Egzamin poprawkowy z matematyki, I r. WBWiI´

S, r. 2002/2003

I. Cz¸e´s´

c zadaniowa

1. Wyznaczy´c warto´sci parametr´ow k i m, tak aby funkcjaf (x) byÃla ci¸agÃla, gdzie

f (x) =























m

4 − x

2

√

x + 6 − 2

+ π4 dla x < −2

x(x + 1)

2

+ arctg k dla −2 ≤ x ≤ 0

1

4 arcctg (π + ln x) dla x > 0

2. Wyznaczy´c warto´s´c parametru a, a > 0, tak aby funkcja g(x) =

√

ax − x

2

speÃlniaÃla r´ownanie r´o˙zniczkowe (g(x))

3

· g

00

(x) + 1 = 0 Dla znalezionego a

wyznaczy´c warto´s´c najmniejsz¸a i najwi¸eksz¸a funkcji g(x) w caÃlej jej dziedzinie.

3. Obliczy´c caÃlki

a)

Z

ln x dx

(1 + x

2

)

3/2

b)

Z

dx

1 + e

x/2

+ e

x/3

+ e

x/6

4. Obliczy´c obj¸eto´s´c bryÃly powstaÃlej przez obr´ot krzywej

h(x) =











0,

x < −2

2 − |x|, −2 ≤ x ≤ 1
2

1−x

,

x > 1

dookoÃla jej asymptoty poziomej. Wykona´c rysunek otrzymanej bryÃly.

5. W zale˙zno´sci od parametru λ rozwi¸aza´c ukÃlad r´owna´

n



















x + 6y − z = 1

2x + 3z = 2

3x + 6y + 5z = 5

5x + λy + 5z = 5

6. a) Rozwi¸aza´c r´ownanie z

2

− 3z + 3 + i = 0 w zbiorze liczb zespolonych.

b) Obliczy´c odlegÃlo´s´c punktu P (Re(z

1

+z

2

), 1, 0) od prostej

x

1

=

y + 1

−2

=

z − 1

−1

,

gdzie z

1

i z

2

oznaczaj¸a pierwiastki r´ownania otrzymane w punkcie a).

II. Cz¸e´s´

c teoretyczna

T.1 Poda´c definicj¸e pochodnej wÃla´sciwej funkcji w punkcie. W oparciu o t¸e definicj¸e

wyprowadzi´c wz´or na pochodn¸a funkcji f (x) =

1

cos x

. SformuÃlowa´c twierdzenie

o pochodnej funkcji zÃlo˙zonej.

T.2 Poda´c definicj¸e funkcji pierwotnej. Poda´c trzy dowolne przykÃlady funkcji pier-

wotnych dla funkcji g(x) = sin 2x. SformuÃlowa´c twierdzenie o caÃlkowaniu przez
cz¸e´sci dla caÃlek oznaczonych.

T.3 Poda´c definicj¸e i wÃlasno´sci (min. 3) iloczynu skalarnego wektor´ow. SformuÃlowa´c

warunek prostopadÃlo´sci i r´ownolegÃlo´sci wektor´ow w IR

3

. Obliczy´c iloczyn

skalarny wektor´ow ~a = −2~i + 3~k i ~b = 2~j − ~k.