Ryszard Poprawski

W³odzimierz Salejda

Æwiczenia laboratoryjne z fizyki

Czêæ I

Zasady opracowania wyników pomiarów

Wydanie V

Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej

Wroc³aw 2005

Recenzenci

Ryszard CACH

Ewa DÊBOWSKA

Miros³aw DROZDOWSKI

Redaktor serii

Ludmi³a LEWOWSKA

Sk³ad komputerowy

Marek J. BATTEK

Opracowanie redakcyjne

Maria IZBICKA

Projekt ok³adki

Ewa POPRAWSKA

OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROC£AWSKIEJ

Wybrze¿e Wyspiañskiego 27, 50-370 Wroc³aw

ISBN 83-7085-924-0

Drukarnia Oficyny Wydawniczej Politechniki Wroc³awskiej. Zam. nr 1114/2005.

Spis treci

Spis wa¿niejszych oznaczeñ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Przedmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wstêp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Pomiary wielkoci fizycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Przyk³ady pomiarów prostych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Przyk³ady pomiarów z³o¿onych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Obliczanie niepewnoci pomiarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1. Pojêcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Statystyczna analiza wyników i niepewnoæ pomiarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1. rednia arytmetyczna, wariancja i odchylenie standardowe (z próby) . . . . . 17

2.2.2. Wspó³czynnik korelacji (z próby) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.3. Histogramy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.4. Gêstoæ rozk³adu prawdopodobieñstwa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.5. Wykres normalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.6. Wartoæ rednia i wariancja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.7. Dystrybuanta rozk³adu prawdopodobieñstwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.8. Standaryzowany rozk³ad normalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.9. Obliczanie prawdopodobieñstw P((

+ k

)) dla rozk³adu

normalnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.10. Gêstoæ dwuwymiarowego rozk³adu prawdopodobieñstwa . . . . . . . . . . . . 35

2.2.11. Wspó³czynniki korelacji oraz macierz kowariancji i korelacji . . . . . . . . . . 35

2.2.12. Centralne twierdzenie graniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.13. Rozk³ad dwumianowy i rozk³ad Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.14. Przybli¿anie rozk³adu dwumianowego i rozk³adu Poissona rozk³adem

normalnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3. Opracowanie wyników oraz niepewnoci pomiarów prostych . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.1. Obliczanie niepewnoci w przypadku ma³ej liczby pomiarów za pomoc¹

d³ugoci przedzia³ów ufnoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.2. Okrelanie niepewnoci na podstawie klasy przyrz¹dów . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.3. Niepewnoci pomiarów mierników cyfrowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4. Zaokr¹glanie i zapis wyników pomiarów oraz ich niepewnoci . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4.1. Zaokr¹glanie wartoci niepewnoci pomiaru. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.2. Zaokr¹glanie wyników pomiarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.3. Zapisywanie wyników pomiarów oraz ich niepewnoci . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.5. Odrzucanie wyników pomiarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.6. Obliczanie niepewnoci w przypadku pomiarów z³o¿onych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.6.1. Nieskorelowane wielkoci wejciowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.6.2. Skorelowane wielkoci wejciowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.6.2.1. Obliczanie niepewnoci metod¹ ró¿niczki zupe³nej . . . . . . . . . . . . 58

3. Graficzne opracowanie wyników pomiarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1. Rysowanie wykresów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.1. Rysowanie wykresów we wspó³rzêdnych biegunowych . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2. Odczytywanie wartoci wielkoci fizycznych z wykresów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2.1. Wyznaczanie nachylenia wykresu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3. Linearyzacja zale¿noci miêdzy wielkociami fizycznymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4. Metody regresji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1. Regresja nieliniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5. Komputerowe opracowanie wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6. Zasady wykonywania æwiczeñ i opracowywania sprawozdañ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.1. Wskazówki praktyczne dotycz¹ce wykonywania æwiczeñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.2. Sprawozdanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7. Dodatek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.1. Definicje jednostek podstawowych uk³adu SI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.2. Przedrostki stosowane do oznaczania wielokrotnoci jednostek . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.3. Tabele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Literatura uzupe³niaj¹ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Spis wa¿niejszych oznaczeñ

X, X

, Y wielkoci fizyczne,

x, x

, y

wartoci wielkoci fizycznych,

, y

jednostki wielkoci fizycznych,

wartoæ dok³adna (prawdziwa, rzeczywista) wielkoci fizycznej,

s, s

odchylenie standardowe,

b³¹d pomiaru,

rednia arytmetyczna,

∞

rednia arytmetyczna z du¿ej liczby pomiarów,

∞

b³¹d przypadkowy,

∆

b³¹d systematyczny,

liczba pomiarów,

odchylenie standardowe redniej arytmetycznej,

wspó³czynnik korelacji,

f(x)

gêstoæ prawdopodobieñstwa, funkcja rozk³adu,

prawdopodobieñstwo,

parametry rozk³adu,

(x)

gêstoæ standaryzowanego rozk³adu normalnego,

F(x)

dystrybuanta,

kowariancja,

B(m, p) rozk³ad dwumianowy,
P(

)

rozk³ad Poissona,

t(n,

)

wspó³czynnik Studenta,

poziom ufnoci,

klasa miernika,

zakres miernika,

klasa miernika cyfrowego,

rozdz

rozdzielczoæ miernika cyfrowego,

z³o¿ona niepewnoæ standardowa,

wspó³czynnik regresji,

niepewnoæ przypadkowa,

niepewnoæ wzglêdna,

niepewnoæ wzglêdna wyra¿ona w procentach.

PRZEDMOWA

Oddajemy do r¹k czytelników kolejne wydanie podrêcznika do æwiczeñ labora-

toryjnych z fizyki. Podrêcznik jest adresowany do studentów pierwszych dwóch lat

studiów wy¿szych uczelni technicznych i sk³ada siê z czterech czêci nosz¹cych

nastêpuj¹ce tytu³y:

1. Podstawy opracowania wyników pomiarów.

2. Mechanika i termodynamika.

3. Elektrycznoæ i magnetyzm.

4. Optyka.

W czêci pierwszej przedstawiamy podstawowe zasady analizy niepewnoci po-

miarów, metody opracowania i prezentacji wyników pomiarów oraz tablice warto-

ci wielkoci fizycznych. Pragniemy podkreliæ, ¿e metody analizy wyników po-

miarów s¹ zgodne z aktualnymi zaleceniami ISO (International Organization for Stan-

darization) oraz G³ównego Urzêdu Miar.

Wspó³autorem rozdzia³ów 2.2, 2.6 i 4 jest profesor dr hab. Witold Klonecki, by³y

pracownik naukowo-dydaktyczny Instytutu Matematyki PWr.

W pozosta³ych czêciach podrêcznika zamieszczono opisy wraz z obszernymi

wprowadzeniami do wszystkich æwiczeñ wykonywanych w Laboratorium Podstaw

Fizyki PWr. Opis ka¿dego æwiczenia rozpoczyna siê zwiêz³ym sformu³owaniem naj-

istotniejszych zagadnieñ (w formie s³ów kluczowych), których znajomoæ jest wa-

runkiem koniecznym przyst¹pienia do wykonywania danego æwiczenia laboratoryj-

nego.

Mamy nadziejê, ¿e podrêcznik ten u³atwi studentom przygotowanie siê do æwi-

czeñ laboratoryjnych z fizyki oraz opracowania wyników pomiarów bez koniecznoci

siêgania do wielu innych ksi¹¿ek.

W internetowej witrynie dydaktycznej Instytutu Fizyki PWr. pod adresem:

http://www.if.pwr.wroc.pl/dydaktyka/LPF jest dostêpne bezp³atnie poprzednie wy-

danie podrêcznika.

Autorzy dziêkuj¹ prof. dr. hab. Witoldowi Kloneckiemu za cenne uwagi i dys-

kusje oraz pani Alicji Szczygie³ za wykonanie rysunków do wszystkich czêci

podrêcznika.

Autorzy i redaktorzy podrêcznika

WSTÊP

Poznanie przez studentów podstawowych technik dowiadczalnych, zdoby-

cie umiejêtnoci przeprowadzania eksperymentów i opracowywania wyników

pomiarów oraz szacowania niepewnoci pomiarów to najwa¿niejsze cele æwi-

czeñ laboratoryjnych z fizyki. Opanowanie tych zagadnieñ wymaga pewnego czasu

oraz dowiadczenia, które zdobywa siê podczas wykonywania i opracowywania ko-

lejnych æwiczeñ.

Zajêcia laboratoryjne z fizyki rozpoczynaj¹ siê zebraniem organizacyjnym, na

którym studenci po zapoznaniu siê z regulaminem pracowni fizycznej, sprawami

organizacyjnymi i porz¹dkowymi, otrzymuj¹ harmonogram æwiczeñ na ca³y semestr.

W ci¹gu tygodnia dziel¹cego zebranie organizacyjne od pierwszych zajêæ

student powinien zapoznaæ siê z tematyk¹ pierwszego wyznaczonego æwiczenia,

a tak¿e z podstawowymi metodami szacowania niepewnoci pomiarów.

Oto lista zagadnieñ, z którymi nale¿y siê zapoznaæ przed przyst¹pieniem do pierw-

szego æwiczenia, niezale¿nie od jego tematu:

pomiary wielkoci fizycznych (rozdzia³ 1),

podstawy obliczania niepewnoci pomiarów (rozdzia³ 2),

zasady wykonywania æwiczeñ i opracowywania sprawozdañ (rozdzia³ 6).

W opisach æwiczeñ zasugerowano sposoby opracowania wyników pomiarów oraz

metodê obliczania ich niepewnoci. Podstawowe pojêcia oraz ich definicje zosta³y

w tekcie wyró¿nione pogrubion¹ czcionk¹, w celu wyranego oddzielenia ich od

przyk³adów i komentarzy.

Przed przyst¹pieniem do kolejnego æwiczenia nale¿y zapoznaæ siê z metod¹

obliczania niepewnoci oraz sposobem opracowania wyników przydatnym

w danym æwiczeniu. Taki sposób postêpowania zapewnia zgromadzenie podczas

pomiarów danych niezbêdnych do obliczeñ oraz pozwala stopniowo (przy wykony-

waniu i opracowywaniu rezultatów kolejnych æwiczeñ) zapoznawaæ siê z metodyk¹

opracowywania i prezentacji wyników pomiarów.

Omówimy krótko zawartoæ podrêcznika. W rozdziale pierwszym wprowadzo-

no podstawowe pojêcia dotycz¹ce wielkoci fizycznych oraz ich pomiarów. Obszerne

przedstawienie zarówno przedmiotu jak i podstawowych zasad analizy niepewno-

ci pomiarów zamieszczone jest w rozdziale 2. Sposoby graficznego opracowywa-

nia wyników pomiarów oraz metody regresji liniowej oraz nieliniowej zawieraj¹

odpowiednio rozdzia³y 3 i 4. Oprogramowanie u¿ytkowe pozwalaj¹ce na szybkie

i sprawne przeprowadzenie analizy niepewnoci pomiarów i sporz¹dzenie wykresów

przedstawiono w rozdziale 5. Zasady wykonywania pomiarów w Laboratorium Pod-

staw Fizyki oraz sporz¹dzania sprawozdañ omówiono w rozdziale 6. Dodatek za-

wiera definicje jednostek wielkoci podstawowych w uk³adzie SI, wartoci sta³ych

fundamentalnych, tablice sta³ych niezbêdnych podczas opracowywania wyników po-

miarów oraz tablice, w których podano w³asnoci fizyczne materia³ów stanowi¹cych

przedmiot badañ. Tablice mog¹ byæ przydatne do porównania uzyskanych wyników

pomiarów z danymi wyznaczonymi w laboratoriach naukowych i przemys³owych.

Przytoczone w tekcie przyk³ady stanowi¹ ilustracjê omawianych zagadnieñ, nie

s¹ jednak wynikami konkretnych pomiarów i w ¿adnym wypadku nie nale¿y powo-

³ywaæ siê na wystêpuj¹ce w nich wartoci liczbowe.

1. POMIARY WIELKOCI FIZYCZNYCH

Przedmiotem fizyki dowiadczalnej s¹ pomiary wielkoci fizycznych oraz po-

szukiwanie i opis zwi¹zków (praw fizycznych) miêdzy tymi wielkociami.

Wielkoci¹ fizyczn¹ nazywamy tak¹ w³aciwoæ obiektu, substancji lub zja-

wiska, któr¹ mo¿na porównaæ ilociowo z podobnymi w³aciwociami lub ce-

chami innego obiektu, substancji lub zjawiska. Wielkoci fizyczne s¹ wiêc w³a-

ciwociami lub cechami obiektów, substancji lub zjawisk, które mo¿na zmierzyæ.

Proces porównywania wielkoci fizycznej z wielkoci¹ przyjêt¹ za jednost-

kê nazywamy pomiarem. Przyk³adami wielkoci fizycznych, za pomoc¹ których

opisujemy w³aciwoci obiektów, s¹: masa, gêstoæ, temperatura, wymiary geome-

tryczne, natomiast wielkociami charakteryzuj¹cymi zjawiska s¹: prêdkoæ, przyspie-

szenie, si³a, szybkoæ zmian temperatury lub efekty cieplne, np. ciep³o parowania,

ciep³o w³aciwe itp.

Aby móc dokonaæ pomiaru danej wielkoci fizycznej, nale¿y okreliæ jednostkê

tej wielkoci. Jednostki definiowane s¹ za pomoc¹ wzorca lub przez sprecyzowanie

sposobu ich pomiaru. W celu unikniêcia dowolnoci w wyborze jednostek, a wiêc

umo¿liwienia porównywania wyników pomiarów, definicje jednostek fizycznych

zosta³y okrelone w umowach miêdzynarodowych. W wiêkszoci krajów, w tym

równie¿ w Polsce, obowi¹zuj¹ jednostki uk³adu miêdzynarodowego SI (System

International). Definicje jednostek uk³adu SI, zatwierdzone przez miêdzynarodow¹

konferencjê w 1991 roku, s¹ zawarte w dodatku znajduj¹cym siê w koñcowej czê-

ci podrêcznika.

Istnieje okrelona liczba wielkoci fizycznych, których jednostki s¹ zdefinio-

wane. Wielkoci takie nazywamy podstawowymi (w uk³adzie SI jest ich siedem).

Pozosta³e wielkoci mo¿na wyraziæ za pomoc¹ zwi¹zków (zazwyczaj praw fizycz-

nych) miêdzy wielkociami podstawowymi. Wielkoci fizyczne, które mo¿na wy-

raziæ za pomoc¹ wielkoci podstawowych nazywamy wielkociami pochodny-

mi. Jednostki podstawowe mo¿na wybieraæ i definiowaæ w ró¿ny sposób. Za jed-

nostki podstawowe przyjmuje siê jednostki takich wielkoci fizycznych, które dziê-

ki odpowiednim przyrz¹dom i technice pomiarowej mo¿na mo¿liwie precyzyjnie

zmierzyæ, a ich wzorce mo¿liwie prosto i dok³adnie odtworzyæ. Nale¿y zwróciæ

uwagê, ¿e ¿adna wielkoæ fizyczna nie mo¿e byæ zmierzona z dok³adnoci¹ wiêk-

sz¹ od dok³adnoci z jak¹ zdefiniowany jest aktualny wzorzec. W miarê rozwoju

techniki pomiarowej ronie równie¿ precyzja pomiarów. Wtedy, gdy jestemy w sta-

nie mierzyæ jak¹ wielkoæ z precyzj¹ wiêksz¹ od dok³adnoci z jak¹ okrelony jest

wzorzec, zachodzi potrzeba zmiany wzorca (przyk³adem jest wprowadzona niedawno

zmiana definicji metra).

Wynik dowolnego pomiaru x jest wartoci¹ mianowan¹, któr¹ podajemy w na-

stêpuj¹cej postaci:

x = r

(1.1)

gdzie: J

jednostka wielkoci fizycznej X (zazwyczaj jej symbol), a r

liczba

rzeczywista okrelaj¹ca liczbê jednostek. Jak widzimy z postaci zapisu (1.1), poda-

nie wartoci wielkoci fizycznej w postaci tylko liczby nie ma sensu (o ile nie jest

to wielkoæ bezwymiarowa); np. stwierdzenie, ¿e odleg³oæ miêdzy dwoma punk-

tami wynosi 1,54 nic nie znaczy.

W przypadku podawania wartoci wielkoci obarczonej niepewnoci¹

wynik

pomiaru zapisujemy w postaci

x = (r

(1.2)

Niepewnoæ pomiaru

jest miar¹ rozrzutu wyników pomiarów wielkoci fizycz-

nej X.

Wyznaczanie wartoci wielkoci fizycznej mo¿e sk³adaæ siê z kilku etapów,

z których najwa¿niejszymi s¹ pomiary proste, obliczanie oceny wartoci wielko-

ci wyznaczanych na podstawie wyników pomiarów prostych oraz analiza dok³ad-

noci uzyskanej oceny.

Pomiary wielkoci fizycznych, których wartoci wyznaczamy bezporednio

za pomoc¹ odpowiednich przyrz¹dów bêdziemy nazywali pomiarami prosty-

mi (bezporednimi), a wielkoci tak wyznaczone wielkociami prostymi. Do ta-

kich wielkoci zaliczane s¹ wielkoci podstawowe (patrz podrozdzia³ 7.1 zamie-

szczony w dodatku), których pomiar polega na porównaniu z wartoci¹ przyjêt¹

za jednostkê, np. czas, odleg³oæ, k¹t, natê¿enie pr¹du lub masa.

Istniej¹ wielkoci, których wartoci odczytujemy bezporednio ze skali przyrz¹-

du mierz¹cego inn¹ wielkoæ fizyczn¹. Dziêki prostej zale¿noci funkcyjnej przy-

rz¹d mo¿e byæ wyskalowany w jednostkach innej wielkoci fizycznej ni¿ wielkoæ

mierzona bezporednio. Wielkoci takie bêdziemy równie¿ nazywali wielkociami

prostymi, mimo ¿e sam pomiar jest pomiarem porednim.

W przypadku pomiarów prostych nie ma potrzeby obliczania wartoci mierzo-

nych, gdy¿ odczytujemy je bezporednio ze skali przyrz¹du pomiarowego.

Przyk³ady pomiarów prostych

1. Pomiar napiêcia elektrycznego za pomoc¹ woltomierza polega na pomiarze na-

tê¿enia pr¹du p³yn¹cego przez znan¹ rezystancjê. Korzystaj¹c z prawa Ohma mo¿e-

my amperomierz wyskalowaæ w jednostkach napiêcia i przyrz¹d nazwaæ woltomie-

rzem.

2. Termometr cieczowy jest urz¹dzeniem wykorzystuj¹cym liniowy zwi¹zek miê-

dzy przyrostem objêtoci cieczy a przyrostem temperatury. Wielkoci¹ mierzon¹ jest

przyrost objêtoci cieczy, naniesiona za na nim skala jest skal¹ temperatur.

3. Pomiar natê¿enia owietlenia za pomoc¹ luksomierza polega na pomiarze na-

tê¿enia pr¹du generowanego przez fotoogniwo, amperomierz mierz¹cy ten pr¹d jest

wyskalowany w luksach.

Pomiar z³o¿ony polega na wykonaniu (najczêciej równoczesnym) kilku pomia-

rów prostych. Korzystaj¹c z zale¿noci miêdzy wielkociami wyznaczonymi bezpo-

rednio obliczamy wartoæ wielkoci fizycznej, któr¹ bêdziemy nazywali z³o¿on¹,

a taki sposób wyznaczania wielkoci fizycznej pomiarem z³o¿onym.

Przyk³ady pomiarów z³o¿onych

1. Pomiar oporu elektrycznego polega zwykle na pomiarze natê¿enia pr¹du oraz

napiêcia na badanej rezystancji. Wartoæ oporu obliczamy korzystaj¹c z prawa Ohma.

Zwróæmy uwagê na to, ¿e je¿eli opór zmierzymy za pomoc¹ omomierza, to bêdzie

on traktowany jako pomiar prosty. Gdy wartoæ oporu wyznaczamy na podstawie

pomiarów napiêcia i natê¿enia pr¹du, bêdzie to pomiar z³o¿ony.

2. W celu wyznaczenia ciep³a w³aciwego cia³a nale¿y wyznaczyæ jego masê oraz

okreliæ przyrost temperatury spowodowany dostarczeniem okrelonej iloci ciep³a.

W tym celu nale¿y zwa¿yæ badane cia³o, zmierzyæ jego temperaturê pocz¹tkow¹

i koñcow¹ oraz okreliæ dostarczone ciep³o. Je¿eli energia jest dostarczana za po-

moc¹ grzejnika elektrycznego, to nale¿y zmierzyæ napiêcie, natê¿enie pr¹du oraz czas

przep³ywu pr¹du przez grzejnik, a ponadto nale¿y znaæ (lub wyznaczyæ) pojemnoæ

ciepln¹ grzejnika, czyli iloæ ciep³a potrzebn¹ do ogrzania grzejnika o jeden stopieñ.

Z przytoczonych przyk³adów wynika, ¿e pomiary z³o¿one mog¹ byæ bardzo skom-

plikowane i wymagaæ wielu pomiarów prostych i czêsto dodatkowo znajomoci sta-

³ych materia³owych lub sta³ych fizycznych.

Wartoci x wielkoci fizycznej X s¹ wyznaczane dowiadczalnie (mówimy s¹

mierzone). Wartoæ dok³adna (rzeczywista, prawdziwa), któr¹ oznaczymy przez

nie jest znana.

Rodzi siê pytanie, jak obliczyæ wartoæ wielkoci zmierzonej, która bêdzie do-

brym oszacowaniem wartoci dok³adnej

oraz jak oszacowaæ dok³adnoæ pomia-

rów na podstawie skoñczonej serii pomiarów nazywanej tak¿e prób¹? Zagadnienia

te stanowi¹ przedmiot analizy niepewnoci pomiarów nazywanej do niedawna ra-

chunkiem b³êdów.

Analiza niepewnoci pomiarów wymaga stosowania odpowiednich pojêæ, które

zostan¹ przedstawione w rozdziale 2. Pojêcia te wprowadzimy zgodnie z zalecenia-

mi organizacji miêdzynarodowych sformu³owanymi w przewodniku Guide to the

Expression of Uncertainty in Measurement [1] oraz wytycznymi G³ównego Urzêdu

Miar [2] (patrz równie¿ opracowania i podrêczniki [37, 9]).

2. OBLICZANIE NIEPEWNOCI POMIARÓW

Wynik nawet najstaranniej wykonanego pomiaru lub obserwacji obarczony jest

niepewnoci¹ odzwierciedlaj¹c¹ niedok³adnoæ wartoci wielkoci zmierzonej. Ana-

liza niepewnoci pomiarów jest bardzo istotnym etapem ka¿dego eksperymentu za-

równo w fazie jego projektowania, wykonywania jak i opracowywania uzyskanych

wyników. W tym rozdziale przedstawimy podstawowe pojêcia zwi¹zane z analiz¹

niepewnoci pomiarów oraz przedstawimy najczêciej stosowane metody okrela-

nia tych niepewnoci.

2.1. Pojêcia podstawowe

W roku 1995 uzgodniono nowe miêdzynarodowe normy [14, 6, 7] dotycz¹ce

terminologii i zasad wyznaczania niepewnoci pomiarowych, których statut praw-

ny jest taki sam, jak uregulowañ dotycz¹cych SI.

Wynikiem pomiaru nazywamy wartoæ x przypisan¹ wielkoci fizycznej X uzy-

skan¹ drog¹ pomiaru.

Niepewnoæ pomiaru jest miar¹ (zwi¹zan¹ z wynikiem pomiaru) charakteryzu-

j¹c¹ rozrzut wyników pomiarów. Pod tym pojêciem rozumiemy miarê niedok³adno-

ci, z jak¹ zmierzono dan¹ wielkoæ fizyczn¹. Innymi s³owy, niepewnoæ pomiaru

oznacza ilociow¹ miarê naszej niepewnoci lub w¹tpliwoci co do wartoci wyni-

ku pomiaru danej wielkoci fizycznej.

Niepewnoæ pomiaru ma wiele przyczyn. Do najwa¿niejszych zaliczamy [6, 7]:

a) Niepe³n¹ definicjê wielkoci mierzonej (okrelenie danej wielkoci fizycznej jest

tymczasowe w tym sensie, ¿e mo¿e ulec zmianie wraz z rozwojem nauki).

b) Niedok³adn¹ realizacjê tej definicji (przyrz¹d, miernik, wzorzec nie jest idealn¹

realizacj¹ definicji wielkoci fizycznej, np. temperaturê okrelamy jako czêæ

temperatury punktu potrójnego wody, ale nie istnieje idealnie czysta woda, po-

zbawiona jakichkolwiek domieszek; podobnie wzorzec czasu jest cile zwi¹za-

ny z prêdkoci¹ wiat³a, wiêc udok³adnienie pomiaru prêdkoci wiat³a wp³ynie

zapewne na wzorzec czasu).

c) Niereprezentatywnoæ serii wyników pomiarów (np. zbyt ma³a liczba pomiarów).
d) Niedok³adn¹ znajomoæ czynników zewnêtrznych (np. wp³ywu otoczenia na prze-

bieg pomiarów) lub ich niedok³adny pomiar.

e) B³êdy pope³niane przez obserwatora podczas odczytów wskazañ przyrz¹dów ana-

logowych.

f) Skoñczon¹ zdolnoæ rozdzielcz¹ stosowanych w pomiarach przyrz¹dów.
g) Niedok³adnoæ stosowanych wzorców i materia³ów odniesienia.
h) Niedok³adne wartoci sta³ych lub parametrów pochodz¹cych z innych róde³.
i) Przybli¿enia i za³o¿enia upraszczaj¹ce przyjête w pomiarach lub procedurze po-

miarowej.

j) Zmiany kolejnych wyników pomiarów wielkoci mierzonej w pozornie identycz-

nych warunkach.

Miar¹ niepewnoci mo¿e byæ np. odchylenie standardowe (patrz rozdzia³ 2.2),

po³owa przedzia³u ufnoci odpowiadaj¹cego okrelonemu poziomowi ufnoci (patrz

rozdzia³ 2.3.1) lub niepewnoæ wynikaj¹ca z klasy przyrz¹du pomiarowego (patrz

rozdzia³ 2.3.2). Niepewnoæ pomiarów zawiera na ogó³ wiele sk³adników. Niektóre

z nich wyznaczamy na podstawie statystycznej analizy wyników serii pomiarów

(patrz rozdzia³ 2.2), inne obliczamy korzystaj¹c z dodatkowych informacji oraz do-

wiadczenia nabytego przez osobê wykonuj¹c¹ eksperymenty.

Zak³adamy, ¿e wynik pomiaru stanowi najlepsze w danych warunkach ekspery-

mentalnych oszacowanie wartoci wielkoci mierzonej, a wszystkie sk³adniki nie-

pewnoci pomiaru wnosz¹ swój udzia³ do rozrzutu uzyskanych wyników pomiarów.

Niepewnoci¹ standardow¹ nazywamy niepewnoæ wyra¿on¹ poprzez odchy-

lenie standardowe s (patrz rozdz. 2.2).

B³êdem pomiaru nazywamy ró¿nicê

miêdzy wynikiem pomiaru x a warto-

ci¹ rzeczywist¹

wielkoci mierzonej:

= x

(2.1)

Z uwagi na to, ¿e wartoæ rzeczywista

nie jest znana dok³adnie zamiast niej sto-

suje siê jej ocenê uzyskan¹ na podstawie wyników pomiarów. Zak³adamy przy tym

[8], ¿e wartoæ prawdziwa

istnieje i pozostaje sta³a podczas pomiarów, a wynik

pomiaru stanowi jedynie oszacowanie mierzonej wartoci, której prawdziwa wartoæ

pozostaje nieznana. W przypadku skoñczonej serii pomiarów prostych za ocenê war-

toci rzeczywistej przyjmuje siê redni¹ arytmetyczn¹ x (patrz rozdz. 2.2).

B³êdem przypadkowym

∞

nazywamy ró¿nicê miêdzy wynikiem pomiaru

x a wartoci¹ redni¹ z du¿ej liczby pomiarów oznaczon¹ symbolem x

∞

−

Niepewnoci¹ przypadkow¹ nazywamy ró¿nicê miêdzy wynikiem pomiaru

x a wartoci¹ redni¹ x z serii pomiarów (próby)

−

Powtarzaj¹c wielokrotnie pomiar wielkoci fizycznej uzyskujemy ró¿ne wyniki.

Je¿eli wyniki pomiarów obarczone s¹ tylko b³êdami przypadkowymi, to rozk³adaj¹

siê one wokó³ wartoci rzeczywistej

, a ich rozrzut charakteryzuje dok³adnoæ

pomiaru.

Niepewnoci przypadkowe mog¹ wynikaæ z w³asnoci badanego obiektu. Przy-

puæmy, ¿e mierzymy wielokrotnie rednicê drutu. rednica ta mo¿e byæ ró¿na

w ró¿nych miejscach, a ponadto przekrój drutu mo¿e nie byæ ko³owy.

Niepewnoci przypadkowe mog¹ byæ cech¹ przyrz¹du pomiarowego, byæ wy-

nikiem wp³ywu losowo zmieniaj¹cych siê czynników zewnêtrznych na dzia³a-

nie przyrz¹du pomiarowego lub zachowanie siê obiektu mierzonego. Niepew-

noci przypadkowe mog¹ byæ równie¿ powodowane przez eksperymentatora, np.

przez ró¿nice w docisku ruby mikrometrycznej, ustawienie ruby pod pewnym k¹-

tem do osi drutu w przyk³adzie omawianym wczeniej.

Niepewnoci przypadkowe odgrywaj¹ bardzo istotn¹ rolê w pomiarach su-

biektywnych, to jest w pomiarach, podczas których czujnikiem jest eksperymen-

tator. Przyk³adami takich pomiarów s¹ pomiary czasu za pomoc¹ stopera, w których

wynik jest uzale¿niony od czasu reakcji eksperymentatora, pomiary optyczne,

w których nale¿y stwierdziæ jednakowe owietlenie dwóch s¹siaduj¹cych ze sob¹ ob-

szarów (pomiary efektu Faradaya, pomiary sacharymetrem lub fotometrem), ostroæ

obrazu (pomiary ogniskowych soczewek oraz pomiary mikroskopowe), ostroci

plamki na ekranie oscyloskopu (pomiar stosunku e/m elektronu), jednakow¹ barwê,

zanik pr¹du w metodach mostkowych i kompensacyjnych.

Niepewnoci przypadkowych nie mo¿na unikn¹æ, mo¿na je jednak oszacowaæ

wykorzystuj¹c metody statystyki matematycznej.

B³êdem systematycznym nazywamy ró¿nicê miêdzy redni¹ x

∞

z nieskoñczo-

nej serii pomiarów wykonanych w warunkach powtarzalnoci a wartoci¹ rzeczy-

wist¹

wielkoci mierzonej

∆

= x

∞

(2.4)

B³êdy systematyczne wynikaj¹ ze z³ej jakoci lub rozregulowania przyrz¹dów

pomiarowych, niew³aciwej metody pomiaru lub wp³ywu czynników zewnêtrznych

na wyniki pomiarów. Przyk³adem mo¿e byæ pomiar d³ugoci za pomoc¹ metalowej

linijki lub tamy mierniczej, na któr¹ naniesiono skalê w temperaturze znacznie

odbiegaj¹cej od temperatury, w której odbywa siê pomiar (linijka zmienia swoj¹ d³u-

goæ pod wp³ywem zmian temperatury). Innym przyk³adem b³êdu systematycznego

jest zaniedbanie si³y wyporu dzia³aj¹cej na cia³o w powietrzu podczas wa¿enia. B³êdy

systematyczne, spowodowane okrelon¹ przyczyn¹, maj¹ ten sam znak.

Eliminacja b³êdów systematycznych jest bardzo trudna i wymaga starannej

analizy warunków pomiaru oraz doboru odpowiednich przyrz¹dów pomiaro-

wych. B³êdy systematyczne mo¿emy zmniejszyæ wprowadzaj¹c (je¿eli jest to mo¿-

liwe) odpowiednie poprawki.

Przyk³adem niech bêdzie pomiar czasu zawodników biegn¹cych na 100 m. Niech

precyzyjny stoper elektroniczny bêdzie uruchamiany za pomoc¹ czujnika akustycz-

nego umieszczonego na linii mety. Czujnik reaguje na wystrza³ startera, który stoi

obok linii startu. Zatrzymanie stopera odbywa siê za pomoc¹ fotokomórki. Czas po-

trzebny na to aby dwiêk dotar³ do mety wynosi oko³o 0,3 s. Czas zmierzony przez

taki uk³ad pomiarowy bêdzie wiêc zani¿ony.

W poprawnie zaprojektowanym uk³adzie pomiarowym czujnik akustyczny po-

winien byæ umieszczony obok linii startu. Czas przejcia impulsu elektrycznego (roz-

chodz¹cego siê z prêdkoci¹ wiat³a) od linii startu do mety jest do zaniedbania.

Gdybymy jednak mierzyli prêdkoæ cz¹stki poruszaj¹cej siê z prêdkoci¹ zbli¿on¹

do prêdkoci wiat³a, to zaniedbanie czasu przejcia sygna³u elektrycznego by³oby

b³êdem dyskwalifikuj¹cym uzyskany wynik.

B³êdy pomiaru

, b³êdy przypadkowe

∞

oraz b³êdy systematyczne

∆

spe³niaj¹

nastêpuj¹c¹ relacjê:

= x

= x x

∞

+ x

∞

∆

(2.5)

Z relacji x =

∆

∞

wynika, ¿e rezultaty pomiarów obarczonych b³êdem

systematycznym

∆

rozk³adaj¹ siê wokó³ wartoci przesuniêtej o

∆

wzglêdem war-

toci rzeczywistej. Krzywa a na rys. 2.1 przedstawia gêstoæ prawdopodobieñstwa

(patrz rozdzia³y 2.2.3 i 2.2.4) wyników pomiarów obarczonych tylko b³êdami (nie-

pewnociami) przypadkowymi. Funkcja ta osi¹ga maksimum dla wartoci x =

Krzywa b przedstawia funkcjê rozk³adu wyników obarczonych b³êdem systematycz-

nym

∆

oraz niepewnociami przypadkowymi.

Rys. 2.1. Krzywe rozk³adu wyników

pomiarów: a obarczonych tylko niepew-

nociami przypadkowymi, b niepewno-

ciami przypadkowymi oraz b³êdem

systematycznym

∆

rzeczywista

wartoæ wielkoci mierzonej

W praktyce laboratoryjnej spotykamy

czasami b³êdy grube, które powstaj¹ za-

zwyczaj wskutek pomy³ki eksperymenta-

tora. Poni¿ej omówimy kilka przyk³adów

b³êdów grubych.

Przyk³ady

Mierz¹c rednicê drutu rub¹ mikrome-

tryczn¹ uzyskano wynik 2,34 mm, a zano-

towano 2,34 m; podczas pomiaru wielko-

ci z³o¿onej korzystano z kilku mierników

i zamiast wskazañ amperomierza zanoto-

wano odczyt ze stopera (takie pomy³ki te¿

siê zdarzaj¹). B³êdy grube mog¹ byæ spo-

wodowane równie¿ zastosowaniem nieod-

powiedniej metody pomiarowej. Wyobra-

my sobie pomiar rednicy nitki wykona-

nej z we³ny za pomoc¹ ruby mikrometrycznej. Przyrz¹d pomiarowy, którym dys-

ponujemy, jest bardzo dok³adny, odczyt jest prawid³owy, a uzyskane wyniki s¹

bezwartociowe!

Zabawn¹ ilustracj¹ b³êdu grubego jest Ballada o pó³nocy pióra Andrzeja

Waligórskiego, któr¹ zamieszczamy dziêki ¿yczliwoci i za zgod¹ ¿ony autora.

I pêdzi³ tak przez d³u¿szy czas,

Bo drogê mia³ okóln¹,

A kiedy wreszcie z konia zlaz³

Zegar wskazywa³ pó³noc...

Gdy za u zamku stan¹³ bram,

By porwaæ sw¹ dzierlatkê,

Nie zasta³ wcale panny tam,

Tylko niedu¿¹ kartkê:

Przemarz³am i chce mi siê jeæ,

Znajd sobie inn¹ durn¹

Panie spónialski! Buka, czeæ!

Kne spojrza³ znowu pó³noc.

Zarycza³ Dreptak niczym lew

Lub jak armatni wystrza³

I pomkn¹³ tam, gdzie widnia³ sklep

Starego zegarmistrza.

I wszed³ i stan¹³ chrobry m¹¿

I poród ³ez wyj¹ka³:

Dlaczego u mnie pó³noc wci¹¿?

Bo to rzek³ mistrz jest kompas...

Pradawnym czasom ho³d i czeæ,

Tyle w nich krzepkiej mocy!

Mia³ porwaæ dziewkê Dreptakkne

W godzinê po pó³nocy.

Wiêc ubra³ siê w ¿elazny z³om

I siad³ w kozackie czó³no

I na zegarek spojrza³ on,

A ten wskazywa³ pó³noc!

Zepchnêli ³ód na rw¹cy pr¹d

Kneziowi dwa wasale

I oto kne opuci³ l¹d

I puci³ siê na fale.

I dzielnie z nurtem walczy³ chwat,

A¿ dnem o piasek szurn¹³,

i spojrza³ znów na cyferblat,

A tam znów by³a pó³noc...

Lecz oto zar¿a³ w krzakach koñ

Ukryty tam przemylnie

Kne skoczy³, chwyci³ cugle w d³oñ

I cwa³em jak nie prynie!

Ballada o pó³nocy

Andrzej Waligórski

Jeli przytrafi siê pope³niæ b³êdy grube, zazwyczaj ³atwo jest je zauwa¿yæ.

Uwzglêdnienie wyniku pomiaru obarczonego b³êdem grubym prowadzi do absur-

dalnych, a przez to ³atwo zauwa¿alnych wyników. Rezultaty pomiarów obarczo-

nych b³êdami grubymi nale¿y odrzuciæ, a pomiary powtórzyæ.

Jak ju¿ wspomniano, g³ównymi celami analizy niepewnoci pomiarów s¹: okre-

lenie najlepszej w danych warunkach eksperymentalnych oceny wartoci rzeczy-

wistej oraz obliczenie niepewnoci pomiarów. Zadania te realizujemy:
Za pomoc¹ statystycznej analizy serii wyników pomiarów; ten sposób nosi w li-

teraturze ród³owej [14, 6, 7, 914] nazwê oceny niepewnoci metod¹ A.

Wykorzystuj¹c dodatkowe niestatystyczne informacje np. wielkoæ dzia³ki ele-

mentarnej przyrz¹du lub klasê przyrz¹du; ten sposób nosi w literaturze przedmiotu

[14, 69]) nazwê oceny niepewnoci metod¹ B.

Statystyczne szacowanie niepewnoci pomiarów oparte jest na metodach rachun-

ku prawdopodobieñstwa oraz statystyki matematycznej [5]. Ten sposób szacowania

jest powszechnie wykorzystywany w laboratorium studenckim dlatego zostanie

omówiony w dalszej czêci podrêcznika.

W drugiej metodzie wykorzystuje siê wszelkie dostêpne informacje o czynnikach

wp³ywaj¹cych na niepewnoci pomiarów np. dane z poprzednich pomiarów, posia-

dane dowiadczenie, znajomoæ zjawisk towarzysz¹cych pomiarowi, w³asnoci przy-

rz¹dów pomiarowych i badanych materia³ów lub obiektów, informacje podane przez

producenta itd. Ten sposób szacowania niepewnoci jest trudniejszy i wymaga znacz-

nego dowiadczenia, z tego wzglêdu nie jest stosowany w laboratorium studenckim.

Zainteresowanym niestatystycznymi metodami szacowania niepewnoci pomiarów

polecamy pozycje [18]) podane w spisie literatury.

2.2. Statystyczna analiza wyników i niepewnoæ pomiarów

Obecnie udzielimy odpowiedzi na postawione wczeniej pytania: Jak wyznaczyæ

wartoæ wielkoci zmierzonej, która jest dobrym oszacowaniem wartoci dok³adnej

? Jak oszacowaæ dok³adnoæ pomiarów na podstawie skoñczonej serii pomiarów?

W statystycznej metodzie oceny niepewnoci pomiarowych zak³ada siê, ¿e mie-

rzona wielkoæ X jest zmienn¹ losow¹, a wyniki {x

, ..., x

} jej n-krotnego pomiaru

traktuje siê jako n-elementow¹, skoñczon¹ próbê (skoñczon¹ seriê) z nieskoñczo-

nej serii pomiarów, któr¹ tworz¹ wszystkie mo¿liwe do otrzymania wyniki pomia-

rów. Do tak zdefiniowanej skoñczonej próby stosuje siê metody rachunku prawdo-

podobieñstwa i statystyki matematycznej [15]. Przyjêcie takiego za³o¿enia ozna-

cza, ¿e wielkoæ fizyczna X przyjmuje ka¿d¹ ze zmierzonych wartoci {x

, ..., x

}

z prawdopodobieñstwami odpowiednio p

, ..., p

Przypadek, gdy wielkoæ fizyczna X ma ci¹g³y zbiór wartoci jest nieco trudniej-

szy i bêdzie omówiony w rozdzia³ach 2.2.32.2.11.

2.2.1. rednia arytmetyczna, wariancja

i odchylenie standardowe z próby

Przypuæmy, ¿e n-krotnie powtórzylimy pewien pomiar (w jednakowych stabil-

nych warunkach) i otrzymalimy seriê rezultatówów, które oznaczymy symbolami

, ..., x

i nazwiemy prób¹. Bêdziemy zajmowaæ siê tylko takimi pomiarami, których

wyniki nie s¹ identyczne. Ich nieidentycznoæ mo¿e mieæ wielorakie przyczyny

niedoskona³oæ przyrz¹du pomiarowego, losowo zmieniaj¹ce siê czynniki zewnêtrzne

dzia³aj¹ce na przyrz¹d, niestabilnoæ uk³adu (inne przyczyny s¹ wymienione w po-

przednim rozdziale). Podczas pomiarów, w których czujnikiem jest eksperymen-

tator, jedn¹ z przyczyn otrzymania ró¿nych wyników mo¿e byæ zmienny czas reak-

cji lub subiektywne odczucie eksperymentatora. Podane tutaj przyczyny uzasadnia-

j¹ przyjêcie przez nas za³o¿enia o tym, ¿e mierzona wielkoæ fizyczna jest zmienn¹

losow¹.

Wielkoæ rozrzutu wyników pomiarów wokó³ rzeczywistej wartoci mierzonej

zale¿y od sposobu ich wykonania. Im dok³adniejszy jest przyrz¹d pomiarowy i im

wiêcej czynników wp³ywaj¹cych na wyniki pomiaru bêdzie kontrolowaæ ekspery-

mentator, tym mniej bêd¹ siê one ró¿niæ miêdzy sob¹.

Do opisu zbioru wyników pomiarów u¿ywa siê nastêpuj¹cych charakterystyk licz-

bowych (zwanych tak¿e wskanikami):
redniej arytmetycznej

∑

...

(2.6)

wokó³ której le¿¹ wyniki pojedynczych pomiarów,
wariancji (dok³adniej wariancji z próby)

∑

−

)

(

]

)

(

...

)

(

)

[(

(2.7)

która jest miar¹ (jedn¹ z wielu) niepewnoci pomiaru (rozrzutu) pojedynczych po-

miarów wokó³ redniej arytmetycznej x,
odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru (dok³adniej odchylenia stan-

dardowego pojedynczego pomiaru z próby)

∑

−

)

(

(2.8)

Poza wymienionymi tutaj wskanikami u¿ywa siê jeszcze wiele innych, np. media-

nê, kwartyle, skonoæ i kurtozê (zosta³y one przedstawione w podrêczniku [5]).
Miarami niepewnoci redniej arytmetycznej x s¹ nastêpuj¹ce ilorazy:

∑

−

)

(

)

(

(2.9)

oraz

∑

−

)

(

)

(

(2.10)

Liczbê

nazywamy wariancj¹ (z próby), a liczbê

odchyleniem standardowym

(z próby) redniej arytmetycznej x.

Aby obliczyæ podane wskaniki charakteryzuj¹ce wyniki pomiarów, pos³uguje-

my siê kalkulatorami lub komputerem. Prawie wszystkie kalkulatory obliczaj¹ sumy

∑

i sumy kwadratów

∑

, a maj¹c te wielkoci, mo¿emy obliczyæ wariancjê

w prosty sposób z nastêpuj¹cego wzoru:





















−

∑

(2.11)

Przyk³ad 1

Zmierzono 10 razy rednicê drutu. Wyniki pomiarów zestawione s¹ w drugiej

kolumnie tabeli 2.1. Nale¿y obliczyæ redni¹ arytmetyczn¹ x, wariancjê s

, odchy-

lenie standardowe s

oraz odchylenie standardowe

redniej arytmetyczej x. Je-

li dysponujemy kalkulatorem obliczamy najpierw sumê 1,78 + 1,82 + ... + 1,78 =

17,99 oraz sumê kwadratów 1,78

+ 1,82

+ ... + 1,78

= 32,3657 (patrz tabela 2.1).

redni¹ arytmetyczn¹ obliczamy wed³ug wzoru (2.6)

mm,

799

Tabela 2.1

[mm]

[mm

]

1,78

3,1684

1,82

3,3124

1,80

3,2400

1,81

3,2761

1,79

3,2041

1,79

3,2041

1,81

3,2761

1,80

3,2400

1,81

3,2761

1,78

3,1684

17,99

32,3657

wariancjê wed³ug wzoru (2.11)

878

)

(

3657

−

⋅













−

Odchylenie standardowe (oznaczone liczb¹ s

) jest równe pierwiastkowi kwadra-

towemu z wariancji:

878

−

⋅

a odchylenie standardowe

redniej x jest równe odchyleniu standardowemu

podzielonemu przez

0,433

1,370

−

⋅

2.2.2. Wspó³czynnik korelacji (z próby)

Jeli równoczenie mierzymy dwie wielkoci fizyczne X i Y, to wyniki pomia-

rów zapisujemy w postaci par (x

, y

), (x

, y

), ..., (x

, y

). Do opisu takiej próby u¿y-

wa siê, poza rednimi arytmetycznymi x i y, wariancjami s

i s

oraz odchyleniami

standardowymi s

i s

obu mierzonych wielkoci z osobna, wskanika okrelonego

wzorem

∑

−

)

(

)

(

)

)(

(

(2.12)

Jeli wprowadzimy oznaczenie

∑

−

)

)(

(

(2.13)

to otrzymujemy bardziej zwart¹ postaæ tego wzoru

(2.14)

Aby obliczyæ wyra¿enie s

x,y

wystêpuj¹ce w liczniku, nale¿y skorzystaæ ze wzoru

















−

∑

∑ ∑

(2.15)

W celu obliczenia s

i s

nale¿y pos³u¿yæ siê wzorem (2.11).

Wspó³czynnik korelacji (lub korelacja z próby), charakteryzuje liniow¹ zale¿-

noæ pomiêdzy wynikami dwu równoczenie wykonanych pomiarów. Zauwa¿my, ¿e
r

x,y

= r

y,x

oraz ¿e r

x,x

= 1. Mo¿na te¿ udowodniæ, ¿e wartoci tego wspó³czynnika

zawarte s¹ w przedziale [1,+1]. Jeli przyjmuje on wartoæ 1, to wszystkie punkty

, y

) le¿¹ na prostej tworz¹cej k¹t ostry z osi¹ OX, a jeli 1, to k¹t rozwarty. Ma³e

wartoci wskazuj¹ na to, ¿e nie ma zwi¹zku pomiêdzy mierzonymi wielkociami.

Jeli wykonujemy równoczenie wiêcej ni¿ dwa pomiary, to mo¿emy obliczyæ

wspó³czynniki korelacji dla ka¿dej pary.

Przyk³ad 2

W tabeli 2.2 podane s¹ wyniki piêciokrotnych równoczesnych pomiarów napiê-

cia V [V] i natê¿enia pr¹du I [mA] oraz k¹ta

[rad].

Tabela 2.2

[V]

[mA]

[rad]

5,0

1,6

1,045

4,9

1,4

1,043

5,0

1,7

1,046

4,9

1,5

1,042

4,8

1,6

1,045

Mo¿emy obliczyæ 3 wspó³czynniki korelacji: r

V,I

, r

oraz r

Znaczne uproszczenie w rachunkach uzyskujemy, gdy wyniki obliczeñ

pomocniczych zapiszemy w odpowiedniej tabeli dla pierwszego jak w tabeli 2.3.

Na podstawie wzorów (2.8) i (2.15) otrzymujemy

0070

121













−

0130









−

Tabela 2.3

5,0

1,6

25,00

2,56

8,00

4,9

1,4

24,01

1,96

6,80

5,0

1,7

25,00

2,89

8,50

4,9

1,5

24,01

2,25

7,35

4,8

1,6

23,04

2,56

7,68

24,6

7,8

121,06

12,22

38,39

U¿yte tutaj stwierdzenie stabilizuj¹ siê nale¿y rozumieæ w sensie zmierzaj¹ do, d¹¿¹ do.

oraz

0035

⋅









⋅

−

Po podstawieniu obliczonych wielkoci do wzoru (2.14), znajdujemy

3669

1140

0837

0035

⋅

Podobnie obliczamy pozosta³e dwa wspó³czynniki korelacji r

= 0,3273 oraz

= 0,8540. Zapisane w postaci macierzy

























tworz¹ one tzw. macierz korelacji (z próby).

Wszystkie omówione tutaj wielkoci rednia arytmetyczna, wariancja, odchy-

lenie standardowe i korelacja (z próby) maj¹ pewn¹ wa¿n¹ w³asnoæ, mianowicie,

stabilizuj¹

siê wokó³ pewnych liczb, gdy liczba wykonanych pomiarów, na podsta-

wie których je obliczono, ronie. W tabeli 2.4 podano rednie arytmetyczne, odchy-

Tabela 2.4

100

200

3,7138

3,7149

3,7173

(×10

)

10,084

10,791

9,167

8,953

(×10

)

3,189

2,413

0,917

0,633

lenia standardowe oraz odchylenia standardowe redniej dla n = 10, 20, 100 i 200

pomiarów tej samej wielkoci fizycznej wykonanych w stabilnych warunkach.

Zwiêkszenie liczby pomiarów powinno tylko nieznacznie zmieniæ wartoæ redniej

arytmetycznej x i odchylenia standarowego s

obliczonych na podstawie n = 200

pomiarów. Natomiast odchylenie standardowe redniej s

bêdzie zbli¿aæ siê do zera

wraz ze wzrostem wielkoci próby.

2.2.3. Histogramy

Jeli wyników pomiarów w próbie wielkoci X jest wiele, wygodnie jest je po-

grupowaæ. W tym celu wyznaczamy najpierw najmniejsz¹ x

min

oraz najwiêksz¹ x

max

wartoæ zmierzon¹, które okrelaj¹ przedzia³

〉

〈

max

min

, x

, w którym le¿¹ wszystkie

pozosta³e wyniki pomiarów. Nastêpnie dzielimy przedzia³

〉

〈

max

min

, x

na k > 1 pod-

przedzia³ów (zazwyczaj o jednakowej d³ugoci) i znajdujemy liczby pomiarów na-

le¿¹cych do poszczególnych podprzedzia³ów. Liczbê k dobiera siê tak, aby w ka¿-

dym przedziale zawiera³o siê kilkanacie pomiarów. Uzyskane wyniki przyjêto przed-

stawiaæ w tabeli (patrz tabela 2.5).

Przyk³ad 3

W jednakowych warunkach zmierzono 200 razy czas opadania ciê¿arka, przy

ustalonym momencie bezw³adnoci, krzy¿a Oberbecka. Uzyskane wyniki pomiarów

(przedstawione w ca³oci w tabelach 20 i 21) pogrupowane w k = 11 klasach (pod-

przedzia³ach) przedstawione s¹ w tabeli 2.5. Liczby zawarte w trzeciej kolumnie,

nazywane zaobserwowanymi czêstociami tworz¹ tzw. szereg rozdzielczy, a w czwar-

tej kolumnie skumulowany szereg rozdzielczy.

Tabela 2.5

Górne granice

Czêstoci

klas

zaobserwowane skumulowane

3,695

3,700

3,705

3,710

3,715

3,720

128

3,725

163

3,730

186

3,735

194

3,740

199

∞

200

Zazwyczaj czêstoci te przedstawia siê graficznie w postaci histogramów (zwa-

nych histogramami empirycznymi. Histogram czêstoci zaobserwowanych skonstru-

owany jest w ten sposób, ¿e nad ka¿dym przedzia³em wykrelamy prostok¹t o wy-

sokoci równej liczbie zawartych w nim obserwacji. Histogram czêstoci skumulo-

wanych ró¿ni siê od poprzedniego tylko tym, ¿e wysokoci prostok¹tów s¹ równe

skumulowanym czêstociom. Rysunek 2.2 przedstawia histogram, a rys. 2.3 skumu-

lowany histogram danych z tabeli 2.5.

Rys. 2.2. Histogram danych zawartych w tabeli 2.5

granice klas

Rys. 2.3. Skumulowany histogram danych zawartych w tabeli 2.5

granice klas

2.2.4. Gêstoæ rozk³adu prawdopodobieñstwa

Histogramy maj¹ podobn¹ w³asnoæ jak rednie arytmetyczne i wariancje z próby.

Stabilizuj¹ siê, jeli liczba pomiarów wzrasta

. Ponadto, jeli liczba ró¿nych pod

wzglêdem wartoci pomiarów ronie, to mo¿emy zwiêkszaæ liczbê przedzia³ów, na

które dzielimy przedzia³ zawieraj¹cy wszystkie obserwacje, a w konsekwencji otrzy-

mywaæ coraz g³adszy histogram. Funkcjê, do której zbli¿a siê histogram zaobser-

wowanych czêstoci (unormowany tak, aby suma pól wszystkich prostok¹tów by³a

równa 1), nazywamy gêstoci¹ prawdopodobieñstwa. Gêstoci¹ mo¿e byæ ka¿da

funkcja f(x) okrelona na zbiorze liczb rzeczywistych R, która spe³nia nastêpuj¹ce

dwa warunki:

1. f(x)

≥

0 dla wszystkich x

∈

)

(

∫

+∞

∞

−

(2.16)

Jeli wynik pomiaru mierzonej wielkoci podlega rozk³adowi o gêstoci f(x),

to prawdopodobieñstwo tego, ¿e bêdzie on zawarty w przedziale (a,b) wyra¿a siê

ca³k¹

∫

)

(

))

((

(2.17)

Geometrycznie prawdopodobieñstwo P((a,b)) przedstawia pole obszaru nad

przedzia³em (a,b) pod wykresem funkcji f(x).

Jeli x reprezentuje wynik pomiaru jaki uzyska eksperymentator, gdy wykona

pomiar, to zamiast symbolu P((a,b)), oznaczaj¹cego prawdopodobieñstwo, ¿e znaj-

dzie siê on w przedziale (a,b), bêdziemy pisaæ P(a < x < b). Wzór (2.17) przyjmuje

wówczas postaæ

)

(

)

(

∫

′

(2.18)

Interpretacja czêstociowa prawdopodobieñstwa P(a < x < b) jest nastêpuj¹ca:

Jeli wyniki pomiaru mierzonej wielkoci podlegaj¹ rozk³adowi o gêstoci f(x)

i jeli wykonamy seriê n niezale¿nych pomiarów, to oczekujemy, ¿e w przybli¿e-

niu P(a < X < b)·100% wyników pomiarów wpadnie do przedzia³u (a,b). Liczbê

nP(a < X < b) nazywamy oczekiwan¹ liczb¹ obserwacji w przedziale (a,b) w próbie

o liczebnoci n.

Ponownie u¿yty zwrot stabilizuj¹ siê oznacza, ¿e przy wzrocie liczby n pomiarów d¹¿¹

one do granicznej funkcji zwanej gêstoci¹ prawdopodobieñstwa.

W bardzo wielu sytuacjach, jako gêstoæ prawdopodobieñstwa mo¿na przyj¹æ

funkcjê Gaussa (zale¿n¹ od dwóch parametrów

∈

R i

∈

) okrelon¹ dla wszy-

stkich liczb rzeczywistych x wzorem

(

)













−

exp

)

(

(2.19)

Mo¿na pokazaæ, ¿e spe³nia ona warunki (2.16) dla podanych wartoci parame-

trów

. Maksimum, wynosz¹ce

)

(

, osi¹ga w punkcie x =

; jest syme-

tryczna wzglêdem prostej x =

, tzn.

∆

x) = f(

∆

(2.20)

dla wszystkich

∆

x > 0. Jeli gêstoæ prawdopodobieñstwa ma postaæ (2.19), to mówi-

my o rozk³adzie normalnym. Oznacza siê go symbolem N(

). Rysunek 2.4 przed-

stawia wykres gêstoci prawdopodobieñstwa rozk³adu normalnego N(10,1). Zakre-

lone pole przedstawia prawdopodobieñstwo pojawienia siê wyniku obserwacji

w przedziale (8,9).

Czêsto odpowiednim rozk³adem prawdopodobieñstwa jest te¿ rozk³ad o gêsto-

ci postaci







≤

−

gdy

exp(

)

(

(2.21)

gdzie

> 0 jest parametrem rozk³adu. Rozk³ad ten nazywamy rozk³adem wyk³adni-

czym i oznaczamy go symbolem E(

). Rysunek 2.5 przedstawia wykres gêstoci

prawdopodobieñstwa rozk³adu wyk³adniczego E(2). Zakrelone pole przedstawia

prawdopodobieñstwo pojawienia siê obserwacji w przedziale (0,5, 1).

Rys. 2.4. Gêstoæ rozk³adu normalnego N(10,1)

Rys. 2.5. Gêstoæ rozk³adu wyk³adniczego E(2)

2.2.5. Wykres normalny

Rozk³ad normalny jest czêsto bardzo dogodnym opisem wyników pomiarów.

W zwi¹zku z tym opracowano wiele metod, które wskazuj¹, czy za³o¿enie o normal-

noci mo¿emy przyj¹æ. Jedn¹ z nich jest metoda graficzna, polegaj¹ca na skonstru-

owaniu tzw. wykresu normalnego. Tworz¹ go punkty o wspó³rzêdnych

)

(





















−

(2.22)

gdzie n jest wielkoci¹ próby, a x

(i)

jest i-t¹ co do wielkoci obserwacj¹ w próbie.

Symbol

oznacza funkcjê odwrotn¹ wzglêdem funkcji

exp

)

(

∈











−

∫

∞

−

(2.23)

Jeli naniesione punkty nie uk³adaj¹ siê wzd³u¿ prostej, to przyjêcie za³o¿enia

o normalnoci rozk³adu nie jest wskazane.

Przyk³ad 4

Na rysunku 2.6 podano wykres normalny punktów o wspó³rzêdnych (2.22) dla

20 pierwszych wyników pomiarów czasu opadania ciê¿arka krzy¿a Oberbecka za-

mieszczonych w tabelach 20 i 21. Wypisano je, po uporz¹dkowaniu wed³ug wiel-

koci, w drugiej kolumnie w tabeli 2.6. Poniewa¿ otrzymane punkty uk³adaj¹ siê

wzd³u¿ prostej, za³o¿enie o normalnoci nie powinno budziæ w tym przypadku w¹t-

pliwoci.

Tabela 2.6

(i)











 −

−

3,696

1,841

3,701

1,392

3,707

1,121

3,709

0,914

3,709

0,740

3,712

0,587

3,714

0,446

3,714

0,313

3,717

0,186

3,717

0,062

3,719

0,062

3,719

0,186

3,719

0,313

3,721

0,446

3,721

0,587

3,723

0,740

3,723

0,914

3,725

1,121

3,730

1,392

3,733

1,841

Rys. 2.6. Wykres normalny pomiarów x

(i)

zamieszczonych w tabeli 2.6

Warto pamiêtaæ o tym, ¿e rozk³ad normalny stanowi tylko przybli¿enie rozk³a-

dów, jakim podlegaj¹ wyniki pomiarów. Trudno na przyk³ad wyobraziæ sobie, aby

wynik pomiaru odleg³oci by³ ujemny, gdy tymczasem konsekwencj¹ ka¿dego roz-

k³adu normalnego jest dodatnie prawdopodobieñstwo pojawienia siê wyniku pomiaru

z przedzia³u (

∞

,0). Prawdopodobieñstwo to jest jednak¿e zazwyczaj tak ma³e, ¿e

mo¿na je zignorowaæ.

2.2.6. Wartoæ rednia i wariancja

Jeli unormowany histogram pomiarów stabilizuje siê wokó³ gêstoci prawdopo-

dobieñstwa f(x), to:
rednia arytmetyczna x tych pomiarów stabilizuje siê wokó³ liczby okrelonej

przez ca³kê

∫

+∞

∞

−

′

)

(

(2.24)

zwan¹ wartoci¹ redni¹,

wariancja (z próby) s

stabilizuje siê wokó³ liczby okrelonej przez ca³kê

)

(

)

(

∫

+∞

∞

−

′

−

′

(2.25)

zwan¹ wariancj¹,

odchylenie standardowe (z próby) s stabilizuje siê wokó³ pierwiastka kwadrato-

wego z wariancji

, zwanego odchyleniem standardowym.

Zak³adamy, ¿e obie ca³ki (2.24) i (2.25) istniej¹.

Za ocenê wartoci redniej

mo¿emy wiêc przyj¹æ redni¹ arytmetyczn¹ x, za

ocenê wariancji

, wariancjê (z próby) s

, a za ocenê odchylenia standardowego

, odchylenie standardowe (z próby) s. Im wiêksza bêdzie liczba pomiarów, tym do-

k³adniejsze bêd¹ te oceny. Wynika to z podanych w³asnoci wartoci redniej i wa-

riancji.

Jeli obliczymy ca³ki (2.24) i (2.25) dla gêstoci rozk³adu normalnego N(

to oka¿e siê, ¿e wartoci¹ redni¹ tego rozk³adu jest parametr

, a wariancj¹ para-

metr

(t³umaczy to u¿yte oznaczenia). Natomiast wartoæ rednia i wariancja

w rozk³adzie wyk³adniczym E(

) s¹ odpowiednio równe

= 1/

2.2.7. Dystrybuanta rozk³adu prawdopodobieñstwa

Jeli za³o¿ymy, ze wynik pomiaru mierzonej wielkoci podlega rozk³adowi nor-

malnemu, mo¿emy obliczyæ wielkoci przydatne do charakteryzowania niepewno-

ci otrzymanego wyniku pomiaru. Potrzebne bêd¹ do tego pewne nowe pojêcia

i wzory, z którymi siê teraz zapoznamy.

Funkcjê rzeczywist¹ okrelon¹ dla ka¿dego x

∈

R wzorem

)

(

)

(

∫

∞

−

(2.26)

gdzie f(x) jest gêstoci¹ prawdopodobieñstwa, nazywamy dystrybuant¹. Z w³asno-

ci (2.16) gêstoci prawdopodobieñstwa wynika, ¿e

1. 0

≤

F(x)

≤

2. F(x) jest funkcj¹ niemalej¹c¹.

(2.27)

3. F(

∞

) = 0, F(+

∞

) = 1.

Wartoci¹ dystrybuanty F(x) w punkcie x

∈

R jest prawdopodobieñstwo otrzy-

mania wyniku pomiaru nale¿¹cego do przedzia³u (

∞

, x). Prawdopodobieñstwo, ¿e

wynik pomiaru x znajdzie siê w przedziale (a, b), mo¿emy za pomoc¹ dystrybuanty

zapisaæ w nastêpuj¹cej postaci

P(a < x < b) = F(b) F(a).

(2.28)

Jeli histogram zaobserwowanych czêstoci stabilizuje siê po unormowaniu wo-

kó³ gêstoci prawdopodobieñstwa f(x), to histogram skumulowanych czêstoci sta-

bilizuje siê wokó³ dystrybuanty F(x) okrelonej wzorem (2.26).

Dystrybuanta rozk³adu normalnego N(

) wyra¿a siê wzorem

)

(

exp

)

(

∫

∞

−













−

(2.29)

a dystrybuanta rozk³adu wyk³adniczego wzorem







−

≤

gdy

exp(

gdy

)

(

(2.30)

Wykres dystrybuanty rozk³adu normalnego N(10, 1) przedstawiono na rys. 2.7,

a rozk³adu wyk³adniczego E(2) na rys. 2.8.

2.2.8. Standaryzowany rozk³ad normalny

Rozk³ad normalny z parametrem

= 0 oraz parametrem

= 1, czyli rozk³ad

N(0,1), nazywamy standaryzowanym rozk³adem normalnym. Gêstoæ standaryzo-

wanego rozk³adu normalnego (oznaczana symbolem

(x)) ma postaæ











−

exp

)

(

(2.31)

a dystrybuanta (oznaczana symbolem

(x)) postaæ

exp

)

(

∫

∞

−











−

(2.32)

Z symetrii wynika, ¿e

(x) +

(x) = 1, a st¹d

(x) = 1

(x).

(2.33)

Rys. 2.7. Dystrybuanta rozk³adu normalnego N(10, 1)

Rys. 2.8. Dystrybuanta rozk³adu wyk³adniczego E(2)

Jeli wyniki x pomiaru X podlegaj¹ rozk³adowi normalnemu N(

), to unor-

mowane wyniki pomiaru

−

(2.34)

podlegaj¹ rozk³adowi normalnemu N(0,1).

Jeli F(x) jest dystrybuant¹ dowolnego rozk³adu normalnego N(

), to ³atwo

pokazaæ, ¿e











 −

F )

(

(2.35)

Jeli dysponujemy algorytmem obliczaj¹cym wartoci dystrybuanty standaryzo-

wanego rozk³adu normalnego lub tablicami jej wartoci, to korzystaj¹c ze wzoru

(2.35) mo¿emy w prosty sposób obliczyæ wartoci dystrybuanty dowolnego rozk³a-

du normalnego. Wartoci dystrybuanty standaryzowanego rozk³adu normalnego po-

dane s¹ w tabeli 2 dodatku.

Przyk³ad 5 (cd. przyk³adu 3)

W przyk³adzie 3 zosta³ skonstruowany histogram i skumulowany histogram 200

wyników pomiarów pogrupowanych w 11 klasach (tabela 2.5). Otrzymany histogram

(rys. 2.2) sugeruje, ¿e wyniki pomiarów mog¹ podlegaæ rozk³adowi normalnemu. Aby

znaleæ najlepiej dopasowan¹ do niego gêstoæ rozk³adu normalnego, za ocenê wa-

toci redniej

przyjmujemy redni¹ arytmetyczn¹ x = 3,717 (dok³adniejsza war-

toæ x = 3,717395), a za ocenê odchylenia standardowego

odchylenie standar-

dowe (z próby) s = 0,009111. Wykres gêstoci normalnej z takimi parametrami zo-

sta³ na³o¿ony na histogram, a wykres dystrybuanty, te¿ z takimi parametrami, na sku-

mulowany histogram (patrz rys. 2.9 i rys. 2.10).

Aby przekonaæ siê, jak dobrze rozk³ad normalny z wartoci¹ redni¹ x = 3,717

i odchyleniem standardowym s = 0,009111 pasuje do wyników pomiarów, powinno

siê te¿ obliczyæ odpowiednie oczekiwane czêstoci dla ka¿dej z 11 dobranych klas.

Oczekiwan¹ liczbê obserwacji w dowolnym przedziale (a,b] obliczamy wed³ug wzoru



















 −

−







 −

009111

717

009111

717

200

))

((

200

Na przyk³ad, jeli a = 3,720 oraz b = 3,725, to

(

) ( )

[

]

[

]

105

186

200

613

798

200

835

200

009111

717

720

009111

717

725

200

⋅

−

























−













−

jest oczekiwan¹ liczb¹ pomiarów w przedziale (3,720, 3,725]. Oczekiwane czêsto-

ci i oczekiwane skumulowane czêstoci zapisano w dwóch ostatnich kolumnach

w tabeli 2.7.

Zarówno wykres normalny przedstawiony na rys. 2.6 jak i tabela 2.7 wskazuj¹

na to, ¿e wyniki pomiarów czasu opadania ciê¿arka krzy¿a Oberbecka podlegaj¹ roz-

k³adowi normalnemu.

Tabela 2.7

Górna

Czêstoæ

granica

zaobser-

skumulowana oczekiwana skumulowana

klasy

wowana

zaobserwowana

oczekiwana

3,695

1,40

3,700

4,23

5,62

3,705

11,75

17,37

3,710

24,33

41,70

3,715

37,57

79,27

3,720

126

43,24

122,51

3,725

163

37,11

159,61

3,730

186

23,74

183,35

3,735

194

11,32

194,67

3,740

199

4,02

198,69

∞

200

1,31

200,00

Rys. 2.9. Histogram danych z tabeli 2.5

wraz z gêstoci¹ dopasowania rozk³adu normalnego

górne granice klas

liczba

obserwacji

2.2.9. Obliczanie prawdopodobieñstw P(

µµµµµ

σσσσσ

µµµµµ

+ k

σσσσσ

)

dla rozk³adu normalnego

Jeli w eksperymencie wyniki pomiarów podlegaj¹ rozk³adowi normalnemu

), to prawdopodobieñstwo tego, ¿e pojedynczy wynik pomiaru X znajdzie siê

w przedziale (

+ k

), gdzie k > 0, obliczamy korzystaj¹c ze wzorów (2.33)

i (2.35), w nastêpuj¹cy sposób:

)

(

)

(

)

(

)

(

−













−













−

(2.36)

Z (2.36) i z tabeli 2 przedstawionej w dodatku otrzymujemy, ¿e

P((

)) = 0,6827,

P((

+ 2

)) = 0,9545,

(2.37)

P((

+ 3

)) = 0,9973.

Ze wzorów tych wynika, ¿e w przypadku, gdy wynik pomiaru X podlega rozk³a-

dowi normalnemu N(

), to z prawdopodobieñstwem w przybli¿eniu równym 0,68

znajdzie siê on w przedziale (

), z prawdopodobieñstwem 0,95 w przedzia-

le (

+ 2

) oraz z prawdopodobieñstwem 0,0997 w przedziale (

). A zatem, jeli n-krotnie powtórzamy pomiar, którego wynik podlega pewnemu

Rys. 2.10. Skumulowany histogram danych z tabeli 2.5

wraz z dystrybuant¹ dopasowanego rozk³adu normalnego

górne granice klas

liczba

obserwacji

rozk³adowi normalnemu, i jeli n jest du¿e, to mo¿emy oczekiwaæ, ¿e w przybli¿e-

niu 68% pomiarów znajdzie siê w przedziale (x s

, x + s

), 95 % w przedziale

(x 2s

, x + 2s

) oraz 99,7% w przedziale (x 3s

, x + 3s

Przyk³ad 6

Jeli wyniki pomiarów czasu opadania ciê¿arka, przy ustalonym momencie bez-

w³adnoci, krzy¿a Oberbecka podlegaj¹ rozk³adowi normalnemu, to procent pomia-

rów w przedzia³ach (x s, x + s) = (3,7083; 3,7265), (x 2s, x + 2s) = (3,6992;

3,7356) oraz (x 3s, x + 3s) = (3,6901; 3,7447) powinien byæ w przybli¿eniu odpo-

wiednio równy wy¿ej podanym procentom (2.37). Z tabeli 21 odczytujemy, ¿e wy-

nosz¹ one odpowiednio 66,5%, 95% oraz 100%. S¹ wiêc bardzo bliskie wielkociom

oczekiwanym.

2.2.10. Gêstoæ dwuwymiarowego rozk³adu prawdopodobieñstwa

Dla dwuwymiarowych wyników pomiarów (wprowadzonych w podrozdziale

2.2.2; wtedy to dokonujemy jednoczesnego pomiaru wielkoci X i Y) nale¿y kon-

struowaæ dwuwymiarowy histogram. Jeli liczba n pomiarów w serii bêdzie wzra-

staæ, to równie¿ taki dwuwymiarowy histogram bêdzie siê stabilizowaæ wokó³ pew-

nej dwuwymiarowej funkcji. Funkcjê tê nazywamy gêstoci¹ prawdopodobieñstwa

i oznaczymy symbolem f(x,y). Jest ona okrelona dla wszystkich (x,y)

∈

i ma

nastêpuj¹ce w³asnoci

1. f(x,y)

≥

∫ ∫

+∞

∞

−

+∞

∞

−

)

(

(2.38)

Jeli zachodzi relacja f(x,y) = g(x)·h(y), gdzie g(x) jest gêstoci¹ prawdopodobieñ-

stwa wielkoci X, a h(y) gêstoci prawdopodobieñstwa wielkoci Y, to mówimy, ¿e

wielkoci X i Y s¹ niezale¿ne.

2.2.11. Wspó³czynniki korelacji oraz macierz kowariancji i korelacji

Wspó³czynnik korelacji r

x,y

równie¿ stabilizuje siê wokó³ pewnej liczby, zwanej

korelacj¹. Jeli dwuwymiarowy histogram stabilizuje siê wokó³ gêstoci f(x,y), to

wspó³czynnik korelacji r

x,y

stabilizuje siê wokó³ liczby

(2.39)

gdzie wyra¿enie w liczniku, nazywane kowariancj¹, okrelone jest wzorem

∫ ∫

+∞

∞

−

+∞

∞

−

)

(

)

)(

(

(2.40)

Wspó³czynnik korelacji przyjmuje wartoæ z przedzia³u [1,+1], jest niezmien-

niczy wzglêdem przekszta³ceñ liniowych oraz

x,y

y,x

, gdy¿

. Wartoci

+1 i 1 przyjmuje wtedy i tylko, gdy Y = aX +

, a

≠

0. Wartoæ +1, gdy a > 0, oraz

1, gdy a < 0. Jeli X = Y, to

oraz

x,x

= 1.

Jeli wspó³czynnik

x,y

jest równy zero, to mówimy, ¿e wielkoci X i Y s¹ nie-

skorelowane. Zauwa¿my, ¿e niezale¿ne wielkoci X i Y s¹ nieskorelowane. Istotnie,

jeli f(x,y) = g(x)·h(y), to

= 0 i wtedy korelacja

x,y

= 0.

Parametry

oraz

zapisujemy w postaci macierzy













(2.41)

któr¹ nazywamy macierz¹ kowariancji, a parametry

x,x

y,y

x,y

oraz

y,x

w postaci macierzy













(2.42)

lub postaci













(2.43)

gdy¿

x,x

y,y

= 1. Tê macierz nazywamy macierz¹ korelacji.

Jeli równoczenie mierzymy N wielkoci X

, X

, ..., X

, to mo¿emy okreliæ

N(N 1) kowariancji oraz tyle samo wspó³czynników korelacji, bo tyle jest ró¿nych

par (X

, X

), i

≠

j. Macierz kowariancji i macierz korelacji bêd¹ wtedy macierzami

symetrycznymi o wymiarach N × N, np. macierz korelacji bêdzie mia³a postaæ













...

(2.44)

gdzie

Xi, Xj

Xj, Xi

. Macierz korelacji z próby jest ocen¹ macierzy korelacji.

Wprowadzone tutaj pojêcia prawdopodobieñstwo, gêstoæ prawdopodobieñ-

stwa, wartoæ rednia, wariancja i korelacja odnosz¹ siê do wyniku reprezentuj¹ce-

go pomiar okrelonej wielkoci fizycznej. S¹ to pojêcia abstrakcyjne, podobnie jak

np. punkt i odleg³oæ w geometrii. S¹ one bardzo po¿yteczne, pomimo ¿e nigdy nie

bêdziemy znaæ ich dok³adnych wartoci. Mo¿emy je tylko oceniaæ na podstawie se-

rii powtarzanych pomiarów lub zak³adaæ, ¿e maj¹ tak¹ lub inn¹ postaæ lub wartoæ.

Oceny bêd¹ tym dok³adniejsze, im wiêksza bêdzie próba, na podstawie której zo-

stan¹ obliczone.

2.2.12. Centralne twierdzenie graniczne

Jeli x jest redni¹ arytmetyczn¹ wyników n niezale¿nych powtarzanych pomia-

rów podlegaj¹cych dowolnemu rozk³adowi f(x) o wartoci redniej

i wariancji

(o ile ca³ka (2.25) jest skoñczona), to jej wartoæ rednia jest równa

, a wariancja

jest równa

/n. Dodatni pierwiastek kwadratowy z wariancji, czyli

, nosi

nazwê odchylenia standardowego redniej x. Wariancja z próby (2.9) i odchylenie

standardowe redniej arytmetycznej (2.10) s¹ odpowiednio ocenami wariancji i od-

chylenia standardowego redniej x.

Dowodzi siê, ¿e jeli x

, x

, ... , x

s¹ pomiarami podlegaj¹cymi rozk³adom nor-

malnemu N(

), to ich rednia arytmetyczna X te¿ podlega rozk³adowi normalne-

mu N(

/n). W³asnoæ tê wykorzystano we wzorach (2.9) i (2.10).

Centralne twierdzenie graniczne orzeka, ¿e jeli wyniki niezale¿nych powtarza-

nych pomiarów podlegaj¹ dowolnemu rozk³adowi o gêstoci prawdopodobieñstwa

f(x), wartoci redniej

i wariancji

, to ich rednia arytmetyczna bêdzie te¿ mia-

³a, jednak¿e tylko w przybli¿eniu, rozk³ad normalny N(

/n). Im wiêksza bêdzie

seria pomiarów, tym przybli¿enie rozk³adu redniej rozk³adem normalnym bêdzie

lepsze. Jak widzimy centralne twierdzenie graniczne jest matematycznym uzasadnie-

niem wzorów (2.9) i (2.10), na których oparta jest statystyczna analiza niepewnoci

pomiarowych.

I tak na przyk³ad, jeli wyniki niezale¿nych powtarzanych pomiarów podlegaj¹

rozk³adowi wyk³adniczemu E(

), to z centralnego twierdzenia granicznego wynika,

¿e ich rednia arytmetyczna ma gdy n jest du¿e w przybli¿eniu rozk³ad normal-

ny N(

/n), gdzie

= 1/

oraz

= 1/

Jak wynika z centralnego twierdzenia granicznego, rednia arytmetyczna n nie-

zale¿nych powtarzanych pomiarów o dowolnym rozk³adzie f(x), wartoci redniej

i wariancji

ma dla du¿ych n w przybli¿eniu rozk³ad normalny N(

/n), wiêc

9973

9545

6827

≈









−

≈









−

≈









−

(2.45)

Tym samym im wiêksze jest n, tym dok³adniejsze s¹ przybli¿enia.

2.2.13. Rozk³ad dwumianowy i rozk³ad Poissona

Rozk³ad prawdopodobieñstwa, w którym dodatnie prawdopodobieñstwo przypi-

sane jest tylko liczbom naturalnym 0, 1, 2, ..., m i dla liczby 0

≤

m wyra¿a siê

wzorem

)

(

)

(

−









(2.46)

gdzie m

≥

1 i 0 < p < 1, nazywamy rozk³adem dwumianowym (lub rozk³adem Ber-

noulliego) i oznaczamy symbolem B(m, p). Rozk³ad ten jest dobrze okrelony, po-

niewa¿

)

(

∑

(2.47)

Jeli m razy powtarzamy eksperyment, w którym mo¿e zajæ jeden z dwu mo¿li-

wych wyników, powiedzmy sukces z prawdopodobieñstwem p albo pora¿ka z praw-

dopodobieñstwem 1 p, to prawdopodobieñstwo tego, ¿e pojawi siê k sukcesów

wyra¿a siê wzorem (2.46).

Mo¿na ³atwo udowodniæ, ¿e jeli m jest du¿e, a p ma³e, to prawdopodobieñstwo

p(k) jest w przybli¿eniu równe e

/k!, gdzie

= mp, czyli ¿e

)

(

)

(

)

(

−









(2.48)

Tabela 2.8 oraz rys. 2.11 pozwalaj¹ porównaæ prawdopodobieñstwa p(k) i q(k)

przy m = 20, p = 0,2 oraz

= 4. Pokazuj¹ one, ¿e przybli¿enie jest dobre, nawet gdy

m nie jest zbyt du¿e, a p zbyt ma³e.

Poniewa¿ zachodzi równoæ

∑

+∞

)

(

(2.49)

wiêc mo¿na okreliæ graniczny rozk³ad prawdopodobieñstwa, który ka¿dej liczbie

naturalnej przypisuje dodatnie prawdopodobieñstwo liczbie k prawdopodobieñstwo

q(k). Tak zdefiniowany rozk³ad nazywamy rozk³adem Poissona i oznaczamy sym-

bolem P(

). Rozk³ad Poissona ma liczne zastosowania w praktyce.

Jeli wielokrotnie (np. n razy) bêdziemy obserwowaæ zjawisko, które podlega

rozk³adowi dwumianowemu albo rozk³adowi Poissona i obliczymy redni¹ liczbê

sukcesów, to bêdzie siê ona stabilizowaæ wokó³ pewnych liczb, gdy n bêdzie wzra-

staæ. Dla rozk³adu dwumianowego B(m,p) jest ona okrelona wzorem

)

(

∑

(2.50)

Tabela 2.8

p(k)

(k)

q(k)

(k)

0,01153

0,01926

0,01832

0,02783

0,05765

0,05593

0,07326

0,06659

0,13691

0,11974

0,14653

0,12098

0,20536

0,18906

0,19537

0,17467

0,21820

0,22015

0,19537

0,19741

0,17456

0,18906

0,15629

0,17467

0,10910

0,11974

0,10420

0,12098

0,05455

0,05593

0,05954

0,06559

0,02216

0,01926

0,02977

0,02783

0,00739

0,00489

0,01323

0,00924

0,00203

0,00091

0,00529

0,00240

0,00046

0,00013

0,00192

0,00049

0,00009

0,00001

0,00064

0,00008

0,00001

0,00000

0,00020

0,00001

0,00000

0,00006

0,00000

0,00002

0,00000

Rys. 2.11. Wykresy prawdopodobieñstwa {p(k)}, {q(k)} oraz {p

(k)}

zamieszczonych w tabeli 2.8

p(k)

q(k)

(k)

a dla rozk³adu Poissona P(

) wzorem

)

(

∑

(2.51)

Liczbê mp nazywamy wartoci¹ redni¹ rozk³adu dwumianowego B(m,p), a liczbê

wartoci¹ redni¹ rozk³adu Poissona P(

Przyk³ad 7

W tabeli 2.9 podano liczbê impulsów zarejestrowanych przez licznik Geigera-

Müllera w n = 208 jednakowych przedzia³ach czasu. Liczba O

, k = 0, 1,..., 18 po-

daje liczbê jednostek czasu, w którym zaobserwowano k impulsów. Liczba E

(1)

przedstawia oczekiwan¹ liczbê jednostek czasu, w których rejestrowanych jest

k impulsów obliczonych przy za³o¿eniu, ¿e podlega ona rozk³adowi Poissona. Aby

j¹ obliczyæ, nale¿y najpierw oszacowaæ wartoæ redni¹

rozk³adu Poissona wed³ug

wzoru

322

208

∑

Tabela 2.9

(1)

(2)

0,01

0,23

0,07

0,40

0,36

0,92

1,25

1,96

3,24

3,77

6,68

6,60

11,49

10,48

16,95

15,14

21,87

19,85

25,08

23,65

25,89

25,60

24,30

25,16

20,90

22,47

16,59

18,23

12,23

13,43

8,42

8,99

5,43

5,46

3,30

3,02

3,93

2,65

Wówczas

322

208

322

)

(

−

Zauwa¿my, ¿e liczby obserwowane O

tylko nieznacznie ró¿ni¹ siê od oczeki-

wanych E

(1)

. Potwierdza to, ¿e zaproponowany rozk³ad zosta³ trafnie dobrany.

2.2.14. Przybli¿anie rozk³adu dwumianowego i rozk³adu Poissona

rozk³adem normalnym

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, ¿e jeli m jest du¿e oraz p ma³e,

to prawdopodobieñstwa w rozk³adzie dwumianowym B(m,p) mo¿emy aproksymo-

waæ odpowiednimi prawdopodobieñstwami obliczonymi na podstawie rozk³adu nor-

malnego:

( )

(

)

exp

)

(

)

(

∫

−

•

−













−

≈

−













. (2.52)

gdzie za

nale¿y wstawiæ mp, a za

wyra¿enie

(

−

Równie¿, jeli

jest du¿e, to prawdopodobieñstwa w rozk³adzie Poissona P(

)

mo¿emy aproksymowaæ za pomoc¹ rozk³adu normalnego N(

)

(

exp

)

(

)

(

∫

−

•

−













−

≈

πλ

(2.53)

Tabela 2.8 zawiera prawdopodobieñstwa rozk³adu dwumianowego B(20, 0,2)

i rozk³adu Poissona P(4) wraz z ich przybli¿eniami obliczonymi wed³ug wzorów

(2.52) i (2.53).

Przyk³ad 8 (cd. przyk³adu 7)

Poniewa¿ oceniona wartoæ rednia jest du¿a, mo¿na wiêc oczekiwaæ, ¿e rozk³ad

normalny N(10,322, 10,322) powinien dobrze aproksymowaæ rozk³ad Poissona

P(10,322). Faktycznie, jeli obliczymy oczekiwane czêstoci (podane w tab. 2.9)

wed³ug wzoru

)

(

exp

208

)

(

∫

−













−

πλ

(2.54)

gdzie za

wstawiamy 10,322, zaobserwujemy du¿¹ zgodnoæ. Pokazuj¹ to te¿ wy-

kresy na rys. 2.12

Poniewa¿ suma pól prostok¹tów tworz¹cych histogram jest równa 208, gêstoæ pomno-

¿ono przez 208.

2.3. Opracowanie wyników oraz niepewnoci

pomiarów prostych

Dysponuj¹c wynikami x

, x

, ..., x

pomiarów wielkoci fizycznej X (jeli po-

miary nie s¹ obarczone b³êdami systematycznymi), obliczamy redni¹ arytmetycz-

n¹ x, która stanowi oszacowanie wartoci rzeczywistej

∑

(2.55)

Jako niepewnoæ oceny x wielkoci

przyjmujemy odchylenie standardowe

redniej arytmetycznej

(

)

( )

−

∑

(2.56)

które przypominamy nosi nazwê niepewnoci standardowej.

Wynik obliczeñ zapisujemy w postaci:

(2.57)

Rys. 2.12. Histogram czêstoci O

zapisanych w tabeli 2.9 oraz wykres

gêstoci rozk³adu normalnego N(10,322, 10,322)

Ponownie przypomnijmy, ¿e wynik pomiaru jest wielkoci¹ mianowan¹, dlate-

go obok wartoci liczbowej nale¿y podaæ jednostkê.

Wygodne jest wprowadzenie niepewnoci wzglêdnej

(2.58)

która jest wielkoci¹ bezwymiarow¹ podawan¹ najczêciej w procentach:

100

⋅

(2.59)

2.3.1. Obliczanie niepewnoci w przypadku ma³ej liczby pomiarów

za pomoc¹ d³ugoci przedzia³ów ufnoci

Jeli seria z³o¿ona jest z niewielkiej liczby pomiarów, prawdopodobieñstwo, ¿e

przedzia³y

)

(

−

, gdzie k =1, 2, 3, obejm¹ wartoæ rzeczywist¹

jest

mniejsze ni¿ dla du¿ej liczby pomiarów (patrz podrozdzia³ 2.2.9). Aby otrzymaæ ta-

kie same prawdopodobieñstwa dla ma³ej liczby pomiarów, jak dla du¿ej, nale¿y

pomno¿yæ przez pewien wspó³czynnik t(n,p), zale¿ny od liczby pomiarów n i ¿¹-

danego prawdopodobieñstwa p. Tak skonstruowany przedzia³

(x t(n, p)s

, x + t(n, p)s

nazywany przedzia³em ufnoci, obejmuje wartoæ rzeczywist¹

z zadanym praw-

dopodobieñstwem p. Prawdopodobieñstwo p z jakim przedzia³ ufnoci obejmuje

nosi nazwê poziomu ufnoci.

Kilka wartoci wspó³czynników t(n,p) dla ma³ych n oraz trzech prawdopodo-

bieñstw p podano w tabeli 2.10. Obszerniejszy zestaw wspó³czynników t(n,p) po-

dano w tabeli 1 (Dodatek). W æwiczeniach laboratoryjnych korzystamy najczêciej

z dwóch poziomów ufnoci: p = 0,6827 oraz p = 0,9973.

Wspó³czynniki t(n,p) s¹ kwantylami rozk³adu Studenta (pseudonim W.S. Gos-

seta (18761937)). Teoria przedzia³ów ufnoci zosta³a stworzona przez polskiego

uczonego T. Sp³awê-Neymana (18941981) w latach trzydziestych dwudziestego

wieku i nale¿y do wa¿nych osi¹gniêæ nauki wiatowej.

Tabela 2.10. Wartoci wspó³czynników Studenta dla trzech poziomów ufnoci

p = 0,6827

1,837 1,321 1,197 1,142 1,111 1,091 1,077 1,067 1,059 1,024 1,013

p = 0,9545 13,968 4,527 3,307 2,869 2,649 2,517 2,429 2,366 2,320 2,126 2,064
p = 0,9973 235,777 19,206 9,219 6,620 5,507 4,904 4,530 4,277 4,094 3,400 3,199

Jak ju¿ wiemy, jako miarê niepewnoæ redniej arytmetycznej x mo¿na przyj¹æ

jej odchylenie standardowe, czyli s

. Inn¹ miar¹ niepewnoci redniej arytmetycz-

nej, któr¹ u¿ywa siê, gdy seria pomiarów jest niedu¿a, jest po³owa przedzia³u ufno-

ci, czyli wielkoæ t(n,p)s

. Podaj¹c niepewnoæ redniej arytmetycznej nale¿y za-

znaczyæ, w jaki sposób zosta³a ona obliczona, a w przypadku, gdy wyra¿a siê j¹ przez

po³owê przedzia³u ufnoci, jaki poziom ufnoci p zosta³ przyjêty. Nastêpny przyk³ad

pokazuje jak okreliæ niepewnoæ redniej arytmetycznej w przypadku krótkiej se-

rii pomiarów oporu za pomoc¹ mostka.

Przyk³ad 9

Czterokrotnie powtórzono pomiar pewnego oporu R, uzyskuj¹c nastêpuj¹ce wy-

niki (w

Ω

): x

= 72,3, x

= 71,9, x

= 72,0, x

= 71,8. Nale¿y oszacowaæ mierzony

opór R za pomoc¹ redniej arytmetycznej x i podaæ niepewnoæ tej oceny wyra¿on¹

przez po³owê przedzia³u ufnoci t(n,p)s

przyjmuj¹c poziom ufnoci p = 0,6827.

Korzystaj¹c ze wzorów (2.6) i (2.10) otrzymujemy x = 72

Ω

oraz s

= 0,108

Ω

a z tabeli 2.10 odczytujemy t(4, 0,6287) = 1,197.

W takim razie po³owa przedzia³u ufnoci wynosi

t(4, 0,6187)s

= 1,197·0,108

Ω

= 1,293

Ω

Poszukiwan¹ niepewnoci¹ oceny x = 78

Ω

mierzonego oporu R, odpowiadaj¹-

c¹ poziomowi ufnoci p = 0,6827, jest wielkoæ 1,293

Ω

2.3.2. Okrelanie niepewnoci na podstawie klasy przyrz¹dów

W przypadku pomiarów, których celem jest wyznaczenie zale¿noci miêdzy dwo-

ma lub wiêksz¹ liczb¹ wielkoci fizycznych czêsto brak jest czasu na to, by dla ka¿-

dego punktu pomiarowego wykonaæ odpowiednio du¿¹ liczbê pomiarów umo¿liwia-

j¹c¹ obliczenie wartoci redniej oraz niepewnoci pomiaru poszczególnych wiel-

koci. Podobna sytuacja ma miejsce w przypadku pomiarów wykonywanych w wa-

runkach dynamicznych (zmieniaj¹cych siê w czasie prowadzenia dowiadczeñ), np.

pomiary zale¿noci oporu metalu lub pó³przewodnika od temperatury. Czêsto wska-

zania mierników powtarzaj¹ siê i wykonywanie serii pomiarowej jest niemo¿liwe.

W takich przypadkach korzystamy z pojêcia klasy przyrz¹du pomiarowego oznacza-

nej symbolem kl.

Klasa przyrz¹du pomiarowego

kl jest to wyra¿ona w procentach wartoæ

bezwzglêdna ze stosunku maksymalnego dopuszczalnego na danym zakresie po-

miarowym b³êdu pomiaru

∆

max

do zakresu pomiarowego Z:

100

max

∆

(2.60)

Aby obliczyæ maksymaln¹ niepewnoæ (b³¹d) bezwzglêdn¹ pomiaru wykonane-

go za pomoc¹ miernika o znanej klasie, nale¿y skorzystaæ z równania

100

max

∆

(2.61)

Klasa miernika jest podawana obok jego skali (dotyczy wiêkszoci mierników

analogowych) lub w instrukcji obs³ugi.

Na niepewnoæ pomiaru obliczon¹ na podstawie klasy miernika sk³adaj¹ siê za-

równo niepewnoci systematyczne jak i niepewnoci przypadkowe. Nale¿y podkre-

liæ, ¿e klasa miernika jest podana dla warunków pomiaru okrelonych w instrukcji

obs³ugi, np. dla danego zakresu temperatur lub wilgotnoci, pionowego lub pozio-

mego ustawienia miernika, okrelonego oporu doprowadzeñ itp.

Korzystaj¹c z mierników analogowych o zmiennych zakresach nale¿y dobie-

raæ zakres pomiarowy tak, aby wskazówka znajdowa³a siê (o ile jest to mo¿li-

we) powy¿ej 2/3 skali. Zakresy pomiarowe mierników analogowych s¹ tak dobie-

rane, aby spe³nienie tego zalecenia by³o mo¿liwe.

Aby uzasadniæ przedstawione wy¿ej zalecenie, przypuæmy, ¿e mierzymy pr¹d

o natê¿eniu I = 5 mA za pomoc¹ miliamperomierza klasy 0,5 na zakresie 100 mA.

Maksymalna niepewnoæ pomiaru obliczona na podstawie klasy miernika

mA,

100

max

⋅

∆

a maksymalna niepewnoæ wzglêdna

%max

= 10%. Je¿eli pomiar wykonamy na za-

kresie 10 mA, to

∆

max

= 0,05 mA a

%max

= 1%.

Korzystaj¹c z mierników elektrycznych nale¿y oprócz wyników pomiarów,

zanotowaæ zakresy, na których wykonano pomiary oraz klasê miernika. Bez tych

danych nie bêdziemy w stanie oszacowaæ niepewnoci pomiarów!

2.3.3. Niepewnoci pomiarów mierników cyfrowych

Niepewnoæ pomiaru wykonanego miernikiem cyfrowym sk³ada siê

z niepewnoci przetwarzania uk³adów analogowych miernika (np. nieliniowoci

wzmacniacza) oraz niepewnoci dyskretyzacji. Aby wyjaniæ pojêcie niepewnoci

dyskretyzacji, zwróæmy uwagê na to, ¿e korzystaj¹c z mierników analogowych (wska-

zówkowych) jestemy w stanie odczytaæ wynik z wiêksz¹ dok³adnoci¹ ni¿ dok³ad-

noæ dzia³ek elementarnych (mo¿emy stwierdziæ, ¿e wskazówka znajduje siê w po-

³o¿eniu odpowiadaj¹cym np. 15,5 dzia³ek skali). Odczytuj¹c wynik z wywietlacza

miernika cyfrowego nie mamy takiej mo¿liwoci, poniewa¿ istnieje pewien zakres

sygna³ów wejciowych, dla których wskazania wywietlacza s¹ takie same. Niepew-

noæ wynikaj¹c¹ z dyskretnoci miernika nazywamy niepewnoci¹ dyskretyzacji lub

rozdzielczoci¹ miernika oznaczana dalej za pomoc¹ symbolu rozdz.

Niepewnoæ przetwarzania mierników cyfrowych podawana jest w procentach

wartoci mierzonej x i nazywana czêsto klas¹ miernika. Klasê miernika cyfrowego

bêdziemy oznaczaæ przez kl

(w celu odró¿nienia od klasy miernika analogowego).

Niepewnoæ pomiaru miernika cyfrowego obliczamy korzystaj¹c ze wzoru

100

max

rozdz

∆

(2.62)

Nale¿y zaznaczyæ, ¿e rozdzielczoæ miernika cyfrowego zale¿y od zakresu po-

miarowego.

Dodajmy, ¿e odchylenie standardowe u miernika cyfrowego, wynikaj¹ce z dyskre-

tyzacji wynosi

rozdz

(2.63)

Przyk³ad 10

Mierz¹c napiêcie za pomoc¹ woltomierza cyfrowego klasy 0,05 odczytano z wy-

wietlacza wynik U = 225,3 V. Obliczyæ maksymaln¹ niepewnoæ

∆

max

pomiaru

napiêcia. Rozdzielczoæ miernika rozdz = 0,1V. Korzystaj¹c z wzoru (2.62) otrzy-

mujemy

)

11265

(

225

100

max

≈

∆

Klasa mierników cyfrowych jest podawana w instrukcji obs³ugi (w laboratorium

studenckim jest podana w instrukcji roboczej do danego stanowiska).

2.4. Zaokr¹glanie i zapis wyników pomiarów

oraz ich niepewnoci

Wynik pomiaru powinien informowaæ o wartoci wielkoci zmierzonej, jed-

nostkach w jakich jest ta wielkoæ podana oraz dok³adnoci z jak¹ zosta³a wy-

znaczona. Bez tych informacji wynik jest bezwartociowy!

Obliczaj¹c wartoæ redni¹ x oraz eksperymentalne odchylenie standardowe

(2.10) redniej arytmetycznej s otrzymujemy zwykle liczby wielocyfrowe (zw³aszcza

gdy korzystamy z pomocy kalkulatora lub komputera). Mo¿na zapytaæ, czy poda-

wanie wszystkich cyfr jest sensowne?

Przypomnijmy, ¿e odchylenie standardowe s okrela przedzia³ wartoci wielko-

ci mierzonej, w którym wartoæ rzeczywista znajduje siê z prawdopodobieñstwem

68,2%, natomiast w przedziale trzykrotnie wiêkszym wartoæ rzeczywista znajduje

siê prawie na pewno (patrz podrozdzia³y 2.2.9 i 2.2.12). Dochodzimy do wniosku,

¿e sens fizyczny maj¹ najwy¿ej dwie pierwsze cyfry znacz¹ce niepewnoci po-

miaru. Podawanie wartoci zmierzonej z dok³adnoci¹ wiêksz¹ ni¿ dok³adnoæ nie-

pewnoci jest pozbawione sensu.

2.4.1. Zaokr¹glanie wartoci niepewnoci pomiaru

Podczas zaokr¹glania wartoci niepewnoci pomiarów stosujemu nastêpuj¹ce za-

sady:

1. Niepewnoci zaokr¹glamy zawsze w górê.

2. Wstêpnie niepewnoci zaokr¹glamy do jednej cyfry znacz¹cej.

3. Je¿eli wstêpne zaokr¹glenie wartoci niepewnoci powoduje wzrost jej

wartoci o wiêcej ni¿ 10%, to niepewnoæ zaokr¹glamy z dok³adnoci¹ do dwóch

cyfr znacz¹cych.

Sposób zaokr¹glania niepewnoci przedstawimy na przyk³adach.

Przyk³ad 11

W wyniku obliczeñ eksperymentalnego odchylenia standardowego redniej aryt-

metycznej uzyskano wynik s = 0,0185421. Zaokr¹glaj¹c ten wynik z dok³adnoci¹

do jednej cyfry znacz¹cej otrzymujemy s

≈

0,02. Wzglêdna zmiana wartoci niepew-

noci wynosi (0,020 0185)/0,0185 = 0,08, a wiêc mniej ni¿ 10%. Zaokr¹glenie jest

dobre, niepewnoæ zapisujemy jako s = ±0,02.

Przyk³ad 12

Wartoæ niepewnoci s uzyskana z obliczeñ wynosi 254,495. Zaokr¹glaj¹c wy-

nik do pe³nej liczby setek otrzymamy s = 300. Wzglêdna zmiana wartoci niepew-

noci jest równa (300 254)/254 = 0,18, czyli wiêcej ni¿ 10%. Zgodnie z podanymi

powy¿ej zasadami musimy zaokr¹glenie przeprowadziæ dla cyfry dziesi¹tek, pozo-

stawiaj¹c cyfrê setek bez zmian. W ten sposób zaokr¹glona poprawnie wartoæ nie-

pewnoci s = ±260.

2.4.2. Zaokr¹glanie wyników pomiarów

Na wstêpie podajemy podstawow¹ dla procesu zaokr¹glania wyników pomiarów

regu³ê:

Ogóln¹ zasad¹ obowi¹zuj¹c¹ podczas zaokr¹glania wyników pomiarów jest

podawanie tych wyników z dok³adnoci¹ do miejsca, na którym wystêpuje ostat-

nia znacz¹ca cyfra niepewnoci pomiaru.

Przypuæmy, ¿e obliczaj¹c redni¹ arytmetyczn¹ wielkoci, której niepewnoæ roz-

patrywalimy w przyk³adzie pierwszym, uzyskano wynik x = 1,245467. Niepewnoæ

pomiaru by³a równa 0,02. Wynik zaokr¹glamy z dok³adnoci¹ do dwóch miejsc po

przecinku i uwzglêdniaj¹c niepewnoæ, zapisujemy x = 1,25±0,02.

Za³ó¿my, ¿e w przyk³adzie 12 uzyskano najbardziej wiarygodn¹ wartoæ wiel-

koci mierzonej

x = 14521,985, niepewnoæ po zaokr¹gleniu by³a równa 260, wy-

nik pomiaru wraz z niepewnoci¹ zapisujemy jako x = 14520±260. Jest to jednak

trochê myl¹cy zapis, o czym bêdzie mowa na wstêpie nastêpnego podrozdzia³u.
Uwaga! Podawanie zbêdnych cyfr zarówno w wynikach pomiarów, jak i wartociach

niepewnoci nie wiadczy o skrupulatnoci obliczaj¹cego, lecz o niezrozumieniu pod-

staw analizy niepewnoci pomiarów!

2.4.3. Zapisywanie wyników pomiarów oraz ich niepewnoci

Zalecane s¹ cztery sposoby zapisu wyników pomiarów oraz ich niepewnoci. Spo-

soby te przedstawimy na przyk³adach. Przypuæmy, ¿e opracowuj¹c wyniki pomia-

rów uzyskalimy x = 14520 z odchyleniem standardowym 260, dla innego pomiaru

= 12,02248, a z³o¿ona niepewnoæ standardowa (patrz rozdzia³ 2.6) tej oceny u =

0,00025.
1. x = 14520 z odchyleniem standardowym redniej 260,

z = 12,02248 ze z³o¿on¹ niepewnoci¹ standardow¹ 0,00025.

2. x = 14520(260), gdzie liczba w nawiasie oznacza odchylenie standardowe re-

dniej,
z = 12,02248(25), gdzie liczba w nawiasie oznacza z³o¿on¹ niepewnoæ standar-

dow¹.

3. x = 14520(260), gdzie liczba w nawiasie oznacza odchylenie standardowe re-

dniej,
z = 12,02248(0,00025), gdzie liczba w nawiasie oznacza z³o¿on¹ niepewnoæ stan-

dardow¹.

4. x = 14520 ± 260, gdzie liczba po znaku ± oznacza odchylenie standardowe re-

dniej,
z = 12,02248 ± 0,00025 gdzie liczba po znaku ± oznacza z³o¿on¹ niepewnoæ stan-

dardow¹.
Jak widaæ, we wszystkich sposobach zapisu wyników istotne jest okrelenie ro-

dzaju niepewnoci pomiaru. W laboratorium studenckim, ze wzglêdu na tradycjê po-

lecamy czwarty sposób.

Nale¿y zwróciæ uwagê na pierwszy przyk³ad wyniku zapisany czwartym sposobem.

Wynik pomiaru x = 14520±260 mo¿e sugerowaæ, ¿e zero jest cyfr¹ dok³adn¹, a tak

nie jest. Lepiej jest zapisaæ ten wynik w postaci wyk³adniczej x = (14,52±0,26)·10

korzystaj¹c tylko z cyfr uwa¿anych za wiarygodne (znacz¹ce). Czêsto wygodnie jest

podawaæ wynik dobieraj¹c odpowiednie jednostki. Je¿eli omawiany wynik by³by od-

leg³oci¹ wyra¿on¹ w metrach, to zamiast pisaæ x = (14,52±0,26)·10

m, mo¿emy po-

daæ jego wartoæ w kilometrach x = (14,52±0,26)

km.

2.5. Odrzucanie wyników pomiarów

Czytanie tego rozdzia³u polecamy tylko zainteresowanym; mo¿na go traktowaæ

jako dodatek i opuciæ podczas pierwszego czytania.

Mo¿e siê zdarzyæ, ¿e wiêkszoæ wyników pomiarów le¿y w pobli¿u wartoci re-

dniej, a jeden lub kilka (niewiele w stosunku do liczby pomiarów w serii) znacznie

odbiega od tej wartoci. Przyk³ad mierz¹c ró¿nicê temperatur uzyskalimy nastê-

puj¹ce wyniki: 3,5; 3,9; 3,9; 3,4; 1,8 K. Rezultatem znacznie odbiegaj¹cym od po-

zosta³ych (z³ym wynikiem) jest 1,8 K.

Pojawia siê nastêpuj¹cy dylemat. Uwzglêdniaj¹c z³y wynik popsujemy war-

toæ redniej arytmetycznej

x wielkoci mierzonej, natomiast eksperymentalne od-

chylenie standardowe (2.10) redniej arytmetycznej s bêdzie zawy¿one (uwzglêdnie-

nie z³ego pomiaru bêdzie mia³o decyduj¹cy wp³yw na wartoæ wyznaczanej nie-

pewnoci). Z drugiej jednak strony, chcemy byæ uczciwi (chcemy unikn¹æ zarzutu

o naci¹ganiu wyników pomiarów). W takim przypadku najprociej by³oby wie-

lokrotnie powtórzyæ pomiary i sprawdziæ, czy z³y wynik powtarza siê co pewien

czas (wystêpuje z pewnym prawdopodobieñstwem), czy te¿ nie. Po wykonaniu d³u-

giej serii pomiarów uwzglêdnienie z³ego wyniku (nawet jeli jest on naprawdê z³y)

ma minimalny wp³yw na wynik koñcowy i dylemat przestaje istnieæ. Inaczej wygl¹da

sytuacja, gdy brakuje nam czasu na uzupe³nienie pomiarów lub gdy z³y wynik za-

uwa¿ylimy po wyjciu z laboratorium. W takiej sytuacji decyzja nale¿y do nas.

Aby rozstrzygn¹æ problem powinnimy obliczyæ redni¹ arytmetyczn¹ z se-

rii pomiarów oraz odchylenie standardowe a nastêpnie sprawdziæ (korzystaj¹c

z wykresu funkcji Gaussa lub tabeli 2, zamieszczonej w dodatku), jakie jest praw-

dopodobieñstwo wyst¹pienia wyniku obarczonego tak du¿ym odchyleniem od

redniej.

Wartoæ redniej arytmetycznej przytoczonej na wstêpie serii pomiarów jest rów-

na 3,4 K a s = 0,8. Wynik 1,8 K jest odleg³y od redniej arytmetycznej o prawie 2s.

Prawdopodobieñstwo wyst¹pienia wyniku ró¿ni¹cego siê od wartoci redniej o wiê-

cej ni¿ 2

σ ≅

2s wynosi oko³o 5% (patrz rys. 2.4 lub tabela 2). Je¿eli wyniki serii

pomiarowej podlegaj¹ rozk³adowi normalnemu, to rednio jeden na dwadzie-

cia wyników pomiarów powinien ró¿niæ siê od wartoci redniej o wiêcej ni¿

. W serii z³o¿onej z szeciu pomiarów tylko k=1/3 wyników powinna spe³-

niaæ wymieniony wy¿ej warunek (5% z 6 pomiarów to 0,3, czyli oko³o 1/3 pomia-

ru). Z przytoczonych rozwa¿añ wynika, ¿e prawdopodobieñstwo uzyskania tak z³e-

go wyniku (1,8 K) jest bardzo ma³e, dlatego te¿ wynik ten wykluczamy. Kryterium

odrzucenia stanowi nierównoæ k < 1/2 (mniej ni¿ 1/2 wyniku) kryterium Chau-

veneta (czytaj szowene).

Aby sformu³owaæ kryterium Chauveneta, przypuæmy, ¿e wykonalimy seriê n

pomiarów pewnej wielkoci X, uzyskuj¹c wyniki x

, x

, ..., x

. Korzystaj¹c ze wszy-

stkich wyników, obliczamy redni¹ arytmetyczn¹

x (2.55) oraz wartoæ odchylenia

standardowego s (wzór (2.10) lub (2.56)). Je¿eli jeden z wyników znacznie ró¿ni siê

od pozosta³ych, nazwiemy go wynikiem podejrzanym i oznaczymy przez x

pod

. Obli-

czamy wspó³czynnik podejrzenia

pod

−

(2.64)

Wspó³czynnik ten jest liczb¹ okrelaj¹c¹ ile razy niepewnoæ podejrzanego wy-

niku jest wiêksza od odchylenia standardowego obliczonego dla danej serii pomia-

rowej, czyli o ile odchyleñ standardowych s podejrzany wynik

pod

ró¿ni siê od war-

toci x.

Korzystaj¹c z tabeli 2 zamieszczonej w dodatku, okrelamy prawdopodobieñstwo

P tego, ¿e wynik bêdzie siê ró¿ni³ od wartoci

x o wiêcej ni¿ w

pod

s odchyleñ stan-

dardowych (x

traktujemy jako wartoæ rzeczywist¹, a s jako odchylenie standardo-

). Mno¿¹c prawdopodobieñstwo

P przez liczbê pomiarów n, otrzymamy spodzie-

wan¹ liczbê

k pomiarów gorszych od podejrzanego

k = Pn.

(2.65)

Je¿eli obliczona w ten sposób wartoæ k jest mniejsze od 1/2, to podejrzany

wynik

pod

, zgodnie z kryterium Chauveneta, zostaje odrzucony.

Dalsze opracowanie danych polega na obliczeniu wartoci redniej arytmetycz-

nej oraz odchylenia standardowego redniej arytmetycznej, na podstawie rezultatów,

z których odrzucilimy wynik z³y (nieprawdopodobny). Poniewa¿ liczba wyników

zmniejszy³a siê do piêciu, podczas szacowania niepewnoci redniej kwadratowej

nale¿a³oby skorzystaæ ze wspó³czynników Studenta.

Przedstawiony sposób postêpowania mo¿na powtórzyæ w odniesieniu do kolej-

nego podejrzanego wyniku. Warto jednak ostrzec przed nadu¿ywaniem tej procedury

i zwróciæ uwagê na to, ¿e z³e wyniki pomiarów doprowadzi³y do wielu fundamen-

talnych odkryæ.

2.6. Obliczanie niepewnoci pomiarów z³o¿onych

Omówione w rozdziale 2.2 sposoby statytstyczego obliczania niepewnoci doty-

czy³y pomiarów prostych, w trakcie których wartoci wielkoci mierzonych by³y od-

czytywane bezporednio ze skali przyrz¹dów pomiarowych. W wiêkszoci przypad-

ków wielkoæ fizyczna Y nie jest mierzona bezporednio, lecz wymaga zmierzenia

wielkoci fizycznych X

, X

, ..., X

, z którymi powi¹zana jest okrelon¹ relacj¹

Y = g(X

, X

, ..., X

(2.66)

Wielkoci X

, X

, ..., X

bêdziemy nazywali wielkociami wejciowymi, a Y

wielkoci¹ wyjciow¹.

Zale¿noæ funkcyjna okrelona wyra¿eniem (2.66) jest w praktyce laboratorium

studenckiego przedstawiona w postaci przejrzystego wzoru matematycznego.

Za³ó¿my, ¿e wielkoæ X

zmierzylimy n

razy, a symbol x

i,k

oznacza k-ty wynik

jej pomiaru. Wielkoæ Y (poprawnie wartoæ redni¹ wielkoci Y) mo¿na oceniæ

na wiele sposobów. Tutaj zaprezentujemy dwa z nich.

Pierwszy z nich polega na przyjêciu za ocenê

Y wartoci

(

)

,...,

(2.67)

gdzie

jest redni¹ arytmetyczn¹ wyników pomiarów i-tej wielkoci fizycznej X

tzn.

∑

Drugi sposób, który mo¿emy zastosowaæ, gdy

...

polega na

przyjêciu za ocenê

Y wartoci

∑

(2.68)

gdzie

(

)

,...,

Przyk³ad 13

Przypuæmy, ¿e mamy oceniæ pole przekroju drutu na podstawie pomiarów jego

rednicy. rednicê drutu wielkoæ wejciow¹ oznaczmy przez D, a pole prze-

kroju drutu wielkoæ wyjciow¹ przez P. Wielkoci

D i

P s¹ funkcjonalnie zwi¹-

zane relacj¹

Przypuæmy, ¿e d

, d

,..., d

oznaczaj¹ wyniki pomiarów rednicy, a d ich re-

dni¹ arytmetyczn¹, tzn.

...

Jeli zastosujemy pierwszy sposób oparty na wzorze (2.67), to ocen¹ pola prze-

kroju drutu jest

( )

a jeli drugi, oparty na wzorze (2.68), to

...















Przyk³ad 14

Przypuæmy, ¿e zadaniem pomiarowym jest ocena objêtoci próbki pewnego

materia³u w kszta³cie prostopad³ocianu. Jeli A, B i C reprezentuj¹ odpowiednio

wyniki pomiarów d³ugoci, szerokoci i wysokoci prostopad³ocianu, to

V = ABC.

(2.69)

Jeli

a oznacza redni¹ arytmetyczn¹ pomiarów d³ugoci a

, ..., a

, b redni¹ aryt-

metyczn¹ pomiarów szerokoci b

, b

, ..., b

, a c redni¹ arytmetyczn¹ pomiarów

wysokoci c

, c

, ..., c

, to ocen¹ objêtoci prostopad³ocianu wed³ug wzoru (2.67)

jest iloczyn abc, a wed³ug wzoru (2.68) wielkoæ

(

)

...

Niepewnoæ oceny wielkoci wyjciowej

Y nazywamy niepewnoci¹ z³o¿on¹

i oznaczamy symbolem u

. Sposób jej obliczania zale¿y od tego, czy wielkoci wej-

ciowe X

, X

, ... , X

bêdziemy traktowaæ jako wielkoci nieskorelowane, czy

jako skorelowane.

2.6.1. Nieskorelowane wielkoci wejciowe

Jeli wielkoci X

, X

, ... , X

s¹ nieskorelowane, to niepewnoæ z³o¿on¹

ceny

(2.67) wielkoci

Y wyznacza siê na podstawie wzoru

( )

...









∂









∂









∂

(2.70)

gdzie

∂

(i = 1, 2,..., n) oznaczaj¹ odpowiednio odchylenie standardowe

redniej

(patrz rozdzia³y 2.2.1 i 2.3) i wartoæ pochodnej cz¹stkowej funkcji (2.66)

w punkcie

)

,...,

(

Pos³uguj¹c siê symbolem sumy wzór (2.70) mo¿emy zapisaæ w bardziej zwartej

postaci

( )

∑













∂

(2.71)

W przypadku, gdy miêdzy wielkoci¹ wyjciow¹ Y a wielkociami wejciowy-

mi zachodzi zale¿noæ liniowa

....

(2.72)

gdzie a

, a

,..., a

s¹ znanymi wspó³czynnikami, to ocena wielkoci Y zgodnie z wzo-

rem (2.67) przyjmuje postaæ

...

(2.73)

Ocena wielkoci Y oparta na wzorze (2.68) ma w tym przypadku tak¹ sam¹ po-

staæ, poniewa¿

(

)

∑

...

Jeli wielkoæ wyjciowa zale¿y liniowo od wielkoci wejciowych (patrz (2.72)),

∂

i niepewnoæ z³o¿ona (2.70) oceny (2.73) przyjmuje postaæ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

...

(2.74)

Jeli zale¿noæ miêdzy wielkoci¹ wyjciow¹ i wielkociami wejciowymi wy-

ra¿a relacja

( ) ( ) ( )

...

(2.75)

tzn. wielkoæ wyjciowa jest iloczynem potêg wielkoci wejciowych, gdzie c>0,

a a

, a

, ..., a

s¹ znanymi liczbami (ró¿nymi od zera), to niepewnoæ z³o¿ona oceny

wielkoci Y

(obliczona wed³ug wzoru (2.70), przy za³o¿eniu, ¿e x

> 0)

( ) ( ) ( )

...

wyra¿a siê wzorem

( )

...

























(2.76)

Aby otrzymaæ (2.76) nale¿y obliczyæ pochodne cz¹stkowe funkcji

(

) ( ) ( ) ( )

...

,...,

w punkcie

)

,...,

(

i wstawiæ do wzoru (2.71). Naj³atwiej obliczyæ pochodn¹

stosuj¹c metodê pochodnej logarytmicznej, tzn. obliczyæ pochodne cz¹stkowe funkcji

...

Poniewa¿

( )

∂

to pochodne cz¹stkowe funkcji

g obliczone w punkcie

)

,...,

(

s¹ nastêpuj¹-

cej postaci

∂

i = 1, 2, ..., n.

Po podstawieniu do (2.70) otrzymujemy wzór (2.76).

Przyk³ad 15 (cd. przyk³adu 13)

Poniewa¿ w rozpatrywanym przypadku n = 1, przeto niepewnoæ z³o¿ona (2.70)

oceny

(d)

/4 wyra¿a siê wzorem

gdzie

(

)

(

)

∑

−

Jeliby wykonano 10 pomiarów rednicy, a wyniki by³yby takie jak w drugiej

kolumnie tabeli 2.11, to ocena pola przekroju drutu wynosi³aby (

/4)(1,799 mm)

2,542 mm

, a z³o¿ona niepewnoæ standardowa (

/2)1,799 mm · 0,433·10

mm =

1,223 ·10

Przyk³ad 16 (cd. przyk³adu 14)

Poniewa¿ w tym przypadku zale¿noæ funkcyjna (2.69) jest postaci (2.75), to z³o-

¿on¹ niepewnoæ standardow¹ u

oceny objêtoci

V obliczamy wed³ug wzoru (2.76)

i otrzymujemy

( )





































(2.77)

gdzie

oraz

oznaczaj¹ odpowiednio odchylenia standardowe rednich a,

b i c.

W tabeli 2.11 zawarte s¹ wyniki dziesiêciokrotnych pomiarów boków próbki

materia³u.

Na podstawie tych pomiarów nale¿y oceniæ objêtoæ tej próbki i podaæ, przyj-

muj¹c, ¿e rednie arytmetyczne a, b i c s¹ nieskorelowane, niepewnoæ z³o¿on¹ uzy-

skanej oceny. Za³o¿enie to jest w pe³ni uzasadnione, gdy pomiary d³ugoci, szero-

koci i wysokoci próbki wykonano niezale¿nie od siebie. Ocena objêtoci prób-

ki wynosi

abc

= 70,09 mm·80,05 mm·100,12 mm = 561743,7345 mm

Z³o¿on¹ niepewnoæ standardow¹

u obliczamy wed³ug wzoru (2.77). Podstawia-

j¹c odpowiednie liczby podane w tabeli otrzymujemy u

= 938,9826 mm

. Uzyska-

ny wynik mo¿emy zapisaæ w postaci 561743,7345±938,9826 mm

, lub po zaokr¹-

gleniu, w postaci V = (562000±1000) mm

= (562±1)·10

który okrela wyznaczon¹ dowiadczalnie ocenê objêtoci V i jej dok³adnoci.

2.6.2. Skorelowane wielkoci wejciowe

Jeli X

, X

, ... , X

s¹ skorelowane i jeli m

= m

=...= m

= m, to z³o¿on¹

niepewnoæ standardow¹

oceny (2.67) wielkoci wyjciowej

Y wyznaczamy ze

wzoru

( )

∑ ∑

∑

−

∂













∂

(2.78)

Tabela 2.11

Nr pomiaru

a [mm]

b [mm]

c[mm]

70,1

79,8

100,2

70,2

80,1

100,9

69,8

80,3

100,3

70,4

79,7

99,7

70,2

80,2

100,4

69,8

80,1

99,8

70,3

80,3

100,1

70,2

79,9

99,9

69,9

80,0

99,8

70,0

80,1

100,1

Suma

700,8

800,5

1001,2

rednia

arytmetyczna

a = 70,09

= 80,05

c = 100,12

Odchylenie

standardowe

≅

0,208

≅

0,201

≅

0,358

Odchylenie

standardowe

redniej

066

064

113

gdzie

oraz

∂

oznaczaj¹ to samo co we wzorze (2.70), a

(

)

(

)

(

)

(

)

∑

−

(2.79)

Czytelników zainteresowanych uzasadnieniem wzorów (2.70) i (2.78) okrela-

j¹cych z³o¿one niepewnoci standardowe odsy³amy do rozdzia³u 13 podrêcznika [5] oraz

do opracowania [1].

Przyk³ad 17

Opór R, reaktancja X i zawada

Z pewnego obwodu elektrycznego pr¹du zmien-

nego wyra¿aj¹ siê poprzez amplitudy napiêcia V i natê¿enia I pr¹du zmiennego oraz

przesuniêcie fazowe

(

, V i I s¹ wielkociami wejciowymi, a wielkociami wyj-

ciowymi s¹: R, X i Z) prawami Ohma postaci:

sin

cos

Nale¿y oszacowaæ opór R, reaktancjê

X oraz zawadê

Z na podstawie piêciokrot-

nego równoczesnego pomiaru napiêcia V, natê¿enia

I oraz przesuniêcia fazowego

Wyniki pomiarów s¹ zebrane w tabeli 2.12.

Poniewa¿ pomiary wielkoci wejciowych wykonuje siê równoczenie, to powin-

no siê je traktowaæ jako wielkoci skorelowane i niepewnoci wielkoci wyjcio-

Tabela 2.12

k-numer pomiaru

V [V]

I [mA]

[rad]

5,007

19,663

1,0456

4,994

19,639

1,0438

5,005

19,640

1,0468

4,990

19,685

1,0428

4,999

19,678

1,0433

rednia

arytmetyczna

9990

6610

19,

= 1,04446

Odchylenie

standardowe

redniej

0032

0095

00075

Wspó³czynnik

korelacji

−

wych obliczaæ wed³ug wzoru (2.78). W zwi¹zku z tym nale¿y obliczyæ, oprócz re-

dnich arytmetycznych i odchyleñ standardowych rednich, tak¿e wspó³czynniki ko-

relacji wed³ug wzoru (2.79). Wszystkie te wielkoci zosta³y zamieszczone tak¿e

w tabeli 2.12.

W drugiej kolumnie tabeli 2.13 zamieszczono oceny oporu R, reaktancji

i zawady

Z, a w trzeciej odpowiadaj¹ce im standardowe niepewnoci z³o¿one u

i u

obliczone wed³ug wzoru (2.78).

Przyk³ad 18 (cd. przyk³adu 17)

Dla przyk³adu wyprowadzimy wzór na niepewnoci u

. Jeli

( )

, to

( )

−

∂

Zatem, stosuj¹c wzór (2.78), otrzymujemy

(

)

362

6610

0095

9990

0032

6610

0095

9990

0032

254

Ω

⋅

−













































−





















−

Tabela 2.13

Zale¿noæ miêdzy ocen¹

wielkoci wyjciowej

a ocenami wielkoci wejcio-

wych V

, I,

Ocena

obliczona na

podstawie wyników

pomiarów [

Ω

]

Standardowa niepewnoæ-

z³o¿ona u

obliczona na

podstawie wyników

pomiarów

=R = 127,732

=X = 219,847

=Z = 254,260

= 0,071

Ω

/R = 6,0·10

= 0,295

Ω

/X = 13,0·10

= 0,236

Ω

/Z = 9,0·10

cos

sin

czyli z³o¿ona niepewnoæ standardowa oceny zawady 254,26

Ω

wynosi 0,236

Ω

W podobny sposób otrzymujemy dwie pozosta³e niepewnoci u

, u

Druga metoda oceny wielkoci wyjciowych R, X i Z wynikaj¹ca ze wzoru (2.68)

sprowadza siê do obliczenia R

, X

oraz Z

dla ka¿dej trójki równoczesnych pomia-

rów V

oraz

, i = 1, 2, 3, 4, 5, a nastêpnie obliczenia rednich R,

X oraz Z. Wyni-

ki tych obliczeñ zawarte s¹ w tabeli 2.14.

Tabela 2.14

k-numer pomiaru

cos

sin

[

Ω

]

[

Ω

]

[

Ω

]

127,67

220,32

254,64

127,89

219,79

254,29

127,51

220,64

254,84

127,71

218,97

253,49

127,88

219,51

254,04

rednia

arytmetyczna

732

127,

847

219,

Z = 254,260

Odchylenie

standardowe

redniej

071

295

236

Wielkoci R, X i Z s¹ skorelowane; ich wspó³czynniki korelacji wynosz¹:

588

−

485

−

993

W tym przypadku obie metody daj¹ po zaokr¹gleniu do 3 miejsca po przecinku

te same oceny wielkoci R, X i Z. Równie¿ u

≈

, u

≈

oraz u

≈

Przedstawiony sposób obliczania niepewnoci mo¿e byæ uzasadniony

w tych przypadkach, kiedy pomiary wykonuje siê w grupach obejmuj¹cych wielko-

ci V, I oraz

. Nie mo¿na go zastosowaæ, jeli wykonuje siê n

pomiarów napiêcia

V, n

pomiarów natê¿enia I oraz n

pomiarów fazy

, a

≠

Przyjêcie dodatkowego za³o¿enia, ¿e korelacje s¹ równe zeru, mo¿e prowadziæ

do innych wyników.

2.6.2.1. Obliczanie niepewnoci metod¹ ró¿niczki zupe³nej

W tym rozdziale podamy jeszcze jeden wzór, wed³ug którego oblicza siê niepew-

noæ z³o¿on¹.

Mo¿na go stosowaæ zarówno do skorelowanych jak i do nieskorelowanych

wielkoci wejciowych.

Dlatego jest najczêciej stosowany w praktyce laboratorium studeckiego.

Oznaczmy odpowiednio przez x

, x

, ..., x

oceny wielkoci wejciowych wiel-

koci fizycznych X

, X

, ..., X

, a przez u

, u

, ..., u

niepewnoci tych ocen. Jeli

Y = g(X

, X

, ..., X

), to niepewnoæ u

oceny y = g(x

, x

, ..., x

) wielkoci Y, mo¿e-

my okreliæ za pomoc¹ wzoru

...

∂

(2.80)

gdzie, jak poprzednio,

∂

oznacza wartoæ pochodnej cz¹stkowej funkcji

g w punkcie (x

, x

, ..., x

Aby uzasadniæ ten wzór mo¿na powo³aæ siê na wzór na ró¿niczkê zupe³n¹ funk-

cji

g, który ma nastêpuj¹c¹ postaæ

∂

...

Traktuj¹c przyrosty

jako niepewnoci oceny x

, a przyrost

dy jako niepewnoæ

oceny

Y oraz przyjmiemy najmniej korzystny uk³ad znaków (aby zmaksymalizowaæ

sumê po prawej stronie wzoru), to uzyskamy wzór (2.80).

Je¿eli obliczamy niepewnoæ z³o¿on¹ wed³ug wzoru (2.80), to mówimy, ¿e obli-

czamy j¹ metod¹ ró¿niczki zupe³nej.

W przypadku gdy wielkoæ wyjciowa jest iloczynem potêg wielkoci wejcio-

wych (zachodzi (2.75)), niepewnoæ oceny

( ) ( ) ( )

...

obliczana me-

tod¹ ró¿niczki zupe³nej przyjmuje postaæ

...















(2.81)

Jeli wielkoci wejciowe s¹ nieskorelowane, a niepewnociami u

, u

, ... , u

odchylenia standardowe

,...,

, to z³o¿ona niepewnoæ standardowa (2.71) nie

jest wiêksza od z³o¿onej niepewnoci (2.80), poniewa¿ zachodzi nierównoæ

∑

∂

≤













∂

Jeli natomiast wielkoci wejciowe s¹ skorelowane, to niepewnoæ (2.78) mo¿e

byæ mniejsza lub wiêksza od niepewnoci (2.80). Dodajmy, ¿e ocena niepewnoci

obliczona wed³ug wzorów (2.70) i (2.78) jest dok³adniejsza od oceny niepewnoci

obliczonej wed³ug wzoru (2.80).

Poni¿ej przedstawiamy kilka przyk³adowych obliczeñ z wykorzystaniem wzorów

(2.80) i (2.81).

Przyk³ad 19 (cd. przyk³adów 17 i 18)

Jeli zamiast wzoru (2.77) pos³u¿ymy siê wzorem (2.81), to niepewnoæ oceny

objêtoci próbki materia³u wyra¿a siê wzorem









Po podstawieniu wartoci podanych w tabeli 2.11 otrzymujemy

6804

1609

100

113

064

066

100









⋅

Poprzedni wynik 938,9826 m

, uzyskany za pomoc¹ wzoru (2.70), jest bli¿szy

odchyleniu standardowemu oceny objêtoci ni¿ wynik 1609,6804 m

uzyskany me-

tod¹ ró¿niczki zupe³nej.

Przyk³ad 20

Przypuæmy, ¿e chcemy wyznaczyæ z³o¿on¹ niepewnoæ (niepewnoæ oceny)

oporu zmierzonego za pomoc¹ mostka Wheastonea. Wartoæ oporu obliczamy ko-

rzystaj¹c z równania

gdzie: R

= (100±1)

Ω

oznacza opór normalny, natomiast l

= (450±2) mm

i l

= (1000±5) mm oznaczaj¹ d³ugoci ramion mostka (oporów liniowych) odpo-

wiadaj¹cych równowadze mostka. Przyjmuj¹c za wartoci mierzonych wielkoci fi-

zycznych R

= 100

Ω

, l

= 450 mm, l

= 1000 mm otrzymujemy R

= 45

Ω

. Aby wy-

znaczyæ niepewnoæ (2.80) tej oceny obliczamy pochodne cz¹stkowe

−

∂

Korzystaj¹c z (2.80) otrzymujemy

−

Po zast¹pieniu ró¿niczki wielkoci prostych niepewnociami pomiarów oraz

wprowadzeniu wartoci bezwzglêdnych do sk³adników sumy po prawej stronie ostat-

niego równania, otrzymamy na niepewnoæ oceny oporu R

= 45

Ω

wzór

Podstawiaj¹c wartoci liczbowe otrzymamy u

= (0,45 + 0,2 + 0,225)

Ω

= 0,875

Ω

gdzie za wartoci niepewnoci przyjêto: u

= 1

Ω

, u

= 2 mm, u

= 5 mm. Po zao-

kr¹gleniu wartoæ niepewnoæ u

jest równa 1

Ω

Warto w tym miejscu zwróciæ uwagê na to, ¿e zapis sk³adników sumy wystêpu-

j¹cych w ostatnim wzorze umo¿liwia ocenê wk³adu wnoszonego przez niepewno-

ci poszczególnych pomiarów prostych wielkoci do niepewnoci pomiaru z³o¿onego.

Analiza wp³ywu poszczególnych czynników na dok³adnoæ pomiarów jest

bardzo istotn¹ czêci¹ dyskusji uzyskanych wyników i wniosków z æwiczenia.

Przyk³ad 21

Wykonalimy pomiary zale¿noci oporu od temperatury dla pó³przewodnika.

Naszym zadaniem jest narysowanie wykresu we wspó³rzêdnych (y = lnR, x = 1/T).

Przypuæmy, ¿e wyniki odpowiadaj¹ce jednemu z punktów pomiarowych maj¹ na-

stêpuj¹ce wartoci: R = (165±1)

Ω

, T = (300,4±0,5) K, u

= 1

Ω

, u

= 0,5. Wielko-

ci, które nale¿y nanieæ na wykres nie s¹ wielkociami mierzonymi bezporednio,

lecz funkcjami wielkoci mierzonych. Niepewnoæ z jak¹ zosta³a wyznaczona war-

toæ y = lnR obliczamy w bardzo prosty sposób (tym razem y jest funkcj¹ tylko jed-

nej zmiennej)

( )

∂

Podstawiaj¹c wartoæ niepewnoci u

= 1

Ω

otrzymujemy u

= u

/R = 1/165. Warto

zwróciæ uwagê na to, ¿e niepewnoæ wyznaczenia

/R zale¿y od wartoci R i male-

je ze wzrostem R (nawet wtedy, gdy wszystkie wartoci R zmierzone zosta³y tym

samym miernikiem i na tym samym zakresie!).

Podobnie postêpujemy szacuj¹c niepewnoæ z jak¹ wyznaczono x = 1/T













∂

Po podstawieniu wartoci liczbowych otrzymujemy u

= u

≅

6·10

. Jak wi-

dzimy, ponownie wartoæ niepewnoci wielkoci wyznaczanej zale¿y od wartoci

wielkoci mierzonej.

Przyk³ad 22

W wielu przypadkach zachodzi potrzeba wyznaczenia niepewnoci wielkoci bêd¹-

cych ró¿nic¹ wartoci mierzonych, np. zmiany d³ugoci l

lub temperatury T

Podobnie jak w poprzednim przyk³adzie, obliczamy ró¿niczkê zupe³n¹ d(l

) =

d(l

) d(l

), zamiast ró¿niczek podstawiamy wartoci niepewnoci, bierzemy pod

uwagê przypadek sumowania siê wartoci bezwzglêdnych niepewnoci. Po wyko-

naniu tych czynnoci otrzymujemy niepewnoæ pomiaru przyrostu u

lkl0

= u

+ u

Zwykle pomiaru d³ugoci pocz¹tkowej i koñcowej dokonujemy tym samym przy-

rz¹dem, w zwi¹zku z czym pomiary te obarczone s¹ takimi samymi niepewnocia-

mi. Wtedy mo¿emy przyj¹æ, ¿e u

lkl0

= 2u

. Uzyskany przez nas wynik (intu-

icyjnie oczywisty) okazuje siê bardzo przydatny, gdy korzystamy ze skomplikowa-

nych wzorów, w których wystêpuj¹ ró¿nice pewnych wielkoci. Wynik ten pozwala

znacznie zredukowaæ liczbê zmiennych w wyra¿eniu na niepewnoæ pomiaru z³o-

¿onego.

Prostym przyk³adem niech bêdzie obliczanie wspó³czynnika rozszerzalnoci ter-

micznej. Z definicji jest to stosunek wzglêdnego przyrostu d³ugoci do przyrostu

temperatury

)

(

−

W wyra¿eniu na niepewnoæ wyznaczenia wspó³czynnika rozszerzalnoci ter-

micznej wystêpuj¹ cztery wielkoci: d³ugoæ pocz¹tkowa i koñcowa oraz tempera-

tury pocz¹tkowa i koñcowa. Je¿eli skorzystamy z poprzedniego przyk³adu, to bê-

dziemy mieli tylko niepewnoci pomiaru przyrostu d³ugoci oraz przyrostu tempe-

ratury i liczba zmiennych zredukuje siê o po³owê! Musimy jednak pamiêtaæ, ¿e nie-

pewnoci wyznaczenia przyrostów s¹ tym razem, dwukrotnie wiêksze od niepew-

noci pomiarów samych wartoci.

Przyk³ad 23

Obliczanie niepewnoci wzglêdnej zilustrujemy na przyk³adzie wyznaczania

momentu bezw³adnoci

J bry³y sztywnej, który obliczamy z zale¿noci

mgd

gdzie: T okres ma³ych drgañ bry³y,

m jej masa, d

odleg³oæ rodka masy bry³y

od punktu zawieszenia.

Przyjmijmy, ¿e zmierzone wartoci wynosz¹: m = 0,5 kg, d = 0,1 m, T = 0,52 s,

a niepewnoci odpowiednich pomiarów: u

= 0,001 kg,

= 0,2 mm,

= 0,005 s;

g = 9,81 m/s

jest przyspieszeniem ziemskim, dla którego

= 0,01 m/s

. Na pod-

stawie wyników pomiarów obliczamy wartoæ momentu bezw³adnoci

003363

mgd

a z (2.81), po uwzglêdnieniu jawnej postaci J, otrzymujemy niepewnoæ wzglêdn¹

025

002

001

002

0192

≅

a st¹d niepewnoæ bezwzglêdn¹

000084075

025

003363

⋅













Ostatecznie, wartoæ momentu bezw³adnoci

J = (0,00336±0,00009) kg m

= (33,6±0,9)10

kg m

Przyk³ad 24

Oto jeszcze inny przyk³ad bardzo efektywnego zastosowania (2.81). Wspó³czyn-

nik za³amania wiat³a

n dla szk³a wyznaczamy m.in. na podstawie zmierzonej war-

toci k¹ta ³ami¹cego pryzmatu

oraz k¹ta najmniejszego odchylenia

pos³uguj¹c

siê nastêpuj¹cym wzorem:

sin























 +

po zlogarytmowaniu którego otrzymujemy

( )

sin

























−























 +

Ró¿niczka zupe³na tej funkcji wynosi

( )

(

) ( )

sin

cos

sin

cos

































⋅













−











 +

































⋅











 +

Z ostatniej równoci po zast¹pieniu ró¿niczek d

, d

niepewnociami pomiaro-

wymi u

otrzymujemy wzór na wartoæ niepewnoci wzglêdnej

ctg











 +

























−











 +

a po pomno¿eniu przez u

wzór na niepewnoæ bezwzglêdn¹ wspó³czynnika za³a-

mania

sin

cos

sin

cos

sin

cos







































 +







































 +

⋅













−























 +

Tak¹ sam¹ postaæ wyra¿enia na u

mo¿emy otrzymaæ obliczaj¹c ró¿niczkê zu-

pe³n¹ wspó³czynnika za³amania n, traktuj¹c go jako funkcjê zmiennych niezale¿nych

i stosuj¹c (2.80). Zainteresowanym proponujemy samodzielne sprawdzenie,

¿e tak jest.

Uwaga! Je¿eli podczas obliczeñ wartoci niepewnoci z³o¿onej bierzemy pod

uwagê niepewnoci wynikaj¹ce z klas mierników oraz niepewnoci wielkoci wy-

znaczonych na podstawie serii pomiarów metodami statystycznymi (opisanymi

w rozdziale 2.2), to warto pamiêtaæ, ¿e niepewnoci obliczone z klas mierników s¹

maksymalnymi wartociami niepewnoci, tj. solidny producent zapewnia nas, ¿e

niepewnoæ poprawnie wykonanego pomiaru wyprodukowanym przez niego mier-

nikiem nie jest wiêksza od obliczonej na podstawie klasy! W takim przypadku za

niepewnoæ pomiarów wielkoci wyznaczonych na podstawie serii pomiarów na-
le¿y przyj¹æ

. Taki sposób postêpowania zapewnia jednakowy poziom

ufnoci.

3. GRAFICZNE OPRACOWANIE

WYNIKÓW POMIARÓW

Celem pomiarów jest bardzo czêsto potwierdzenie zwi¹zku lub znalezienie za-

le¿noci miêdzy wielkociami fizycznymi. Pomiar polega na wyznaczaniu wartoci

y wielkoci Y, odpowiadaj¹cych wartociom x wielkoci X, które s¹ zmieniane pod-

czas dowiadczenia.

Przyk³adem mo¿e byæ pomiar zale¿noci natê¿enia pr¹du od czêstotliwoci

w obwodzie zawieraj¹cym rezystancjê, indukcyjnoæ i pojemnoæ elektryczn¹. Za-

danie pomiarowe polega na wyznaczeniu zale¿noci wielkoci Y (natê¿enia pr¹du)

od wielkoci X (czêstotliwoci) przy ustalonym napiêciu zasilaj¹cym badany uk³ad.

Wyniki takich pomiarów s¹ przedstawiane najczêciej w formie graficznej

wykresu ilustruj¹cego badany zwi¹zek, w naszym przypadku zale¿noci natê¿enia

pr¹du od czêstotliwoci. W nastêpnym podrozdziale opisano zasady sporz¹dzania

wykresów w prostok¹tnym i biegunowym uk³adzie wspó³rzêdnych.

3.1. Rysowanie wykresów

Wykresy najczêciej rysujemy we wspó³rzêdnych kartezjañskich. Wykonujemy

je rêcznie lub za pomoc¹ komputera.

Wykresy sporz¹dzane rêcznie rysujemy na papierze milimetrowym formatu A4

lub A5. Pierwsz¹ czynnoci¹, jak¹ musimy wykonaæ jest dobór odpowiednich skal

na osiach y oraz x.

Dobieraj¹c skale wykresu kierujemy siê nastêpuj¹cymi zasadami:

1. Wykres powinien obejmowaæ wszystkie (lub prawie wszystkie) punkty pomia-

rowe.

2. Skale musz¹ byæ tak dobrane, aby format wykresu by³ zbli¿ony do kwadratu lub

formatu papieru milimetrowego.

3. Dzia³ki skali wykresu wybieramy tak, aby mo¿na by³o ³atwo znaleæ wartoci

wspó³rzêdnych punktu (wartoci wielkoci mierzonych) dzia³ki powinny mieæ

okr¹g³e wartoci (np. 5, 10, 20, 25 mm, nie za 5,5; 10,6; 12 mm) i odpowiadaæ

równie¿ okr¹g³ym wartociom wielkoci mierzonych, np. 1, 2, 4, 5, 10 jednostek.

Nale¿y unikaæ liczb 3 i 7 oraz ich wielokrotnoci.

4. Pocz¹tek uk³adu wspó³rzêdnych wybieramy tak, aby wartoci najmniejsze le¿a-

³y w pobli¿u osi uk³adu (wykres nie musi zaczynaæ siê od zera!). Natomiast d³u-

goæ osi dobieramy tak, aby wartoci maksymalne le¿a³y w pobli¿u ich koñców.

Równoczesne spe³nienie wymagañ stawianych w punktach 24 wymaga pewnej

wprawy. Osie uk³adu musz¹ byæ opisane. Obok osi nale¿y podaæ nazwê wiel-

koci lub powszechnie stosowany skrót oraz jednostki, np. I [mA], U [kV], l [mm],

t [ms], T [K], natê¿enie wiat³a [jednostki wzglêdne]. Dzia³ki g³ówne (odpowia-

daj¹ce okr¹g³ym wartociom) powinny byæ równie¿ opisane. Przyk³ady popraw-

nie i le dobranych skal i opisanych osi wykresów przedstawiono na rys. 3.1.

Po przygotowaniu osi na wykres nanosimy punkty pomiarowe. Punkty te nie

mog¹ byæ oznaczane kropkami, poniewa¿ podczas sporz¹dzania wykresu wiêkszoæ

z nich stanie siê niewidoczna. Kropki s³u¿¹ tylko do oznaczania po³o¿enia punktów

Rys. 3.1. Przyk³ady poprawnie i le dobranych i opisanych osi wykresów

Dobrze

pomiarowych przed ich w³aciwym oznaczeniem. Punkty pomiarowe zaznaczamy

kó³kami, krzy¿ykami, trójk¹tami lub innymi figurami geometrycznymi tak, aby

rodek figury znalaz³ siê w miejscu o wspó³rzêdnych odpowiadaj¹cych dane-

mu punktowi. Wielkoæ figur oznaczaj¹cych punkty pomiarowe dobieramy tak, aby

by³y dobrze widoczne (rys. 3.2). Zwróæmy uwagê na to, ¿e wynikiem eksperymentu

s¹ punkty pomiarowe, nie za krzywa, za pomoc¹ której te punkty po³¹czono!

Jeli zamieszczamy na jednym wykresie kilka zale¿noci, to punkty pomiarowe

odpowiadaj¹ce poszczególnym zale¿nociom powinny ró¿niæ siê wyranie, a ich opis

(legendê) nale¿y zamieciæ pod wykresem lub na wolnej czêci wykresu (czêci

wykresu, na której brak jest punktów pomiarowych).

Na wykres, oprócz punktów pomiarowych, nanosimy niepewnoci pomiarów.

Niepewnoci zaznaczamy w postaci prostok¹ta niepewnoci, którego rodek le¿y

Rys. 3.2. Oznaczanie niepewnoci pomiarów na wykresie

w punkcie pomiarowym, a boki s¹ równe podwójnej wartoci niepewnoci po-

miaru. Zamiast prostok¹ta mo¿na nanieæ krzy¿, którego odcinki pionowy i pozio-

my maj¹ d³ugoci odpowiadaj¹ce wartociom niepewnoci pomiarów.

W przypadku du¿ej liczby punktów pomiarowych wystarczy zamieciæ niepew-

noci pomiarów dla kilku punktów roz³o¿onych równomiernie na wykresie (w po-

cz¹tkowej, rodkowej i koñcowej czêci lub na pocz¹tku i koñcu przedzia³u,

w którym niepewnoæ ma sta³¹ wartoæ). Je¿eli niepewnoci pomiarów s¹ mniejsze

od rozmiarów figur oznaczaj¹cych punkty pomiarowe, to nie nanosimy ich na wykres,

jednak¿e na wykresie lub pod nim powinna siê znaleæ odpowiednia informacja.

Rysuj¹c krzyw¹ odzwierciedlaj¹c¹ badan¹ zale¿noæ, nale¿y pamiêtaæ, ¿e wiêk-

szoæ zjawisk obserwowanych w przyrodzie jest opisywana funkcjami g³adkimi (ró¿-

niczkowalnymi), dlatego ³¹czenie punktów pomiarowych krzyw¹ ³aman¹ jest

niedopuszczalne. Krzyw¹ rysujemy tak, aby przechodzi³a w pobli¿u mo¿liwie

najwiêkszej liczby punktów i aby lokalnie liczba punktów le¿¹cych po obu jej

stronach by³a jednakowa. Je¿eli zale¿noæ miêdzy badanymi wielkociami jest li-

niowa, to prost¹ rysujemy za pomoc¹ przeroczystej linijki, gdy zale¿noæ jest

nieliniowa korzystamy z przeroczystych krzywików. Obecnie dostêpne s¹ krzy-

wiki wykonane z elastycznych materia³ów umo¿liwiaj¹ce dopasowanie ich kszta³tu

do rysowanego wykresu.

Uwaga

Wykonuj¹c pomiary, których wyniki bêdziemy przedstawiali w formie wykresu,

staramy siê tak zmieniaæ wartoci wielkoci mierzonych, aby odleg³oci miêdzy

punktami by³y w przybli¿eniu jednakowe. Zalecenie to jest s³uszne, je¿eli badana

zale¿noæ nie wykazuje osobliwoci. Kiedy zale¿noæ wykazuje osobliwoæ (np. ostre

maksimum), z dala od niej punkty pomiarowe mog¹ le¿eæ rzadziej, natomiast w jej

pobli¿u punkty pomiarowe powinny byæ wyznaczone gêciej. Takie rozmieszczenie

punktów pomiarowych pozwala dok³adnie okreliæ wspó³rzêdne osobliwoci (np.

wspó³rzêdne maksimum). Przyk³ad poprawnie wykonanego wykresu zale¿noci

wykazuj¹cej maksimum przedstawiono na rys. 3.3.

Na wykresie mog¹ byæ zamieszczone dodatkowe informacje i oznaczenia

potrzebne do dalszego opracowania wyników. Na rysunku 3.3 zaznaczono czê-

stoæ rezonansow¹, natê¿enie pr¹du przy tej czêstoci oraz szerokoæ po³ówkow¹

krzywej rezonansowej. Informacje te potrzebne s¹ do wyznaczenia dobroci uk³adu

rezonansowego.

Rys. 3.3. Przyk³ad poprawnie wykonanego wykresu

Niekiedy jest wskazane narysowanie najbardziej interesuj¹cej czêci wykresu

w powiêkszeniu lub innej skali. Je¿eli na wykresie znajduje siê wolne miejsce, mo-

¿emy je wykorzystaæ na zamieszczenie tego fragmentu. Rysuj¹c ten fragment nale-

¿y pamiêtaæ o narysowaniu i opisaniu osi. Powiêkszona czêæ nie mo¿e zas³aniaæ

w³aciwego wykresu (stanowi tylko jego uzupe³nienie patrz rys. 3.4b).

3.1.1. Rysowanie wykresów we wspó³rzêdnych biegunowych

Wykresy, jak ju¿ wspomniano, najczêciej rysujemy we wspó³rzêdnych kartezjañ-

skich. Niekiedy wskazane jest jednak narysowanie wykresu w innym uk³adzie (np.

uk³adzie biegunowym).

Przyk³adami takich wykresów s¹ charakterystyki kierunkowe ¿arówki lub ród³a

mikrofal klistronu. Na takich wykresach najpierw wybieramy rodek. Ze rodka

rysujemy promienie pod k¹tem, dla którego wykonano pomiar. D³ugoæ promienia

odpowiada wartoci mierzonej. W sprzeda¿y s¹ gotowe papiery z naniesion¹ podzia³-

k¹ k¹tow¹ i równoodleg³ymi wspó³rodkowymi okrêgami, przeznaczone do rysowa-

nia wykresów we wspó³rzêdnych biegunowych.

Rysowanie wykresów we wspó³rzêdnych biegunowych sprawia niektórym stu-

dentom sporo k³opotów, dlatego przedstawimy przyk³ad takiego wykresu.

Przyk³ad 25

Graficzne opracowanie wyników badania charakterystyki kierunkowej klistro-

nu.Wyniki pomiarów przedstawiono poni¿ej.

[°]

0,0

2,5

5,0

7,5

10,0

12,5

15,0

17,5

I [mA]

20,5

19,5

15,2

9,7

4,8

1,9

0,9

0,5

(Dok³adnoæ pomiaru k¹ta

∆

= ±0,5°, pomiary pr¹du wykonano za pomoc¹ miliam-

peromierza klasy 1. Trzy pierwsze pomiary pr¹du zosta³y wykonane na zakresie 30

mA, dwa kolejne na zakresie 10 mA, a pozosta³e na zakresie 3 mA).

Wykresy zale¿noci natê¿enia pr¹du od kierunku we wspó³rzêdnych biegunowych

i kartezjañskich przedstawiono na rys. 3.4a i 3.4c. Porównuj¹c rysunki 3.4a i 3.4c

dochodzimy do wniosku, ¿e rys. 3.4a bardziej przemawia do naszej wyobrani i le-

piej ilustruje rozk³ad k¹towy energii emitowanych mikrofal. Na rysunku 3.4b poda-

no sposób nanoszenia niepewnoci pomiarów na wykresie we wspó³rzêdnych bie-

gunowych. Nale¿y jednak zwróciæ uwagê, ¿e format rysunku 3.4a znacznie odbie-

ga od kwadratu, a punkty pomiarowe przy wiêkszych k¹tach zlewaj¹ siê. Wykres

przedstawiony na rys. 3.4c jest mniej pogl¹dowy, natomiast informacje o rozk³adzie

k¹towym s¹ bardziej dok³adne.

Wybór uk³adu wspó³rzêdnych nale¿y do opracowuj¹cego wyniki pomiarów.

Wybieraj¹c uk³ad wspó³rzêdnych, powinnimy zwracaæ uwagê na pogl¹dowoæ

i przejrzystoæ wykresu.

3.2. Odczytywanie wartoci wielkoci fizycznych z wykresów

Czêsto zachodzi koniecznoæ odczytania z wykresu wartoci pewnych wielko-

ci fizycznych.

Przyk³ad 26

Wykonalimy pomiary zale¿noci si³y termoelektycznej od temperatury dla ter-

mopary miedkonstantan (rys. 3.5), nastêpnie wyznaczylimy krzyw¹ stygniêcia dla

Rys. 3.4. Charakterystyka kierunkowa klistronu we wspó³rzêdnych biegunowych (a)

oraz w uk³adzie kartezjañskim (c). Rysunek (b) przedstawia sposób nanoszenia

niepewnoci pomiarów we wspó³rzednych biegunowych

stopu Wooda. Krzywa stygniêcia (rys. 3.6) przedstawia zale¿noæ si³y termoelek-

trycznej od czasu, wyznaczonej wtedy, gdy jedno ze spojeñ termopary by³o umieszczone

w stygn¹cym stopie (drugie spojenie znajdowa³o siê w mieszaninie wody z lodem).

Naszym zadaniem jest wyznaczenie temperatury krzepniêcia stopu. Z krzywej

stygniêcia wyznaczamy napiêcie odpowiadaj¹ce rodkowi plateau, natomiast z wy-

Rys. 3.5. Zale¿noæ si³y termoelektrycznej od temperatury

dla termopary miedkonstantan

Rys. 3.6. Krzywa stygniêcia stopu Wooda

kresu zale¿noci si³y termoelektycznej od temperatury odczytujemy temperaturê

krzepniêcia.

3.2.1. Wyznaczanie nachylenia wykresu

Nachylenie krzywej (tangens k¹ta nachylenia stycznej do krzywej) bêd¹cej wy-

kresem zale¿noci miêdzy wielkociami fizycznymi ma okrelony sens fizyczny, np.

nachylenia zale¿noci wyd³u¿enia wzglêdnego cia³a i zale¿noci wzglêdnej zmiany

oporu od temperatury maj¹ odpowiednio sens wspó³czynnika rozszerzalnoci ter-

micznej i temperaturowego wspó³czynnika oporu.

Czêsto powtarzanym przez studentów b³êdem jest pomiar k¹ta nachylenia stycz-

nej do wykresu (w przypadku zale¿noci liniowej nachylenia prostej) za pomoc¹

k¹tomierza i wyznaczenie wartoci tangensa k¹ta nachylenia. Argumentacja jest

nastêpuj¹ca: pochodna funkcji jest równa tangensowi k¹ta nachylenia stycznej do

wykresu. Zwróæmy jednak uwagê na to, ¿e d³ugoæ dzia³ki jest dobierana arbitral-

nie. Je¿eli narysujemy dwa wykresy na podstawie tych samych danych dobieraj¹c

ró¿ne dzia³ki, np. na osi x, to otrzymamy ró¿ne wartoci nachylenia! Dodajmy, ¿e

na osiach s¹ naniesione wartoci wielkoci fizycznych, a wiêc nachylenie jest wiel-

koci¹ mianowan¹ (w naszych przyk³adach 1/K).

Aby wyznaczyæ nachylenie stycznej do wykresu, nale¿y z wykresu odczytaæ przy-

rost wielkoci naniesionej na osi x oraz odpowiadaj¹cy mu przyrost wielkoci na-

niesionej na osi y. Obliczaj¹c stosunek tych przyrostów otrzymamy wartoæ tangen-

sa nachylenia stycznej, czyli dy/dx (w przypadku zale¿noci liniowej wspó³czynnik

kierunkowy a prostej y = ax + b).

Warto zwróciæ uwagê na sposób szacowania dok³adnoci, z jak¹ wyznaczamy

wartoæ wspó³czynnika kierunkowego prostej (stycznej).

W geometrii euklidesowej zak³ada siê, ¿e przez dwa punkty przechodzi tylko jed-

na prosta. W fizyce (i nie tylko) mamy do czynienia z punktami pomiarowymi, które

s¹ obarczone okrelonymi niepewnociami punkty te s¹ polami, których po-

wierzchnia jest okrelona wartociami niepewnoci pomiarów. Przez dwa punkty

pomiarowe mo¿na przeprowadziæ nieskoñczenie wiele prostych (patrz rówie¿

artyku³ [8]). Trzy sporód mo¿liwych prostych przedstawiono na rysunku 3.7a. Za

wspó³czynnik kierunkowy prostej przechodz¹cej przez te punkty przyjmujemy war-

toæ wspó³czynnika wyznaczonego dla prostej oznaczonej przez k, natomiast proste

m i n s¹ skrajnymi prostymi mieszcz¹cymi siê w granicach niepewnoci pomiaro-

wych. Przyjmujemy, ¿e maksymalna wartoæ niepewnoci wyznaczenia wspó³czyn-

nika kierunkowego jest równa po³owie ró¿nicy miêdzy wartociami wspó³czynni-

ków wyznaczonych dla prostych m i n.

Z rysunku 3.7b wynika, ¿e wzrost liczby punktów pomiarowych oraz rozszerze-

nie zakresu pomiaru umo¿liwia bardziej precyzyjne wyznaczenie parametrów pro-

stej. Na rysunku przedstawiono sposób szacowania niepewnoci, z jakim wyznaczona

zosta³a wartoæ wspó³czynnika kierunkowego prostej. Wartoci wspó³czynników

a i b w równaniu prostej, opisuj¹cej zale¿noæ miêdzy dwoma wielkociami fizycz-

nymi, mo¿na wyznaczyæ korzystaj¹c z regresji liniowej, która zostanie omówiona

w rozdziale 4. Metoda ta pozwala obliczaæ tak¿e niepewnoci, jakimi obarczone s¹

wartoci tych wspó³czynników.

Rys. 3.7. Graficzne wyznaczanie wspó³czynników a i b prostej oraz ich niepewnoci

3.3. Linearyzacja zale¿noci miêdzy wielkociami fizycznymi

Koñcz¹c omawianie graficznego opracowywania wyników pomiarów, warto po-

ruszyæ problem linearyzacji zale¿noci miêdzy wielkociami fizycznymi, czyli ta-

kiego doboru skal na osiach wykresu lub wielkoci nanoszonych na wykres, który

pozwoli otrzymaæ zale¿noæ liniow¹.

Tekst tego podrozdzia³u nale¿y traktowaæ jako poradnik, który mo¿e byæ przydatny

przy rozwi¹zywaniu konkretnych problemów.

Przyk³ad 27

Zale¿noæ oporu pó³przewodnika od temperatury jest opisana równaniem









−

∆

exp

Jest to zale¿noæ wyk³adnicza. Po zlogarytmowaniu jej obustronnie otrzymamy

∆

−

)

ln(

Je¿eli sporz¹dzimy wykres, na którym na osi OY od³o¿ymy ln (R), natomiast na

osi OX od³o¿ymy 1/T, to wykres ten bêdzie prost¹, której wspó³czynnik kierunko-

wy jest równy

∆

E/k

. Wyznaczenie wartoci tego wspó³czynnika umo¿liwia obli-

czenie energii aktywacji noników ³adunków

∆

W przyrodzie i technice bardzo czêsto obserwujemy zale¿noci wyk³adnicze.

Oto kilka przyk³adów:

zale¿noæ liczby rozpadów j¹der promieniotwórczych od czasu,
zale¿noæ natê¿enia promieniowania (natê¿enie wiat³a lub fali sprê¿ystej) od

gruboci absorbenta,

zale¿noæ prêdkoci od czasu dla cia³ poruszaj¹cych siê w orodku lepkim, przy

za³o¿eniu, ¿e na cia³o dzia³a si³a oporu orodku proporcjonalna do prêdkoci,

zale¿noæ amplitudy drgañ t³umionych od czasu,
zale¿noæ temperatury cia³a stygn¹cego od czasu,

zale¿noæ natê¿enia pr¹du od czasu przy roz³adowaniu kondensatora,
prawa Moorea opisuj¹ce rozwój technologii mikroelektronicznej [15].

Mo¿na postawiæ retoryczne pytanie: Co chyba ³¹czy te zale¿noci?!

Sporz¹dzaj¹c wykresy w skali pó³logarytmicznej (na osi y nanosimy wartoci

logarytmu z badanej wielkoci), mo¿emy wyznaczyæ wartoci parametrów charak-

teryzuj¹cych wymienione zjawiska, np.: okres po³owicznego rozpadu, gruboæ po-

ch³aniania po³ówkowego lub wspó³czynnik absorbcji, czas relaksacji lub logarytmicz-

ny dekrement t³umienia. Do rysowania tego typu wykresów przydatny jest specjal-

ny papier milimetrowy ze skal¹ pó³logarytmiczn¹ (korzystaj¹c z takiego papieru, nie

musimy logarytmowaæ wartoci zmierzonych).

Je¿eli zwi¹zek miêdzy wielkociami ma charakter potêgowy, to zaleca siê

wykonaæ wykres w skali podwójnie logarytmicznej (tzn. na obu osiach uk³adu

wspó³rzêdnych nale¿y zastosowaæ skalê logarytmiczn¹).

Przyk³ad 28

W niskich temperaturach ciep³o w³aciwe cia³ sta³ych zale¿y od temperatury bez-

wzglêdnej w nastêpuj¹cy sposób: c

= KT

(K = const). Ca³kowita energia emito-

wana przez cia³o czarne zale¿y od jego temperatury bezwzglêdnej

gdzie S jest tu powierzchni¹ cia³a, natomiast

sta³¹ StefanaBoltzmanna. Loga-

rytmuj¹c ostatni¹ zale¿noæ otrzymamy

)

ln(

)

ln(

Sporz¹dzaj¹c wykres zale¿noci ln(E) od ln(T) mo¿emy wyznaczyæ wspó³czyn-

nik kierunkowy prostej, a wiêc wartoæ wyk³adnika

, a tak¿e wartoæ ln(

umo¿liwiaj¹c¹ wyznaczenie sta³ej StefanaBoltzmanna

Podamy sposoby linearyzacji jeszcze kilku typów zale¿noci, z którymi mo¿e-

my spotykaæ siê w laboratorium.

Zale¿noæ owietlenia E od odleg³oci r od punktowego ród³a wiat³a okrelo-

na jest równaniem E = I/r

. Rysuj¹c wykres zale¿noci E(1/r

) uzyskamy liniê pro-

st¹. Analiza eksperymentalnie uzyskanych wyników pomiarów umo¿liwi nam okre-

lenie warunków, w których ród³o wiat³a mo¿na traktowaæ jako punktowe (ród³o

wiat³a bêdziemy uwa¿aæ za punktowe w zakresie takich r, dla których spe³niona jest

przedstawiona wy¿ej zale¿noæ). Zwróæmy uwagê na to, ¿e zale¿noæ liniow¹ mo¿-

na uzyskaæ, rysuj¹c wykres w skali podwójnie logarytmicznej. Taki wykres umo¿li-

wia wyznaczenie wartoci wyk³adnika potêgowego k. Decyzja o wyborze skali na-

le¿y do opracowywuj¹cego wyniki pomiarów i jest uzale¿niona od celu, jaki chcia-

no osi¹gn¹æ.

Zale¿noæ przenikalnoci elektrycznej ferroelektryków (oraz przenikalnoci ma-

gnetycznej ferromagnetyków) od temperatury, w pewnym otoczeniu temperatury prze-

miany fazowej, jest opisana prawem CurieWeissa

= C/(T T

), gdzie: C jest sta³¹

CurieWeissa, T temperatur¹, natomiast T

temperatur¹ CurieWeissa. W tym

przypadku najczêciej sporz¹dza siê wykres zale¿noci odwrotnoci przenikalnoci

elektrycznej 1/

jako funkcji temperatury T. Wykres taki umo¿liwia okrelenie za-

kresu stosowalnoci wspomnianego wy¿ej prawa, wyznaczenie sta³ej C oraz tem-

peratury T

Rozpatrzmy zale¿noæ owietlenia powierzchni od k¹ta, jaki tworzy strumieñ

wiat³a z normaln¹ do tej powierzchni. Owietlenie jest proporcjonalne do cosinusa

tego k¹ta, E

∝

cos

. Je¿eli wykrelimy zale¿noæ

= arccos(E/E

), gdzie

E oznacza

natê¿enie owietlenia powierzchni przy danym k¹cie padania, natomiast

owie-

tlenie tej powierzchni dla k¹ta padania równego zeru, to otrzymamy zale¿noæ li-

niow¹.

Z prawa Malusa wynika, ¿e natê¿enie wiat³a po przejciu przez uk³ad z³o¿ony

z polaryzatora i analizatora jest dane równaniem I = I

cos

, gdzie

jest natê¿e-

niem wiat³a, gdy p³aszczyzny przepuszczania polaryzatora i analizatora s¹ równo-

leg³e, natomiast

jest k¹tem jaki tworz¹ te p³aszczyzny. Przekszta³caj¹c powy¿sz¹

zale¿noæ dostajemy

cos

arc

. Je¿eli wykrelimy zale¿noæ y = arccos(x),

gdzie y =

, natomiast x = I/I

, to otrzymamy prost¹ (je¿eli wykresem tej zale¿no-

ci jest prosta, to znaczy, ¿e potwierdzilimy s³usznoæ prawa Malusa).

Ostatnim przyk³adem linearyzacji jaki omówimy jest zale¿noæ wystêpuj¹ca

w æwiczeniu dotycz¹cym liniowego efektu elektrooptycznego.

Zale¿noæ natê¿enia wi¹zki wiat³a

I (po przejciu przez uk³ad optyczny) od na-

piêcia U przyk³adanego do komórki Pockelsa jest opisana równaniem

cos

gdzie: k sta³a,

maksymalna wartoæ natê¿enia wiat³a,

d³ugoæ fali wietl-

nej. Aby wyraziæ natê¿enie wi¹zki przechodz¹cej przez uk³ad optyczny jako funk-

cjê napiêcia, równanie przekszta³camy do postaci

cos

arc

Sporz¹dzaj¹c wykres zale¿noci

cos

arc

od napiêcia U otrzymamy liniê

prost¹, której tangens nachylenia wynosi k

. Korzystaj¹c z tego wykresu mo¿e-

my wyznaczyæ napiêcie pó³fali, to jest napiêcie jakie nale¿y przy³o¿yæ do komórki

Pockelsa, aby uk³ad optyczny przeprowadziæ ze stanu maksymalnego przepuszcza-

nia wiat³a do ca³kowitego wygaszania.

Przytoczone wy¿ej przyk³ady ilustruj¹, w jaki sposób, korzystaj¹c z ró¿nego typu

zale¿noci (nawet bardzo skomplikowanych), przy umiejêtym ich opracowaniu,

mo¿na sprawnie wyznaczaæ wartoci ró¿nych wielkoci fizycznych. Podane w przy-

k³adach pojêcia i zjawiska s¹ opisane we wstêpach do poszczególnych æwiczeñ.

4. METODY REGRESJI

W wielu przypadkach zwi¹zek miêdzy wielkoci¹ wyjciow¹ Y i wielkociami

wejciowymi X

, X

, ..., X

fizycznymi jest dany zale¿noci¹ funkcyjn¹

(

)

,...,

(4.1)

któr¹ znamy z dok³adnoci¹ do parametrów

,...,

Funkcja

(

)

,...,

mo¿e byæ funkcj¹ zarówno liniow¹, jak i

nieliniow¹ wzglêdem parametrów

,...,

(patrz przyk³ady podane na koñcu

tego rozdzia³u).

Wspó³czynniki

,...,

wyznaczamy, na podstawie danych dowiadczalnych,

za pomoc¹ metody regresji.

Zajmiemy siê najpierw ocen¹ wspó³czynników

na podstawie serii nie-

zale¿nie wykonanych w warunkach powtarzalnoci pomiarów (x

, y

), gdzie i = 1, 2,

..., n, wielkoci fizycznych X oraz Y zwi¹zanych ze sob¹ zale¿noci¹ liniow¹

(4.2)

w której nieznanymi parametrami s¹ wspó³czynniki

(m = 1); litera

oznacza

tutaj niemierzaln¹ wielkoæ podlegaj¹c¹ rozk³adowi normalnemu N(0,

), którego

wariancja

nie jest znana. Tak okrelony model nazywa siê modelem regresji li-

niowej, a parametry

wspó³czynnikami regresji. Prost¹ o równaniu y =

x nazywamy prost¹ regresji.

Aby oceniæ wspó³czynniki regresji

zastosujemy metodê najmniejszych kwad-

ratów

. Polega ona na przyjêciu za ocenê parametrów wartoci

= b

, które

minimalizuj¹ nastêpuj¹c¹ sumê kwadratów (st¹d nazwa metoda najmniejszych

kwadratów)

(

)

(

)

∑

−

Jak wiadomo z analizy matematycznej, wartociami tymi bêd¹ rozwi¹zania uk³adu

równañ

(

)

∑

−

∂

W tym podejciu zak³adamy, ¿e wartoci x

, x

, ..., x

s¹ zmierzone dok³adnie [5].

(

)

∑

−

∂

które wyra¿aj¹ siê wzorami

)

(

)

(

−

(4.3)

gdzie

( )

(

)(

)

−

∑

( )

(

)

∑

−

Jeli przyjmiemy, ¿e wielkoci x

, x

, ..., x

s¹ okrelone z du¿¹ dok³adnoci¹

(w stosunku do dok³adnoci y-ów), tak, ¿e mo¿emy uznaæ je za wielkoci dok³adne,

to wariancje ocen b

i b

wyra¿aj¹ siê wzorami

( )

(

)

( )

(

)

∑

−

n
i

(4.4)

Wariancjê

mo¿emy oceniæ na podstawie wzoru

(

)

∑

−

(4.5)

Wielkoæ wyjciow¹ Y (cilej jej wartoæ redni¹) odnosz¹c¹ siê do wielkoci

wejciowej X oceniamy na podstawie wzoru

(4.6)

Niepewnoæ z³o¿on¹ u

(odchylenie standardowe) oceny

wyra¿a siê

wzorem (patrz podrêcznik [5])

(

)

(

)

n
i

∑

−

gdzie x jest liczb¹ nie mniejsz¹ od najmniejszej wartoci zmierzonej i jednoczenie

nie wiêksz¹ od najwiêkszej wartoci zmierzonej.

W niektórych przypadkach nale¿y przyj¹æ, ¿e wspó³czynnik

jest równy zeru,

czyli ¿e model regresji jest postaci

β +

Wówczas ocen¹ wspó³czynnika

, wyznaczon¹ metod¹ najmniejszych kwadra-

tów, jest

∑

n
i

Wariancja tej oceny (przy podobnych, jak poprzednio za³o¿eniach) wyra¿a siê

wzorem

)

(

∑

n
i

a ocena wariancji

wzorem

(

)

∑

−

Ocen¹ Y, odnosz¹ca siê do wielkoci wejciowej X, jest

y = bx,

a jej niepewnoci¹ z³o¿on¹ (patrz [5]) jest

n
i

∑

O regresji liniowej wielokrotnej mówimy wtedy, gdy Y zale¿y liniowo od m > 1

wielkoci wejciowych X

, X

, ..., X

, tzn. gdy

...

(4.7)

Liniowoæ nale¿y tutaj rozumieæ wzglêdem wspó³czynników

, ...,

zwa-

nych wspó³czynnikami regresji. Mo¿na je równie¿ oceniæ metod¹ najmniejszych

kwadratów i wyznaczyæ ich odchylenia standardowe. Obliczenia wspó³czynników

regresji i ich odchyleñ standardowych zawiera ka¿dy pakiet programów do obliczeñ

statystycznych.

Poka¿emy teraz jak wyznaczane s¹ wspó³czynniki regresji w przypadku, gdy (4.1)

ma postaæ

(4.8)

czyli, gdy Y jest funkcj¹ kwadratow¹ zmiennej X. Naszym zadaniem jest oszacowa-

nie wspó³czynników regresji

na podstawie serii wyników (x

, y

), i = 1, 2,

..., n. Sposób postêpowania w tym przypadku jest analogiczny do przedstawionego

wy¿ej.

Minimalizacja sumy kwadratów

)

(

)

(

∑

−

prowadzi do liniowego uk³adu trzech równañ:

( )

∑

(4.9)

( )

∑

(4.10)

( )

∑

(4.11)

Rozwi¹zanie tego uk³adu równañ mo¿na otrzymaæ analitycznie za pomoc¹ od-

powiednich formu³ algebry liniowej albo numerycznie stosuj¹c programy z pakie-

tów [1629] wymienionych dalej w tym i nastêpnym rozdziale.

Rozpatrzenie przypadku, gdy Y jest wielomianem m-tego (m

≥

3) stopnia wzglê-

dem X, jest w wietle tego co tutaj przedstawilimy zadaniem doæ prostym. Spro-

wadza siê do rozwiazania uk³adu równañ liniowych (m +1)×(m+1) wzglêdem (m +1)

niewiadomych.

Uwaga
U1. W przypadku aproksymacji wielomianem liczba punktów pomiarowych musi

byæ wiêksza od stopnia wielomianu. Na pytanie o ile winna byæ wiêksza, czytelnik

powinien odpowiedzieæ samodzielnie. Wskazówka! Nale¿y uwa¿nie przeczytaæ

podrozdzia³ dotycz¹cy regresji liniowej.

U2. Wiele programów u¿ytkowych (arkusze kalkulacyjne, pakiety graficzne) ma

mo¿liwoæ aproksymacji danych za pomoc¹ wielomianów (których stopieñ mo¿na

ustalaæ) lub funkcji innego typu (np. ln, exp itp). Podczas opracowywania wyników

pomiarów zalecamy korzystanie z tego typu oprogramowania.

Przyk³ady

Przyk³ad 29

Wykonano seriê n pomiarów oporu przewodnika R(T

) w temperaturach T

, którego

opór w temperaturze T

jest znany i wynosi R

. Nale¿y wyznaczyæ wspó³czynnik

temperaturowy oporu

, korzystaj¹c z liniowego prawa

R(T

) = R

(1+

)).

Przyk³ad 30

Wyznaczono dowiadczalnie wyd³u¿enia wzglêdne

∆

drutu o znanym polu

przekroju porzecznego S poddanego dzia³aniu si³y rozci¹gaj¹cej F

, gdzie i = 1, 2,

..., n. Nale¿y wyznaczyæ modu³ Younga E. W obliczeniach korzystamy z prawa Ho-

okea

∆

Przyk³ad 31

Zmierzono opór elektryczny pó³przewodnika R(T

) w temperaturach T

, gdzie

i = 1, 2, ..., n. Nale¿y wyznaczyæ wartoæ przerwy energetycznej

∆

E wiedz¹c, ¿e za-

le¿noæ oporu od temperatury ma postaæ









−

∆

exp

)

(

gdzie k

jest sta³¹ Boltzmanna. Do obliczeñ

∆

E wygodnie jest zlogarytmowaæ za-

le¿noæ R(T) i wykorzystaæ wzór

∆

−













, który okrela liniow¹ zale¿noæ

miêdzy













oraz 1/T

. Rolê wspó³czynnika kierunkowego a odgrywa tutaj czyn-

nik









−

∆

Przyk³ad 32

W obwodzie elektrycznym pr¹du zmiennego, zawieraj¹cym opór R, indukcyjnoæ

L oraz pojemnoæ elektryczn¹ C, zmierzono natê¿enia skuteczne pr¹du I

, odpo-

wiadaj¹ce zmienianym wartociom napiêæ skutecznych U

, gdzie i = 1, 2, ..., n.

Nale¿y wyznaczyæ zawadê Z obwodu. W obliczeniach korzystamy z prawa Ohma

dla pr¹du przemiennego: U

= ZI

Przyk³ad 33

Zmierzono emitancjê E

modelu cia³a doskonale czarnego dla ró¿nych wartoci

temperatury T

tego cia³a, gdzie i = 1, 2, ..., n. Pos³uguj¹c siê prawem StefanaBoltz-

manna

)

(

nale¿y wyznaczyæ wartoæ wspó³czynnika

(sta³a Stefa-

naBoltzmanna) oraz wyk³adnika

wystêpuj¹cego przy T. Obliczenia uproszcz¹ siê

znacznie, jeli zlogarytmujemy obie strony równania opisuj¹cego prawo Stefana
Boltzmanna. Wtedy

σ +

4.1. Regresja nieliniowa

Model (4.1), który jest nieliniowy wzglêdem parametrów, nazywamy modelem

regresji nieliniowej. Takim przyk³adem jest model wyk³adniczy

(

)

exp

(4.12)

Wszystkie symbole pojawiaj¹ce siê w tym wzorze oznaczaj¹ to samo co poprze-

dnio. Jeli dysponujemy seri¹ n niezale¿nych pomiarów (x

, y

), i = 1, 2, ..., n, (wy-

konanych w warunkach powtarzalnoci), to mo¿emy nieznane wspó³czynniki

równie¿ oceniæ metod¹ najmniejszych kwadratów. Teraz ocenami

bêd¹ licz-

by, oznaczmy je przez b

i b

, które minimalizuj¹ funkcjê

(

)

( )

(

)

∑

−

exp

(4.13)

Jeli obliczymy pochodne cz¹stkowe i przyrównamy je do zera, to otrzymamy

nieliniowy uk³ad równañ

( )

(

)

∑

−

exp

(4.14)

( )

(

)

( )

exp

−

∑

(4.15)

Jak widzimy otrzymany uk³ad równañ nie ma prostego analitycznego rozwi¹za-

nia. Tego typu uk³ady rozwi¹zujemy metodami numerycznymi. Opracowano wiele

metod komputerowych przybli¿onego rozwi¹zywania takich uk³adów równañ. Przy-

k³adowo pakiet STATISTICA

(opisany szczegó³owo w podrêcznikach [1619]) za-

wiera procedury numeryczne oparte na metodzie Newtona (Quasi-Newton Method)

i metodzie sympleksowej (Simplex Procedure). Zainteresowanych odsy³amy tak¿e

do innych pakietów oprogramowania opisanych w podrêcznikach i opracowaniach

[2029]. Dodajmy, ¿e pakiety STATISTICA oraz wiêkszoæ wymienionych w nastêp-

nym rozdziale umo¿liwiaj¹ dokonywanie analizy statystycznej wyników pomiaro-

wych.

Produkt firmy StatSoft Inc, USA; jest dostêpny w pracowni multimedialnej Wydzia³u Pod-

stawowych Problemów Techniki Politechniki Wroc³awskiej mieszcz¹cej siê w sali 140 gmachu

A-1. Szczegó³owe informacje dotycz¹ce tego oprogramowania mo¿na znaleæ w Internecie pod

adresami http://www.statsoft.com/, http://www.statsoft.pl/.

5. KOMPUTEROWE OPRACOWANIE WYNIKÓW

Sprawozdanie z wykonanego æwiczenia laboratoryjnego, obejmuj¹ce zagadnie-

nia opisane w nastêpnym rozdziale, mo¿e byæ sporz¹dzone przy u¿yciu personalnego

komputera z wykorzystaniem standardowego edytora tekstu, pakietu graficznego,

arkusza kalkulacyjnego lub innego oprogramowania. Do tego celu polecamy progra-

my pakietu Microsoft Office (edytor tekstu Word i arkusz kalkulacyjny Excel), pro-

cesory tekstu (np. TEX, LATEX, LAMEX) oraz pakiety graficzne Grapher, Origin

lub inne. Bardzo po¿yteczne s¹ tak¿e nastêpuj¹ce pakiety programów:
Matlab [2023] adres w Internecie http://www.mathworks.com.
Mathematica [24] adres elektroniczny http://www.wolfram.com).
MathCad [25, 26] adresy internetowe: http://www.mathcad.com, http://

www.mathsoft.com; ma wiele mo¿liwoci edytora tekstu oraz arkusza graficznego

i kalkulacyjnego.

Derive [2729] adres strony domowej http://www.derive.com.
Maple adres w Internecie http://www.mapleapps.com.

Za ich pomoc¹ mo¿na dokonywaæ równie¿ statystycznej analizy wyników po-

miarowych.

W witrynie dydaktycznej Instytutu Fizyki [30] pod adresem http://www.if.pwr.

wroc.pl/dydaktyka/LPF/programy/index.html znajduje siê kilka programów, który-

mi mo¿na pos³ugiwaæ siê bezp³atnie. Ni¿ej podajemy listê tych programów wraz

z krótkimi opisami.
I. Program REDNIA jego autorem jest dr in¿. J. Szatkowski (adres strony do-

mowej w Internecie: http://www.if.pwr.wroc.pl/~szatkowski). Pozwala obliczaæ

wartoæ redni¹ skoñczonej serii pomiarów (próby) (patrz wzory (2.6), (2.55)),

niepewnoæ standardow¹ wartoci redniej (patrz wzory (2.10), (2.56)) oraz nie-

pewnoæ standardow¹ pojedynczego pomiaru (patrz wzór (2.8)). Jest przezna-

czony do pracy w systemie operacyjnym MS Windows 95/NT i zgodnych z ni-

mi.

II. Program nosz¹cy nazwê srednia.pas (plik wykonawczy srednia.exe) autorstwa

dr. A. Kolarza. Jest zainstalowany tak¿e na komputerach w Laboratorium Pod-

staw Fizyki. Oblicza po wprowadzeniu wyników pomiarów wartoci:
redniej x serii n pomiarów.
Odchylenia standardowego s

Eksperymentalnego odchylenia standardowego

redniej arytmetycznej.

Numer wyniku pomiarowego daj¹cego odchylenie maksymalne.
Procentow¹ wartoæ stosunku maksymalnego odchylenia do wartoci redniej.

Chc¹c skorzystaæ z programu nale¿y uruchomiæ zintegrowane rodowisko Tur-

bo Pascala (wersja wy¿sza od 4. w³¹cznie; zak³adamy, ¿e czytelnik potrafi pos³ugi-

waæ siê Turbo Pascalem) albo zainicjowaæ plik srednia.exe znajduj¹cy siê w kata-

logu C:\LABOR. Po uruchomieniu programu ukazuje siê jego nazwa oraz informa-

cja o autorze. Dalej postêpujemy zgodnie z wywietlan¹ instrukcj¹ o nastêpuj¹cej

treci:

1. Po zapoznaniu siê z tym opisem naciskamy ENTER.

2. W pierwszym kroku podajemy liczbê pomiarów n nie mniejsz¹ ni¿

2 i naciskamy ENTER.

3. Zadajemy liczbê miejsc po przecinku, z któr¹ bêd¹ obliczane wyniki

i naciskamy ENTER.

4. Wprowadzamy z klawiatury kolejno n wartoci liczbowych bêd¹-

cych wynikami pomiarów; poszczególne dane akceptujemy naciskaj¹c ka¿-

dorazowo ENTER; wprowadzona i-ta wartoæ ukazuje siê na ekranie po

symbolach x[i]= ... .

5. Wyniki obliczeñ s¹ wywietlane na ekranie. Sk³ada siê na nie:

wartoæ rednia, odchylenie standardowe, eksperymentalne odchylenie

standardowe wartoci redniej, numer wyniku pomiarowego daj¹cego od-

chylenie maksymalne, procentowa wartoæ stosunku maksymalnego odchy-

lenia do wartoci redniej.

6. Naciniêcie ENTER powoduje pojawienie siê graficznego obrazu

ilustruj¹cego rozrzut punktów pomiarowych wokó³ redniej. Powinno to

u³atwiæ eliminacjê punktów pomiarowych obarczonych b³êdami grubymi.

7. Po zakoñczeniu obliczeñ z pierwsz¹ seri¹ pomiarów, mo¿emy kon-

tynuowaæ obliczenia wybieraj¹c opcjê T (tak). Wtedy powtarzamy czyn-

noci opisane w punktach 27. Wybranie opcji N (nie)koñczy funkcjo-

nowanie programu.

8. Naciskaj¹c ENTER (patrz pkt. 1) ponownie uruchamiamy program.

III.Program REGRESJA autorem jest dr in¿. J. Szatkowski. Umo¿liwia dopaso-

wanie metod¹ najmniejszych kwadratów prostej do danej serii pomiarów (patrz

rozdzia³ 4). Wyznacza wspó³czynnik kierunkowy

, wyraz wolny

(patrz wzór

(4.2)) oraz ich niepewnoci (patrz wzory (4.4) i (4.5)). Ponadto program rysuje

wykresy. Umo¿liwia u¿ywanie skal: liniowej i logarytmicznej. Jest przeznaczony

do pracy w systemie operacyjnym MS Windows 95/NT i zgodnych z nimi.

IV.Program REGRESJA jego autorem jest dr A. Kolarz. Dopasowuje metod¹ naj-

mniejszych kwadratów prost¹ do danej serii pomiarów (patrz rozdzia³ 4). Wy-

znacza wspó³czynnik kierunkowy

, wyraz wolny

(patrz wzór (4.2)) oraz ich

niepewnoci (patrz wzory (4.4) i (4.5)). Pracuje pod kontrol¹ DOS. Jest dostêp-

ny dla u¿ytkowników na komputerach Laboratorium Podstaw Fizyki. Aby z nie-

go skorzystaæ, nale¿y przejæ do katalogu C:\LABOR i uruchomiæ plik regresja.exe

(lub zintegrowane rodowisko Turbo Pascala i wczytaæ plik regresja.pas). Tu¿

po zainicjowaniu wywietlany jest tytu³ procedury i informacja o autorze. Naci-

niêcie dowolnego klawisza spowoduje ukazanie siê okna zawieraj¹cego instruk-

cjê (tj. opis pos³ugiwania siê programem) o nastêpuj¹cej treci:

1. Po zapoznaniu siê z tym opisem naciskamy dowolny kla-

wisz.

2. W pierwszym kroku podajemy liczbê pomiarów n nie mniej-

sz¹ ni¿ 3 i naciskamy ENTER.

3. Zadajemy liczbê miejsc po przecinku (to jest liczbê miejsc,

jak¹ bêd¹ zawiera³y wyniki obliczeñ) i naciskamy ponownie EN-

TER.

4. Wprowadzamy z klawiatury kolejno n par wartoci liczbowych

reprezentuj¹cych pomiary (x

), które ukazuj¹ siê u do³u ekra-

nu. Dane akceptujemy naciskaj¹c ka¿dorazowo ENTER. Wprowadzo-

ne wartoci s¹ wywietlane u góry ekranu pod symbolami x[i]

oraz y[i].

Uwaga

W przypadku podania dwóch wartoci ; odpowiadaj¹cych tej samej

wartoci :, program sygnalizuje b³¹d i ¿¹da poprawienia da-

nych.

5. Wyniki obliczeñ zostan¹ wywietlone na ekranie. S¹ to

obliczone wartoci wspó³czynnika kierunkowego prostej

(patrz

wzór (4.3)) i wyrazu wolnego

(patrz wzór (4.3)) oraz warto-

ci ich niepewnoci: s

) (patrz wzór (4.4)) i

) (patrz

wzór (4.4)).

6. Po zakoñczeniu obliczeñ z pierwsz¹ seri¹ danych, mo¿emy

kontynuowaæ obliczenia wybieraj¹c opcjê T. Wtedy powtarzamy

czynnoci opisane w punktach 25. Wybranie opcji N koñczy funk-

cjonowanie programu.

7. Naciskaj¹c ENTER ponownie uruchamiamy program.

V. Program NIEPEWNOCI autorem jest dr J. Peisert (adres strony domowej

w Internecie: http://www.if.pwr.wroc.pl/~peisert). Oblicza niepewnoci wielkoci

z³o¿onych na podstawie niepewnoci wielkoci wejciowych (patrz rozdzia³ 2.6).

Jest przeznaczony do pracy w systemie operacyjnym MS Windows 95/NT i zgo-

dnych z nimi.

VI. Program A_N jego autorem jest in¿. G. Zyko. Pozwala wyznaczaæ wszystkie

wielkoci, o których by³a mowa w rozdziale 2 w zwi¹zku z pomiarami prostymi

i z³o¿onymi. Pracuje pod kontrol¹ systemów operacyjnych MS Windows 95/NT

i zgodnych z nimi.

6. ZASADY WYKONYWANIA ÆWICZEÑ

I OPRACOWYWANIA SPRAWOZDAÑ

Przed przyst¹pieniem do æwiczenia nale¿y zapoznaæ siê z opisem danego æwi-

czenia zamieszczonym w skrypcie. We wstêpie do ka¿dego æwiczenia (lub grupy

æwiczeñ) wymienione s¹ podstawowe zagadnienia zwi¹zane z jego tematyk¹. Wiêk-

szoæ z nich jest opisana we wprowadzeniu do æwiczenia. Je¿eli jakie pojêcie nie

zosta³o opisane we wstêpie, obok niego znajduje siê odsy³acz do podrêcznika z fi-

zyki ogólnej, w którym mo¿na znaleæ jego wyjanienie. Studentów obowi¹zuje zna-

jomoæ tych pojêæ, znajomoæ zasady pomiaru, schematu uk³adu pomiarowego oraz

sposobu opracowania wyników pomiarów. Podczas ka¿dego z æwiczeñ prowadz¹cy

mo¿e sprawdzaæ równie¿ podstawowe wiadomoci dotycz¹ce analizy niepewnoci

pomiarów, a zw³aszcza znajomoæ metody obliczania niepewnoci pomiarowych
przydatnej i polecanej do danego æwiczenia.

6.1 Wskazówki praktyczne dotycz¹ce wykonywania æwiczeñ

Pierwsz¹ czynnoci¹, któr¹ nale¿y wykonaæ po przyjciu do laboratorium jest

porównanie zestawu przyrz¹dów pomiarowych znajduj¹cych siê na stanowisku z wy-

kazem znajduj¹cym siê w instrukcji roboczej. Brakuj¹ce przyrz¹dy lub próbki nale-

¿y na czas pomiarów wypo¿yczyæ (na rewers) od prowadz¹cego æwiczenia.

Po skompletowaniu przyrz¹dów i próbek nale¿y zaproponowaæ i uzgodniæ z pro-

wadz¹cym zajêcia zadania pomiarowe. Zadania te mog¹ byæ modyfikowane zale¿-

nie od przebiegu pomiarów.

Kolejn¹ czynnoci¹ jest zestawienie uk³adu pomiarowego lub wykonanie po³¹czeñ

elektrycznych zgodnie ze schematem lub opisem zawartym w instrukcji roboczej.

Wykonuj¹c po³¹czenia elektryczne korzystamy wy³¹cznie z przewodów znajdu-

j¹cych siê na danym stanowisku. W razie braku przewodów nale¿y zwróciæ siê do

prowadz¹cego. Nie wolno zabieraæ przewodów z s¹siedniego stanowiska. Po wy-

konaniu po³¹czeñ elektrycznych nale¿y zwróciæ siê do nauczyciela akademickiego

z prob¹ o sprawdzenie prawid³owoci po³¹czeñ. Uk³ady elektryczne mo¿na w³¹-

czyæ do sieci tylko w obecnoci prowadz¹cego, po uprzednim ich sprawdzeniu.

Za ewentualne szkody wynikaj¹ce z nieprzestrzegania tego zalecenia student pono-

si pe³n¹ odpowiedzialnoæ, tak¿e materialn¹!

Przed przyst¹pieniem do pomiarów nale¿y zwróciæ uwagê na wartoci graniczne

napiêæ, natê¿eñ pr¹du lub temperatury. Przekroczenie wartoci dopuszczalnych mo¿e

spowodowaæ uszkodzenie lub zniszczenie przyrz¹dów pomiarowych, albo badanych

próbek. Informacje dotycz¹ce dopuszczalnych wartoci napiêæ, pr¹dów, temperatu-

ry zawarte s¹ w instrukcji roboczej.

Przed przyst¹pieniem do w³aciwych pomiarów warto wykonaæ pomiary próbne,

których celem jest dobranie odpowiednich zakresów przyrz¹dów pomiarowych,

sprawdzenie poprawnoci dzia³ania ca³ego zestawu pomiarowego oraz poszcze-

gólnych przyrz¹dów, zorientowanie siê w wartociach ekstremalnych mierzonych

wielkoci, po³o¿enia ekstremów itd. Pomiary próbne umo¿liwi¹ prawid³owe zapla-

nowanie pomiarów liczby i ewentualnego rozmieszczenia punktów pomiarowych,

koniecznoci zmian zakresów pomiarowych itp.

Protokó³ podpisany przez prowadz¹cego stanowi dowód wykonania pomiarów

oraz podstawê do ich opracowania. Protokó³ nale¿y za³¹czyæ do sprawozdania z wy-

konanego æwiczenia. Zwracaj¹c siê do prowadz¹cego o podpisanie protoko³u, nale-

¿y uzgodniæ sposób opracowania wyników oraz obliczania ich niepewnoci.

Uwaga

1. Ka¿dy student powinien przygotowaæ oddzielny protokó³, chyba ¿e prowa-

dz¹cy postanowi inaczej.

2. Podczas pomiarów warto wykonaæ obliczenia próbne, obliczenia takie pozwol¹

zorientowaæ siê, czy uzyskane wyniki s¹ sensowne, jakie sta³e potrzebne s¹ do obli-

czeñ itd. W trakcie pomiarów warto równie¿ szkicowaæ wykres w jednostkach wiel-

koci mierzonych bezporednio. Szkic taki pozwala na odpowiedni dobór punktów

pomiarowych oraz na zorientowanie siê co do poprawnoci prowadzonych pomiarów.

6.2. Sprawozdanie

Æwiczenia w Laboratorium Podstaw Fizyki s¹ wykonywane przewa¿nie w gru-

pach dwuosobowych. Wyniki pomiarów mog¹ byæ opracowywane wspólnie, na-

tomiast sprawozdanie ka¿dy ze studentów wykonuje samodzielnie. Sprawozdanie

mo¿e byæ napisane odrêcznie lub za pomoc¹ dowolnego edytora tekstu. W spra-

wozdaniu nie nale¿y umieszczaæ wstêpu teoretycznego (w szczególnie uzasa-

dnionych przypadkach prowadz¹cy mo¿e poleciæ opisanie pewnych zagadnieñ w for-

mie za³¹cznika do sprawozdania).

Ka¿de sprawozdanie powinno zawieraæ ni¿ej wymienione elementy.

1. Nag³ówek. W nag³ówku nale¿y podaæ swoje dane: imiê i nazwisko, wydzia³,

kierunek i rok studiów, numer grupy, datê wykonania pomiarów, temat i numer æwi-

czenia oraz nazwisko prowadz¹cego.

2. Schemat uk³adu pomiarowego, bieg promieni w przypadku æwiczeñ

z optyki.

3. Wykaz zadañ pomiarowych.

4. Tabele z wynikami pomiarów oraz obliczeñ. Do ka¿dego sprawozdania na-

le¿y do³¹czyæ protokó³ z przeprowadzonych pomiarów podpisany przez pro-

wadz¹cego.

5. Wzory, z których korzystano podczas obliczeñ oraz przyk³adowe obliczenia.

Je¿eli jakie obliczenia s¹ wykonywane wielokrotnie, to wystarczy jeden przyk³ad.

Dane zawarte w przyk³adowych obliczeniach musz¹ pochodziæ z tabel zawartych

w protokóle z pomiarów, a ich wyniki powinny byæ zamieszczone w tabeli, o której

mowa w punkcie 4.

6. Wykresy. W przypadku pomiarów, których celem jest zbadanie zwi¹zków

miêdzy wielkociami fizycznymi do sprawozdania nale¿y do³¹czyæ wykresy wy-

konane rêcznie na papierze milimetrowym lub za pomoc¹ komputera.

7. Dyskusja niepewnoci pomiarów. W dyskusji niepewnoci pomiarów nale-

¿y podaæ informacje o tym, w jaki sposób oszacowano niepewnoci wyników po-

miarów wielkoci wyznaczonych bezporednio (eksperymentalne odchylenie stan-

dardowe wartoci redniej, b³¹d maksymalny, poziom ufnoci, oszacowanie na pod-

stawie klasy przyrz¹du itd.).

W przypadku obliczania niepewnoci pomiarów z³o¿onych metod¹ ró¿niczki

zupe³nej lub pochodnej logarytmicznej w sprawozdaniu powinno znaleæ siê wypro-

wadzenie wzoru, na podstawie którego obliczono niepewnoci. W pozosta³ych przy-

padkach wystarczy podanie wzorów, z których korzystamy oraz przyk³adowych obli-

czeñ. Dane do tych obliczeñ musz¹ pochodziæ z protokó³u.

Bardzo wa¿n¹ czêci¹ dyskusji niepewnoci pomiarów s¹ wnioski dotycz¹ce

wk³adu, jaki wnosz¹ niepewnoci pomiarów poszczególnych wielkoci do nie-

pewnoci wyniku koñcowego.

8. Wnioski. We wnioskach z æwiczenia nale¿y podaæ wartoci wielkoci wyzna-

czanych oraz ich niepewnoci, porównanie uzyskanych wyników z wartociami ta-

belarycznymi lub wynikami uzyskanymi innymi metodami, uwagi dotycz¹ce metody

pomiarowej, wp³ywu czynników zewnêtrznych na przebieg i wyniki pomiarów.

Je¿eli celem æwiczenia by³o sprawdzenie jakiego prawa lub wyznaczenie za-

le¿noci miêdzy wielkociami fizycznymi, to we wnioskach nale¿y stwierdziæ, czy

uzyskane wyniki potwierdzaj¹ to prawo lub czy uzyskana zale¿noæ jest zgodna

z oczekiwan¹, jakie ograniczenia co do stosowalnoci sprawdzanego prawa lub ba-

danej zale¿noci wynikaj¹ z otrzymanych wyników.

7. DODATEK

7.1. Definicje jednostek podstawowych uk³adu SI

Obecnie obowi¹zuj¹ce definicje jednostek wielkoci podstawowych, uzupe³nia-

j¹cych oraz wybrane jednostki pochodne podajemy za U.S. Department of Commer-

cy, National Institute of Standards and Technology (1993).

1. Odleg³oæ

METR m

Metr jest to odleg³oæ, jak¹ przebywa

wiat³o w pró¿ni w czasie 1/299792458 s

Jednostk¹ powierzchni w uk³adzie SI jest m

Jednostk¹ objêtoci w uk³adzie SI jest m

2. Czas

SEKUNDA s

Sekunda jest definiowana jako 9192631770 okresów

promieniowania elektromagnetycznego emitowanego

podczas przejcia elektronu miêdzy jednoznacznie

okrelonymi poziomami energetycznymi atomu cezu 133

Wzorzec czasu jest realizowany za pomoc¹ zegara cezowego pracuj¹cego w ci-

le okrelonych warunkach.

Liczbê okresów w jednostce czasu nazywa siê czêstotliwoci¹. Jednostk¹ czêsto-

tliwoci w uk³adzie SI jest herc (Hz). Jest to 1 okres na sekundê.

3. Masa

KILOGRAM kg

Wzorcem jednostki masy (kilograma) jest cylinder

wykonany ze stopu platyny i irydu, przechowywany

w Miêdzynarodowym Biurze Miar i Wag w pobli¿u Pary¿a

Jednostk¹ si³y w uk³adzie SI jest niuton (N). Niuton jest si³¹, która masie 1 kg

nadaje przyspieszenie 1 m/s

. 1 N = 1 kgm/s

Jednostk¹ cinienia w uk³adzie SI jest paskal (Pa). 1 Pa = 1 N/m

Jednostk¹ pracy (energii) w uk³adzie SI jest d¿ul (J). 1 J = 1 Nm.

Jednostk¹ mocy w uk³adzie SI jest wat (W). 1 W = 1 J/s.

4. Temperatura

KELWIN K

Kelwin jest definiowany jako 1/273,16 czêæ temperatury

termodynamicznej punktu potrójnego wody

5. Natê¿enie pr¹du

AMPER A

Amper jest zdefiniowany jako natê¿enie pr¹du p³yn¹cego

w dwóch d³ugich, równoleg³ych przewodnikach, odleg³ych

o 1 m, znajduj¹cych siê w pró¿ni, powoduj¹cego powstanie si³y

oddzia³ywania magnetycznego miêdzy tymi przewodnikami wyno-

sz¹cej 2·10

N na ka¿dy metr ich d³ugoci

Jednostk¹ potencja³u w uk³adzie SI jest wolt (V). 1 V = 1W/A

Jednostk¹ oporu w uk³adzie SI jest ohm (

Ω

). 1

Ω

= 1V/A.

6. Natê¿enie ród³a wiat³a

KANDELA cd

Natê¿enie promieniowania o czêstotliwoci 540·10

Hz,

emitowanego przez ród³o jest równe jednej kandeli, je¿eli

moc 1/683 wata jest wypromieniowywana w k¹t bry³owy

równy jednemu steradianowi

Jednostki uzupe³niaj¹ce

7. K¹t p³aski

RADIAN rad

Radian jest to k¹t p³aski o wierzcho³ku umieszczonym

w rodku okrêgu, którego ramiona wyznaczaj¹ na okrêgu ³uk

o d³ugoci równej promieniowi tego okrêgu

8. K¹t bry³owy

STERADIAN sr

Steradian jest to k¹t sferyczny (bry³owy) o wierzcho³ku

umieszczonym w rodku sfery, wyznaczaj¹cy na jej

powierzchni wycinek, którego pole jest równe

kwadratowi promienia tej sfery

9. Iloæ substancji

MOL mol

Jeden mol jest to iloæ substancji, w której liczba moleku³

jest równa liczbie atomów zawartych w 0,012 kg wêgla

7.2. Przedrostki stosowane

do oznaczania wielokrotnoci jednostek

(za: U.S. Department of Commercy, National Institute of Standards and Technology, 1993)

wielokrotnoæ

przedrostek

symbol

1 000 000 000 000 000 000 000 000

= 10

yotta

1 000 000 000 000 000 000 000

= 10

zetta

1 000 000 000 000 000 000

= 10

exa

1 000 000 000 000 000

= 10

peta

1 000 000 000 000

= 10

tera

1 000 000 000

= 10

giga

1000 000

mega

1 000

kilo

100

hekto

= 10

deka

0,1

decy

0,01

= 10

centy

0,001

= 10

milli

0,000 001

= 10

mikro

0,000 000 001

= 10

nano

0,000 000 000 001

= 10

piko

0,000 000 000 000 001

femto

0,000 000 000 000 000 001

atto

0,000 000 000 000 000 000 001

zepto

0,000 000 000 000 000 000 000 001

yocto

Uwagi:
1. W przypadku, gdy w jêzyku polskim tradycyjnie stosowane s¹ inne przedrostki ni¿ u¿y-

wane w jêzyku angielskim, podano ich polsk¹ wersjê.

2. Jednostk¹ wyjciow¹ masy jest gram (jednostk¹ podstawow¹ jest kilogram!).

7.3. Tabele

Tabela 1. Wartoci wspó³czynników Studenta t(n, p). W pierwszej kolumnie podano wartoci

n 1, a w nastêpnych wartoci wspó³czynników t(n, p) dla wartoci p z pierwszego wiersza.

p = 0,6827

p = 0,95

p = 0,9545

p = 0,9973

1,837

12,706

13,968

235,777

1,321

4,303

4,527

19,206

1,197

3,182

3,307

9,219

1,142

2,776

2,869

6,620

1,111

2,571

2,649

5,507

1,091

2,447

2,517

4,904

1,077

2,365

2,429

4,530

1,067

2,306

2,366

4,277

1,059

2,262

2,320

4,094

1,053

2,228

2,284

3,957

1,048

2,201

2,255

3,850

1,043

2,179

2,231

3,764

1,040

2,160

2,212

3,694

1,037

2,145

2,195

3,636

1,034

2,131

2,181

3,586

1,032

2,120

2,169

3,544

1,030

2,110

2,158

3,507

1,029

2,101

2,149

3,475

1,027

2,093

2,140

3,447

1,026

2,086

2,133

3,422

1,024

2,080

2,126

3,400

1,023

2,074

2,120

3,380

1,022

2,069

2,115

3,361

1,021

2,064

2,110

3,345

1,020

2,060

2,105

3,330

1,020

2,056

2,101

3,316

1,019

2,052

2,097

3,303

1,018

2,048

2,093

3,291

1,018

2,045

2,090

3,280

1,017

2,042

2,087

3,270

1,016

2,040

2,084

3,261

1,016

2,037

2,081

3,252

1,015

2,035

2,079

3,244

1,015

2,032

2,076

3,236

1,015

2,030

2,074

3,229

1,014

2,028

2,072

3,222

1,014

2,026

2,070

3,216

1,013

2,024

2,068

3,210

1,013

2,023

2,066

3,204

1,013

2,021

2,064

3,199

1,012

2,020

2,063

3,194

1,012

2,018

2,061

3,189

1,012

2,017

2,060

3,184

1,012

2,015

2,058

3,180

1,011

2,014

2,057

3,176

1,011

2,013

2,056

3,172

1,011

2,012

2,055

3,168

1,011

2,011

2,053

3,164

1,010

2,010

2,052

3,160

1,010

2,009

2,051

3,157

1,008

2,000

2,043

3,130

1,007

1,994

2,036

3,111

1,006

1,990

2,032

3,096

1,006

1,987

2,028

3,085

100

1,005

1,984

2,025

3,077

p = 0,6827

p = 0,95

p = 0,9545

p = 0,9973

Tabela 2. Tablica wartoci funkcji

∫

−

≤

−

)

(

exp

)

(

)

(

gdzie:

jest wartoci¹ rzeczywist¹ wielkoci X, natomiast

odchyleniem standardowym. War-

toæ P(t) to prawdopodobieñstwo otrzymania wyniku pomiaru o wartoci x nale¿¹cej do przedzia³u

−

. W tabeli podano tak¿e wartoci 1 P(t) okrelaj¹ce prawdopodobieñstwo otrzy-

mania wyniku pomiaru le¿¹cego poza przedzia³em

−

P(t)

1 P(t)

P(t)

1 P(t)

P(t)

1 P(t)

0,00

0,0000 1,0000

0,50

0,3829 0,6171

1,00

0,6827

0,3173

0,02

0,0160 0,9840

0,52

0,3669 0,6031

1,05

0,7063

0,2937

0,04

0,0319 0,9681

0,54

0,4108 0,5892

1,10

0,7287

0,2713

0,06

0,0478 0,9522

0,56

0,4245 0,5755

1,15

0,7499

0,2501

0,08

0,0638 0,9362

0,58

0,4381 0,5619

1,20

0,7699

0,2301

0,10

0,0797 0,9203

0,60

0,4515 0,5485

1,25

0,7887

0,2113

0,12

0,0955 0,9045

0,62

0,4647 0,5343

1,30

0,8064

0,1936

0,14

0,1113 0,8887

0,64

0,4778 0,5222

1,35

0,8230

0,1770

0,16

0,1271 0,8729

0,66

0,4907 0,5093

1,40

0,8385

0,1615

0,18

0,1428 0,8572

0,68

0,5035 0,4965

1,45

0,8529

0,1471

0,20

0,1585 0,8415

0,70

0,5161 0,4839

1,50

0,8664

0,1336

0,22

0,1741 0,8259

0,72

0,5285 0,4715

1,55

0,8789

0,1211

0,24

0,1897 0,8103

0,74

0,5407 0,4593

1,60

0,8904

0,1096

0,26

0,2051 0,7949

0,76

0,5527 0,4473

1,65

0,9011

0,0989

0,28

0,2205 0,7795

0,78

0,5646 0,4354

1,70

0,9109

0,0891

0,30

0,2358 0,7642

0,80

0,5763 0,4237

1,80

0,9281

0,0719

0,32

0,2510 0,7490

0,82

0,5878 0,4122

1,90

0,9426

0,0574

0,34

0,2661 0,7339

0,84

0,5991 0,4009

2,00

0,9545

0,0455

0,36

0,2812 0,7188

0,86

0,6102 0,3898

2,20

0,9722

0,0278

0,38

0,2961 0,7039

0,88

0,6211 0,3789

2,40

0,9836

0,0164

0,40

0,3108 0,6892

0,90

0,6319 0,3681

2,60

0,9907

0,0093

0,42

0,3255 0,6745

0,92

0,6424 0,3576

2,80

0,9949

0,0051

0,44

0,3401 0,6599

0,94

0,6528 0,3472

3,00

0,9973

0,0027

0,46

0,3545 0,6455

0,96

0,6629 0,3371

4,00

0,99994

6·10

0,48

0,3688 0,6312

0,98

0,6729 0,3271

5,00

0,9999994 6·10

Tabela 3. Wybrane sta³e fizyczne

Wzglêdna

Wielkoæ

Symbol

Wartoæ i jednostki

niepewnoæ

standardowa

Prêdkoæ wiat³a w pró¿ni

299792458 m/s

(dok³adnie)

Przenikalnoæ elektryczna

pró¿ni

8,854187817...·10

F/m

(dok³adnie)

Przenikalnoæ magnetyczna

pró¿ni

12,566370614...·10

H/m

(dok³adnie)

£adunek elementarny

1,602176462(63)·10

3,9·10

Sta³a Plancka

6,62606876(52)·10

J·s

7,8·10

Liczba Avogadra

6,02214199(47)·10

mol

7,9·10

Masa spoczynkowa

elektronu

9,10938188(72)·10

kg7,9·10

Masa spoczynkowa

protonu

1,67262158(13)·10

kg7,9·10

Masa spoczynkowa

neutronu

1,67492716(13)·10

kg7,9·10

Sta³a Faradaya

96485,3415(39) C/mol

4,0·10

Sta³a Rydberga

∞

10973731,568549(83) m

7,6·10

Sta³a gazowa

8,314472(15) J/mol·K

1,7·10

Sta³a Boltzmanna

1,3806503(24)·10

J/K

1,7·10

Sta³a StefanaBoltzmanna

5,670400(40)·10

W/m

·K

7,0·10

Sta³a grawitacji

6,673(10)·10

·kg1,5·10

Magneton Bohra

927,400899(37)·10

J/T

4,0·10

£adunek w³aciwy

elektronu

e/m

1,7588047·10

C/kg

Sta³a Wiena

2,8978·10

K·m

Temperatura punktu

potrójnego wody

273,1600 K

Wartoci sta³ych fizycznych (z wyj¹tkiem trzech ostatnich wierszy) wyrównane metod¹ najmniej-

szych kwadratów dane z 1998 roku zalecane do u¿ytku przez CODATA (Committee on Data

for Science and Technology of the International Council for Science). M. S

UFFCZYÑSKI

, P. J

ANI

SZEWSKI

, Postêpy Fizyki; tom 53, z. 1, s. 1718, Warszawa 2002.

Tabela 4. Zale¿noæ parametru K od U: pomiar napiêcia powierzchniowego cieczy stalagmometrem

0,15900

5,1

0,25273

1,50

0,26560

5000

0,17200

5,0

0,25306

1,45

0,26560

250

0,19900

4,9

0,25340

1,40

0,26536

58,1

0,21500

4,8

0,25373

1,38

0,26528

24,6

0,22560

4,7

0,25407

1,36

0,26520

17,7

0,23050

4,6

0,25448

1,34

0,26510

13,0

0,23546

4,5

0,25472

1,32

0,26500

12,0

0,23702

4,4

0,25509

1,30

0,26490

11,5

0,23780

4,3

0,25545

1,28

0,26474

11,0

0,23875

4,2

0,25583

1,26

0,26460

10,5

0,23940

4,1

0,25620

1,24

0,26438

10,0

0,24035

4,0

0,25659

1,22

0,26418

9,5

0,24117

3,9

0,25697

1,20

0,26396

9,0

0,24195

3,8

0,25734

1,18

0,26372

8,5

0,24324

3,7

0,25772

1,16

0,26350

8,0

0,24440

3,6

0,25810

1,14

0,26324

7,8

0,24490

3,5

0,25848

1,12

0,26296

7,6

0,24538

3,4

0,25892

1,10

0,26264

7,4

0,24590

3,3

0,25937

1,08

0,26230

7,2

0,24640

3,2

0,25980

1,06

0,26190

7,0

0,25693

3,1

0,26024

1,04

0,26154

6,9

0,24720

3,0

0,26068

1,02

0,26115

6,8

0,24750

2,9

0,26110

1,00

0,26070

6,7

0,24777

2,8

0,26154

0,95

0,25960

6,6

0,24804

2,7

0,26198

0,90

0,25815

6,5

0,24836

2,6

0,26241

0,85

0,25645

6,4

0,24867

2,5

0,26286

0,80

0,25460

6,3

0,24897

2,4

0,26327

0,75

0,25255

6,2

0,24925

2,3

0,26370

0,70

0,25030

6,1

0,24952

2,2

0,26410

0,65

0,24770

6,0

0,24984

2,1

0,26450

0,626

0,24640

5,9

0,25015

2,0

0,26488

0,597

0,24450

5,8

0,25047

1,9

0,26518

0,570

0,24300

5,7

0,25078

1,8

0,26543

0,541

0,24300

5,6

0,25110

1,75

0,26553

0,512

0,24410

Aby wyznaczyæ napiêcie powierzchniowe cieczy na podstawie pomiarów wykonanych za pomo-

c¹ stalagmometru, nale¿y obliczyæ wartoæ parametru U, nastêpnie z tabeli odczytaæ wartoæ K.

Wartoci parametru U oraz napiêcie powierzchniowe

obliczamy ze wzorów: U = m/(

= mgK/R, gdzie: m masa kropli, R promieñ kropli,

gêstoæ cieczy.

Tabela 5a. W³asnoci fizyczne wody

Temp.

Gêstoæ

Ciep³o

Napiêcie

Prê¿noæ pary Lepkoæ

Lepkoæ

w³aciwe

powierzchniowe

dynamiczna kinematyczna

·10

kg/m

·10

J/kgK

·10

N/m

·10

Ns/m

273

0,9998

4,2219

7,564

0,6105

1,798

1,792

277

1,0000

4,2056

7,492

0,8134

1,567

288

0,9991

4,1855

7,349

1,7049

1,140

1,141

293

0,9982

4,1796

7,275

3,3378

1,005

1,007

298

0,9970

4,1754

7,197

3,1672

0,894

0,896

373

0,9584

4,2123

5,885

10,1325

0,284

Tabela 6. Zale¿noæ gêstoci pary wodnej nasyconej od temperatury

°C

g/m

°C

g/m

°C

g/m

°C

g/m

2,1

8,3

24,4

161,1

2,5

8,8

27,2

198,1

3,0

10,7

30,3

241,8

3,5

12,0

39,6

293,3

4,1

13,6

51,6

353,4

4,8

15,4

65,4

423,5

5,6

17,3

83,0

504,5

6,4

19,4

104,3

100

597,7

7,3

21,8

130,2

110

826,0

Tabela 5b. Gêstoæ wody w przedziale temperatur od 0 °C do 10 °C

Gêstoæ

°C

kg/m

°C

kg/m

°C

kg/m

°C

kg/m

999,841

3,0

999,965

4,5

999,972

7,5

999,877

0,5

999,872

3,5

999,971

5,0

999,965

8,0

999,849

1,0

999,905

3,7

999,972

5,5

999,955

8,5

999,817

1,5

999,923

4,0

999,973

6,0

999,941

9,0

999,781

2,0

999,941

4,3

999,972

6,5

999,924

9,5

999,742

2,5

999,955

4,4

999,972

7,0

999,902

10,0

999,700

100

Tabela 9. Wspó³czynniki przewodnictwa cieplnego k

Materia³

k J/msK

Materia³

k J/msK

mied

384

guma

0,25

z³oto

298

korek

0,04

aluminium

226

styropian

0,03

¿elazo

woda

0,609

mosi¹dz

110

bakelit

2,2

szk³o

0,61,0

bawe³na

0,182

kwarc topiony

1,27

ceg³a

0,85

lód

0,6

powietrze 0 °C

0,024

drewno

0,10,3

hel 0 °C

0,144

Tabela 8. Gêstoæ cia³ sta³ych

Materia³

Gêstoæ ·10

kg/m

Materia³

Gêstoæ ·10

kg/m

aluminium

2,71

mosi¹dz

8,48,8

bakelit

1,3

o³ów

11,34

beton

1,4

platyna

21,37

cyna

7,2

porcelana

2,22,5

drewno (d¹b)

0,60,9

srebro

10,51

drewno (sosna)

0,30,6

stal

7,67,9

grafit

2,3

szk³o o³owiowe

2,95,9

korek

0,220,26

szk³o potasowe

2,62,8

kwarc (kryszta³)

2,65

styropian

0,04

lód (273 K)

0,92

wolfram

19,1

mied

8,9

¿elazo

7,86

z³oto

13,9

nikiel

8,90

Tabela 7. Opór w³aciwy oraz wspó³czynniki temperaturowe oporu w temperaturze 293 K

Materia³

Opór w³aciwy ·10

Ω

m Wspó³czynnik temperaturowy K

aluminium

0,0278

3,8·10

konstantan

0,50

5,0·10

manganin

0,43

4,0·10

mied

0,0175

4,0·10

nikielina

0,43

2,3·10

platyna

0,107

3,9·10

srebro

0,016

3,8·10

stal chromoniklowa

1,0

2,5·10

wolfram

0,055

4,1·10

101

Tabela 10a. Charakterystyka termopary miedkonstantan (typ T)

t °C

E mV

t °C

E mV

t °C

E mV

t °C

E mV

3,089

2,250

210

9,820

2,788

2,476

220

10,360

270

6,258

2,475

2,607

230

10,905

260

6,232

2,152

2,908

240

11,456

250

6,181

1,819

3,131

250

12,011

240

6,105

1,475

3,357

260

12,572

230

6,007

1,121

3,584

270

13,137

220

5,889

0,757

3,813

280

13,707

210

5,753

0,383

4,044

290

14,281

200

5,603

0,0

0,000

100

4,277

300

14,860

190

5,439

0,195

110

4,749

310

15,443

180

5,261

0,391

120

5,227

320

16,030

170

5,069

0,589

130

5,712

330

16,621

160

4,869

0,789

140

6,204

340

17,217

150

4,648

0,992

150

6,702

350

17,816

140

4,419

1,196

160

7,207

360

18,420

130

4,177

1,403

170

7,718

370

19,027

120

3,923

1,611

180

8,235

380

19,638

110

3,656

1,822

190

8,757

390

20,252

100

3,378

2,035

200

9,286

400

20,910

Tabela 10b. Charakterystyka termopary ¿elazokonstantan (typ J)

t °C

E mV

t °C

E mV

t °C

E mV

t °C

E mV

1,98

2,11

120

6,47

200

10,95

1,01

3,19

140

7,59

300

16,55

0,00

4,27

160

8,71

400

22,15

1,15

100

5,37

180

9,83

500

27,84

102

Tabela 10c. Charakterystyki najczêciej stosowanych termoelementów

(zgodnie z PN-81/M-53854 (IEC 584))

Napiêcie termoelektryczne mV

Temp., °C

Typ T

Typ J

Typ K

Typ S

Typ B

CuCuNi

FeCuNi

NiNiAl

PtRh10Pt PtRh30PtRh6

200

5,603

7,890

5,891

100

3,378

4,632

3,553

100

4,277

5,269

4,095

0,645

0,033

200

9,286

10,777

8,137

1,440

1,178

300

14,860

16,325

12,207

2,323

0,431

400

20,869

21,846

16,395

3,260

0,786

500

27,388

20,640

4,234

1,241

600

33,096

24,902

5,237

1,741

700

39,130

29,128

6,274

2,430

800

45,498

33,277

7,345

3,154

900

37,325

8,448

3,957

1000

41,269

9,585

4,833

1100

45,108

10,754

5,777

1200

48,828

11,947

6,783

1300

52,398

13,155

7,845

1400

14,368

8,952

1500

15,576

10,094

1600

11,257

1700

12,426

Tabela 11. Praca wyjcia elektronów z metali

Metal

Praca wyjcia, eV

srebro

4,70

bar

0,52

¿elazo

4,71

potas

2,25

lit

2,49

o³ów

4,05

platyna

5,55

wolfram

4,54

103

Tabela 12. W³asnoci cieplne cia³ sta³ych w temperaturze 20 °C oraz ciep³a i temperatury topnienia

Materia³

Ciep³o

Temperatura

Wspó³czynnik

w³aciwe

topnienia

rozszerzalnoci

liniowej

J/kgK

J/kg ·10

°C

·10

aluminium

895,8

394

660

2,55

cyna

224,4

231,8

2,69

lód

2093,0

334

0,00

5,04

mied

385,5

172

1083

1,68

o³ów

127

327,4

2,94

szk³o

800

8001400

0,80,9

¿elazo

447,9

270

1535

1,14

bizmut

123,4

52,3

544,5

1,36

Tabela 13. W³asnoci fizyczne gazów w warunkach normalnych (T = 273 K, p = 10

Pa)

Gaz

Gêstoæ Wspó³czynnik

Ciep³o

lepkoci

w³aciwe

κ =

kg/m

·10

Ns/m

·10

J/(kgK) c

·10

J/(kgK)

azot

1,25

0,0175

1,038

0,745

1,40

dwutlenek wêgla

1,98

0,0145

0,846

0,653

1,30

hel

0,179

0,0196

5,240

3,161

1,66

powietrze

1,29

0,0181

1,009

0,270

1,40

tlen

1,47

0,0203

0,916

0,653

1,40

wodór

0,09

0,0088

14,269

10,132

1,41

104

Tabela 14. W³asnoci sprê¿yste cia³ sta³ych w temperaturze 20 °C

Materia³

Gêstoæ

Modu³

Modu³ Wspó³czynik

Prêdkoæ

Younga

sztywnoci ciliwoci Poissona fali pod³u¿nej

kg/m

·10

N/m

·10

N/m

·10

N/m

·10

m/s

bizmut

9,80

3,2

1,2

3,4

0,33

2200

cyna

7,30

4,7

1,8

0,33

2500

cynk

7,08

8,4

3,8

5,9

0,25

3700

durall

2,79

7,3

2,7

8,3

0,34

6450

glin

2,70

6,8

2,5

7,4

0,34

5104

guma

0,9

0,01

0,00016

0,46

3070

lód

0,9168

0,5

0,29

3260

mied

8,89

10,5

4,4

14,3

0,35

3560

mosi¹dz

8,44

10,5

4,3

10,0

0,35

3500

o³ów

11,34

1,6

0,65

0,45

1227

stal

7,83

21,9

8,3

17,0

0,29

4990

wolfram

18,9

36,2

13,5

33,0

0,17

¿elazo kute

7,85

21,7

8,3

17,0

0,28

5130

Tabela 15. Bezwzglêdne wspó³czynniki za³amania wiat³a n, w temperaturze 293 K dla fali

o d³ugoci

= 589 nm, n

wspó³czynnik za³amania promienia zwyczajnego, n

promienia

nadzwyczajnego

Materia³

powietrze

1,0003

szk³o (crown lekki)

1,5153

balsam kanadyjski

1,515

szk³o flint

1,6085

diament

2,417

woda

1,3337

alkohol etylowy

1,3624

szpat islandzki

1,6585

1,4864

kwarc

1,5343

1,5533

105

Tabela 16. D³ugoci fal najczêciej u¿ywanych linii widmowych

Pierwiastek

D³ugoæ fali nm

Barwa linii

Intensywnoæ

wodór

397,01

fioletowa

s³aba

410,77

fioletowa

s³aba

434,05

fioletowa

rednia

486,13

niebiesko-zielona

rednia

656,28

czerwona

silna

hel

447,15

fioletowa

s³aba

471,31

niebieska

silna

492,19

niebiesko-zielona

rednia

501,57

zielona

rednia

587,56

¿ó³ta

bardzo silna

667,81

czerwona

rednia

706,52

czerwona

rednia

rtêæ

404,65

fioletowa

bardzo s³aba

407,78

fioletowa

s³aba

435,83

niebieska

rednia

491,60

niebiesko-zielona

rednia

546,07

zielona

silna

576,96

¿ó³ta

bardzo silna (dublet)

579,07

¿ó³ta

bardzo silna (dublet)

623,41

czerwona

s³aba

sód

588,99

¿ó³ta

bardzo silny

589,59

¿ó³ta

dublet

laser HeNe

632,8

czerwona

bardzo silna,

1188,5

podczerwieñ

niebezpieczna

1177,7

podczerwieñ

dla oczu

1161,4

podczerwieñ

laser rubinowy

694,3

czerwona

bardzo silna,

niebezpieczna

dla oczu

dioda laserowa

670±10

czerwona

bardzo silna,

niebezpieczna

dla oczu

106

Tabela 17. Uk³ad okresowy pierwiastków
Nad symbolem pierwiastka podana jest liczba atomowa, a pod symbolem liczba masowa sk³adu

izotopowego wystêpuj¹cego na powierzchni Ziemi. W nawiasach podano liczby masowe najbar-

dziej stabilnego izotopu. Jednostkê masy atomowej przyjêto 1/12 masy atomowej wêgla

107

108

Tabela 18. Liniowe wspó³czynniki os³abiania promieniowania rentgenowskiego i gamma (w cm

)

(MeV)

0,05
0,06
0,08
0,10
0,15
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,0
1,1
1,2
1,3
1,5
1,7
2,0
2,5
3,0

= 2,7 g/cm

0,972
0,729
0,524
0,444
0,362
0,323
0,278
0,251
0,228
0,210
0,196
0,184
0,176
0,166
0,158
0,152
0,146
0,137
0,128
0,117
0,106
0,094

= 7,89 g/cm

15,2

9,47
4,69
2,82
1,58
1,13
0,85
0,73
0,66
0,60
0,56
0,52
0,50
0,47
0,45
0,43
0,41
0,38
0,36
0,33
0,31
0,28

= 11,3 g/cm

65,0
40,3
18,8
60,0
24,4

11,8

4,76
2,51
1,72
1,37
1,12
0,99
0,86
0,79
0,72
0,68
0,64
0,58
0,54
0,51
0,48
0,46

NaJ

= 3,67 g/cm

38,6
23,6
10,9

5,97
2,16
1,15
0,580
0,415
0,337
0,294

0,243

0,212

0,17

0,15

0,134

109

Tabela 19. Izotopy ród³a promieniowania

Izotop

Energia kwantów

Okres po³owicznego zaniku

MeV

1/2

0,511

2,6 lat

1,28

0,79

9 miesiêcy

1,78

2,3 dni

0,84

2,6 godzin

0,845

313,5 dni

1,173

5,26 lat

1,332

1,115

246 dni

128

0,687

2,7 lat

128

0,42

25 miesiêcy

133

0,44

9,5 lat

0,38
0,16
0,08

137

0,66

30 lat

204

0,91

2,7 lat

210

0,8

138 dni

240

0,085

120 dni

233

0,09

24 miesi¹ce

110

Rys. D.1. Zale¿noæ gruboci poch³aniania po³ówkowego promieniowania

od energii kwantów dla aluminium i o³owiu

111

Tabela 20. Czasy opadania ciê¿arka przy ustalonym momencie bezw³adnoci krzy¿a Oberbecka

3,719

3,738

3,709

3,705

3,702

3,730

3,714

3,705

3,725

3,730

3,708

3,712

3,727

3,737

3,717

3,718

3,721

3,719

3,709

3,699

3,726

3,723

3,729

3,715

3,709

3,714

3,721

3,722

3,710

3,707

3,709

3,731

3,711

3,726

3,729

3,721

3,716

3,725

3,701

3,714

3,715

3,702

3,695

3,724

3,712

3,717

3,731

3,698

3,724

3,700

3,723

3,742

3,721

3,727

3,725

3,726

3,718

3,717

3,707

3,723

3,709

3,722

3,714

3,719

3,700

3,725

3,726

3,696

3,713

3,714

3,722

3,710

3,711

3,715

3,721

3,733

3,726

3,719

3,708

3,723

3,719

3,727

3,717

3,714

3,715

3,734

3,729

3,721

3,717

3,711

3,714

3,710

3,720

3,707

3,717

3,729

3,714

3,720

3,719

3,718

3,720

3,708

3,709

3,707

3,723

3,729

3,712

3,704

3,716

3,720

3,722

3,719

3,722

3,723

3,718

3,700

3,708

3,718

3,737

3,708

3,707

3,722

3,728

3,718

3,714

3,724

3,717

3,709

3,730

3,722

3,739

3,723

3,711

3,728

3,718

3,717

3,708

3,717

3,714

3,724

3,702

3,719

3,720

3,719

3,732

3,725

3,722

3,727

3,708

3,723

3,710

3,716

3,740

3,712

3,718

3,714

3,713

3,723

3,708

3,714

3,734

3,727

3,712

3,725

3,712

3,719

3,707

3,719

3,702

3,730

3,704

3,703

3,707

3,718

3,716

3,731

3,715

3,704

3,714

3,717

3,728

3,731

3,721

3,720

3,718

3,711

3,722

3,730

x = 3,717395
s

= 0,00008301

s = 0,00911120

112

Tabela 21. Uporz¹dkowane wed³ug wielkoci czasu opadania ciê¿arka krzy¿a Oberbecka zawarte

w tabeli 20

3,695

3,707

3,711

3,714

3,718

3,720

3,723

3,728

3,696

3,708

3,711

3,714

3,718

3,721

3,723

3,729

3,698

3,708

3,711

3,714

3,718

3,721

3,723

3,729

3,699

3,708

3,711

3,715

3,718

3,721

3,724

3,729

3,700

3,708

3,712

3,715

3,718

3,721

3,724

3,729

3,700

3,708

3,712

3,115

3,718

3,721

3,724

3,729

3,700

3,708

3,712

3,115

3,718

3,721

3,724

3,730

3,701

3,708

3,712

3,715

3,718

3,721

3,725

3,730

3,702

3,708

3,712

3,715

3,718

3,721

3,725

3,730

3,702

3,708

3,712

3,716

3,719

3,722

3,725

3,730

3,702

3,709

3,712

3,716

3,719

3,722

3,725

3,730

3,702

3,709

3,713

3,716

3,719

3,722

3,725

3,731

3,702

3,709

3,713

3,716

3,719

3,722

3,725

3,731

3,703

3,709

3,714

3,717

3,719

3,722

3,726

3,131

3,704

3,709

3,714

3,717

3,719

3,722

3,726

3,731

3,704

3,709

3,714

3,717

3,719

3,722

3,726

3,732

3,704

3,709

3,714

3,717

3,719

3,722

3,726

3,733

3,705

3,710

3,714

3,717

3,719

3,122

3,726

3,734

3,705

3,710

3,714

3,717

3,719

3,122

3,727

3,734

3,707

3,710

3,714

3,717

3,719

3,723

3,727

3,737

3,707

3,710

3,714

3,717

3,720

3,723

3,727

3,737

3,707

3,710

3,714

3,717

3,720

3,723

3,727

3,738

3,707

3,710

3,714

3,717

3,720

3,723

3,727

3,739

3,707

3,711

3,714

3,717

3,720

3,723

3,728

3,740

3,707

3,711

3,714

3,718

3,720

3,723

3,728

3,742

113

Literatura uzupe³niaj¹ca

[1] Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, opracowanie wydane przez

International Organization for Standarization (ISO), Genewa 1993.

[2] Wytyczne do obliczania i wyra¿ania niepewnoci pomiaru, G³ówny Urz¹d Miar, War-

szawa 1994.

[3] Essentials of expressing measurement uncertainty. The National Institute of Standards

and technology (NIST). Reference on Constants, Units, and Uncertainty, dokument elek-

troniczny dostepny w Internecie pod adresem: http://physics.nist.gov/cuu/Uncertainty.

[4] B.N. T

AYLOR

, C

. E. K

UYATT

, Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty

of NIST Measurement Results. NIST Technical Note 1297 (1994), dokument elektro-

niczny dostêpny w Internecie pod adresem: http://physics.nist.gov/Pubs/guidelines.

[5] W. K

LONECKI

, Statystyka dla in¿ynierów, PWN, Warszawa 1999.

[6] H. S

ZYD£OWSKI

, Miêdzynarodowe normy oceny niepewnoci pomiarów, Postêpy Fizy-

ki, 51, z. 2, s. 92, Warszawa 2000.

[7] A. Z

IÊBA

, Natura niepewnoci pomiaru a jego nowa kodyfikacja, Postêpy Fizyki, 52,

z. 5, s. 238, Warszawa 2001.

[8] M.W. G

UTOWSKI

, Prosta dostatecznie gruba, Postêpy Fizyki, 53, z. 4, s. 181, Warsza-

wa 2002.

[9] W. S

ALEJDA

, R. P

OPRAWSKI

, Podstawy analizy niepewnoci pomiarowych w studenckim

laboratorium podstaw fizyki, Wroc³aw 2001; elektroniczny dokument dostêpny w in-

ternetowej witrynie dydaktycznej Instytutu Fizyki PWr pod adresem: http://www.if.pwr.

wroc.pl/dydaktyka/LPF/index.html.

[10] J.R. T

AYLOR

, Wstêp do analizy b³êdu pomiarowego, PWN, Warszawa 1995.

[11] H. S

ZYD£OWSKI

, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa 1994.

[12] G.L. S

QUIRES

, Praktyczna fizyka, PWN, Warszawa 1992.

[13] Praca zbiorowa pod red. H. Szyd³owskiego, Teoria pomiarów, PWN, Warszawa 1981.
[14] H. H

ÄNSEL

, Podstawy rachunku b³êdów, WNT, Warszawa 1968.

[15] W. S

ALEJDA

, Co wiedzieæ powinien in¿ynier o fizycznej naturze informacji i procesach

jej przetwarzania?, opracowanie dostêpne w postaci dokumentu elektronicznego na stro-

nie domowej autora: http://www.if.pwr.wroc.pl/~ssalejda.

[16] T. Z

IELIÑSKI

, Jak pokochaæ statystykê, czyli STATISTICA do poduszki, Statsoft, Kraków

1999.

[17] P. K

OBUS

, R. P

IETRZYKOWSKI

, W. Z

IELIÑSKI

, Statystyka z pakietem STATISTICA, Wyd.

Fundacja Rozwój SGGW, Warszawa 1998.

[18] A. L

USZNIEWICZ

, T. S

£ABY

, Statystyka z pakietem komputerowym STATISTICA PL. Teo-

ria i zastosowania, podrêcznik zawiera CD, seria wydawnicza Academia Oeconomica,

Wydawnictwo C.H. Beck, Warszawa 2001.

[19] M. D

OBOSZ

, Wspomagana komputerowo statystyczna analiza wyników badañ, Akade-

micka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 2001.

[20] B. M

ROZEK

, Z. M

ROZEK

, MATLAB. Uniwersalne rodowisko do obliczeñ naukowo-tech-

nicznych, Wyd. PLJ, Warszawa 1996.

[21] B. M

ROZEK

, Z. M

ROZEK

, MATLAB 5.X, SIMULINK 2.X: Poradnik u¿ytkownika, Wyd.

PLJ, Warszawa 1998.

[22] M. W

CISLIK

, Wprowadzenie do systemu MATLAB, Wyd. Politechniki Kieleckiej, Kiel-

ce 2000.

[23] A. Z

ALEWSKI

, R. C

EGIELA

, MATLAB obliczenia numeryczne i ich zastosowania, NA-

KOM, Poznañ 1998.

[24] G. D

RWAL

i in., MATHEMATICA 4, Wyd. Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego,

Gliwice 2000.

[25] A. Z

ERO

, MATHCAC 7.0, wyd. EXIT, Warszawa 1998.

[26] K. J

AKUBOWSKI

, MATHCAD 2000 PROFESSIONAL, Wyd. EXIT, Warszawa 2000.

[27] L. M

AGIERA

, Komputerowy rachunek symboliczny w przyk³adach z fizyki. Czêæ I. Me-

chanika, Oficyna Wyd. PWr., Wroc³aw 1995; L. M

AGIERA

, General Physics Problem

Solving with CAS Derive, Nova Science Publishers, Inc., Huntington, New York 2001.

[28] A. M

ARLEWSKI

, Derive 3.0, NAKOM, Poznañ 1995.

[29] J. P

OPENDA

, A. A

NDRUCH

-S

OBILO

, Matematyka na Derive, Wyd. Politechniki Poznañskiej,

Poznañ 1997.

[30] Witryna dydaktyczna Instytutu Fizyki PWr dostêpna w Internecie pod adresem: http://

www.if.pwr.wroc.pl/dydaktyka; na stronie http://www.if.pwr.wroc.pl/dydaktyka/LPF/

programy/index.html znajduje siê oprogramowanie dydaktyczne omówione w rozdzia-

le pi¹tym.

3RGVWDZRZHSRM FLDL]DVDG\RSUDFRZDQLDZ\QLNyZSRPLDUyZ

SDWU]UR]G]LDá\LSRGU F]QLND

Wynikiem pomiaru

QD]\ZDP\ ZDUWRü x SU]\SLVDQ ZLHONRFL IL]\F]QHM X uzy-

VNDQGURJSRPLDUX

1LHSHZQRFLSU]\SDGNRZQD]\ZDP\Uy*QLF PL G]\Z\QLNLHPSRPLDru x a war-

WRFLUHGQL

z serii pomiarów (próby).

'\VSRQXMFZ\QLNDPL^x

, x

, ... , x

`VHULLSRPLDUyZZLHONRFLIL]\F]QHMXMH*HOL

SRPLDU\QLHVREDUF]RQHEá GDPLV\VWHPDW\F]Q\PLREOLF]DP\UHGQLDU\WPHW\F]Q

NWyUDVWDQRZLRV]DFRZDQLHZDUWRFLU]HF]\ZLVWHMGRNáDGQHMZLHONRFLIL]\F]QHMX

]DSRPRFZ]RUXSDWU]UyZQLH*

∑

Jako

QLHSHZQRü RFHQ\

przyjmujemy

RGFK\OHQLH VWDQGDUGRZH UHGQLHM DU\-

tmetycznej (2.10)

SDWU]UyZQLH*

(

)

∑

−

)

(

NWyUHQRVLQD]Z QLHSHZQRFLVWDQGDUGRZHM.

:LHONRü

(

)

∑

−

GDQ Z]RUHP

(2.8)

nazywamy odchyle-

niem standardowym z próby, natomiast

2
x

QRVLQD]Z wariancji z próby (patrz wzór

(2.7)). Zarówno wariancja jak i odchylenie stan

GDUGRZH V PLDUDPL QLHSHZQRFL

pojedynczego wyniku pomiaru.

:DUWRFL QLHSHZQRFL SRPLDUyZ ]DRNUJODP\ ]DZV]H Z JyU SDWU] UR]G]LDá

2.4.). Niepe

ZQRFL ]DokUJODP\ QDMSLHUZ ] GRNáDGQRFL GR MHGQHM F\IU\ ]QDF]FHM

-H*HOLZVW SQH]DRNUJOHQLHSRZRGXMHZ]URVWZDUWRFLQLHSHZQRFLRZL FHMQL*

]DRNUJODP\M]GRNáDGQRFLGRGZyFKF\IU]QDF]F\FK

:\QLNL SRPLDUyZ ]DRNUJODP\ ] GRNáDGQRFL GR PLHMVFD QD NWyU\P Z\VW -

SXMHRVWDWQLDF\IUD]QDF]FDQLHSHZQRFL.

:\QLNL SRPLDUyZ SDWU] UR]G]LDá ]DSLVXMHP\ Z PLDQRZDQHM SRstaci

Z\MDQLDMF]QDF]HQLHOLF]E\

VWRMFHMSR]QDNX

. Zapisu

MFZ\QLNSR-

miaru na

OH*\SRGDüMHGQRVWN 2ERZL]XMMHGQRVWNL]XNáDGX6,

.ODVD SU]\U]GX SRPLDURZHJR

100

max

⋅

∆

MHVW WR Z\UD*RQD Z pro-

FHQWDFK ZDUWRü EH]Z]JO GQD ]H VWRVXQNX PDNV\PDOQHJR GRSXV]F]DOQHJR QD GDQ\P

]DNUHVLHSRPLDURZ\PEá GXSRPLDUX

∆

max

do zakresu pomiarowego Z

SDWU]UR]G]LDá

2.3.2.).

1LHSHZQRü SRPLDUX Z\NRQDQHJR PLHUQLNLHP F\IURZ\P VNáDGD VL ] nie-

SHZQRFL SU]HWZDU]DQLD XNáDGX DQDORJRZHJR RUD] QLHSHZQRFL G\VNUHW\]DFML

SDWU]UR]G]LDá

-H*HOL ZLHONRü IL]\F]QD QLH MHVW PLHU]RQD EH]SRUHGQLR OHF] Z\PDJD ]PLHU]HQLD

NLONXZLHONRFLIL]\F]Q\FKX

, X

, ... , X

]NWyU\PLMHVWSRZL]DQD]DOH*QRFL

Y = g(X

, X

, ... , X

)

to taki pomiar nazywamy

]áR*RQ\P.

:LHONRFLX

, X

, ... , X

nazywamy

ZLHONRFLDPL ZHMFLRZ\PL, natomiast Y nazy-

wamy

ZLHONRFLZ\MFLRZ.

:DUWRüZLHONRFLYPR*QDRFHQLüQDZLHOHVSRVREyZ-HGQ\P]W\FKVSRVREyZMHVW

SU]\M FLH]DRFHQ ZLHONRFLYZDUWRFL

(

)

,...,

gdzie:

R]QDF]DM UHGQLH ZDUWRFL ZHMFLRZ\FK ZLHONRFL IL]\F]Q\FK PLHU]RQ\FK

bezpo

UHGQLR=DRFHQ ZDUWRFLZLHONRFLYPR*QDUyZQLH*SU]\Mü

∑

(*)

gdzie: y

R]QDF]DZDUWRFLZLHONRFLZ\MFLRZHMY obliczone na podstawie wyników po-

mia

UyZZLHONRFLZHMFLRZ\FKX]\VNDQ\FKZVNRF]RQHMVHULL]áR*RQHM]k pomiarów.

-H*HOL ZLHONRFL X

, X

,...,X

V nieskorelowane, to ]áR*RQ QLHSHZQRü VWDQ-

GDUGRZu

RFHQ\ Z\]QDF]DVL QDSRGVWDZLHZ]RUX

( )

...

























∂

. (**)

W przypadku, gdy

ZLHONRüZ\MFLRZDMHVWLORF]\QHPSRW JZLHONRFLZHMFLRwych,

WR SRFKRGQH F]VWNRZH Z\VW SXMFH Z UyZQDQLX QDMáDWZLHM REOLF]\ü VWRVXMF

PHWRG pochodnej logarytmicznej UR]G]LDá\L

-H*HOLZLHONRFLZHMFLRZHVskorelowane SDWU]UR]G]LDá WR]áR*RQQLH-

SHZQRüVWDQGDUGRZREOLF]DP\NRU]\VWDMF]UyZQDQLD

=áR*RQ QLHSHZQRü VWDQGDUGRZ ZLHONRFL zarówno skorelowanych jak i nie-

skorelowanych

PR*QDRV]DFRZDüPHWRGUy*QLF]NL]XSHáQHMUR]G]LDá

∂

...

:SRZ\*V]\PUyZQDQLX

∂

R]QDF]DSRFKRGQHF]VWNRZHIXQNFMLg wielu zmien-

nych w punkcie x

, x

,...,x

, natomiast u

MHVWQLHSHZQRFLRFHQ\ZLHONRFLIL]\F]QHMX

:ZLHOXSU]\SDGNDFK]ZL]HNPL G]\ZLHONRFLZ\MFLRZYLZLHONRFLDPLZHM-

FLRwymi X

, X

,...,X

MHVW GDQ\ ]DOH*QRFL

(

)

,...,

NWyU ]QDP\ ] GRNáDGQRFL GR SDUDPHWUyZ

β β

,... ,

, które oceniamy

PHWRG

regresji

UR]G]LDá

Document Outline

Spis treści
Spis ważniejszych oznaczeń
Przedmowa
Wstęp
1. Pomiary wielkości fizycznych
- Przykłady pomiarów prostych
- Przykłady pomiarów złożonych
2. Obliczenia niepewności pomiarów
3. Graficzne opracowanie wyników pomiarów
4. Metody regresji
- 4.1. Regresja nieliniowa
5. Komputerowe opracowanie wyników
6. Zasady wykonywania ćwiczeń i opracowywania sprawozdań
- 6.1. Wskazówki praktyczne dotyczące wykonywania ćwiczeń
- 6.2. Sprawozdanie
7. Dodatek
Literatura uzupełniająca
Podstawowe pojęcia i zasady opracowania wyników pomiarów

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Zasady realizacji ćwiczeń laboratoryjnych
ćwiczenia laboratoryjne nr 2
!Program ćwiczeń laboratoryjnych 2012id 602
Program ćwiczeń laboratoryjnych
Ćwiczenie laboratoryjne nr 6 materiały
Ćwiczenia laboratoryjne PBiI (1) - konspekt, Studia INiB, Podstawy bibliotekoznawstwa i informacji n
SPRAWOZDANIE Z ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCII
ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z CHEMII grafik
Instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego PDH
chromatografia - ćwiczenie laboratoryjne, Studia Zip, Semestr 1, Chemia
CLAB 6-1 2008-2009, Tematy ćwiczeń laboratoryjnych z Języka Programowania
26, wstep, ĆWICZENIE LABORATORYJNE NR 26.
TiSP - dok, Lab. TiSP - Wykaz ćwiczeń, LABORATORIUM
Grafika rastrowa 2, Opis ćwiczenia2, Ćwiczenia laboratoryjne

więcej podobnych podstron

cwiczenia laboratoryjne cz1 zasady wyd5

Document Outline