Grawitacja

Jak zmierzy

ć

stał

ą

G ?

Pierwszy

ś

cisły pomiar stałej grawitacji został wykonany przez lorda Cavendisha

ok 1798 roku:

1798

Siła grawitacji

Na dwóch cienkich pr

ę

tach umieszczone s

ą

parami znane masy. Jeden z pr

ę

tów mo

ż

e si

ę

obraca

ć

, skr

ę

caj

ą

c spr

ęż

yst

ą

nitk

ę

. Wskutek działania sił przyci

ą

gania grawitacyjnego pr

ę

t

ruchomy skr

ę

ci nitk

ę

o pewien k

ą

t, który odczytamy poprzez odbicie promienia

ś

wiatła od

lusterka przyklejonego do pr

ę

ta.

2

2

11

kg

Nm

10

6754

.

6

G

−

−

×

=

1798

r

r

Mm

G

r

Mm

G

r

r

F

2

2

ˆ

−

=

−

=

m –

masa próbna

r

r

F

ˆ

2

3

r

Mm

G

r

Mm

G

−

=

−

=

Rozdzielamy sił

ę

na dwie cz

ęś

ci:

jedna masa wytwarza pole, a nast

ę

pnie to pole działa na drug

ą

mas

ę

r

r

F

r

γ

ˆ

)

(

M

G

M

G

−

=

−

=

=

Nat

ęż

enie pola

Pole grawitacyjne

W fizyce pole to przestrzenny rozkład pewnej wielko

ś

ci. Inaczej mówi

ą

c –

w przestrzeni okre

ś

lone jest pewne pole, je

ż

eli ka

ż

demu punktowi

przestrzeni przypisano pewn

ą

wielko

ść

.

m –

masa próbna

r

r

F

r

γ

ˆ

)

(

2

3

r

M

G

r

M

G

m

−

=

−

=

=

nat

ęż

enie pola

M stwarza w punkcie r takie warunki,

ż

e umieszczona w nim masa m odczuje

działanie siły.
Masie M przypisujemy obszar wpływu
(działania), czyli pole.

"Mapa" nat

ęż

enia pola grawitacyjnego wokół masy M

linie sił pola

r

Mm

G

r

E

p

−

=

)

(

0

)

(

=

∞

p

E

r

M

G

m

r

E

r

V

p

−

=

=

)

(

)

(

potencjał pola grawitacyjnego:

Potencjał pola:

r

m

linie sił pola

powierzchnie ekwipotencjalne
V = const.

2) Jak

ą

pr

ę

dko

ść

nale

ż

y nada

ć

obiektowi przy powierzchni Ziemi, aby opu

ś

cił on pole

grawitacyjne Ziemi.

Pr

ę

dkosci kosmiczne

2

2

R

m

M

G

R

m

Z

=

v

1) Pr

ę

dko

ść

na orbicie o promieniu R:

(pierwsza pr

ę

dko

ść

kosmiczna)

R

M

G

Z

I

=

v

s

km

I

/

91

.

7

=

v

grawitacyjne Ziemi.

Z

Z

p

k

R

m

M

G

m

E

E

−

=

+

2

2

v

Na powierzchni Ziemi:

Na wysoko

ś

ci r

→

∞

nad Ziemi

ą

:

0

0

=

=

p

k

E

E

const.

=

+

p

k

E

E

Otrzymujemy pr

ę

dko

ść

ucieczki:

(druga pr

ę

dko

ść

kosmiczna)

Z

Z

II

R

M

G

2

=

v

s

km

II

/

19

.

11

=

v

r

r

Mm

G

m

r

a

2

−

=

r

r

Mm

G

t

d

d

m

r

r

2

2

2

−

=

Równanie ruchu:

Rozwi

ą

zania

krzywe sto

ż

kowe

Ruch planet

Mikołaj Kopernik (1473 – 1543), formułuje tzw. model heliocentryczny (opisany w jego dziele: „De
revolutionibus orbitum coelestium”, czyli „O obrotach sfer niebieskich” – wydanym w roku 1543).

Johannes Kepler (1571 - 1630) dokonał syntezy ówczesnej wiedzy na temat ruchu
planet wokół Słońca w postaci trzech prostych praw.

1.

Ka

ż

da planeta kr

ąż

y po orbicie eliptycznej, ze Sło

ń

cem w jednym z ognisk tej elipsy.

Ruch planet – prawa Keplera

2.

Linia ł

ą

cz

ą

ca Sło

ń

ce i planet

ę

zakre

ś

la równe pola w równych odst

ę

pach czasu (prawo

równych pól).

3.

Sze

ś

ciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet maj

ą

si

ę

do siebie jak kwadraty

ich okresów obiegu (póło

ś

wielka jest połow

ą

najdłu

ż

szej ci

ę

ciwy elipsy).

siła centralna:

r

r

Mm

G

r

F

2

−

=

0

)

(

3

2

=

×

−

=













−

×

=

×

=

r

r

r

r

F

r

M

r

Mm

G

r

r

Mm

G

moment siły centralnej:

L = const.

Moment p

ę

du jest zachowany w ruchu pod wpływem siły centralnej (np. siły grawitacji).

prawo 2: Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla równe pola w równych odstępach czasu

(prawo równych pól).

dt

R

dt

R

R

dt

R

dS

ω

ω

2

2

1

2

1

2

1

=

=

=

⊥

v

2

2

1

R

dt

dS

ω

=

const.

R

m

R

m

L

=

=

=

⊥

2

ω

v

const.

m

L

t

d

S

d

=

=

2

Załó

ż

my orbit

ę

kołow

ą

r=const. i

ω

=const.

GM

R

T

R

mM

G

R

m

=

=

3

2

2

2

2

4

;

π

ω

prawo 3: Sześciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet mają się do siebie jak

kwadraty ich okresów obiegu (półoś wielka jest połową najdłuższej cięciwy elipsy).

3

2

2

4

R

GM

T

π

=

2

2

2

1

3

2

3

1

T

T

R

R

=