Oddziaływania grawitacyjne

Ireneusz Pakuła

15 czerwca 2002

Grawitacja to chyba najciekawsze ze wszystkich oddziaływań. Po pierwsze - jest najsłabsze - dwa

elektrony odpychają się z siłą o wiele rzędów wielkości większą, niż przyciągają (dokładnie - w próżni
odpychają się 4 · 10

42

raza silniej, niż przyciągają). Po drugie - jak dotąd nie udało się skonstruować

kwantowej teorii grawitacji. Współcześnie opisuje się tę siłę używając całkiem innej matematyki, niż w
pozostałych oddziaływaniach. Rozpocznijmy jednak od kilku słów na temat historii. . .

W starożytności wiedziano tylko jedno - wszystkie ciała spadały. Możemy być pewni, że Newton

nie był pierwszym, który dostał jabłkiem w głowę ;-) - według znanej opowieści - jednak to właśnie on
skonstruował pierwszą ogólną teorię grawitacji, opisaną porządną matematyką. W starożytności panował
Platoński pogląd, iż rzeczy cieższe spadają szybciej, niż lekkie - czemu zaprzeczył Galileusz - oraz, że
niebem rządzą inne prawa, niż zjawiskami na Ziemi - obalenie tego mitu to z kolei zasługa Keplera (jego
orbity eliptyczne) i Newtona - prawo powszechnego ciążenia. Otóż i podany przez Newtona przepis
na siłę grawitacji pomiędzy dwoma ciałami (mam nadzieję, że czytelnik wybaczy mi, iż w związku z
oczywistością jej kierunku pominę subtelności związane z jej znakiem):

~

F

12

=

GM

1

M

2

~

R

2

12

(1)

gdzie ~

F

12

to wektor siły, M

i

to masy ciał, ~

R

12

to wektor łączący te ciała, zaś G jest stałą grawitacji,

jedną z fundamentalnych stałych przyrody (G = 6, 673·10

−11

[m

3

kg

−1

s

−2

]). Ciekawym może się wydawać

fakt, że przez słabość grawitacji G jest chyba najmniej dokładnie znaną stałą przyrody.

W oparciu o ten wzór wyliczono orbity planet, komet i innych ciał niebieskich. Dzięki temu wzorowi

wysłano sondy poza granice Układu Słonecznego, wykorzystując grawitację i moment pędu planet. Ale
niestety ten wzór okazał się nie być dokładnym. . . Przede wszystkim - nie uwzględniał efektów Szczególnej
Teorii Wzgledności (STW). Poza tym - odkryto, że orbita Merkurego wykonuje precesję, obraca się -
teoria Newtona wyjaśniała tylko część tego zjawiska. Po ponad dwustu latach powstała w XVII wieku
teoria Newtona musiała odejść do lamusa, gdyż była tylko przybliżeniem dla małych pól grawitacyjnych
i małych prędkości.

Po odkryciu STW, która opisywała jedynie układy poruszające się ze stałą prędkością względem

siebie (inercjalne), Einstein zaczął pracować nad teorią, która zawierałaby w sobie opis także układów
podlegających przyspieszeniom. Okazało się, że taka teoria jest również teorią grawitacji - nazwano ją
Ogólną Teorią Wzgledności (OTW). Obie teorie traktowały czas jako kolejny wymiar, operując pojęciem
czasoprzestrzeni, jednak o ile STW zajmowała się czasoprzestrzenią płaską [Minkowskiego, z metryką
(+, −, −, −)], o tyle przestrzeń właściwa dla OTW była czasoprzestrzenią zakrzywioną. Przyjrzyjmy się
może, na czym owa różnica polega.

Jak mierzymy odległość w normalnej przestrzeni? Otóż na płaszczyźnie korzystamy z twierdzenia

Pitagorasa:

ds

2

= dx

2

+ dy

2

(2)

gdzie przez ds oznaczyłem odległość, a dx i dy to przesunięcia w kierunku x i y. Kwadrat odległości

ds

2

nazywamy interwałem.

W przestrzeni trójwymiarowej mamy trzy kierunki, więc nasz wzór na kwadrat odległości wygląda

tak:

1

ds

2

= dx

2

+ dy

2

+ dz

2

(3)

zapiszemy teraz ten wzór nieco inaczej:

ds

2

= dx

2

+ dy

2

+ dz

2

= dx · dx + dy · dy + dz · dz = g

ij

dx

i

dx

j

(4)

gdzie w ostatnim zapisie użyłem dwóch nowych rzeczy:

• Konwencji sumacyjnej Einsteina - jeśli ten sam wskaźnik powtarza się raz w indeksie dolnym, a raz

w górnym, to znaczy, że sumujemy po nim, po wszystkich możliwych wartościach, innymi słowy:

x

i

y

i

= x

1

y

1

+ x

2

y

2

+ . . . + x

n

y

n

(5)

Ponadto, jeśli litera jest grecka, to sumowanie rozciąga cię na 0, 1, 2, 3, zaś gdy łacińska - 1, 2, 3.
Takie sumowanie czasami nazywa się kontrakcją lub zwężeniem - gdyż zmniejsza ilość wskaźników
o 2 (zauważmy, że suma x

i

y

i

nie ma już żadnego wolnego wskaźnika).

• Symbol g

ij

oznacza tensor metryczny (inaczej - metrykę), który w tym przypadku ma wartość 1,

gdy i = j, zaś zero gdy i 6= j - tzn. ma postać macierzy jednostkowej, jeszcze inaczej mówiąc -
tzw. delty Kroneckera δ

ij

:

g

ij

= δ

ij

=





1

0

0

0

1

0

0

0

1





(6)

Wspomnieć tu trzeba o tym, że tensor g

ij

= (g

ij

)

−1

. Ponadto - metryka będąca deltą Kroneckera

nazywana jest metryką Euklidesową, niezależnie od wymiaru przestrzeni.

Używana w STW czasoprzestrzeń Minkowskiego to czterowymiarowa przestrzeń, gdzie x

0

= ct jest

współrzędną związaną z czasem (oczywiście c to prędkość światła). Metryka tej przestrzeni (metryka
Minkowskiego) ma postać macierzową:

g

µν

=







1

0

0

0

0

−1

0

0

0

0

−1

0

0

0

0

−1







(7)

a więc teraz nasz interwał wygląda tak:

ds

2

= g

µν

dx

µ

dx

ν

= (dx

0

)

2

− (dx

1

)

2

− (dx

2

)

2

− (dx

3

)

2

(8)

Wszystkie te przestrzenie nazywamy płaskimi - mają stałe na całej przestrzeni metryki, będące

macierzami diagonalnymi (mają różne od zera wartości jedynie na głównej przekątnej).

Ogólna Teoria Względnosci zajmuje się przestrzeniami zakrzywionymi - ich metryka może mieć ele-

menty pozadiagonalne (opisujące skręcenie przestrzeni - np. przy czarnej dziurze Kerra - obracającej się),
zależna jest także od jakichś zmiennych (np. odległości od pewnego ustalonego punktu). Inna różnica
polega także na tym, że w przestrzeniach płaskich metryka jest stała w całej przestrzeni, natomiast w
OTW zależy ona od miejsca (jest funkcją położenia).

Bardzo mnie teraz kusi, by podać tu wyprowadzenie równań Einsteina z równań Eulera-Lagrange’a,

jednak nie bedę okrutny [;-)] i podam je „na talerzu”. Otóż układ 10 równań różniczkowych można za
pomoca notacji tensorowej [takiej, jaką wprowadziłem ;-)] zapisać w zwartej postaci:

G

µν

= κT

µν

(9)

gdzie T to tak zwany tensor energii-pędu, G nazywamy tensorem Einsteina (możemy chwilowo, dla up-

roszczenia, przyjąć, że taki „tensor” to pewne uogólnienie macierzy; dlaczego uogólnienie? - napotkamy

2

tutaj tensory mające więcej, niż dwa wskaźniki. . . ; ważne są własności transformacyjne tensorów - więcej
danych na ten temat umieszczę w opisie mechaniki relatywistycznej, i być może w dodatku matematy-
cznym), zaś κ to stała określająca siłę oddziaływania, ma ona taką wartość, by po rozwiązaniu równań
stała grawitacji była równa stałej grawitacji [;-)]. W rzeczywistości całe piękno tego równania tkwi w
tym, iż po pierwsze - opisuje ono oddziaływania jako czystą geometrię, po drugie - ten prosty wzorek to
w zasadzie iluzja; stoi za nim potężny aparat geometrii różniczkowej i analizy tensorowej. Teraz zajmę
się opisywaniem kolejnych jego fragmentów.

Tensor Einsteina G

µν

- opisuje on geometrię przestrzeni. Jego postać:

G

µν

= R

µν

−

1

2

g

µν

R − g

µν

Λ

(10)

zawiera w sobie, oprócz tensora metrycznego, kilka nowych rzeczy:

• stałą kosmologiczną Λ - wprowadzoną przez Einsteina by zachować statyczność Wszechświata;

sam Einstein nazwał ją swoją największą pomyłką, lecz obecnie powraca się do niej w niektórych
teoriach kosmologicznych; jest pomijana przy rozpatrywaniu np. modeli gwiazd;

• tensor Ricciego R

µν

- jest on skontrahowanym tensorem krzywizny Riemanna; po rozpisaniu ma

postać:

R

µν

= R

α
µνα

= ∂

µ

Γ

α
µα

− ∂

α

Γ

α
µν

− Γ

β
µν

Γ

σ
βσ

− Γ

β
µσ

Γ

σ
νβ

(11)

widoczne tutaj symbole Γ

α
βγ

to tzw. symbole Christoffela (nie są tensorami!!! - inaczej się trans-

formują), one z kolei po rozpisaniu wyglądają tak:

Γ

λ
ρτ

=

1

2

g

λµ

(∂

ρ

g

µτ

+ ∂

τ

g

µρ

− ∂

µ

g

ρτ

)

(12)

Ponadto:

∂

µ

=

∂

∂x

µ

(13)

• skalar Ricciego R - to tensor Ricciego skontrahowany z tensorem metrycznym:

R = R

µν

g

µν

(14)

Tak więc cały tensor Einsteina można zbudować z tensora metrycznego i pochodnych (oczywiś-
cie jawna postać takiego zapisu byłaby potwornie skomplikowana. . . ), ostatecznie jeszcze stałej
kosmologicznej - jest to czysta geometria.

Tensor energii-pędu T

µν

- poprzez równość z tensorem Einsteina opisuje on wpływ gęstości energii i

pędu na zakrzywienie przestrzeni. Zależy on od tzw. funkcji Lagrange’a (lagrangianu), który dla OTW
ma postać:

L

=

L

g

+ L

m

(15)

L

g

=

−

1

2κ

R

(16)

gdzie L

g

- to część pochodząca od grawitacji (tu w zwykle stosowanym przybliżeniu liniowym ze

względu na R), zaś L

m

to wkład materii. Teraz mogę podać już wzór na T

µν

:

T

µν

= 2

∂L

m

∂g

µν

− g

µν

L

m

(17)

3

I to już w zasadzie wszystko [;-)))]. Równania Einsteina otrzymuje się z funkcji Lagrange’a, wstawia-

jąc ją do odpowiednich równań wynikających z tzw. zasady ekstremalnego działania - znikania wariacji
wielkości fizycznej zwanej działaniem, będącej całką z funkcji Lagrange’a (dokładniej - z jej gęstości) po
całej czasoprzestrzeni - to jeden z wyników klasycznej teorii pola. Równania Einsteina są równaniami
klasycznymi - innymi słowy nie uwzględniają efektów kwantowych. Poszukiwanie kwantowej teorii graw-
itacji to jeden z głównych kierunków prac w OTW i kwantowej teorii pola. Jak dotąd nie udało się to,
choć jest już kilka teorii kandydujących do tego miana - są to np. teoria superstrun, membran, czy tzw.
supergrawitacja - jednak co do żadnej z nich nie ma pewności (w zasadzie są one bardziej matematyką,
niż fizyką, gdyż nie są weryfikowalne). Jeśli kwantowa teoria grawitacji faktycznie istnieje, to grawitacja
przenoszona jest przez bezmasowe cząstki o spinie 2 zwane grawitonami - obecnie poszukuje się ich,
jak również przewidzianych przez klasyczną OTW fal grawitacyjnych - rozchodzących się z prędkością
światła przenoszących energię zaburzeń przestrzeni, powstających np. przy wybuchu supernowej lub w
układzie dwóch orbitujących wokół siebie nawzajem gwiazd neutronowych (w takim układzie zostały
zresztą pośrednio odkryte - układ traci energię i gwiazdy zacieśniają orbity).

4