Definicja Cauchy'ego:

Mówimy, że funkcja f(x) ma w punkcie x₀ granicę lewostronną równą A, jeżeli dla każdego E>0 isntieje takie d>0, że dla wszystkich x sprełniających nierówność 0< x₀ - x < d przawdziwa jest nierówność |f(x) - A| < E.

Własność Darboux:

Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale <a,b> i jeśli μ należy (f(a),f(b)) to istnieje taki punkt c należący do (a,b), że f(c) = μ. Mówi nam ta własność, że funkcja ciągła przyjmuje wszystkie wartości pośrednie pomiędzy dwiema danymi wartościami.

Twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego:

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale <a,b> oraz f(a)f(b)<0 to istnieje taki punkt c należacy do (a,b), że f(c)=0

Twierdzenie Cauchy'ego o wartości średniej:

Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w przedziale <a,b>, różniczkowalne w (a,b) oraz g'(x) != 0 w każdym punkcie przedzialu (a,b) to isnieje taki punkt c należacy do (a,b), że :

[f(b) - f(a)] / [g(b) - g(a)] = f'(c) / g'(c).

Twierdzenie Taylora:

Jeżeli funkcja f ma w przedziale <a,b> n pochodnych to wewnątrz przedziału istnije taki punkt c, że: f(b)=f(a) + [f'(a) / 1!] * (b-a) + [f''(a) / 2!] * (b - a)² + … + [f^(n-1)(a) / (n-1)!] * f(b-a)^n-1 + [f⁽ⁿ⁾(c) / n!] * (b-a)ⁿ , gdzie ostatni człon to reszta Lagrange'a.

Wzór Maclaurina:

Dla c = a + d(x - a), gdzie a = 0, wzór Taylora ma postać: f(x) = f(0) + [f'(0) / 1!] * x + … + [f^(n-1)(0) / (n-1)!] * x^n-1 + [f⁽ⁿ⁾(dx) / n!] * xⁿ

Twierdzenie de'Hospitala:

Załóżmy, że :

- funkcje u(x) i v(x) są różniczkowalne w otoczeniu punktu a (z wyjątkiem ewentualnie

samego punktu a)

- lim u(x)/v(x) = 0/0 lub ∞/∞ (przy x -> a)

- istnieje lim u'(x)/v'(x) = A (przy x -> a) , gdzie A należy do <-∞;+∞>

Istnieje wówczas lim u(x)/v(x0 (przy x -> a) i granica ta jest równa A, czyli że A jest wartością wyrażenia u(x)/v(x) w punkcie a.

>> przyjmujemy, że u(a0 =0 oraz v(a) = 0 => funkcje u i v są ciągłe w otoczeniu punktu a stosujemy twierdzenie Cauchy'ego o wartości średniej dla przedziału <a,x>

[u(x) - u(a)] / [v(x) - v(a)] = u'c) / v'(c) , c należy do (a,x)

u(x) / v(x) = u'(c) / v'(c) => dla x -> a oraz c -> a lim u'(c) / v'(c) = A (przy c -> a)

• lim u(x) / v(x) = A (przy x -> a).

>> lim [x² sin 1/x] / sinx = lim [(x / sinx) * x sin 1/x] = 0 (przy x -> 0)

Jeżeli lim u(x) = lim v(x) = +∞ i u(x) - v(x) = ∞ - ∞ to stosujemy wzór: u(x) - v(x) =u(x)v(x) [1 / v(x) - 1 / u(x)]

>> lim tgx*ln 1/x² = -2 lim lnx / ctgx = -2 lim [1/x] / [-1/sin²x] = 0 (przy x -> 0⁺)

>> I i II pochodna w x = 0 funkcji: f(x) = { [e^{x^2} -1] / x² dla x != 0 i 1 dla x = 0 }

f'(0) = lim (f(x) - f(0)) / (x - 0) = lim ([e^{x^2} -1] / x² - 1) / x = lim [e^{x^2} -1 - x² ] / x³ =

= lim [e^{x^2} * 2x -2x] / 3x² = lim [2e^{x^2} -2] / 3x = lim 4e^{x^2} * x / 3 = 0

f'(x) = [e^{x^2} * 2x² - 2e^{x^2} + 2] / x² ; f''(0) = lim e^x = 1 (wszystkie lim przy x -> 0)

>> I pochodna w x = 0 funkcji: f(x) = { [1/x - 1/e^x -1] dla x != 0 i 1/2 dla x = 0 }

f'(0) = [2(e^x - 1) - 2x - x(e^x - 1)] / 2x² (e^x - 1) = A , podstawiamy za e^x - 1 ze wzoru

Maclaurina: x + x² / 2! + x³ / 3! + x⁴ / 4! * e^dx => A = - 1/12 => f'(0) = -1/12

Definicja pochodnej wyższego rzędu:

Pochodną drugiego rzędu danej funkcji nazywamy pochodną jej pochodnej (o ile istnieje).

N-tą pochodną nazywamy pochodną pochodnej rzędu n-1.

Pierwsza pochodna to pochodna, natomiast funkcja nosi nazwę pochodnej rzędu zerowego.

Jeżeli funkcja ma w danym przedziale pochodne aż do n-tego rzędu włącznie, to mówimy że jest ona w tym przedziale n-krotnie różniczkowalna.

>> y=a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n-1x + a_n => y⁽ⁿ⁾ = a₀n!, y^(n+k) = 0 , dla k = 1, 2, 3, …

>> y=sinx => y⁽ⁿ⁾ = sin(x + nπ/2)

>> y=cosx => y⁽ⁿ⁾ = cos(x + nπ/2)

>> y=lnx => y⁽ⁿ⁾ = (-1)(-2)(-3)…[-(n-1)]x^-n = (-1)^n-1 (n-1)! x^-n

>> y=ln(1+x) => y⁽ⁿ⁾ = (-1)^n-1 (n-1)! (1+x)^-n

>> y=x^s => y⁽ⁿ⁾ = s(s-1)(s-2)…[s-(n-1)] x^s-n

Twierdzenie (Lagrange'a). Jeśli fcC⁰ <a,b> i jest różniczkowalna w(a,b), to istnieje taki punkt [epsilon]c(a,b), w którym f'[epsilon]=f(b)-f(a)/b-a.

Dowód. Rozpatrzmy funkcję pomocniczą fi(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a)/b-a)*(x-a).

Funkcja fi(x) spełnia wszystkie założenia twierdzenia Rolle'a: jest ciągła i różniczkowalna tam gdzie f oraz fi(a)=fi(b)=0. Istnieje wobec tego taki punkt[epsilon], że a<[epsilon]<b oraz fi'([epsilon])=0. Ale fi'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a)/b-a)

, a więc fi'([epsilon[)=f'([epsilon]) - (f(b)-f(a)/b-a)=0 skąd otrzymujemy tezę twierdzenia. KD.

Całka nieoznaczona:

Funkcja pierwotna danej funkcji to funkcja różniczkowalna. Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych względem danej funkcji f(x) nazywamy całką nieoznaczoną. Całkowanie jest działaniem przeciwnym do różniczkowania (które jest działaniem jednoznacznym) i jest działaniem wieloznacznym z dokładnością do stałej addytywnej. Funkcja, która znajduje się pod całką nosi nazwę funkcji podcałkowej, natomiast funkcja ta + dx to wyrażenie podcałkowe.

Całkowanie przez części:

Niech u i v będą funkcjami różniczkowalnymi zmiennej x. Wówczas d(uv) = udv + vdu, a po scałkowaniu uv = ∫ udv + ∫ vdu , czyli ∫ udv = uv - ∫ vdu => ∫ uv' dx = uv - ∫ u'v dx

>> I_n = ∫ sinⁿx dx =>

dla n >= 2 I_n = ∫ sin^n-1x sinx dx , gdzie u=sin^n-1x, u'=(n-1)sin^n-2x cosx, v'=sinx, v=-cosx

• I_n = … = -1/n sin^n-1x cosx + (n-1) / n I_n-2

Całkowanie przez podstawienie:

Jeżeli f(x) jest funkcją ciągła w (a,b), x = φ(t), φ: (α,β) -> (a,b) i istnieje φ'(t) i jest funkcją ciągłą (α,β), to dla x = φ(t) zachodzi: ∫ f(x)dx = ∫ f[φ(t)φ'(t) dt

>> ∫ dx / (a² + x²) = 1/a arctg x/a + c | x = at , dx = adt |

>> ∫ dx/ sinx = ∫ dx / 2 sin x/2 cos x/2 = ∫ dt / sint cost = ∫ du / u = ln |tg t| + c || tgt = u.

dt / cos²x = du ||

>> I_n = ∫ dx / (a² + x²)ⁿ = 1/a² ∫ (a² + x² - x² ) / (a² + x²)ⁿ dx =

= 1/a² [ ∫ dx / (a² + x²)^n-1 - ∫ x² / (a² + x²)ⁿ dx = 1/a² (I_n-1 - K)

K: u=x, u' =1, v' = x/ (a² + x²)ⁿ , v = - 1/2n - 2 * x/(a² + x²)^n-1 || a² + x² = t||

K = - 1/2n-2 * x/ (a² + x²)^n-1 + 1/2n-2 * ∫ dx/(a² + x²)^n-1

I_n = 1/a² [ 1/2n-2 * x/(a² + x²)^n-1 + 2n-3/2n-3 I_n-1

Całka niewłaściwa:

Dla funkcji f(x) określonej w przedziale <a,b), ciągłej w tym przedziale, punkt b jest punktem osobliwym, jeżeli b jest punktem skończonym i lim f(x) = (+/-)∞ (przy x -> b-) albo b=+∞. Podobnie jest w przypadku a, będącego punktem osobliwym, z tym, że f(x) jest ciągła w przedziale (a,b> oraz lim f(x) = (+/-)∞ (przy x -> a+) albo a = -∞.

Definicja:

Jeżeli b jest punktem osobliwym funkcji f(x) to całką niewłaściwą tej funkcji w przedziale <a,b> nazywamy: ∫ f(x)dx (od a do b) := lim ∫ f(x) dx (przy t -> b-) (od a do t) (a < t < b). Jeżeli granica ta nie istnieje to mówimy, że całka niewłaściwa nie istnieje lub, że całka jest rozbieżna. Jeżeli a=-∞ , b=+∞ to: ∫f(x)dx (od -∞ do 0) + ∫f(x)dx (od 0 do +∞) i nazywamy całką niewłaściwą pierwszego rodzaju, natomiast gdy przedział ten jest nieskończony - całką niewłaściwą drugiego rodzaju. Pole obszaru ograniczonego krzywą ciągła y=f(x) w przedziale <a, +∞), prostą x=a oraz osią OX jest równe: S: = lim ∫ f(x) dx (przy t -> +∞)(od a do t) = ∫ f(x) dx (od a do ∞).

>> I = ∫ dx / {pierw. z x(1-x)} = ∫ dx / {pierw. z x(1-x)} (od 0 do ½) + ∫ dx / {pierw. z x(1-x)}

(od ½ do 1) = lim ∫ dx / {pierw. z x(1-x)} (przy t->0+) (od t do ½) + lim ∫ dx / {pierw. z

x(1-x)} (przy t->1-) (od ½ do t) = … = π

Definicja (Heinego). Niech
. Wówczas

---