0) = 1, za´

s Y ma rozk lad wyk ladniczy z parametrem 1. Z kolei

(a

n

)

∞

n=1

jest ci¸

agiem liczb rzeczywistych.

a) Czy z tego, ˙ze ci¸

ag (a

n

)

∞

n=1

zbiega do a ∈ IR i (X

n

)

∞

n=1

zbiega wed lug rozk ladu

do X, gdy n −→ ∞, wynika, ˙ze lim

n→∞

IP (X

n

≤ a

n

) = IP (X ≤ a)?

b) Czy z tego, ˙ze ci¸

ag (a

n

)

∞

n=1

zbiega do a ∈ IR i (Y

n

)

∞

n=1

zbiega wed lug rozk ladu

do Y, gdy n −→ ∞, wynika, ˙ze lim

n→∞

IP (Y

n

≤ a

n

) = IP (Y ≤ a)?

2. Rzeczywiste zmienne losowe X

1

, X

2

, . . . okre´

slone na tej samej przestrzeni

probabilistycznej s¸

a niezale˙zne i wszystkie maj¸

a taki sam rozk lad. Ponadto

wiemy, ˙ze ci¸

ag (Z

n

)

∞

n=1

, zadany wzorem Z

n

= n

−1/4

·

P

n
k=1

X

k

, jest zbie˙zny

wed lug rozk ladu do pewnej rzeczywistej zmiennej losowej Z, gdy n −→ ∞. Czy
wynika st¸

ad, ˙ze IP (Z = 0) = 1?

3. Ci¸

ag (X

n

, F

n

)

∞

n=1

jest martynga lem okre´

slonym na pewnej przestrzeni pro-

babilistycznej (Ω, F , IP ), za´

s (G

n

)

∞

n=1

jest jego filtracj¸

a minimaln¸

a, to znaczy

G

n

= σ(X

1

, X

2

, . . . , X

n

) dla n = 1, 2, . . . Czy wynika st¸

ad, ˙ze ci¸

ag (X

n

, G

n

)

∞

n=1

te˙z jest martynga lem?

Prosz¸

e wszystko dok ladnie uzasadnia´

c!

Egzamin poprawkowy z Rachunku Prawdopodobie´

nstwa II,

cz¸

e´

s´

c druga (3 III 2008)

4. (X

t

)

∞

t=0

jest jednorodnym  la´

ncuchem Markowa o przestrzeni stan´

ow {1, 2, . . . , k},

okre´

slonym na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F , IP ), za´

s A jest jego macierz¸

a

przej´

scia. Niech (Y

t

)

∞

t=0

b¸

edzie ci¸

agiem zmiennych losowych rzeczywistych okre-

´

slonych na (Ω, F , IP ) zadanym wzorem Y

t

= X

t

2

dla t = 0, 1, 2, . . .

a) Czy wynika st¸

ad, ˙ze (Y

t

)

∞

t=0

te˙z spe lnia warunek Markowa?

b) Czy wynika st¸

ad, ˙ze (Y

t

)

∞

t=0

te˙z jest jednorodnym  la´

ncuchem Markowa?

5. Prosz¸

e udowodni´

c, ˙ze je´

sli ci¸

ag rzeczywistych zmiennych losowych (X

n

)

∞

n=1

jest zbie˙zny wed lug rozk ladu, gdy n −→ ∞, to ci¸

ag rozk lad´

ow (µ

X

n

)

∞

n=1

jest

j¸

edrny.

Prosz¸

e wszystko dok ladnie uzasadnia´

c!