FIZYKA dla 

studentów 

POLIGRAFII

Wykład 8

 

 

Prawo powszechnego 

ciążenia

R

 =

 3

84

 0

00

 k

m

r = 6400 km

60

6400

384000





r

R

T = 27,3 dnia = 
2,36·10

6

 s

s

m

T

r

v

1022

2







2

2

2

0027

,

0

384000

1022

s

m

m

s

m

r

v

a



















2

60

3600

0027

,

0

81

,

9







a

g

 

 

Prawo powszechnego 

ciążenia

Siła grawitacji między punktami materialnymi lub 
jednorodnymi kulami:

 

 

Prawo powszechnego 

ciążenia

12

F

d



12

r

1

dV

2

dV

1



2



 

 

Natężenie pola 

grawitacyjnego

M

 

 

Praca sił grawitacyjnych







r

 

 

Energia potencjalna sił 

grawitacyjnych

U

A

U

B

Const = 
0





r

cons
t

U

 

 

Potencjał pola 

grawitacyjnego

Potencjał

 - praca wykonana przez siły 

grawitacji przy przemieszczeniu punktu 
materialnego o jednostkowej masie z danego 
punktu pola do nieskończoności 



 

energia 

potencjalna masy jednostkowej

.

Powierzchnie ekwipotencjalne

 

r

GM

r

V





 

 

Potencjał pola 

grawitacyjnego

 

r

GM

r

V





Wektor natężenia pola grawitacyjnego jest prostopadły do 
powierzchni ekwipotencjalnej i jest skierowany od 
powierzchni o potencjale wyższym do powierzchni o 
potencjale niższym. 

 

 

Zasada równoważności

Masa grawitacyjna Ziemi

Masa grawitacyjna ciała

Masa bezwładna ciała

Przyspieszenie ziemskie 
jednakowe dla każdego 
ciała.

Stosunek              stały

b

g

m

m

 

 

Zasada równoważności

Można tak dobrać stałą grawitacji, aby:

Zjawisk wywołanych działaniem 

sił 

grawitacji

 nie można w skali lokalnej 

odróżnić od zjawisk wywołanych 
działaniem 

sił bezwładności

Ogólna teoria względności

 

 

Równoważność siły grawitacji i siły 
bezwładności w układzie nieinercjalnym

•Pole grawitacyjne równoważne 
zakrzywieniu czasoprzestrzeni

Przestrzeń i czas dotąd uważane za 
pasywną scenę zdarzeń w istocie tworzą 
czasoprzestrzeń, która jest dynamicznym 
uczestnikiem wszystkich procesów.

Ogólna Teoria Względności

 

 

Geometria Wszechświata

•Geometria płaska

 model: dwuwymiarowa 
płaszczyzna

Suma kątów w 
trójkącie równa jest 
180

0

Linie równoległe nie 
przecinają się

 

 

Geometria Wszechświata

•Geometria 
sferyczna

 model: powierzchnia 
kuli - krzywizna 
dodatnia

Suma kątów w 
trójkącie równa jest 
większa niż 180

0

Linie równoległe 
przecinają się 
(przykład:południki)

 

 

Geometria Wszechświata

•Geometria 
hiperboliczna

 model: powierzchnia 
siodłowa- krzywizna ujemna

Suma kątów w 
trójkącie jest mniejsza 
niż 180

0

Linie równoległe 
rozchodzą się

 

 

... i dodatniej

Dr. Stanisław Bajtlik demonstruje powierzchnię o krzywiźnie ujemnej

 

 

Zakrzywienie czasoprzestrzeni oznacza, że 
najkrótszą linią łącząca dwa punkty jest linia 
krzywa – światło w pobliżu dużej masy nie 
porusza się po prostej!

Doświadczalne potwierdzenie Ogólnej Teorii 
Względności:

W 1919 r. zaobserwowano w czasie zaćmienia Słońca 
ugięcie promieni świetlnych biegnących od odległej 
gwiazdy.

Gwiazd
a



Słońce

Obserwator 

Pozorne położenie 
gwiazdy

 

 

Ruch pod wpływem sił 

centralnych

Siła zależna tylko od odległości

Moment siły centralnej równy zeru:

0







F

r

M







0



M

dt

L

d





Z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego:

wynika, że 

moment pędu jest stały

:

const

L 



 

 

Ruch pod wpływem sił 

centralnych

Pod wpływem 

siły centralnej

 ciała poruszają 

się po tzw. 

krzywych stożkowych

: elipsie, 

paraboli lub hiperboli.

Słońc
e

 

 

Prawa Keplera

 - pole trójkąta 

S

d



- prędkość polowa

r

d

r

 

 

Prawa Keplera

L

m





2

1





Stałe pola zakreślane w jednakowych 
odcinkach czasu przez promień wodzący 
poruszającego się punktu.

Stała prędkość polowa

Stały moment pędu



 

 

Ruchy ciał w polu grawitacyjnym zachodzą 
zawsze 

w jednej płaszczyźnie

 wyznaczonej 

przez wektor wodzący ciała (wyprowadzony z 
centrum pola) i wektor pędu z jakim ciało 
wkracza do pola.

Prawa Keplera

Zasada zachowania momentu pędu.

 

 

Układ słoneczny

 

 

Prawa Keplera

m

r

2

2

4





Siła grawitacji jest siłą dośrodkową

M

m

T – okres obiegu planety

 

 

Dla dwóch planet:

Prawa Keplera

1. Planety poruszają się po torach 

eliptycznych. Słońce znajduje się w jednym 
z ognisk elipsy. 

2. Promień wodzący planety zakreśla w tych 

samych przedziałach czasu te same pola. 

3. Stosunek kwadratów czasów obiegu planet 

wokół Słońca równy jest stosunkowi 
trzecich potęg  dużych półosi. 

3 prawa Keplera:

 

 

Pierwsza prędkość 

kosmiczna 

Siła przyciągania 
grawitacyjnego jest 
równoważona przez  siłę 
odśrodkową: 

 

 

Pierwsza prędkość 

kosmiczna 

Pierwszą prędkością kosmiczną

 nazywamy  

najmniejszą możliwą prędkość jaką musi mieć 
punkt materialny krążący wokół Ziemi na 
orbicie bliskiej promieniowi Ziemi.

 

 

Druga prędkość kosmiczna

r

GM

v 

1

Druga prędkość kosmiczna

 - 

najmniejszą prędkość, która 
umożliwia punktowi materialnego 
pokonanie siły grawitacji ziemskiej i 
oddalenie się w przestrzeń 
kosmiczną. 

gdzie 

M 

– masa Ziemi, 

R

 – odległość 

od Ziemi

 

 

Trzecia prędkość kosmiczna

Trzecia prędkość kosmiczna

 - najmniejszą 

prędkość, która umożliwia punktowi 
materialnego pokonanie siły grawitacji Słońca 
i opuszczenie układu słonecznego. 

R

GM

v

S

2

3



gdzie M

S

 – masa Słońca, R – 

odległość od Słońca

 

 

dr

r

dV



Siła grawitacji wewnątrz 

jednorodnej kuli

Całą masę Ziemi dzielimy na 2 

części:

1.  Leżącą bliżej środka Ziemi niż 

ciało 

2. Leżącą dalej od środka Ziemi

Masa Ziemi zawarta w 
elemencie dV :

Więc siła grawitacji od masy w 
elemencie dV działająca na 
ciało:

Siły od przeciwległych elementów 
równoważą się.





dr

r

dr

r

dV

dM

2

2

2























2

2

2

2

r

dr

r

Gm

dF

r

m

dM

G

dF













 

 

Siła grawitacji wewnątrz 

jednorodnej kuli

Efektywna siła grawitacji pochodzi tylko od 
masy leżącej bliżej środka Ziemi niż ciało.

3

4

)

(

3

2

2

x

x

m

G

x

m

x

M

G

F























x

k

x

m

G

F



















3

4



Ruch ciała wrzuconego do tunelu 
przechodzącego przez środek Ziemi – drgania 
harmoniczne.

x

 

 

 

2

2

R

R

GmM

R

mv



Siła odśrodkowa 
równoważy siłę 
grawitacji.

R

R

GM

v

)

(



Prędkość gwiazd na 
peryferiach galaktyki 
powinna maleć, gdy rośnie R

Rotacja galaktyk – 

ciemna 

materia?

Prędkość gwiazdy w odległości R o d środka:

 

 

Rotacja galaktyk – 

ciemna 

materia?

Galaktyki wirują szybciej 
niż pozwalają na to 
prawa dynamiki i 
grawitacji 

Muszą zawierać 
więcej materii niż 
widać!

Prawa dynamiki 

Newtona

Obserwowana 

zależność

 

 

Galaktykę otacza sferyczne halo o rozmiarach 
znacznie większych niż rozmiary galaktyki.

Ciemna materia

Galaktyka

Gromady kuliste 
otaczające 
galaktykę

 

 

Ciemna materia

Poszukiwania ciemnej materii w dużo większej skali 
– pomiary prędkości galaktyk w gromadach.

Ponad 60 lat temu Fritz 
Zwicky badał 
przesunięcia 
dopplerowskie galaktyk 
tworzących gromadę w 
Warkoczu Bereniki.

Całkowita masa gromady 
okazała się kilkaset razy 
większa niż suma mas 
galaktyk oszacowana na 
podstawie znajomości 
jasności i mas 
pojedyńczych gwiazd.

 

 

Ciemna materia

Pomiary prowadzone w ostatnich 30 latach pokazują, 
że wiele galaktyk ma olbrzymie, masywne halo 
zbudowane z ciemnej materii.

Dodatkowe potwierdzenie tej hipotezy otrzymano 
badając ruch dwóch położonych blisko siebie 
galaktyk wokół wspólnego środka masy.

Droga Mleczna i Wielka Mgławica w Andromedzie 
zbliżają się do siebie z prędkością względną 270 
km/s – masy muszą być dużo większe niż suma mas 
gwiazd.

Masa ciemnej materii wydaje się być 5 – 
10 razy większa niż materii widzialnej.

 

 

Niezależne potwierdzenie dużych mas gromad 
galaktyk uzyskuje się dzięki zjawisku soczewkowania 
grawitacyjnego, tj. ugięcia promieni świetlnych przez 
pole grawitacyjne. Ze względu na duże masy gromad, 
efekt ten jest stosunkowo łatwo i często obserwowany. 
Jednocześnie, wskutek ogniskowania wiązki światła 
wzmocnieniu ulega obserwowana jasność bardzo 
odległych galaktyk i kwazarów. 

Soczewkowanie grawitacyjne

 

 

Soczewkowanie grawitacyjne

Gromada galaktyk A2218 zniekształca obrazy 
odległych galaktyk. Na pierwszym planie widać 
jasne galaktyki z gromady; cienkie świetliste łuki 
są wydłużonymi i zakrzywionymi koncentrycznie 
wokół środka masy obrazami galaktyk tła. 
Rozmieszczenie i kształt łuków pozwalają 
wyznaczyć rozkład masy tej gromady. Fot. 
HST/NASA.

 

 

Zaginanie promieni świetlnych galaktyki spiralnej przez pole 
grawitacyjne gromady galaktyk Cl0024+1654. Znajdujące się na 
pierwszym planie żółtawe galaktyki gromady uginają promienie 
świetlne niebieskiej galaktyki spiralnej. W wyniku tego powstało 
pięć oddzielnych obrazów tej galaktyki: jeden blisko środka 
zdjęcia, a pozostałe cztery - rozmieszczone w przybliżeniu wzdłuż 
okręgu "na godzinach" 4, 8, 9 i 10. Gromada Cl0024+1654 
znajduje się w gwiazdozbiorze Ryb, w odległości około 1500 
megaparseków (Mpc); galaktyka spiralna - mniej więcej dwa razy 
dalej. Fot. HST/NASA.

Soczewkowanie 

grawitacyjne

 

 

Ciemna materia

Inne sposoby badania wpływu grawitacji:

Satelita 

ROSAT 

RO

entgen 

SA

telite

W 1992 roku Satelita ROSAT 
zbadał promieniowanie 
rentgenowskie emitowane z grupy 
trzech galaktyk (NGC2300) w 
gwiazdozbiorze Cefeusza

Grupa jest zanurzona w obszarze emitującym 
promieniowanie rentgenowskie, mającym średnicę 
ponad miliona lat świetlnych – energia tego 
promieniowania jest 10 miliardów razy większa niż 
energia wysyłana ze Słońca w postaci światła 
widzialnego.

 

 

Ciemna materia

1. Promieniowanie rengenowskie jest emitowane przez 

gorący gaz.

2. Natężenie i częstość promieniowania 

rentgenowskiego mówi o tym, ile jest tego gazu i 
jaką ma temperaturę.

3. Można obliczyć, jaką masę musi zawierać gromada 

galaktyk, aby gaz nie rozproszył się w przestrzeni.

4. Należy oszacować całkowitą masę zawartą w 

świecących gwiazdach.

Porównanie mas otrzymanych w 3 i 4 kroku 
prowadzi do wniosku, że większość masy w 
gromadzie NGC2300 to ciemna materia

50 razy więcej ciemnej materii niż 

widzialnej!

 

 

Ciemna materia

Czym jest ciemna materia?

Wiemy czym nie jest: nie składa się z 

barionów

 i 

leptonów

.

•Obserwacje w 1994 r. wykonane przez 
Kosmiczny Teleskop Hubble’a wykluczyły słabo 
świecące czerwone karły.

•Kolejny kandydat – ciemne mniejsze ciała jak: 
planety, komety, planetoidy (

MACHO – MA

ssive 

C

ompact 

H

alo 

O

bject) również nie może 

stanowić głównego składnika ciemnej materii .

 

 

Ciemna materia

Czym jest ciemna materia?

Nieznane do tej pory cząstki: 

struny kosmiczne, 

cząstki supersymetryczne, monopole magnetyczne 
i wiele innych.

Neutrina i antyneutrina

 - cząstki o masach 

niewiele większych od  zera – Wszechświat zawiera 
około miliarda razy więcej neutrin niż protonów 
czy neutronów – 

neutrina stanowią nie więcej niż 

połowę ciemnej materii.

Poszukiwania tych cząstek niezwykle trudne, bo 
oddziałują ze zwykłą materią tylko grawitacyjnie 
i słabo.

 

 

Ciemna materia

Ciemnej materii poszukuje się także w 
laboratoriach.

Podziemne laboratorium pod tamą Oroville w 
Kaliforni – poszukiwania 

WIMP 

(

W

eacly 

I

nteracting 

M

assive 

P

articles)

WIMP –hipotetyczne cząstki o masie 10 – 100 
GeV. 

Przypuszcza się, że w każdej sekundzie 100 000 
wimpów przechodzi przez każdy cm

2

 Ziemi, w 

tym również przez nasze ciała.