1

WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNE GRUNTÓW.

WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNE GRUNTÓW.

WYTRZYMAŁOŚĆ GRUNTÓW NA ŚCINANIE

WYTRZYMAŁOŚĆ GRUNTÓW NA ŚCINANIE

MECHANIKA GRUNTÓW I FUNDAMENTOWANIE

MECHANIKA GRUNTÓW I FUNDAMENTOWANIE

Budownictwo semestr 4

Budownictwo semestr 4

2

Mechanizm utraty wytrzymałości w odniesieniu do gruntów jest inny niż w przy-
padku ośrodków stałych typu metal czy skała, które są zdolne do przeniesienia
znacznych naprężeń ściskających, czy rozciągających. Wytrzymałość gruntów na
ś

ciskanie w porównaniu z nimi jest nieznaczna, zaś wytrzymałość na rozciąganie

w gruntach praktycznie nie istnieje.

Analiza sytuacji, w których doszło do naruszenia stateczności posadowienia
obiektu lub np. wystąpienia osuwiska mas gruntowych dowodzi, że zawsze
można w takich przypadkach zaobserwować przemieszczenie (poślizg) pewnej
części podłoża gruntowego względem pozostałej części. Oznacza to, że wskutek
oddziaływania zewnętrznego, np. obiektu budowlanego (jego obciążenia),
nastąpiło na pewnej powierzchni wewnątrz masywu gruntowego osiągnięcie sta-
nu, w którym naprężenie styczne do takiej powierzchni jest równe wytrzymałości
gruntu na ścinanie. Dominujące znaczenie dla gruntów posiada zatem

wytrzymałość na ścinanie

.

Można powiedzieć, że ścinanie w gruncie polega na przesunięciu (prze-
mieszczeniu) jednej części ośrodka gruntowego względem pozostałej w wyniku
przekroczenia oporu gruntu na ścinanie (wytrzymałości gruntu na ścinanie -

ττττ

f

)

przez składową styczną (ścinającą) działającego naprężenia -

ττττ

f

ττττ

ττττ ≥

3

Jeżeli

ττττ

=

ττττ

f

, to występuje

stan graniczny ścinania

w gruncie, a gdy

ττττ

<

ττττ

f

, to mamy

do czynienia ze

stanem równowagi sprężystej

w gruncie. Opór gruntu

ττττ

f

działa w

tej samej płaszczyźnie co składowa ścinająca

ττττ

, lecz ma zwrot przeciwny.

Wytrzymałością gruntu na ścinanie

ττττ

f

nazywa się największy (graniczny) opór,

jaki stawia grunt składowym stycznym (ścinającym) naprężenia, w rozpatrywanym
punkcie ośrodka gruntowego.

Rys. 1

4

Znajomość wytrzymałości gruntu na ścinanie jest nieodzowna przy rozpatrywa-
niu zagadnień związanych z bezpiecznym (czyli w zakresie równowagi
quasisprężystej) posadawianiem obiektów budowlanych, formowaniu zboczy
gruntowych (np. w nasypach drogowych czy kolejowych) o bezpiecznym
nachyleniu itp. Zagadnienie to zostało sformułowane przez Ch. Coulomba, który –
będąc inżynierem wojskowym zajmującym się budową fortyfikacji – jako
pierwszy podał wzór ujmujący wytrzymałość gruntu sypkiego na ścinanie (1773
r.). Wychodząc z zależności dotyczącej tarcia pomiędzy dwoma ciałami stałymi –
T = N ·

µ

- zapisał ją w odniesieniu do tarcia zachodzącego wewnątrz gruntu:·

Φ

⋅

=

tg

f

σσσσ

ττττ

gdzie:

σσσσ

- składowa normalna działającego naprężenia,

Φ

Φ

Φ

Φ

- kąt tarcia wewnętrz-

nego, tg

Φ

Φ

Φ

Φ

– współczynnik tarcia wewnętrznego

.

Równanie to zostało później uogólnione również na grunty spoiste w postaci:

c

tg

f

+

Φ

⋅

= σσσσ

ττττ

gdzie:

c – spójność (kohezja)

, czyli opór gruntu stawiany siłom zewnętrznym,

wywołany wzajemnym przyciąganiem cząstek gruntu. Dla

σσσσ

= 0 mamy

ττττ

f

= c, a

więc spójność jest to wytrzymałość gruntu na ścinanie przy braku naprężeń
normalnych.

5

Obrazem graficznym równania Coulomba jest linia prosta przechodząca przez
początek układu współrzędnych

ττττ

-

σσσσ

dla gruntów sypkich i przecinająca oś

ττττ

na

rzędnej

ττττ

= c w przypadku gruntów spoistych. Prosta Coulomba stanowi zatem

zbiór punktów spełniających warunek stanu granicznego

ττττ

=

ττττ

f

. Nachylenie

prostej do poziomu wyznacza wartość kąta tarcia wewnętrznego

Φ

Φ

Φ

Φ

:

Rys. 2

6

Opór ścinania

ττττ

f

składa się z dwu składowych: oporu tarcia wewnętrznego i oporu

spójności. W przypadku ścinania gruntów o strukturze ziarnistej mamy do
czynienia z oporem tarcia posuwistego oraz z oporem tarcia obrotowego na
kontaktach ziaren. Występuje tam również opór związany z wzajemnym
zazębianiem się ziaren, a także z ich wielkością i stopniem obtoczenia. Opór
spójności zależy w największej mierze od zawartości cząstek frakcji iłowej i
występujących pomiędzy nimi sił molekularnych.

Oba parametry:

Φ

Φ

Φ

Φ

oraz

c

charakteryzują więc wytrzymałość gruntów na ścinanie i

w związku z tym zachodzi konieczność oznaczania ich wartości. Są to
podstawowe parametry wytrzymałościowe gruntów. W warunkach laborato-
ryjnych wykorzystuje się do ich oznaczenia dwa rodzaje przyrządów:

-

aparat bezpośredniego ścinania (skrzynkowy),

- aparat trójosiowego ściskania.

Do przeprowadzenia oznaczenia niezbędna jest próbka o naturalnej strukturze –
NNS. Ponieważ uzyskanie takiej próbki dla gruntów sypkich jest utrudnione,
badanie wykonuje się wtedy na próbce o naruszonej strukturze, która w samym
aparacie jest zagęszczona do stopnia zagęszczenia zbliżonego do wartości
naturalnej.

7

Aparat bezpośredniego ścinania

Rys. 3

8

W

aparacie bezpośredniego

ś

cinania próbka gruntu znajduje się wewnątrz

dwudzielnej skrzynki o przekroju kwadratowym. Wymienne skrzynki mają
długość boku próbki od 6,0 cm do 12,0 cm (im grubsze uziarnienie gruntu – tym
większa skrzynka), zaś wysokość próbki 1,5 – 2,5 cm. Płaszczyzna podziału
skrzynki na część górną – ruchomą i dolną – nieruchomą, przebiega w połowie
wysokości próbki. Górna i dolna powierzchnia próbki ma kontakt z płytkami
filtracyjnymi umożliwiającymi swobodny odpływ wody z próbki pod
obciążeniem. Na próbkę, za pośrednictwem tłoka, można przykładać obciążenie
siłą pionową, która w trakcie badania jest niezmienna, zaś do górnej części
skrzynki przykłada się obciążenie siłą poziomą. Zamocowane czujniki pozwalają
na dokonanie pomiaru wzajemnego przemieszczenia obu części skrzynki jak i
zmian wysokości próbki w trakcie badania. Po umieszczeniu próbki w aparacie
poddaje się ją wstępnej konsolidacji naciskiem siłą pionową, która działa również
na próbkę podczas ścinania dając naprężenie pionowe -

σσσσ

. Następnie poddaje się

próbkę ścinaniu poprzez przyłożenie zwiększającej się siły poziomej. Moment
ś

cięcia objawia się ustaniem przyrostu (a nawet lekkim cofnięciem) odczytów na

czujniku dynamometru do pomiaru siły poziomej. Ustala się największą wartość
siły w momencie ścięcia -

T

max

oraz wzajemne przesunięcie skrzynek aparatu -

∆∆∆∆

a

. Na tej podstawie oblicza się pole przekroju ścięcia próbki:

)

a

a

(

a

F

s

∆

−

⋅

=

9

Wartości naprężeń:

stycznego

w chwili ścięcia (wytrzymałości na ścinanie) i

normalnego

oblicza się ze wzorów:

s

i

max

fi

F

T

====

ττττ

Mając

σσσσ

i

oraz

ττττ

fi

uzyskuje się jeden punkt wykresu

σσσσ

-

ττττ

. Wykonując kolejne

próby (N

≥

5), przy różnych wartościach naprężenia pionowego

σσσσ

działającego na

próbki dysponujemy zbiorem punktów, które następnie aproksymujemy linią
prostą graficznie, lub - dla uzyskania większej dokładności - analitycznie metodą
najmniejszych kwadratów. Pozwala to na wyznaczenie kąta tarcia wewnętrznego
oraz spójności.

Rys. 4

s

i

i

F

Q

====

σσσσ

10

Wzory na obliczenie kąta tarcia wewnętrznego i spójności w metodzie najmniej-
szych kwadratów są następujące:

∑

∑

−

∑

∑

∑

∑

−

=

∑

∑

−

∑

∑

∑

−

=

2

2

2

2

2

)

(

)

(

N

)

(

c

)

(

)

(

N

N

ctg

ar

i

i

fi

i

i

fi

i

i

i

fi

i

fi

i

σσσσ

σσσσ

ττττ

σσσσ

σσσσ

ττττ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

ττττ

σσσσ

ττττ

σσσσ

Φ

Φ

Φ

Φ

Ś

rednie odchylenia kwadratowe (błędy oznaczenia) kąta tarcia wewnętrznego i

spójności oblicza się ze wzorów:

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

180











∑

⋅













∑

∑

−

∑

⋅

−

=

⋅













∑

∑

−

∑

⋅

−

=

N

)

(

)

(

)

(

N

N

N

s

cos

)

(

)

(

N

N

N

s

i

i

i

i

c

i

i

i

σσσσ

σσσσ

σσσσ

∆∆∆∆

Φ

Φ

Φ

Φ

σσσσ

σσσσ

∆∆∆∆

ππππ

Φ

Φ

Φ

Φ

o

gdzie:

σσσσ

i

- naprężenia normalne w poszczególnych próbkach,

ττττ

fi

- wytrzymałość na

ś

cinanie poszczególnych próbek,

∆∆∆∆

i

- różnice oznaczonych i obliczonych wartości

wytrzymałości na ścinanie:

c

tg

i

fi

i

−

−

=

Φ

Φ

Φ

Φ

σσσσ

ττττ

∆∆∆∆

11

Przy badaniu w aparacie bezpośredniego ścinania nie ma możliwości dokonania
pomiaru bardzo ważnego parametru, jakim jest wartość ciśnienia wody w porach
gruntu podczas ścinania. Wady tej nie ma

aparat trójosiowego ściskania

Rys. 5

12

Próbka gruntu w aparacie trójosiowego ściskania ma kształt walca o średnicy
najczęściej 38 mm i wysokości 76 mm. Jest ona otoczona cienką gumową osłonką i
znajduje się wewnątrz komory ciśnieniowej, ustawiona na perforowanej podstawie,
z góry przykryta tłoczkiem z perforacją. Zadaniem filtrów dolnego i górnego jest
odprowadzenie wody z próbki w trakcie badania. Osłonka jest szczelnie połączona
z podstawą i tłoczkiem tak, że próbka jest odizolowana od wnętrza komory. Do
wnętrza komory doprowadzona jest woda pod ciśnieniem -

p

, które jest stałe

podczas badania. Do górnego tłoczka przylega trzpień, za pośrednictwem którego
przykładane jest na próbkę obciążenie siłą pionową, mierzoną dynamometrem.
Istnieje również możliwość pomiaru zmian wysokości próbki. Do podstawy próbki
podłączony jest za pośrednictwem zaworu układ do pomiaru ciśnienia wody w
porach gruntu.

Po zamocowaniu próbki wewnątrz komory i uszczelnieniu komory przez
dokręcenie do podstawy, napełnia się ją wodą pod określonym ciśnieniem. Zgodnie
z prawem Pascala ciśnienie to działa we wszystkich kierunkach jednakowo,
obciąża więc powierzchnię boczną próbki i działa też na jej górną powierzchnię –
jest to etap

konsolidacji izotropowej

(wszechstronnego ściskania) próbki. Po

zakończeniu konsolidacji następuje ścinanie próbki przez zwiększenie obciążenia
pionowego za pośrednictwem trzpienia. Ścięcie objawia się ustaleniem największej
wartości siły pionowej, odczytywanej na dynamometrze.

13

Ze względu na cylindryczny kształt próbki oraz sposób przyłożenia na nią
obciążenia, w próbce panuje

przestrzenny obrotowo-symetryczny stan naprężenia

.

Ciśnienie wody, stanowiące obciążenie próbki, nie wywołuje na jej powierzchni
naprężeń stycznych, a zatem normalne naprężenia poziome, równe co do wartości
ciśnieniu wody w komorze aparatu są równocześnie

naprężeniami głównymi

σσσσ

2

i

σσσσ

3

. Są one sobie równe. Naprężenie pionowe, wywołane obciążeniem zew-

nętrznym, jako prostopadłe do naprężeń

σσσσ

2

i

σσσσ

3

jest również

naprężeniem

głównym

σσσσ

1

. Zatem stan naprężenia w momencie ścięcia można opisać

następująco:

σσσσ

2

=

σσσσ

3

= p

oraz

σσσσ

1

>

σσσσ

2

=

σσσσ

3

.

Naprężenie

σσσσ

1

przy ścięciu jest równe:

σσσσ

1

=

σσσσ

3

+Q

max

/ A

Ś

cięcie zostało zatem spowodowane przyrostem

naprężeń

σσσσ

1

-

σσσσ

3

= Q

mqx

/ A

Ten przyrost nosi nazwę

dewiatora naprężenia

.

Rys. 6 - Schemat obciążenia (naprężenia)
działającego na próbkę przy ścięciu

A - pole przekroju poprzecznego próbki
przy ścięciu

14

Do interpretacji wyników badania trójosiowego korzystamy z konstrukcji

koła

Mohra

, które w sposób graficzny przedstawia stan naprężenia w próbce gruntu

w momencie osiągnięcia stanu granicznego - ścięcia próbki:

Rys. 7

F

AB || FP

1

α

15

Koło Mohra kreśli się na podstawie znanych wartości naprężeń głównych

σσσσ

1

i

σσσσ

3

. Odległość środka koła Mohra od początku układu współrzędnych wynosi:

Współrzędne punktu

P

1

na kole Mohra przedstawiają składowe naprężenia (

σσσσ

;

ττττ

f

)

jakie występują na płaszczyźnie ścięcia wewnątrz próbki, nachylonej pod kątem

αααα

względem kierunku działania mniejszego z naprężeń głównych

σσσσ

3

: AB || FP

1

.

Punkt P

1

przedstawia więc stan naprężeń granicznych. Jak wynika z rysunku kąt

EP

1

O jest równy

Φ

Φ

Φ

Φ

. Wobec tego kąt

2

αααα

:

2

3

1

σσσσ

σσσσ +

=

=

DO

a

Promień koła Mohra jest równy:

2

3

1

1

σσσσ

σσσσ −

=

=

OP

R

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

αααα

+

=

−

−

=

o

o

o

90

90

180

2

)

(

A zatem płaszczyzna AB jest nachylona do poziomu pod kątem:

2

45

Φ

Φ

Φ

Φ

αααα

+

=

o

16

Dla określenia parametrów wytrzymałościowych

Φ

Φ

Φ

Φ

i

c

niezbędne jest ścięcie

kilku próbek tego samego gruntu (N

≥

5) przy różnych wartościach ciśnienia

wody

p=

σσσσ

3

w komorze aparatu. Uzyskujemy zatem odpowiadającą liczbie

próbek liczbę kół Mohra. Wspólna styczna (obwiednia) do kół Mohra jest prostą
daną równaniem Coulomba, gdyż każdy punkt styczności przedstawia stan
graniczny naprężeń występujący w danej próbce przy ścięciu. Równanie prostej
(a stąd wartości

Φ

Φ

Φ

Φ

i

c

) wyznacza się najczęściej przez aproksymację wyników

linią prostą przy pomocy metody najmniejszych kwadratów, korzystając ze
wzorów analogicznych jak przy interpretacji rezultatów bezpośredniego
ś

cinania

Rys. 8

17

Naprężenia efektywne. Efektywne parametry wytrzymałościowe

Omawiając zjawisko konsolidacji zwróciliśmy uwagę na rolę wody znajdującej
się w porach gruntu przy przenoszeniu obciążeń. Wiąże się z tym bardzo ważne
pojęcie w mechanice gruntów jakim jest pojęcie

naprężenia efektywnego

. Otóż

naprężenie efektywne jest to wartość naprężenia

normalnego

działającego na

szkielet gruntowy. Zasadę naprężeń efektywnych w gruntach wprowadził K.
Terzaghi w postaci następującego wyrażenia

u

'

+

= σσσσ

σσσσ

gdzie:

σσσσ

- wartość całkowitego naprężenia normalnego w rozpatrywanym punkcie

ośrodka gruntowego,

σσσσ

‘

- wartość naprężenia efektywnego,

u

- wartość ciśnienia

wody w porach gruntu.

Znając zatem oprócz całkowitego naprężenia normalnego w gruncie, również
wartość ciśnienia wody w porach możemy wyznaczyć naprężenie działające na
szkielet gruntowy. Woda jest czynnikiem współdziałającym ze szkieletem w
przenoszeniu obciążenia tylko w początkowym okresie jego działania. Później
następuje częściowy odpływ wody z porów,a w końcowym efekcie całe obciąże-
nie przejmuje szkielet. Dlatego tak ważna jest znajomość ciśnienia wody w
porach możliwa do realizacji w aparacie trójosiowego ściskania.

18

Wartość naprężenia efektywnego można wyznaczyć z przekształcenia
powyższego wzoru:

u

'

−

= σσσσ

σσσσ

Jeżeli podstawimy teraz do wzoru Coulomba naprężenie efektywne
otrzymamy:

'

c

'

tg

)

u

(

'

c

'

tg

'

f

+

−

=

+

=

Φ

Φ

Φ

Φ

σσσσ

Φ

Φ

Φ

Φ

σσσσ

ττττ

Występujące w tym wzorze parametry

Φ

Φ

Φ

Φ

’

i

c’

noszą nazwę

efektywnych

wartości kąta tarcia wewnętrznego i spójności.

Jak zauważyliśmy wcześniej, w

aparacie trójosiowego ściskania istnieje możliwość pomiaru ciśnienia wody w
porach, a więc oznaczenia efektywnych wartości

Φ

Φ

Φ

Φ

’

i

c’

. Jak przebiega

inter-

pretacja wyników badania dla naprężeń efektywnych?

Współrzędna środka koła

Mohra oraz jego promień dla naprężeń efektywnych będą równe :

R

)

(

,

)

u

u

(

,

)

'

'

(

,

'

R

u

a

u

)

(

,

)

u

(

,

)

u

u

(

,

)

'

'

(

,

'

a

=

−

⋅

=

=

+

−

−

⋅

=

−

⋅

=

−

=

−

+

⋅

=

−

+

⋅

=

=

−

+

−

⋅

=

+

⋅

=

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

5

0

5

0

5

0

5

0

2

5

0

5

0

5

0

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

gdzie a, R - współrzędna koła Mohra i jego promień dla naprężeń całkowitych

19

Jak widać z powyższych obliczeń koło Mohra w naprężeniach efektywnych ma

taki sam promień

jak koło w naprężeniach całkowitych, zaś jego środek jest

przesunięty w kierunku początku układu współrzędnych

o wielkość

u

:

Na wykresie widać, z porównania wartości, że :

Φ

Φ

Φ

Φ

’ >

Φ

Φ

Φ

Φ

oraz

c’ < c

Rys. 9

20

Równanie Coulomba - Mohra

Rozpatrzmy zależności na kole Mohra - rysunek 7:

Φ

Φ

Φ

Φ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

Φ

Φ

Φ

Φ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

Φ

Φ

Φ

Φ

σσσσ

σσσσ

Φ

Φ

Φ

Φ

ττττ

σσσσ

σσσσ

Φ

Φ

Φ

Φ

sin

sin

R

EO

DO

DE

cos

cos

R

EP

R

OP

O

EP

f

⋅

−

−

+

=

⋅

−

+

=

−

=

=

⋅

−

=

⋅

=

=

−

=

=

=

∀

2

2

2

2

2

3

1

3

1

3

1

3

1

1

3

1

1

1

Podstawmy wypisane powyżej wartości

ττττ

f

i

σσσσ

do wzoru Coulomba:

c

tg

f

+

⋅

=

Φ

Φ

Φ

Φ

σσσσ

ττττ

c

cos

sin

sin

cos

+

⋅













⋅

−

−

+

=

⋅

−

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

Φ

Φ

Φ

Φ

σσσσ

σσσσ

2

2

2

3

1

3

1

3

1

21

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

σσσσ

σσσσ

Φ

Φ

Φ

Φ

σσσσ

σσσσ

Φ

Φ

Φ

Φ

σσσσ

σσσσ

cos

c

sin

)

(

sin

)

(

cos

)

(

2

2

3

1

3

1

2

3

1

+

−

−

+

=

−

Po uporządkowaniu otrzymanego wyrażenia mamy:

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

σσσσ

σσσσ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

σσσσ

σσσσ

cos

c

sin

)

(

)

sin

)(cos

(

2

3

1

2

2

3

1

+

+

=

+

−

Czyli ostatecznie:

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

cos

c

sin

)

(

2

3

1

3

1

+

+

=

−

W tej postaci równanie obowiązuje oczywiście dla gruntów spoistych. Dla
gruntów sypkich (c = 0) będzie:

Φ

Φ

Φ

Φ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

sin

)

(

3

1

3

1

+

=

−

Po wymnożeniu obu stron przez

2 cos

Φ

Φ

Φ

Φ

otrzymamy:

Otrzymane wyrażenia noszą nazwę

równań Coulomba-Mohra

, gdyż stanowią

zapis prawa Coulomba z wykorzystaniem koncepcji koła naprężeń Mohra.