Grawitacja
Grawitacja
Jak zmierzy
ć
stał
ą
G ?
Pierwszy
ś
cisły pomiar stałej grawitacji został wykonany przez lorda Cavendisha
ok 1798 roku:
1798
Siła grawitacji
Na dwóch cienkich pr
ę
tach umieszczone s
ą
parami znane masy. Jeden z pr
ę
tów mo
Ŝ
e si
ę
obraca
ć
, skr
ę
caj
ą
c spr
ęŜ
yst
ą
nitk
ę
. Wskutek działania sił przyci
ą
gania grawitacyjnego pr
ę
t
ruchomy skr
ę
ci nitk
ę
o pewien k
ą
t, który odczytamy poprzez odbicie promienia
ś
wiatła od
lusterka przyklejonego do pr
ę
ta.
2
2
11
kg
Nm
10
6754
.
6
G
−
−
×
=
1798
r
r
Mm
G
r
Mm
G
r
r
F
2
2
ˆ
−
=
−
=
m –
masa próbna
r
r
F
ˆ
2
3
r
Mm
G
r
Mm
G
−
=
−
=
Rozdzielamy sił
ę
na dwie cz
ęś
ci:
jedna masa wytwarza pole, a nast
ę
pnie to pole działa na drug
ą
mas
ę
r
r
F
r
γ
ˆ
)
(
M
G
M
G
−
=
−
=
=
Nat
ęŜ
enie pola
Pole grawitacyjne
W fizyce pole to przestrzenny rozkład pewnej wielko
ś
ci. Inaczej mówi
ą
c –
w przestrzeni okre
ś
lone jest pewne pole, je
Ŝ
eli ka
Ŝ
demu punktowi
przestrzeni przypisano pewn
ą
wielko
ść
.
m –
masa próbna
r
r
F
r
γ
ˆ
)
(
2
3
r
M
G
r
M
G
m
−
=
−
=
=
nat
ęŜ
enie pola
M stwarza w punkcie r takie warunki,
Ŝ
e umieszczona w nim masa m odczuje
działanie siły.
Masie M przypisujemy obszar wpływu
(działania), czyli pole.
"Mapa" nat
ęŜ
enia pola grawitacyjnego wokół masy M
linie sił pola
r
Mm
G
r
E
p
−
=
)
(
0
)
(
=
∞
p
E
r
M
G
m
r
E
r
V
p
−
=
=
)
(
)
(
potencjał pola grawitacyjnego:
Potencjał pola:
r
m
linie sił pola
powierzchnie ekwipotencjalne
V = const.
2) Jak
ą
pr
ę
dko
ść
nale
Ŝ
y nada
ć
obiektowi przy powierzchni Ziemi, aby opu
ś
cił on pole
grawitacyjne Ziemi.
Pr
ę
dkosci kosmiczne
2
2
R
m
M
G
R
m
Z
=
v
1) Pr
ę
dko
ść
na orbicie o promieniu R:
(pierwsza pr
ę
dko
ść
kosmiczna)
R
M
G
Z
I
=
v
s
km
I
/
91
.
7
=
v
grawitacyjne Ziemi.
Z
Z
p
k
R
m
M
G
m
E
E
−
=
+
2
2
v
Na powierzchni Ziemi:
Na wysoko
ś
ci r
→
∞
nad Ziemi
ą
:
0
0
=
=
p
k
E
E
const.
=
+
p
k
E
E
Otrzymujemy pr
ę
dko
ść
ucieczki:
(druga pr
ę
dko
ść
kosmiczna)
Z
Z
II
R
M
G
2
=
v
s
km
II
/
19
.
11
=
v
r
r
Mm
G
m
r
a
2
−
=
r
r
Mm
G
t
d
d
m
r
r
2
2
2
−
=
Równanie ruchu:
Rozwi
ą
zania
krzywe sto
Ŝ
kowe
Ruch planet
Mikołaj Kopernik (1473 – 1543), formułuje tzw. model heliocentryczny (opisany w jego dziele: „De
revolutionibus orbitum coelestium”, czyli „O obrotach sfer niebieskich” – wydanym w roku 1543).
Johannes Kepler (1571 - 1630) dokonał syntezy ówczesnej wiedzy na temat ruchu
planet wokół Słońca w postaci trzech prostych praw.
1.
Ka
Ŝ
da planeta kr
ąŜ
y po orbicie eliptycznej, ze Sło
ń
cem w jednym z ognisk tej elipsy.
Ruch planet – prawa Keplera
2.
Linia ł
ą
cz
ą
ca Sło
ń
ce i planet
ę
zakre
ś
la równe pola w równych odst
ę
pach czasu (prawo
równych pól).
3.
Sze
ś
ciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet maj
ą
si
ę
do siebie jak kwadraty
ich okresów obiegu (póło
ś
wielka jest połow
ą
najdłu
Ŝ
szej ci
ę
ciwy elipsy).
siła centralna:
r
r
Mm
G
r
F
2
−
=
0
)
(
3
2
=
×
−
=
−
×
=
×
=
r
r
r
r
F
r
M
r
Mm
G
r
r
Mm
G
moment siły centralnej:
L = const.
Moment p
ę
du jest zachowany w ruchu pod wpływem siły centralnej (np. siły grawitacji).
prawo 2: Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla równe pola w równych odstępach czasu
(prawo równych pól).
dt
R
dt
R
R
dt
R
dS
ω
ω
2
2
1
2
1
2
1
=
=
=
⊥
v
2
2
1
R
dt
dS
ω
=
const.
R
m
R
m
L
=
=
=
⊥
2
ω
v
const.
m
L
t
d
S
d
=
=
2
Załó
Ŝ
my orbit
ę
kołow
ą
r=const. i
ω
=const.
GM
R
T
R
mM
G
R
m
=
=
3
2
2
2
2
4
;
π
ω
prawo 3: Sześciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet mają się do siebie jak
kwadraty ich okresów obiegu (półoś wielka jest połową najdłuŜszej cięciwy elipsy).
3
2
2
4
R
GM
T
π
=
2
2
2
1
3
2
3
1
T
T
R
R
=