MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM
Zakład Inżynierii Procesowej
1
3. WYZNACZANIE ĆIŚNIENIA ATMOSFERYCZNEGO
1. Wstęp teoretyczny.
1.1. Ciśnienie atmosferyczne.
Ciśnienie fenomenologicznie (makroskopowo) jest to stosunek siły parcia płynu
działającej na powierzchnię do wielkości tej powierzchni:
A
F
p
,
(1)
przy czym przyjmuje się, że siła parcia działa prostopadle do powierzchni. Dlatego ciśnienie
jest skalarem. Mikroskopowo ciśnienie oznacza sumę oddziaływań wynikających ze zderzeń
molekuł płynu ze ścianą naczynia. Ponieważ przyjmuje się, że zderzenia te są sprężyste, więc
oddziaływania siłą dające zmianę pędu molekuł są prostopadłe do ścianki.
W takim razie ciśnienie atmosferyczne to stosunek wartości wektora siły, z jaką słup
powietrza naciska na powierzchnię ziemi do powierzchni, na jaką dany słup naciska. Co za
tym idzie, ciśnienie zależy od wysokości słupa powietrza i jest tym niższe im niższy jest słup
powietrza, czyli im wyżej ciśnienie jest mierzone. Dlatego, na podstawie średniej wielkości
ciśnienia atmosferycznego na Ziemi na poziomie morza, wprowadzono jednostkę ciśnienia –
atmosferę – równą 101325 Pa. Ciśnienie o wartości jednej atmosfery jest nazywane
ciśnieniem normalnym.
W meteorologii, w celu wyeliminowania wpływu wysokości wykonywania pomiaru
ciśnienia atmosferycznego wprowadza się pojęcie ciśnienia znormalizowanego (inaczej
ciśnienia zredukowanego). Jest to wartość ciśnienia atmosferycznego, które występowałoby
na poziomie morza w tych samych warunkach otoczenia (ciśnienie rzeczywiste, temperatura
powietrza), w którym następuje pomiar. To właśnie tę wartość podaje się w prognozach
pogody.
Zależność ciśnienia atmosferycznego od wysokości można wyprowadzić korzystając z
równania statyki płynów znajdujących się w polu sił ciężkości:
g
z
p
,
(2)
MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM
Zakład Inżynierii Procesowej
2
gdzie z jest osią pionową skierowaną do góry (przyjmujemy z=0 dla poziomu morza),
-
gęstością płynu, natomiast g oznacza przyspieszenie. W przypadku powietrza jego gęstość
zależy zarówno od ciśnienia p jak i od temperatury T. Przyjmuje się dla powietrza, że jest
ono, w warunkach panujących w atmosferze, gazem doskonałym. W takim razie spełnia ono
równania stanu gazu doskonałego:
T
R
m
pV
,
(3)
gdzie przez
R
oznaczono indywidualną stałą gazową. Po przekształceniu wzoru (3) otrzymuje
się gęstość powietrza w funkcji ciśnienia p i temperatury T:
T
R
p
V
m
.
(4)
Po podstawieniu (4) do (2) otrzymuje się ogólne równanie opisujące zmianę ciśnienia
w atmosferze:
T
R
pg
z
p
.
(5)
Dla niewielkich wysokości nad poziomem morza zarówno temperatura jak
i przyspieszenie ziemskie w niewielkim stopniu zależą od wysokości, a w takim razie można
przyjąć, że są stałe. Warunkiem brzegowym dla równania (5) jest wartość ciśnienia
znormalizowanego p
z
dla poziomu morza z=0. Otrzymuje się rozwiązanie równania (5) w
postaci:
T
R
gz
p
p
z
exp
.
(6)
1.2. Ciśnienie hydrostatyczne.
Analogicznie do ciśnienia atmosferycznego wprowadza się ciśnienie hydrostatyczne –
ciśnienie, jakie panuje na pewnej głębokości w cieczy niebędącej w ruchu, znajdującej się w
polu grawitacyjnym. Ciśnienie hydrostatyczne zależy od głębokości (rośnie wraz z
głębokością w cieczy). Dla cieczy zakłada się, że jest nieściśliwa, czyli że jej gęstość jest stała
= const. Jeżeli dodatkowo przyjmie się współrzędną pionową h skierowaną w dół, przy
czym początek osi h=0 przyjmie się na powierzchni cieczy (h – głębokość w cieczy), to z
równania statyki płynów (2) otrzyma się:
g
h
p
.
(7)
MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM
Zakład Inżynierii Procesowej
3
Jako warunek brzegowy przyjmuje się p=p
g
dla h=0, gdzie p
g
oznacza wartość ciśnienia
na powierzchni płynu. Rozwiązanie równania (7) z tym warunkiem brzegowym daje znany
wzór:
gh
p
p
g
,
(8)
pozwalający wyliczyć ciśnienie hydrostatyczne.
1.3. Ciśnienie w gazie, przemiana izotermiczna.
Gaz znajdujący się w warunkach zbliżonych do warunków normalnych można traktować
jako gaz doskonały. W takim przypadku ciśnienie p, objętość V oraz temperatura tego gazu są
związane ze sobą zależnością opisywaną równaniem stanu gazu doskonałego (3). Jeżeli
wymiary naczynia, w którym gaz się znajduje są niewielkie można pominąć zmianę ciśnienia
w gazie wynikającą z wysokości jego słupa. W takim przypadku przyjmuje się, że ciśnienie
gazu w całym naczyniu jest jednakowe. Jeżeli ilość gazu w naczyniu nie ulega zmianie oraz
gaz podlega przemianie izotermicznej, to iloczyn ciśnienia i objętości gazu nie ulega zmianie
(prawo Boyle’a dla gazu doskonałego), co można przedstawić następująco:
2
2
1
1
V
p
V
p
,
(9)
gdzie indeksem 1 oznaczono stan gazu przed przemianą izotermiczną, a indeksem 2 stan gazu
po tej przemianie.
1.4. Gęstość wody.
Gęstość dowolnej substancji jest definiowana jako stosunek masy zawartej w objętości
elementarnej do tej objętości:
dV
dm
.
(8)
Ogólnie gęstość substancji zależy od ciśnienia p i od temperatury T, ponieważ zmiany
tych parametrów mogą pociągać za sobą zmianę objętości. Dla cieczy zmienność gęstości pod
wpływem zmiany ciśnienia jest niewielka i dlatego jest zwykle pomijana, natomiast
rozszerzalność termiczna cieczy ma wyraźny wpływ na jej gęstość. Zwykle zależność
gęstości cieczy od temperatury opisywana jest zależnościami empirycznymi, obowiązującymi
w określonym zakresie temperatury. Dla wody wykorzystuje się następujące zależności
gęstości od temperatury:
dla T = 0 ÷ 40
o
C
]
[kg/m
)
2
,
67
(
57
,
503
)
283
(
)
4
(
1000
3
2
T
T
T
,
(9)
MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM
Zakład Inżynierii Procesowej
4
dla T = 25 ÷ 100
o
C
]
[kg/m
)
67
(
7
,
466
)
273
(
)
4
(
1000
3
2
T
T
T
.
(10)
Do powyższych wzorów temperaturę podstawia się w skali Celsjusza.
1.5. Przyspieszenie ziemskie.
Przyspieszenie ziemskie jest to przyspieszenie ciał swobodnie spadających na Ziemię,
bez oporów ruchu. Na takie ciała działają dwie siły, powodujące dwie składowe
przyspieszenia ziemskiego. Pierwszą, i zarazem główną siłą jest siła grawitacji. Powoduje
ona przyspieszenie grawitacyjne. Jest ono odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości
od środka Ziemi, zgodnie z prawem powszechnego ciążenia. Wraz z wzrostem wysokości
przyspieszenie maleje w wyniku zmniejszania się siły grawitacji. Drugą siła działającą na
ciała jest siła odśrodkowa, spowodowana ruchem obrotowym Ziemi dookoła swojej osi.
Wynikające z niej przyspieszenie odśrodkowe jest wprost proporcjonalne do odległości ciała
od osi Ziemi. Powoduje to, że występujące na równiku przyspieszenie odśrodkowe jest
największe, natomiast na biegunach jest równe zeru. Dlatego też wprowadzono
przyspieszenie ziemskie normalne g
n.
. Odpowiada ono ziemskiemu przyspieszeniu
grawitacyjnemu na poziomie morza na szerokości geograficznej około 45,5° i wynosi:
]
[m/s
80665
,
9
2
n
g
.
(11)
Wartość przyspieszenia ziemskiego normalnego g
n.
wykorzystywana jest do obliczeń
niewymagających bardzo wysokiej precyzji. Dokładniejszą wartość można wyliczyć z
wzoru:
]
[m/s
h
10
3,086
-
)
2
sin
0,0000058
-
sin
0053024
,
0
1
(
7803218
,
9
2
-6
2
2
g
,
(12)
gdzie:
- oznacza szerokość geograficzną, natomiast h wysokość nad poziomem morza.
Powyższa, przybliżona zależność opisuje przyspieszenie ziemskie w dowolnym punkcie na
Ziemi.
2. Zasada pomiaru.
2.1. Wyznaczenie ciśnienia atmosferycznego.
Dla obliczenia ciśnienia atmosferycznego wykorzystuje się wyniki dwóch niezależnych
pomiarów uzyskanych w jednej serii pomiarowej. Biorąc pod uwagę, że w zamkniętej rurce
znajduje się stała ilość powietrza, będącego gazem doskonałym, w stałej temperaturze można
wykorzystać zależność (9) w postaci:
MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM
Zakład Inżynierii Procesowej
5
j
j
i
i
V
p
V
p
,
(13)
gdzie indeksami i,j oznaczono odpowiednio stan gazu dla dwóch niezależnych pomiarów.
Wykorzystując to, że średnica rurki nie zmienia się w trakcie pomiaru (stała
powierzchnia przekroju poprzecznego) można równanie (13) przedstawić w postaci:
j
j
i
i
h
p
h
p
,
(14)
gdzie h oznacza wysokość słupa gazu w rurce (rys. 1). Ciśnienie p w rurce można obliczyć
korzystając z równowagi ciśnień na poziomie c (rys. 1), wykorzystując równanie (8), w
którym p
g
=p
a
:
gH
p
p
a
,
(15)
gdzie p
a
oznacza panujące ciśnienie atmosferyczne. Podstawiając równanie (15) z
odpowiednimi indeksami do wzoru (14) otrzymuje się:
j
j
a
j
j
i
i
a
i
i
h
gH
p
h
p
h
gH
p
h
p
)
(
)
(
,
(16)
i po prostych przekształceniach:
i
j
j
j
i
i
a
h
h
h
H
h
H
g
p
.
(17)
Wzór (17) pozwala wyliczyć wartość ciśnienia atmosferycznego.
2.2. Oszacowanie maksymalnego pozornego błędu względnego.
Maksymalny pozorny błąd względny
f
wartości mierzonej f jest to stosunek maksymalnego
błędu bezwzględnego pomiaru f do uzyskanego wyniku pomiaru f
p
:
p
f
f
f
.
(18)
Jeżeli wartość parametru f nie jest mierzona w pomiarze bezpośrednim, tylko wynika
pośrednio z pomiarów innych parametrów x
i,
przy czym można przedstawić ją w postaci
funkcji tych parametrów:
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
f
,
(19)
to błąd bezwzględny pomiaru można wyznaczyć korzystając z różniczki zupełnej:
n
n
x
x
f
x
x
f
x
x
f
f
...
2
2
1
1
.
(20)
MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM
Zakład Inżynierii Procesowej
6
Obustronne podzielenie równania (20) przez funkcję f pozwala wyliczyć pozorny błąd
względny
p
:
f
x
x
f
f
x
x
f
f
x
x
f
f
f
n
n
f
...
2
2
1
1
.
(20)
W przypadku wyznaczanego w ramach ćwiczenia ciśnienia atmosferycznego p
a
, jest ono
funkcją sześciu zmiennych:
)
,
,
,
,
,
(
j
i
j
i
a
a
h
h
H
H
g
p
p
,
(22)
określoną równaniem (17).
W takim razie:
a
j
j
a
a
i
i
a
a
j
j
a
a
i
i
a
a
a
a
a
a
a
p
p
h
h
p
p
h
h
p
p
H
H
p
p
H
H
p
p
g
g
p
p
p
p
p
.
(23)
Do równania (23) podstawia się pochodne cząstkowe obliczone z równania (17) oraz funkcję
ciśnienia, także w postaci (17). Po dokonaniu uproszczeń otrzymuje się:
.
1
1
j
i
j
j
j
i
i
j
i
i
j
j
j
i
i
i
j
j
j
i
i
j
i
j
j
i
i
i
p
h
h
h
h
H
h
H
H
h
h
h
h
H
h
H
H
H
h
H
h
H
h
H
h
H
h
H
h
g
g
(24)
Ponieważ poszukuje się maksymalnego błędu względnego dla wszystkich wartości należy
przyjmować maksymalne, wynikające z pomiarów, błędy bezwzględne oraz wszystkie
wyrazy zostały przyjęte w postaci wartości bezwzględnej. Kolejne sześć składników wzoru
(24) pokazuje wpływ błędów pomiarów poszczególnych mierzonych wartości na błąd
wynikowy.
2.3. Stanowisko pomiarowe.
Stanowisko pomiarowe składa się z dwóch równoległych, przezroczystych rur,
wykonanych z polimetakrylanu metylu PMMA (rys.1). Lewa rura jest szczelnie zamknięta od
góry, natomiast prawa otwarta. Rury są połączone na dole poprzeczną rurką, dzięki czemu
stanowią układ naczyń połączonych. Na dole układu zostały zamieszczone zawory
doprowadzające i odprowadzające wodę do rur.
MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM
Zakład Inżynierii Procesowej
7
Rys.1.
3. Przebieg ćwiczenia.
3.1. Zmierzyć wysokość pomiarową zamkniętej rurki: a.
3.2. Wypełnić wodą układ przy pomocy zaworu doprowadzającego wodę. Woda powinna
wypełniać rurkę otwartą do wysokości pomiarowej b wynoszącej około 1,65 m. Uwaga: ten
punkt wykonywać powoli, aby nie przelać górą wody.
3.3. Zmierzyć długości pomiarowe b oraz c.
3.4. Delikatnie operując zaworem spustowym obniżyć poziom cieczy w rurce otwartej do
wysokości 1,60 m.
3.5. Ponownie zmierzyć długości pomiarowe b oraz c.
3.6. Obniżać poziom wody w rurce otwartej po około 0,1 m, za każdym razem wykonując
kolejne pomiary wielkości b oraz c.
3.7. Czynność 3.6 wykonywać aż do wyczerpania możliwości pomiaru wielkości c.
3.8. Opróżnić układ z wody, równocześnie mierząc temperaturę wody.
3.9. Punkty 3.2 – 3.8 powtórzyć trzykrotnie.
3.10. Sprawdzić aktualną wartość ciśnienia atmosferycznego dla miasta Poznań.
http://polish.wunderground.com/global/stations/12330.html
MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM
Zakład Inżynierii Procesowej
8
4. Opracowanie wyników.
4.1. Obliczyć wartość przyspieszenia ziemskiego korzystając z wzoru (12).
4.2. Obliczyć wartość gęstości wody w poszczególnych cyklach pomiarowych (wzór (9)).
4.3. Na podstawie pomiarów bezpośrednich obliczyć wysokości słupa gazu h
i
oraz słupa
cieczy H
i
.
4.4. Obliczyć ciśnienie atmosferyczne na podstawie wyników poszczególnych serii
pomiarowych:
Dla pierwszej serii przyjąć i=1, j=2…n.
Dla drugiej serii przyjąć i=n, j=1…n-1.
Dla trzeciej serii przyjąć i dla środkowego punktu pomiarowego.
4.5. Obliczyć średnią wartość uzyskanego z pomiarów ciśnienia atmosferycznego i
porównać ją z aktualną wartością ciśnienia dla miasta Poznań.
4.6. Zinterpretować otrzymane wyniki, sformułować wnioski.
Tabele wyników
Tabela 1. Wyniki pomiarów bezpośrednich w poszczególnych seriach
Seria nr serii
Nr pomiaru
a
a
b
b
c
c
T
[m]
[m]
[m]
[m]
[m]
[m]
[
o
C]
1
2
3
Tabela 2. Wyniki pomiarów pośrednich w poszczególnych seriach
Seria nr serii
Nr pomiaru
g
g
H
i
H=b+c
h
i
h=a+c
[kg/m
3
] [kg/m
3
] [m/s
2
] [m/s
2
]
[m]
[m]
[m]
[m]
1
2
3
MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM
Zakład Inżynierii Procesowej
9
Tabela 3. Obliczone ciśnienie atmosferyczne i błędy względne
Seria nr serii obliczenia dla i=…
Nr pomiaru
p
a
δ
p
Składowe δ
p
wynikające z błędów
[Pa]
[-]
g
H
i
H
j
h
i
h
j
1
2
3
Dane przydatne do obliczeń:
indywidualna stała gazowa suchego powietrza
R
= 287,1 [J/(kg·K)]
szerokość geograficzna laboratorium
= 52º 39’ 38”
średnia wysokość Poznania nad poziomem morza 100 [m]
5. Literatura uzupełniająca.
„Mechanika płynów w inżynierii środowiska”, Orzechowski Z., Prywer J., Zarzycki
R., WNT Warszawa 2001 r.
„Laboratorium z mechaniki płynów”, praca zbiorowa pod red. Weinerowskiej K.,
Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2004 r.