Egzamin poprawkowy z rachunku prawdopodobieństwa II, 8 III 2006,
godz. 12.30

1.

X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jedno-

stajnym na przedziale [

−1, 1]. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej

losowej

Z = max (X, Y ) − min(X, Y ).

2. Niech (

X

n

) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie

jednostajnym na przedziale [0

, 1]. Niech Z

n

=

n

a

·min(X

1

, . . . , X

n

), gdzie

a > 0.

Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu (

Z

n

) w zależności od

a.

3. Niech (

X

n

) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie

jednostajnym na przedziale [0

, 2]. Niech Z

n

=

X

1

· . . . · X

n

. Zbadać zbieżność

p.n. i w

L

1

ciągu (

Z

n

).

4. Niech (

X

n

) będą wynikami kolejnych rzutów uczciwą kostką, i niech

Z

n

będzie

ostatnią cyfrą rozwinięcia dziesiętnego liczby

X

1

· . . . · X

n

,

n  1, Z

0

= 1.

a) Wykazać, że (

Z

n

) jest łańcuchem Markowa.

b) Które stany są pochłaniające?

c) Jaki jest średni czas pochłonięcia (

Z

0

= 1).

5. Niech

p

k

oznacza prawdopodobieństwo otrzymania

k lub więcej orłów w 2k

rzutach symetryczną monetą. Wyznaczyć lim

k→∞

p

k

.

BONUS. Zbadać monotoniczność ciągu (

p

k

).

6. Klient supermarketu z prawdopodobieństwem 0,1 kupuje papierosy; wtedy
jego wydatki mają rozkład jednostajny na przedziale [4

, 10]. W pozostałych

przypadkach jego wydatki są zmienną losową o rozkładzie wykładniczym i śred-
niej 200 (zł). Jaka jest szansa, że 500 osób dokona zakupów za 101000 zł lub
więcej?

7. (

W

t

)

t0

jest procesem Wienera. Wyznaczyć rozkład wektora losowego (

W

1

, W

2

, W

3

).

8. Zbadać istnienie granicy (i podać, w jakim sensie istnieje):

lim

n→∞

n−1

k=0

(

X

(k+1)/n

− X

k/n

)

3

gdy (

X

t

) jest procesem a) Wienera; b) Poissona.

1