Zaliczenie poprawkowe z matematyki, I r. WBiI´

S, r. 2002/2003

1. Obliczy´c granice

a)

lim

n→∞

·

sin

3

n

n + 3 +

³

1 + 3

n

´

n+3

¸

b)

lim

x→2

+

arcctg

µ

√

2 − e

−x

4−x2

¶

2. Wyznaczy´c asymptoty i ekstrema lokalne funkcji y =

3

√

x

2

e

−2x

.

3. Obliczy´c caÃlki lub zbada´c ich zbie˙zno´s´c

a)

Z

1

0

dx

e

2x

+ 4e

x

+ 13

b)

Z

+∞

0

(π − 2arctg x) dx

4. Obliczy´c pole obszaru ograniczonego krzywymi f (x) = x

3

− x

2

− x oraz

g(x) = x. Wykona´c rysunek.

5. Wyznaczy´c macierz X z r´ownania (3X + A)

−1

· I = B, gdzie

A =







−1

2

3

4

2

−3

5

−4 −2







,

B =







1

−4 −3

1

−5 −3

−1

6

4







6. Dla jakich warto´sci parametru p ∈ R ukÃlad r´owna´

n











x + 2y = 6
2x + y = 9

x + y = p

ma rozwi¸azanie? Rozwi¸aza´c ukÃlad dla wyznaczonych warto´sci parametru p.

7. Znale´z´c r´ownanie pÃlaszczyzny wiedz¸ac, ˙ze punkt P

0

(2, 3, −1) jest rzutem pros-

tok¸atnym pocz¸atku ukÃladu wsp´oÃlrz¸ednych na t¸e pÃlaszczyzn¸e.

8. Znale´z´c posta´c algebraiczn¸a liczby

Ã

(1 −

√

3 i)i

(1 + i)(−1 − i)

!

400

i zaznaczy´c j¸a na

pÃlaszczy´znie zespolonej.