Egzamin poprawkowy z rachunku prawdopodobieństwa na WNE, 9

III 2006, 8:00

8 zadań, czas: 2h30m. Pełne rozwiązania piszemy na osobnych kartkach

wraz z imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu, numerem grupy ćwiczeniowej
oraz nazwiskiem osoby prowadzącej ćwiczenia. Tablice rozkładu normalnego są
niepotrzebne, należy operować jego dystrybuantą.

1. Jaś rzuca kostką do chwili uzyskania trzeciej szóstki. Jaka jest szansa, że

dwie pierwsze szóstki pojawiły się w dwóch kolejnych rzutach, jeśli doświadcze-
nie zakończyło się w

n-tym rzucie (10 pt) ?

2. Są trzy monety:na pierwszej po obu stronach jest orzeł, na drugiej —

po obu stronach reszki, na trzeciej — po jednej stronie orzeł, po drugiej reszka.
Rzucono losowo wybraną monetą i wypadła reszka. Jaka jest szansa, że po
drugiej stronie jest reszka (10 pt) ?

3. W pudełku A jest biała i czarna kula, w pudełku B — żadnej. Co minutę

losuje się kulę i przekłada do drugiego pudełka, po czym losowanie powtarza się
jeszcze raz. Nowy stan układu jest zapisywany, po czym całą procedurę powtarza
się nieskończenie wiele razy.

a) Opisać łańcuch Markowa, który stanowi model doświadczenia, podać jego

macierz przejścia (2 pt); b) Wyznaczyć rozkład stacjonarny, jeśli istnieje (3
pt); Zbadać, czy stany układu zmierzają do rozkładu stacjonarnego (5 pt) —
udowodnić, że tak, lub wyjaśnić, dlaczego nie.

4. Z 52-kart wylosowano 6. Jaka jest szansa, że wśród nich będą karty czer-

wone i czarne (10 pt) ?

5. Szansa awarii samochodu w ciągu jednego dnia jest równa 0,001. W firmie

jest 100 samochodów. a) Jaka jest szansa, że jutro żaden z nich nie ulegnie awarii
(6 pt) ? b) Wiadomo, że awarii uległy 3 samochody. Jaka jest szansa, że jednym
z nich jest samochód szefa (4 pt) ? Jeśli korzystasz z przybliżeń, podaj błąd
przybliżenia.

6. Zmienne losowe

X i Y są niezależne i mają rozkład jednostajny na prze-

dziale [0

, 1]. a) Czy zmienne losowe X + Y i X − Y są niezależne (4 pt); b)

Podać dystrybuantę lub gęstość dla

X − Y (4 pt); c) Obliczyć współczynnik

korelacji pomiędzy

X + Y i X − Y (2 pt).

7. W celu oszacowania, jaki procent populacji czyta książki, planuje się prze-

prowadzenie ankiety wśród

n osób. (7 pt) Jakie powinno być n, by błąd osza-

cowania nie przekraczał

ε = 0, 01 z prawdopodobieństwem a  0,95? (3 pt)

Czy informacja, że książki czyta nie więcej niż 5% populacji, ma wpływ na
dopuszczalne wartości

n?

8. Czas obsługi przy kasie nr 1 w supermarkecie ma rozkład wykładniczy, a

przy kasie nr 2 — jednostajny na przedziale [0

, a]. W obu przypadkach średnia

jest równa 2 minuty.

Jaka jest mniej więcej szansa, że w ciągu 6 godzin uda się obsłużyć więcej

niż 200 osób a) (5 pt) przy kasie nr 1? b) (5 pt) przy kasie nr 2?

1