matmascigi, AGH Imir materiały mix, Studia


1 Całka podwójna w prostokącie

Na płaszczyźnie OXY dany jest prostokąt P określony nierównościami

0x01 graphic
P:0x01 graphic

Dana jest też funkcja z = f(x,y) ograniczona i określona w tym prostokącie

0x01 graphic

Prostokąt P dzielimy na n-prostokątów częściowych, które oznaczamy przez Pi

0x01 graphic

- określamy średnicę podziału ∂i - jest to największa odległość dwóch punktów należących do prostokąta Pi

- w każdym z prostokątów Pi dobieramy punkt pośredni Ai (xi,yi) oraz wyznaczamy wartość funkcji w punkcie pośrednim f(xi,yi)

następnie tworzymy sumę Sn=0x01 graphic

- czynności te powtarzamy wiele razy tworząc ciąg .... prostokąta P, taki , że średnica δn →0 jeśli n →0

Def. Jeśli ciąg sum całkowitych Sn ma tę samą granicę przy każdym normalnym podziale prostokąta P i jeżeli granica ta nie zależy od wyboru punktów pośrednich Ai to granicę tę nazywamy całką podwójną funkcji f(x,y) w prostokącie P i oznaczamy

ją :0x01 graphic

Czyli 0x01 graphic

2 Całka podwójna w obszarze normalnym

Podział nazywamy normalnym jeżeli Δn → 0 gdy n → ∞

Def. Jeżeli dla każdego dowolnego normalnego ciągu podziału istnieje granica właściwa

0x01 graphic
0x01 graphic

Jeśli istnieje ta granica, to jest całką podwójną.

Tw. Z = f(x,y) jest całkowalne w P<=>kiedy f(x,y) będzie ciągła za wyjątkiem punktu zbieżnego do zera.

Def. Obszarem normalnym względem OX nazywamy obszar D spełniający nierówność

D: 0x01 graphic

0x01 graphic

C = inf ϕ(x) d:sup ϕ(x)

x∈<a,b> x∈<a,b>

f (x,y) = 0x01 graphic
P:0x01 graphic

0x01 graphic

Def. Obszarem normalnym względem OY nazywamy obszar D spełniający warunek:

D: D: 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

3 Interpretacja geometryczna całki podwójnych

Niech f(x,y) = k

0x01 graphic
f (x,y)≥0

0x01 graphic

0x01 graphic

P: 0x01 graphic

0x01 graphic

4. Interpretacja fizyczna całek podwójnych

D-regularny obszar

0x08 graphic
q (x,y)- jest to gęstość D

Moment statyczny:

0x08 graphic
-moment statyczny

względem OX

0x08 graphic
-moment statyczny

względem OY

0x08 graphic
0x08 graphic
Środek ciężkości P (x0,y0)

Moment bezwładności:

0x08 graphic

-względem OX

0x08 graphic

-względem OY

0x01 graphic

-względem OZ

5. Zmiana zmiennych w całce podwójnej

Jeżeli przekształcenie x=φ(u,v) y=ψ(u,v) odwzorowuje płaski domknięty obszar regularny ∆ w płaszczyźnie zmiennych (u,v) na obszar domknięty, regularny ∆ w płaszczyźnie zmiennych (x,y)oraz: 10 funkcje φ i ψ są klasy C1 w obszarze ∆ (ciągłe ,różniczkowalne). 20 Funkcja f jest ciągła w obszarze D. 30 Odwzorowanie wnętrz jest wzajemnie jednoznaczne. 40 Wyznacznik funkcyjny Jakobian jest różny od zera wewnątrz ∆.

0x01 graphic

to:

0x01 graphic

Współrzędne biegunowe:

0x01 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
6. Całka potrójna. Interpretacja geometryczna (fizyczna)

0x08 graphic
Dany jest prostopadłościan P w przestrzeni Oxyz określony następująco :

oraz funkcja f(xyz) określona

tym prostopadłościanem:

10 Prostopadłościan ten dzielimy

na n prostopadłościanów Pi o

objętościach Vi tak by podział

był normalny tzn średnia podziału dąży do zera gdy n→∞. 20 W każdym prostopadłościanie Pi obieramy punkt pośredni Ai(xi,yi,zi) a następnie obliczamy wartość funkcji w punkcie pośrednim i tworzymy sumę całkową

0x01 graphic

Def.

Całka potrójna po prostopadłościanie-jeżeli ciąg sum całkowym Sn ma tą samą granicę przy każdym normalnym podziale prostopadłościanu P i jeżeli ta granica nie zależy od wyboru punktów pośrednich to granicę tę nazywamy całką potrójną funkcji F(x,y,z) i oznaczamy: 0x01 graphic

Interpretacja geometryczna całki potrójnej: 0x01 graphic
10 Jeżeli

V-objętość prostopadłościana

0x01 graphic
20 Jeżeli V jest objętością prostopadłościanu P, to liczbę f(c) gdzie cεP czyli:

nazywamy wartością

średnią funkcji f(x,y,z) w prostopadłościanie P.

Interpretacja fizyczna: -jeżeli u=u(x,y,z)-jest to gęstość objętościowa masy prostopadłościanu P to:

0x08 graphic
m-masa

0x08 graphic
Obliczanie całki potrójej: kolejność całkowania jest dowolna

7. Obliczanie całki potrójnej

Własności całek potrójnych wykorzystane do ich obliczania: obszar całkowania wolno dzielić na części składowe, całka sumy funkcji jest równa sumie całek poszczególnych składników, czynnik stały wolno wytyczyć przed znak całki.

Tw: Jeżeli P: a≤x≤b; e≤y≤d; p≤z≤g to 0x01 graphic

Całka iterowana

Ω: α1≤α≤α2; β1≤β≤β2; ν1≤ν≤ν2

0x01 graphic

W całce iterowanej funkcja F(α,β,ν) jest najpierw całkowana względem ν, przy tym α i β traktuje się jako , następnie otrzymany wynik całkuje względem β, a α traktuje się jako . następnie otrzymany wynik całkuje się względem α.

8. Zmiana zmiennych w całce potrójnej

Tw: Jeżeli przekształcenie x=x(u,v,w) y=y(u,v,w) z=z(u,v,w) jest klasy C1 i wzajemnie jednoznaczne w obszarze Ω oraz jakobian

0x01 graphic
, to 0x01 graphic
0x01 graphic

W przypadku gdy obszar całkowania jest walcem, kulą lub częściom z tych brył wskazane jest zamienić współrzędne prostokątne na współrzędne walcowe:

x=rcosϕ r≥0 y=rsinϕ 0<ϕ≤2∏ z=z -∞<z<∞

Wzór na zamiane zmiennych we współrzędnych walcowych:

0x01 graphic

0x01 graphic

9. Całka krzywoliniowa nieskierowana

Dany jest na płaszczyźnie R2 łuk zwykły o końcach AB

L=AB o równaniach parametrycznych

l: x=x(t), y=y(t), t∈<t1,t2) łuk ten nie ma określonego kierunku.

1)Łuk dzielimy na części l1,l2,l3,…ln o długościach Δli gdzie i=1,2,…,n, łn=maxΔli - maksymalna długość łuków częściowych, jest to średnia podziału 1≤i≤n jeśli łn→0 przy n→∞ podział normalny.

2)Na każdym łuku obieramy punkt pośredni Pii,ni) oraz tworzymy wartość funkcji w tym punkcie.

3)Tworzymy sumę całkową dla punktów Pi=Sn=Σϕ(ξi,ni)Δl.

Def: Jeżeli dla każdego normalnego podziału łuku l granica ciągu sum całkowych Sn jest właściwa, niezależna od wyboru punktów pośrednich, to taką granicę nazywamy całką krzywoliniową nieskierowaną funkcji ϕ(x,y) po łuku l i oznaczamy

0x01 graphic

Obliczenie całki krzywoliniowej nieskierowanej:

1)Jeśli l∈R2 ma równanie parametryczne l: x=x(t); y=y(t); t∈<t1,t2> to 0x01 graphic

2)Jeśli l∈R3 : l:x=x(t); y=y(t); z=z(t) t∈<t1,t2> to 0x01 graphic

3)Jeżeli l dany jest równaniem y=f(x), x∈<a,b> 0x01 graphic

10 .Całka krzywoliniowa skierowana

Na płaszczyźnie RZ dany jest łuk zwykły skierowany o początku A i końcu B.0x01 graphic
t∈<t1,t2>

Na łuku tym określone są dwie funkcje P(x,y) oraz punkt Q(x,y). Na łuku tym budujemy funkcję. DEF.

Jeżeli dla każdego normalnego podziału łuku l ciąg sum całkowych Sn ma granicę niezależną od wyboru punktów pośrednich, to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną po łuku AB i oznaczamy:

0x01 graphic

Jeśli A=B, to całka określ. jest po krzywej zamkniętej K i oznaczamy ją: 0x01 graphic

Obliczanie całki skierowanej.

1. jeśli 0x01 graphic
t∈<t1,t2> to:

0x01 graphic
0x01 graphic
2. Jeśli y =f(x) x∈<a,b>

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

11 Twierdzenie Grenna i jego zastosowanie.

Obszar D normalny względem OX i OY.

Krzywa K=∂D

P(x,y) , Q(x,y) ∈ C1(D)- funkcja różniczkowalna w tym obszarze ;

to wtedy z tego wynika:

0x01 graphic

Przykład:

0x01 graphic
0x01 graphic

Q(x,y)=2x0x01 graphic

P(x,y) = y0x01 graphic

12. Całka różniczki zupełnej funkcji dwóch zmiennych.

P(x,y) Q(x,y) U(x,y) - funkcja dwóch zmiennych

∂u/dx=P(x,y) ∂u/dx=Q(x,y)

∂u = P(x,y) Q(x,y)dy

Jeżeli:

0x01 graphic

to:0x01 graphic

(x0,y0)=P

0x01 graphic

13) Szeregi liczbowe. Suma szeregu. Warunek konieczny zbieżności.

Sumę postaci a1+a2+...+an ,gdzie a1,a2,...an jest ciągiem liczbowym nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy symbolem0x01 graphic
.

Wyraz an nazywamy wyrazem ogólnym szeregu. Liczby a1,a2,...an nazywamy wyrazami szeregu. SUMA SZEREGU-budujemy tkzw. ciąg sum częściowych: S1,S2,...,Sn, gdzie S1=a1, S2=a1+a2, Sn=a1+a2+...+an

Warunek konieczny zbieżności szeregu. Warunkiem dostatecznym i koniecznym zbieżności szeregu jest warunek istnienia granicy ciągu S1, S2, Sn gdy n→∞.

Jeżeli0x01 graphic
jest zbieżny to0x01 graphic

14.Szereg Dirichleta. Kryterium porównawcze.

1)Jeżeli dla każdego /\ n≥ no an ≤Mn i szereg

0x01 graphic
jest zbieżny, to0x01 graphic
jest też zbieżny.

2) Jeżeli /\ n≥ no an ≥Mn i szereg 0x01 graphic
jest rozbieżny, to0x01 graphic
jest też rozbieżny.

Dla porównynia szeregów stosuję się głównie szereg harmoniczny lub geometryczny.

Sz. harm. 0x01 graphic
α≤1 sz. rozbieżny ; α>1 zbieżny

Sz.geom.0x01 graphic
|q|<1 zbieżny ; |q|>1 rozb.

15.Szeregi o wyrazach nieujemnych .Kryterium d'Alamberta i kryterium Cauchy'ego.

1)Kryterium d'Alamberta . Jeśli istnieje granica

lim n0x01 graphic
0x01 graphic
an+1/an=q ,to szereg o wyrazach nieujemnych a) jest zbieżny gdy q<1 b)jest rozbieżny gdy q>1 c)gdy q=1 nie wiadomo.

2)Kryterium Cauchy'ego (pierwiastkowe).Jeśli istnieje granica lim n0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
=q, to szereg o wyrazach nieujemnych zbudowany z ciągu 0x01 graphic
jest :a)zbieżny gdy q<1 b)q>1 rozbieżny

16)Szeregi o wyrazach dowolnych. Kryterium Leibniza.

Jeżeli wyrazy an w szeregu 0x01 graphic
(-1)n+1 an

spełniają następujące warunki:1)lim n→∞ an =0 2)an >= an+1 czyli an- an+1>=0 to szereg zbieżny

Rodzaje zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych

1)Szereg 0x01 graphic
jest zbieżny bezwzględnie ,jeśli0x01 graphic
jest zbieżny

2)Jeśli 0x01 graphic
jest zbieżny, ale0x01 graphic

jest rozbieżny ,to szereg 0x01 graphic
jest zbieżny warunkowo

17. CIĄGI FUNKCYJNE. ZBIEŻNOŚĆ, JEDNOSTAJNA ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU FUNKCYJNEGO.

Ciąg nieskończony którego wyrazami są funkcje określone w niepustym zbiorze liczbowym X , nazywamy ciągiem funkcyjnym, jest to ciąg: f1(x);f2(x);f3(x)...,fn(x)...

Ciąg funkcyjny może być zbieżny albo rozbieżny.
Jeżeli ciąg funkcji (fn) jest zbieżny dla każdej liczby x∈X to określa on pewną funkcję f na tym zbiorze.
Ciąg (fn) jest zbieżny w zbiorze X do funkcji granicznej f zapisujemy limnfn(x) = f(x) dla x∈X
DEFINICJA.Ciąg funkcyjny (fn) nazywamy jednostajnie zbieżnym w zbiorze X do funkcji granicznej f, jeżeli dla każdego 0x01 graphic
>0 istnieje taki wskaźnik n0, że dla
każdego x∈X i dla każdego n>n0 jest spełniona nierówność 0x01 graphic

18. SZEREGI FUNKCYJNE. KRYTERIUM WEIERSTRASSA.

Szereg, którego wyrazami są funkcje
f1(x),f2(x) ... ,fn(x) czyli szereg postaci :

0x01 graphic

nazywany jest szeregiem funkcyjnym.

Kryterium Weierstrassa: Jeżeli istnieje ciąg (an) liczb dodatnich i taki wskaźnik n0 , że dla każdego naturalnego n>n0 spełniona jest nierówność |fn(x)| ≤ an
oraz szereg liczbowy 0x01 graphic
jest zbieżny, to

Szereg funkcyjny 0x01 graphic
jest zbieżny jednostajnie w zbiorze X.

19. CAŁKOWANIE (RÓŻNICZKOWANIE) SZEREGU FUNKCYJNEGO.

0x08 graphic
0x08 graphic
Twierdzenie o różniczkowaniu: jeśli szereg funkcyjny:
jest zbieżny w przedziale P i ponadto każda z funkcji fn jest w nim różniczkowalna, oraz szereg pochodnych:
0x08 graphic
jest jednostajnie zbieżny w P, to funkcja:

jest różniczkowalna i zachodzi równość:

0x08 graphic
Twierdzenie o całkowaniu: jeśli szereg funkcyjny :

0x08 graphic
0x08 graphic
Jest jednostajnie zbieżny w przedziale P i ponadto każda z funkcji fn jest w nim całkowalna, to funkcja :

Jest całkowalna i zachodzi równość :

0x08 graphic
0x08 graphic
Szereg o wyrazach dodatnich (an>o), malejących an = f(n) jest zbieżny lub nie , w zależności od tego czy całka niewłaściwa

jest zbieżna lub nie. Gdzie f(x)- jest to malejąca funkcja ciągła

Kryterium to stosuje się wtedy , kiedy istnieje taka funkcja f(x), że jej wartość dla n naturalnych pokrywają się z wyrażeniami badanego szeregu, czyli an = f(n), a która jest określona dla wszystkich x większych od pewnej dodatniej liczby a.

20. Szeregi potęgowe. Promień zbieżności. Przedział zbieżności.

Wśród szeregów funkcyjnych na szczególną uwagę zasługują szeregi potęgowe - są to szeregi w postaci :

0x01 graphic

gdzie: x0 - środedek szeregu

a1, a2, a3,..., an - są to współczynniki szeregu.

Dla x0=0 mamy szeregi w postaci:

0x01 graphic

Promień zbieżności nazywamy liczbę Rrówną kresowi górnemu zbioru wszystkich x, dla którego szereg jest zbieżny. Przedział (-R;R) nazywamy przedziałem zbieżności szeregu. Możliwe są 3 przypadki:

1. R=0

2. 0<R<0x01 graphic

3. R=+0x01 graphic

Do wyznaczania promienia zbieżności stosujemy twierdzenie:

1. Jeśli istnieje granica:0x01 graphic

gdy q=0x01 graphic
to R=0

gdy0<R<0x01 graphic
to R=0x01 graphic

gdy q=0 to R=0x01 graphic

2. Jeżeli istnieje granica:0x01 graphic

(tak jak wyżej)

21. Szereg Tailora. Rozwinięcie funkcji w szeregu Tailora.

Szereg Tailora to szereg w postaci:

0x01 graphic

0x01 graphic

np. Rozwinąć funkcję

0x01 graphic
0x01 graphic

w szereg Tailora

f(x0)=f(1)=3+5+1+2=11

f'(x0)=9x2+10x+1 f'(x0)=f'(1)=9+10+1=20

f''=(x)=18x+10 f''(x0)=f''(1)=18+10=28

f''(x)=18 f'''(x0)==f'''(1)=18

to

0x01 graphic

0x01 graphic

22.Szereg Maclaurina. Rozwinięcie w szereg Maclaurina funkcji elementarnych.

Gdy x0=0, to szereg Tailora można zapisać wzorem 0x01 graphic

Szereg ten nazywa się szeregiem Maclaurina

Rozwinięcia w szereg funkcji elementarnych:

1. 0x01 graphic

2.0x01 graphic

3.0x01 graphic

4.0x01 graphic

5.0x01 graphic

6.0x01 graphic

dla /q/<1

23) Ciągi i szeregi ortogonalne.

Szereg ortogonalny jest to szereg funkcyjny, w którym każde dwa wyrazy są funkcjami ortogalnymi, jest postać: 0x01 graphic
gdzie ciąg {fn} jest ortogonalnym układem funkcji, {an} jest ciągiem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Szeregi ortogonalne stanowią uogólnienie szeregów trygonometrycznych. Jeżeli f(t) jest funkcją określoną na odcinku (a,b) to 0x01 graphic
w którym 0x01 graphic
nazywa się rozwiązaniem ortogonalnym funkcji.

24) Szereg Fouriera. Wzory Eulera-Fouriera

Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg Fouriera postaci a0/2+(a1 cos Πx/l + b1 sin Πx/l)+(a2 cos 2Πx/l + b2 sin 2Πx/l)+... = a0/2 + 0x01 graphic
(an cos nΠx/l + bn sin nΠx/l) gdzie l>0 a0, a1, a2, b1, b2, bn, ... pewne stałe (n=1,2,...) gdzie an i bn oblicza się ze wzorów Fouriera an = 1/l 0x01 graphic
f(x) cos nΠx/l dx n=0,1,2,... bn=1/l0x01 graphic
f(x) sin nΠx/l dx n=0,1,2,...

25. Szereg trygonometryczny Fouriera

. y=f (x) w <a,b>

0x01 graphic
0x01 graphic

sz. Fouriera wzór Fouriera

{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cosnx,sinnx,...}

Tw. Układ funkcji trygon. będzie ortogonalny

{1,cosx,sinx,...} jest ortogonalny w <-π,π>

całka tych funkcji będzie zero:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

szereg trygon. Fouriera y=f(x) <-π,π> wzór ogólny:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

wzory Eulera-Fouriera

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

C0=2a0 C2n-1=an C2n=bn

Tw. Jeżeli szereg trygon. jednostajnie zbieżny w <-π,π> do f(x)=>

0x01 graphic

26) Warunki Dirichleta. Twierdzenie o rozwijalności w szereg trygonometryczny Fouriera.

Najprostsze warunki dostateczne rozwijalności funkcji w szereg Fouriera są podane w twierdzeniu Dirchleta. ,, Jeśli funkcja f(x) ma w przedziale <-l, l> skończoną ilość punktów nieciągłości pierwszego rodzaju ( lub jest ciągła) i ma w nim skończoną liczbę ekstremów (albo też nie ma ich wcale), to jej szereg Fouriera jest zbieżny, tzn. ma sumę S(x) w każdym punkcie tego przedziału. Przy tym: a) w punktach ciągłości funkcji f(x) szereg jest zbieżny do samej funkcji S(x)= f(x) b) w każdym punkcie nieciągłości funkcji szereg jest zbieżny do średniej arytmetycznej obu granic jednostronnych S(xk)=1/2 [lim x0x01 graphic
x- k f(x) + lim x0x01 graphic
x+k f(x)] c) na krańcach przedziału <-l, l> szereg jest zbieżny do średniej arytmetycznej jednostronnych granic funkcji , przy x zmierzającym do tych punktów od wewnątrz przedziału S(-l)= S(l)= 1/2 [ lim x0x01 graphic
-l f(x) + lim x0x01 graphic
l f(x)]

27. ROZWINIĘCIE W SZEREG TRYGONOMETRYCZNY FOURIERA FUNKCJI OKRESOWEJ.

0x08 graphic
szereg

Fouriera

1) Dla funkcji parzystej f(x) = f(-x) wszystkie współczynniki bn są równe zeru, to szereg Fouriera nie zawiera sinusów.

0x01 graphic

0x01 graphic

2) Dla funkcji nieparzystej f(x) = -f(-x) wszystkie współczynniki an są równe zeru i szereg Fouriera nie zawiera cosinusów

0x01 graphic

0x01 graphic

28. Postać zespolona szeregu trygon. Fouriera.Równość:

0x01 graphic

można zapisać w postaci zespolonej:

0x01 graphic
gdzie:0x01 graphic

dla: n=0,±1,±2...

Równość w postaci zespolonej nazywamy równaniem funkcji f(x) na przedziale <-l,l > w zespolonym szeregu Fouriera. Jeżeli 2l jest okresem funkcji f(x), to wzór na Cn można zastąpić wzorem:

0x01 graphic
dla 0x01 graphic

29.Szereg dwumienny

mat. szereg potęgowy postaci 0x01 graphic
, gdzie a — dowolna liczba rzeczywista, 0x01 graphic
 = a(a - 1)(a - 2) · ... · (a - k + 1)/k!;

1. Całka podwójna w prostokącie

2. Całka podwójna w obszarze normalnym

3. Interpretacja geometryczna całek podwójnych

4. Interpretacja fizyczna całek podwójnych

5. Zmiana zmiennych w całce podwójnej

6. Całka potrójna. Interpretacja geometryczna (fizyczna)

7. Obliczanie całki potrójnej. Całki iterowane

8. Zmiana zmiennych w całce potrójnej. Współrzędne

sferyczne i walcowe.

9. Całka krzywoliniowa nieskierowana. Obliczanie całki, interpretacja geometryczna.

10. Całka krzywoliniowa skierowana. Definicja , obliczanie

11. Twierdzenie Greena i jego zastosowania.

12. Całka różniczki zupełnej funkcji dwóch zmiennych.

13. Szeregi liczbowe. Suma szeregu. Warunek konieczny zbieżności.

14. Szereg Dirichleta. Kryterium porównawcze.

15. Szeregi o wyrazach ujemnych. Kryterium d`Alamberta. Kryterium Cauchy`ego

16. Szeregi o wyrazach dowolnych. Kryterium Lebniza.

17. Ciągi funkcyjne. Zbieżność, jednostajna zbieżność

ciągu funkcyjnego

18. Szeregi funkcyjne. Kryterium Weierstrassa.

19. Całkowanie (różniczkowanie) szeregu funkcyjnego.

20. Szeregi potęgowe. Promień zbieżności. Przedział

zbieżności.

21. Szereg Taylora. Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora.

22. Szereg Maclaurina. Rozwinięcie w szereg Maclaurina funkcji elementarnych.

23. Ciągi i szeregi ortogonalne.

24. Szereg Fouriera. Wzory Eulera-Fouriera.

25. Szereg trygonometryczny Fouriera.

26. Warunki Dirichleta. Twierdzenie o rozwijalności w

szereg trygonometryczny Fouriera.

27. Rozwinięcie w szereg trygonometryczny Fouriera

funkcji okresowej

28. Postać zespolona szeregu trygonometrycznego Fouriera.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
matmascigi, AGH Imir materiały mix, Studia
Zad 25 10 11, AGH Imir materiały mix, Studia
termo 1, AGH Imir materiały mix, Studia
sprawko M4, AGH Imir materiały mix, Studia
pnom sprawko, AGH Imir materiały mix, Studia
laborka-cw3 (1), AGH Imir materiały mix, Studia
Tob zagadnienia opracowane, AGH Imir materiały mix, Studia
sprawko M4 (1), AGH Imir materiały mix, Studia
ankietaONR, AGH Imir materiały mix, Studia
zestaw 1 - Kopia, AGH Imir materiały mix, Studia
Zad 15 11 11, AGH Imir materiały mix, Studia
Zad 6 03 12, AGH Imir materiały mix, Studia
Zad 6 12 11, AGH Imir materiały mix, Studia
p, AGH Imir materiały mix, Studia
pytanie 1, AGH Imir materiały mix, Studia
Zad 3 04 12, AGH Imir materiały mix, Studia

więcej podobnych podstron