WYDZIAŁ ZARZĄDZANIA
I MODELOWANIA KOMPUTEROWEGO
KATEDRA MATEMATYKI
Al. Tysiąclecia Państwa Polskiego 7
25-314 Kielce
MATERIAŁY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW
ZAINTERESOWANYCH STUDIAMI
W POLITECHNICE ŚWIĘTOKRZYSKIEJ
http://www.tu.kielce.pl/rekrutacja/Egzamin_2002_03.pdf
Materiał ten został przygotowany w związku z organizowanym w dniu 27 marca
2003 spotkaniem Władz Uczelni i Wydziałów z Kuratorem Oświaty oraz Dyrektorami
szkół ponadgimnazjalnych w województwie świętokrzyskim.
W części pierwszej prezentujemy przykładowe zadania z egzaminów wstępnych
z roku 2002/2003 wraz z odpowiedziami. Część druga – Pytania dla Waldka – to
tekst przygotowany kilka lat temu jako pomoc dla studentów I semestru. Pytania te
są rodzajem wstępu do wykładu z analizy i w przeważającej części dotyczą zagadnień
znanych uczniom ze szkoły średniej. Liczymy, że materiał okaże się przydatny.
Z upoważnienia Prof. Arkadiusza Płoskiego
dr Andrzej Lenarcik
1
Przykładowe zadania z egzaminów wstępnych
/ czas trwania egzaminu 120 min. /
Zestaw A (Informatyka)
1. W trójkąt prostokątny ABC o kącie < ) B = 60 ◦ wpisano okrąg o promieniu 1, styczny do boków trójkąta ABC w punktach D, E, F . Wyznaczyć długości boków trójkąta ABC i obliczyć pole trójkąta DEF .
2. Rozwiązać równanie
1
2 cos 2 x − 8 cos x + 7 =
.
cos x
3. Wysokość H stożka i promień R kuli opisanej na tym stożku spełniają warunek 3 H = 2 R. Znaleźć stosunek objętości stożka do objętości kuli opisanej na tym stożku oraz stosunek promienia kuli wpisanej w ten stożek do R.
4. Wyznaczyć równanie paraboli stycznej do prostych y = 2 x − 3, y = 4 x − 4, y = − 2 x − 7 oraz współrzędne punktów styczności i wierzchołka paraboli.
5. Wyznaczyć sumę liczb dwucyfrowych dodatnich, które nie są podzielne ani przez
3, ani przez 7.
Zestaw B (Informatyka)
1. W trójkącie rozwartokątnym najdłuższy bok ma długość 16, a spodki wysokości,
poprowadzonych z dwóch jego wierzchołków na pozostałe boki, są odległe od
wierzchołka kąta rozwartego o 2 i 3. Obliczyć długości pozostałych boków.
1
1
cos 2 x − 5 cos x + 5 =
.
cos x
3. W kulę wpisano dwa stożki o wspólnej podstawie, z których jeden ma pole
powierzchni bocznej 3 razy większe, niż drugi. Wyznaczyć stosunek wysokości
tych stożków.
4. Wyznaczyć równanie paraboli stycznej do prostych y = −x + 1, y = 3 x − 3, y = − 3 x oraz współrzędne punktów styczności i wierzchołka paraboli.
5. Dany jest ciąg geometryczny ( an) n=1 , 2 ,... o ilorazie q = 1 i taki, że a 3
1 = 300.
Obliczyć sumę tych wyrazów ciągu, które są mniejsze od 1.
Zestaw C (Elektrotechnika)
1. Sprowadzić do najprostszej postaci
1
1
!
2 x− 1 y− 2
√ +
√
:
.
3 x − 2 y
3 x + 2 y
9 y− 2 − 4 x− 2 y− 1
2. W okrąg o równaniu x 2 + y 2 − 2 x + 2 y − 23 = 0 wpisano prostokąt ABCD.
Wiedząc, że A ma współrzędne (5 , 2) oraz bok AB jest równoległy do prostej o równaniu x+2 y = 0, wyznaczyć pole prostokąta oraz współrzędne wierzchołków
B, C, D.
3. W trójkącie równoramiennym ramię jest 2 razy dłuższe od podstawy. Suma
długości promienia okręgu wpisanego i opisanego na tym trójkącie jest równa
11. Obliczyć długości boków tego trójkąta.
4. W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisano stożek. Znaleźć objętość ostro-
słupa i objętość stożka, jeżeli krawędź podstawy ostrosłupa jest równa a i kąt
płaski przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę α.
5. Rozwiązać równanie
sin 2 x · sin x + 5 cos2 x − 4 cos x = 0 .
Zestaw D (Elektrotechnika)
1. Sprowadzić do najprostszej postaci
√
a
a 2
!
√
− 1
2 a +
a 2 − 1 1 +
−
a 2 − 1
√
.
a 2 − 1
a +
a 2 − 1
2. W okrąg o równaniu x 2 + 2 x + y 2 − 4 y − 5 = 0 wpisano prostokąt ABCD, którego bok AB zawiera się w prostej o równaniu x + y − 5 = 0. Wyznaczyć współrzędne środka okręgu oraz pole prostokąta.
2
√
3. Wyznaczyć odległość równoległych cięciw o długościach
2 i
3 poprowa-
dzonych w okręgu o promieniu 1. Obliczyć pole części koła zawartej pomiędzy
tymi cięciwami. Rozważyć wszystkie przypadki.
4. Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu P . Dwie ściany boczne tego ostro-słupa są prostopadłe do podstawy, a dwie pozostałe tworzą z nią odpowiednio
kąty α i β. Obliczyć objętość ostrosłupa.
5. Rozwiązać równanie
2 sin3 x + 7 cos2 +3 sin x − 7 = 0 .
Zestaw E (inne kierunki techniczne)
1. Sprowadzić do najprostszej postaci wyrażenie
1 √
1 +
x
√
h
i
3
x 2 + 3 + x 2( x 2 + 3) − 1
x 2+3
2
+
·
√
.
2
2
x +
x 2 + 3
2. Napisać równania stycznych do okręgu x 2 − 4 x+ y 2 − 8 y+18 = 0, przechodzących przez początek układu współrzędnych.
3. Prostopadłe, opuszczone z dwóch wierzchołków prostokąta na jego przekątną,
√
podzieliły ją na trzy równe części. Dłuższy bok prostokąta jest równy 3 2.
Obliczyć długość drugiego boku.
4. Oliczyć objętość kuli wpisanej i opisanej na ostrosłupie prawidłowym czworo-
√
kątnym o krawędzi podstawy 2 5 i krawędzi bocznej 5.
5. Rozwiązać równanie
cos 2 x − 3 cos x = 1 .
Zestaw F (inne kierunki techniczne)
1. Sprowadzić do najprostszej postaci
√
√
a 2 x + a 3
ax − a 2 x
√ −
.
a 2 + x + 2 a x
a 2 − x
2. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego przez punkty (2 , 5) i (4 , 3), którego środek leży na prostej o równaniu x + y − 3 = 0.
3. Dany jest trapez równoramienny o polu równym 12 i wysokości długości 2.
Obliczyć długości boków trapezu i miary jego kątów wewnętrznych wiedząc, że
proste zawierające ramiona tego trapezu są prostopadłe.
4. Środki ścian sześcianu połączono tak, że utworzył się wielościan foremny. Jaką
częścią objętości sześcianu jest objętość tego wielościanu foremnego?
3
cos 2 x + 7 sin x = 4 .
Zestaw G (Zarządzanie i Marketing, Zarządzanie i Inżynieria Produkcji)
1. Dane są zbiory:
A = {( x, y) : x 2 − 2 x + y 2 0 }, B = {( x, y) : y − |x − 2 | > 0 } .
Wyznaczyć A ∩ B oraz A \ B.
2. Zbadać, dla jakich wartości m układ równań
(
x 2 − y 2
= m + 2
y − mx = 0
ma rozwiązanie.
3. Dane są dwa wierzchołki trójkąta A(2 , − 3) i B(5 , 1) oraz równania prostych x + 2 y − 7 = 0, 5 x − y − 13 = 0, zawierających odpowiednio bok BC i środkową AM. Napisać równanie prostej zawierającej wysokość opuszczoną z wierzchołka
C na bok AB.
4. Na sześciokącie foremnym opisano okrąg i w ten sam sześciokąt wpisano okrąg.
Pole powierzchni pierścienia kołowego, którego brzeg tworzą oba okręgi, jest
równy 2 π. Obliczyć pole sześciokąta.
5. Pierwsza urna zawiera 9 czarnych i 6 białych kul, a druga 5 czarnych i 15 białych.
Rzucamy dwukrotnie kostką. Jeśli suma wyrzuconych oczek jest mniejsza od 4,
to losujemy kulę z pierwszej urny, a w przeciwnym przypadku — z drugiej urny.
Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.
Zestaw H (Zarządzanie i Marketing, Zarządzanie i Inżynieria Produkcji)
1. Dane są zbiory:
A = {( x, y) : x 2 + y 2 − 2 y − 3 0 }, B = {( x, y) : |y − 1 | < 1 } .
Wyznaczyć A ∩ B oraz B \ A.
2. Dla jakich wartości parametru m równanie
( m + 4) x 2 + ( m + 1) x + 1 = 0
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste tych samych znaków?
3. Metalowy stożek, którego przekrojem osiowym jest trójkąt równoramienny pro-
stokątny, przetopiono na kulę. Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej stoż-
ka do pola powierzchni kuli.
4
4. Wierzchołki A i B trójkąta równoramiennego ABC, takiego że AC = BC, leżą
√
na osi OX, a bok AC ma długość 3 5 i zawarty jest w prostej o równaniu
2 y − x = 0. Wyznaczyć współrzędne wierzchołków i pole trójkąta.
5. Jest 50 pytań egzaminacyjnych. Każdy zdający losuje kartkę, na której są 3
pytania. Zdający zna odpowiedzi na 30 pytań. Obliczyć prawdopodobieństwo,
że zdający odpowie na co najmniej dwa pytania.
Odpowiedzi
Zestaw A (Informatyka)
√
√
√
√
1. boki: 1 +
3, 3 +
3, 2 + 2 3, pole DEF = 3+ 3 .
4
2. x = 2 πk lub x = π + 2 kπ lub x = − π + 2 kπ, 3
3
√
3. Vst/Vk = 4 , r/R = 2 ( 6 − 2),
27
3
4. y = x 2 + 2 x − 3, punkty st. (0 , − 3), (1 , 0), ( − 2 , − 3), wierzchołek ( − 1 , − 4), 5. 2722.
Zestaw B (Informatyka)
1. pozostałe boki: 12 i 8,
2. x = 2 kπ lub x = π + 2 kπ lub x = − π + 2 kπ, 3
3
3. stosunek wysokości wynosi 9,
4. y = x 2 − x + 1, punkty st. (0 , 1), (2 , 3), ( − 1 , 3), wierzchołek ( 1 , 3 ), 2
4
5. 50 / 81.
Zestaw C (Elektrotechnika)
1. 3,
2. pole 40, B (1 , 4), C ( − 3 , − 4), D (1 , − 6),
√
√
3. podstawa 2 15, ramię 4 15,
4. obj. ostrosłupa 1 a 3qctg2 α − 1, obj. stożka π a 3qctg2 α − 1, 6
2
24
2
5. − π + 2 kπ, − π + 2 kπ, π + 2 kπ, π + 2 kπ.
2
3
3
2
Zestaw D (Elektrotechnika)
1. 4 a,
2. środek ( − 1 , 2), pole 16, √
√
√
3. dwie możliwości: odl. 1 ( 2 − 1) i pole π lub odl. 1 ( 2 + 1) i pole π+ 3 ,
√
2
6
2
2
4. 1
P 3tg α tg β,
3
5. kπ, π + 2 kπ, 5 π + 2 kπ.
6
6
Zestaw E (inne kierunki techniczne)
√
1.
x 2 + 3,
2. y = x, y = 7 x,
3. drugi bok ma długość 3,
√
√
4. obj. kuli wpisanej 20 π 15, opisanej 625 π 15,
27
54
5. 2 π + 2 kπ, 4 π + 2 kπ.
3
3
5
Zestaw F (inne kierunki techniczne)
1. a,
2. ( x − 1)2 + ( y − 2)2 = 10,
√
3. podstawy: 8 i 4, ramiona 2 2, kąty wew. 45 ◦, 135 ◦ (powtarzające się), 4. 1 ,
6
5. π + 2 kπ, 5 π + 2 kπ.
6
6
Zestaw G (ZiM, ZiIP)
1.
6
6
@
@
@
@
A \ B
@
@
@
@
@
@
@
(1 , 1)
@
@ b
pppp pp p p p pp
pp@r
(1 , 1)
p
bppppp
ppp
pp
pp
pp
p
(2 , 0)
ppp
r
-
-
pp
(2 , 0)
ppppp
A ∩ B
p p p pppppppppppppppppppp
2. m ∈ ( −∞, − 2 i ∪ ( − 1 , 1),
3. 3 x + 4 y = 15,
√
4. 12 3,
5. 173 .
240
Zestaw H (ZiM, ZiIP)
1.
6
6
√
√
√
√
( −
b3 , 2)
(
p
b3 , 2)
p
( −
3 , 2)
(
3 , 2)
p
bp
b
pp
p
pp
p
pp
p
pp
p
pp
p
pp
p
pp
p
pp
p
p
pppppppppppppp
pp
ppppppppppp
√ b
√ b
√ b
√ b
-
-
( −
3 , 0)
(
3 , 0)
( −
3 , 0)
(
3 , 0)
A ∩ B
B \ A
2. m ∈ ( − 4 , − 3) ∪ (5 , + ∞),
√
√
3. 1 ( 2 + 1) 3 2,
2
4. A (0 , 0), B (12 , 0), C (6 , 3), pole 18, 5. 319 .
490
6
Pytania dla Waldka
Wstępne wiadomości o liczbach i działaniach
1. “Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, a całą resztę wymyślili ludzie” powiedział,
wybitny niemiecki matematyk XIX wieku, Leopold Kronecker. Przedstaw, jak dążenie
do rozszerzania wykonalności czterech podstawowych działań spowodowało rozwój
pojęcia liczby — od liczb naturalnych do wymiernych. Które z działań podstawowych
nie jest w pełni wykonalne w zbiorze liczb wymiernych? Wyjaśnij dlaczego?
2. W jaki sposób odkryto istnienie proporcji geometrycznych nie będących ułamkami?
Na czym polegał kryzys pitagorejskiej wizji świata? W jaki sposób kryzys ten został
przezwyciężony?
Funkcje jednej zmiennej
Przykłady prostych funkcji
3. Naszkicuj starannie wykresy funkcji y = x, y = −x, y = x 2, y = −x 2, y = |x|,
√
y = 1 /x, y =
x, y = x 3. Każdą funkcję umieść na osobnym wykresie.
4. Z pomocą kalkulatora naszkicuj starannie na papierze milimertowym wykresy funk-
cji y = x 3 − 3 x, y = 1 /( x 2 + 1) oraz y = x + (1 /x). Każdą funkcję umieść na osobnym wykresie.
5. Jak można zinterpretować geometrycznie współczynniki funkcji liniowej y = ax+ b?
Naszkicuj przypadkowo prostą w układzie współrzędnych. Czy umiesz rozpoznać na
podstawie szkicu znaki współczynników a i b? Czym się charakteryzuje prosta, dla której a = 0? Czym się charakteryzuje prosta, dla której b = 0? Jak wygląda prosta, dla której a = b = 0? Jaka prosta na płaszczyźnie nie jest wykresem funkcji y =
ax+ b? Jak można tę prostą opisać? W jaki sposób można wyznaczyć równanie funkcji liniowej przechodzącej przez dwa dane punkty? Wyjaśnij na przykładzie. Czy zadanie
to jest zawsze wykonalne? W jaki sposób można wyznaczyć równanie funkcji liniowej
o znanym współczynniku kierunkowym, przechodzącej przez dany punkt? Wyjaśnij
na przykładzie.
6. Podaj wzory na przesuwanie wykresu funkcji y = f ( x) w poziomie i w pionie.
Wyjaśnij na przykładzie funkcji y = x 2 oraz y = 1 /x.
7. Jak, mając dany wykres funkcji y = f ( x), naszkicować wykresy funkcji y = −f ( x), y = f ( −x), y = −f ( −x)? Wyjaśnij na przykładach. Podaj definicje funkcji parzystej oraz nieparzystej. Podaj przykłady funkcji parzystych i nieparzystych. Podaj przykład
funkcji, która nie jest ani parzysta ani nieparzysta. Czy istnieje funkcja, która jest
jednocześnie parzysta i nieparzysta?
8. Podaj definicję funkcji moduł i naszkicuj jej wykres. Czy moduł jest funkcją pa-
√
rzystą? Czy funkcja y =
x 2 jest identyczna z funkcją moduł? Omów na przykła-
dach, jak z wykresu funkcji y = f ( x) otrzymujemy wykresy funkcji y = |f ( x) | oraz y = f ( |x|)? Co można powiedzieć o funkcji y = f ( x), jeśli równość f ( x) = |f ( x) |
7
zachodzi dla dowolnego x? Wyraź z pomocą funkcji moduł odległość dwóch punktów na osi liczbowej. Rozwiąż nierówności |x − a| < r oraz |x − a| > r ( r jest dodatnią stałą).
Wiadomości ogólne o funkcjach
9. Jak na podstawie wykresu odczytać wartość funkcji w punkcie x? Jak rozpoznać, że pewien zbiór na płaszczyźnie X 0 Y jest wykresem funkcji y = f ( x)? Podaj przykłady zbiorów, które nie są wykresami funkcji. Jak na podstawie wykresu funkcji
zorientować się, jaki zbiór jest jej dziedziną? Podaj przykłady.
10. Jak, na podstawie wykresu funkcji, rozwiązać graficznie równanie f ( x) = C, gdzie C jest pewną stałą? Jak, na podstawie wykresu funkcji, zorientować się, jaki jest zbiór jej wartości? Podaj przykłady. Co to są miejsca zerowe funkcji? Jak je odczytać z wykresu? Podaj przykłady funkcji, które mają miejsca zerowe oraz przykłady funkcji bez
miejsc zerowych. Przedyskutuj istnienie miejsc zerowych funkcji liniowej w zależności
od jej współczynników.
11. Wybierz proste funkcje f ( x) oraz g( x). Porównaj wyrażenia: f ( x) g( x), g( x) f ( x), f ( g( x)), g( f ( x)). Skomentuj ewentualne różnice.
12. Co to znaczy, że funkcja jest różnowartościowa? Jaką własność posiada jej wykres?
Niech y = f ( x) będzie funkcją różnowartościową. Co można powiedzieć o argumentach a i b, jeżeli f ( a) = f ( b). Podaj zastosowania do równań.
13. Podaj definicję funkcji odwrotnej do funkcji różnowartościowej. Jaki zbiór jest
dziedziną funkcji odwrotnej, a jaki zbiór jest jej zbiorem wartości? Wyznacz funkcję
odwrotną do f ( x) = 1 /( x − 2). Wytłumacz na kilku przykładach na czym polegają związki złożeniowe funkcji danej i odwrotnej.
14. Naszkicuj wykres funkji x = y 2 traktując y jako zmienną niezależną. W jaki sposób odczytujemy wartość funkcji x = g( y) na podstawie jej wykresu? Jak trzeba przekształcić wykres funkcji x = g( y) aby otrzymać wykres funkcji y = g( x)?
15. Wyjaśnij, co to znaczy, że funkcja jest rosnąca (malejąca) w pewnym podzbiorze
dziedziny? Podaj przykłady funkcji rosnących (malejących) w całej dziedzinie. Podaj
przykłady funkcji, które rosną w pewnym przedziale i jednocześnie maleją w innym
przedziale dziedziny. Niech f będzie funkcją malejącą (rosnącą). Zakłóżmy, że zachodzi nierówność f ( a) < f ( b). Co można wtedy powiedzieć o argumentach a i b? Podaj zastosowania tego typu rozumowań.
16. Wyjaśnij co to znaczy, że funkcja y = f ( x) ma granicę równą g, gdy x dąży do a. Odgadnij z pomocą kalkulatora granicę funkcji f ( x) = xx, gdy x dąży do zera od strony liczb dodatnich. Oblicz z pomocą kalkulatora przybliżoną wartość granicy
funkcji f ( x) = (1 + 1 /x) x, gdy x dąży do nieskończoności oraz przybliżoną wartość granicy funkcji f ( x) = (2 x − 1) /x, gdy x dąży do zera. Jak sądzisz, czy funkcja y = x 2
ma granicę, gdy x dąży do 2? Ile wynosi ta granica? Odpowiedz, jak punkt a musi być położony względem dziedziny funkcji y = f ( x), aby można było obliczać granicę tej funkcji dla x dążącego do a?
8
17. Jak nazywamy funkcję, która w każdym punkcie dziedziny ma granicę równą swojej wartości w tym punkcie? Podaj przykład chociaż jednej funkcji, która tej
własności nie posiada.
18. Co to znaczy, że wykres funkcji y = f ( x) posiada asymptotę pionową lub poziomą? Podaj przykłady. Wyraź istnienie asymptot pionowych i poziomych w języku
granic. Czy znasz funkcję, która ma asymptotę ukośną? Jak istnienie asymptoty uko-
śnej można wyrazić w języku granic?
Wielomiany
19. Podaj definicję wielomianu i jego stopnia. Jakie działania możemy wykonywać
na wielomianach? Jak stopień wielomianu zachowuje się przy mnożeniu? Czy wielo-
mian zerowy ma stopień? Kiedy wielomian ma stopień zero? Co to jest pierwiastek
wielomianu?
20. Jaka jest różnica pomiędzy funkcją liniową y = ax + b a wielomianem pierwszego stopnia y = ax + b? Czy wielomian pierwszego stopnia ma zawsze pierwiastek? Omów granice wielomianu pierszego stopnia w plus i minus nieskończoności w zależności od
znaku współczynnika przy najwyższej potędze.
21. Czy trójmian kwadratowy y = ax 2 + bx + c jest dokładnie wielomianem drugiego stopnia? Omów położenie wierzchołka i “wąsów” wykresu w zależności od znaku
współczynnika przy najwyższej potędze. Omów granice trójmianu w plus i minus nie-
skończoności w zależności od znaku tego współczynnika. Co to jest postać kanoniczna
trójmianu? Jak interpretujemy geometrycznie liczby występujące w postaci kanonicz-
nej? Co to jest “delta” trójmianu? Jak na jej podstawie oceniamy liczbę pierwiastków?
Podaj wzory na pierwiastki. Podaj przykłady trójmianów z dwoma i z jednym pier-
wiastkiem oraz bez pierwiastków. Omów położenie wykresu względem osi poziomej
w każdym z przypadków. Jak skonstruować trójmian o danych pierwiastkach (pier-
wiastku)? Czy istnieje tylko jeden trójmian o danych pierwiastkach (pierwiastku)?
Jak na podstawie “delty” i współczynnika przy x 2 rozpoznać, że trójmian przyjmuje
cały czas wartości dotatnie? (ujemne?)
22. Jeżeli wynikiem dzielenia wielomianu P ( x) przez Q( x) jest iloraz I( x) z resztą R( x), to jaki związek występuje pomiędzy podanymi wielomianami i ich stopniami?
Wyjaśnij na przykładzie.
23. Omów granice wielomianu w plus i minus nieskończoności w zależności od stopnia
i znaku współczynnika przy najwyższej potędze. Uzasadnij, że wielomian nieparzy-
stego stopnia musi mieć co najmniej jeden pierwiastek.
24. Podaj twierdzenie Bezout’a. Omów na przykładzie. Jak można skonstruować wie-
lomian, tak aby jego pierwiastkami były zadane z góry liczby? Po czym najłatwiej
poznać, że zero jest pierwiastkiem wielomianu? Ile maksymalnie pierwiastków może
mieć wielomian stopnia n? Co to znaczy, że pierwiastek jest pojedynczy, podwójny,
potrójny, . . . ? Wyjaśnij na przykładach. Jak zachowuje się wykres wielomianu w pobli-
żu pierwiastka pojedynczego, podwójnego, potrójnego, . . . ? Dane są liczby a < b < c.
Naszkicuj wykres wielomian W ( x) oraz rozwiąż nierówności W ( x) > 0, W ( x) < 0, 9
W ( x) 0, W ( x) ¬ 0 w trzech przypadkach: (a) W ( x) = ( x − a)( x − b)( x − c) (b) W ( x) = ( x − a)( x − b)2( x − c), (c) W ( x) = −( x − a)2( x − b)( x − c)2.
25. Czy wielomiany są funkcjami ciągłymi? Czy wielomiany mogą mieć asymptoty
pionowe (poziome, ukośne)?
26. Podaj twierdzenie o pierwiastku całkowitym wielomianu o współczynnikach cał-
kowitych. Podaj przykłady zastosowań tego twierdzenia. Rozwiąż równania
x 4 + 2 x 3 − x − 2 = 0, x 3 − 2 x 2 − 7 x + 12 = 0.
27. Podaj twierdzenie o pierwiastku wymiernym wielomianu o współczynnikach cał-
kowitych. Podaj przykłady zastosowań tego twierdzenia. Rozwiąż równanie
2 x 3 − 3 x 2 + 10 x + 6 = 0.
Funkcje wymierne
28. Podaj definicję funkcji wymiernej. Czy wielomian jest funkcją wymierną? Podaj
kilka przykładów funkcji wymiernych i omów ich wykresy. Czy funkcje wymierne są
ciągłe? Czym się różnią funkcje y = x + 1 oraz y = ( x 2 − 1) /( x − 1)?
29. Jak rozpoznajemy dziedzinę funkcji wymiernej na podstawie jej wzoru? Jak roz-
poznajemy jej miejsca zerowe? Jak rozpoznajemy jej asymptoty pionowe? Czy pier-
wiastek licznika zawsze określa miejsce zerowe funkcji wymiernej? Czy pierwiastek
mianownika zawsze określa asymptotę pionową? Omów na przykładach.
30. Jaką granicę w nieskończoności, ma funkcja wymierna, dla której stopień licznika
jest mniejszy od stopnia mianownika? Co to jest wielomian asymptotyczny funkcji
wymiernej? Jak rozpoznać jego stopień, na podstawie stopni licznika i mianowni-
ka funkcji wymiernej? Omów ocenę granic funkcji wymiernej w nieskończoności na
podstawie jej wielomianu asymptotycznego. Jak na podstawie stopni licznika i mia-
nownika rozpoznać, że funkcja wymierna ma asymptotę ukośną? (poziomą niezerową?
poziomą zerową?) Czy funkcja wymierna może mieć dwie asymptoty ukośne? (pozio-
me?).
31. Dane są liczby a < b. Naszkicuj wykresy funkcji y = ( x − a) /( x − b) oraz y =
( x − b) /( x − a).
32. Dane są liczby a < b < c. Naszkicuj wykres funkcji y = ( x − b) /(( x − a)( x − c)).
33. Rozwiąż nierówności x > 1 /x oraz x 2 < 1 /x.
Funkcje potęgowe
34. Naszkicuj wykres funkcji y = xn dla n = 1 , 2 , 3 oraz dla n = − 1. Omów pod-stawowe własności potęgowania (iloczyn potęg, iloraz potęg, potęga potęgi, potęga o
wykładniku zero, potęga o wykładniku ujemnym, potęga iloczynu).
35. Podaj definicję symbolu pierwiastka kwadratowego. Pierwiastek kwadratowy jest
funkcją odwrotną do pewnej funkcji. Jaka to funkcja? Wypisz związki złożeniowe.
Omów wykres funkcji pierwiastek kwadratowy (dziedzina, zbiór wartości, miejsca
zerowe, znak, monotoniczność, różnowartościowość, granice na krańcach dziedziny,
10
asymptoty). Czy funkcja pierwiastek kwadratowy jest ciągła? Omów własności: pierwiastek iloczynu i ilorazu. Omów usuwanie niewymierności z mianownika na przykła-
dach.
36. Podaj definicję symbolu pierwiastka trzeciego stopnia. Funkcja pierwiastek trze-
ciego stopnia jest odwrotna do pewnej funkcji. Jaka to funkcja? Przedstaw związki
złożeniowe. Omów wykres funkcji pierwiastek trzeciego stopnia (dziedzina, zbiór war-
tości, miejsca zerowe, znak, monotoniczność, różnowartościowość, granice na krańcach
dziedziny, asymptoty). Czy funkcja pierwiastek trzeciego stopnia jest ciągła? Omów
własności: pierwiastek trzeciego stopnia iloczynu i ilorazu.
37. Podaj definicję pierwiastka n-tego stopnia (osobno dla n parzystych i nieparzystych). Omów własności pierwiastka n-tego stopnia: pierwiastek iloczynu i ilorazu
oraz pierwiastek pierwiastka.
38. Zdefiniuj potęgę o wykładniku ułamkowym osobno dla wykładników dodatkich
√
i ujemnych. Czym różnią się funkcje y = 3 x oraz y = x 1 / 3? Wyjaśnij!
Funkcja wykładnicza
√
39. Omów definiowanie potęgi o dowolnym wykładniku. Jak można zdefiniować a 2?
Jakie wartości może przyjmować podstawa a oraz wykladnik x dla funkcji wykładniczej y = ax? Naszkicuj wykresy funkcji wykładniczej dla podstaw a = 2, a = 1 / 2 oraz a = 1. Omów własności funkcji wykładniczej w zależności od podstawy a (dziedzina, zbiór wartości, wartość w zerze, miejsca zerowe, znak, monotoniczność, różnowarto-
ściowość, granice na krańcach dziedziny, asymptoty). Czy funkcja wykładnicza jest
ciągła?
40. Omów własności funkcji wykładniczej w związku z działaniami (iloczyn potęg,
iloraz potęg, potęga potęgi, potęga wykładnika przeciwnego, potęga iloczynu).
41. Rozwiąż równania 2 x = 8, 4 x = 1 / 64, (1 / 3) x = 27 oraz nierówności (1 / 2) x < 1
i 2 x > (1 / 8). W każdym przypadku omów własności funkcji wykładniczej, z których korzystałeś.
Funkcja logarytmiczna
42. Podaj definicję logarytmu przy podstwie a z liczby b. Ile jest równy logarytm jedynki oraz logarytm podstawy. Przedstaw funkcję logarytm jako odwrotną do funkcji
wykładniczej. Omów związki złożeniowe. Dla jakich podstaw a funkcja logarytniczna
ma sens? Narysuj wykresy funkcji logarytmicznych o podstawie a = 2 i a = 1 / 2 na osobnych wykresach. Omów własności wykresu funkcji logarytmicznej w zależności od
podstawy a (dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, znak, monotoniczność, różno-
wartościowość, granice na krańcach dziedziny, asymptoty). Czy funkcja logarytmiczna
jest ciągła?
43. Omów własności funkcji logarytmicznej w związku z działaniami (logarytm ilo-
czynu, logarytm ilorazu, logarytm potęgi, zmiana podstawy logarytmu). Wiedząc,
11
że przybliżona wartość logarytmu dziesiętnego z 2 wynosi 0 . 301 oblicz bez użycia kalkulatora logarytmy dziesiętne z liczb 20, 200, 2000, 1 / 2, 1 / 20, 1 / 200.
44. Rozwiąż równanie log x = 5 oraz nierówności log x < 1, log x < 2 i log x > 0.
2
2
3
1 / 2
W każdym przypadku omów własności funkcji logarytmicznej, z których korzystałeś.
Funkcje trygonometryczne
45. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyprowadź wzór na przekątną kwadratu
oraz wysokość trójkąta równobocznego.
46. Podaj definicje funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego w trójkącie prosto-
kątnym. Jak można wyrazić tangens i kotangens przez sinus i cosinus. Wychodząc
z twierdzenia Pitagorasa uzasadnij prawdziwość jedynki trygonometrycznej. Omów
związek funkcji trygonometrycznych kątów α i 90 − α. Znajdź wartości funkcji trygonometrycznych kąta 45 stopni (z kwadratu) oraz 30 i 60 stopni (z trójkąta równo-
bocznego), a także kąta zerowego i prostego (z ciągłości).
47. Omów związki funkcji trygonomerycznych z działaniami (podaj wzór na sinus i
kosinus sumy kątów, a także na tangens i kotangens sumy). Znajdź wzory na funkcje
trygonometryczne kąta podwojonego, a także kąta ujemnego. Znajdź wzory na funkcje
trygonometryczne różnicy kątów.
48. Omów miarę łukową kąta. Narysuj wykresy funkcji trygonometrycznych kąta do-
wolnego wyrażonego w mierze łukowej. Omów własności wykresu każdej funkcji trygo-
nometrycznej (dziedzina, zbiór wartości, wartość w zerze, okres, miejsca zerowe, znak,
monotoniczność, różnowartościowość, granice na krańcach dziedziny, asymptoty, pa-
rzystość — nieparzystość, maksima i minima lokalne). Czy funkcje trygonometryczne
są ciągłe?
49. Omów konstrukcje funkcji odwrotnych do funkcji trygonometrycznych (funkcje
cyklometryczne lub tzw. funkcje arcus). Omów własności wykresu każdej skonstru-
owanej funkcji (dziedzina, zbiór wartości, wartość w zerze, miejsca zerowe, znak,
monotoniczność, różnowartościowość, granice na krańcach dziedziny, asymptoty, pa-
rzystość — nieparzystość). Czy funkcje cyklometryczne są ciągłe? Jak szybko uzasad-
nić, patrząc na asymptoty funkcji y = arctg x, że nie jest to wykres funkcji wymiernej?
50. Dodając (odejmując) stronami wzory na sinus sumy i sinus różnicy, wyprowadź
wzory na sumę dwóch sinusów. Jakie wzory można wyprowadzić, dodając (odejmując)
stronami wzory na kosinus sumy i kosinus różnicy?
51. Przedstaw każdą funkcję trygonometryczną za pomocą tangensa kąta połówko-
wego. Jak można kwadrat sinusa, kwadrat kosinusa oraz iloczyn sinusa i kosinusa
wyrazić za pomocą tangensa?
12