Wp r o wa d z e ni e d o o pi s u, a n a l iz y i sy m ul a c ji d y n a m ik i o b i e k t ó w

ACzemplik (rękopis)

- 35 -

2. Charakterystyki statyczne

2.1. Wprowadzenie

Najprostszy opis własności obiektu zawiera jego model statyczny (

). Na tej podstawie

można wyznaczyć wzory opisujące każdą zmienną wyjściową obiektu w zależności od jego
zmiennych wejściowych i przedstawić charakterystyki statyczne. Określenie, które ze
zmiennych są wejściami a które wyjściami wynika z interpretacji fizycznej modelu – wartości
na wejściach są zdeterminowane przez źródła niezależne od stanu obiektu (ustalane poza
granicami obiektu) a wartości na wyjściach efektem działania opisywanych procesów.
Wartości pozostałych parametrów modelu wynikają głównie z wymiarów obiektu i własności
fizycznych materiałów w określonych warunkach. Stałe wartości tych parametrów są zawsze
wynikiem przyjętych założeń (np. stała temperatura, pomijalny wpływ ciśnienia).

2.2. Przykład – statyczny układ sprężyn

Proste połączenie dwóch sprężyn o różnych współczynnikach sztywności c

1

i c

2

, na które

działa siła F (Rys. II-1) można opisać algebraicznym układem równań:

x

1

F

c

1

c

2

x

2

Rys. II-1. Połączenie dwóch sprężyn

(

)

(

)









−

−

1

2

2

2

1

2

1

1

0

x

x

c

=

F

x

x

c

+

x

c

=

(II-1)

Siła F jest zmienną wejściową układu, natomiast położenia końców sprężyn x

1

i x

2

są

zmiennymi wyjściowymi, które można wyznaczyć analitycznie:

1

1

c

F

x =

oraz

F

c

c

c

x

2

2

1

2

+

=

(II-2)

Na tej podstawie można narysować charakterystyki statyczne układu postaci jak na Rys. II-2.
W operacji rysowania wykresów wskazane jest wykorzystanie wektorów wartości –
zdefiniowanie wektora wartości zmiennej wejściowej

F oraz wzoru do wygenerowania

wektora wielkości wyjściowe

x

1

:

F=[0:1:100];
x1=c1.*F;
plot(F, x1);

x

1

F

x

2

F

Rys. II-2. Charakterystyki statyczne układu

Do przeprowadzenia symulacji konieczna jest znajomość wartości współczynników c

1

i c

2

,

które można obliczyć na podstawie znajomości kształtu i materiału sprężyny. Można je
również wyznaczyć na podstawie pojedynczego pomiaru wartości zmiennych (F

0

, x

10

, x

20

),

które należy podstawić do układu (II-1) i rozwiązać względem c

1

i c

2

:

10

0

1

x

F

c =

oraz

10

20

0

2

x

x

F

c

−

=

(II-3)

Ponieważ model (II-1) jest liniowy, więc wszystkie powyższe działania można zapisać

macierzowo. Jeśli siła i przesunięcia są zmiennymi układu, to zapis macierzowy ma postać:

























−

−

+

=













2

1

2

2

2

2

1

0

x

x

c

c

c

c

c

F

lub symbolicznie

Cx

F

=

(II-4)

gdzie F i x to wektory zmiennych, C – macierz współczynników

1

. Stąd wektor zmiennych

wyjściowych x:

F

C

x

1

−

=

(II-5)

1

Należy rozróżniać wektor wartości zmiennej, np.

F

i wektor zmiennych wejściowych F (analogicznie jak

wektor wartości zmiennej

x

1

lub

x

2

i wektor zmiennych x zawierający zmienne

x

1

i

x

2

).

A:

I.1.1.2

M:

I.2.3.1

Wp r o wa d z e ni e d o o p is u , a n a l i zy i s y m ul a c j i d y n a m i k i o b i e k t ó w

ACzemplik (rękopis)

- 36 -

Można też przy użyciu macierzy wyznaczyć wartości współczynników na podstawie
pomiarów siły i przesunięć (F

0

, x

10

, x

20

). W tym celu model (II-1) lepiej zapisać w postaci:

























−

−

=













2

1

1

2

2

1

1

0

0

c

c

x

x

x

x

x

F

lub symbolicznie

Xc

F

=

(II-6)

gdzie tym razem F i c występują w roli wektorów zmiennych, a X w roli macierzy
współczynników, co pozwala wyznaczyć wektor c:

F

X

c

1

−

=

(II-7)

Ręczne wykonywanie operacji ma macierzach może być kłopotliwe (np. przy odwracaniu

dużych macierzy), ale programy symulacyjne są wyspecjalizowane w tego typu działaniach.
Są to jednak operacje na wartościach, więc:

− nie będzie możliwości analizy postaci funkcji (pożyteczne, choć nie zawsze konieczne),

− łatwo obliczyć pojedyncze wartości, np. współczynniki c

1

i c

2

ze wzoru (II-7),

− trudniej wygenerować wektory wartości zmiennej, która już jest wektorem - na przykład

w celu narysowania charakterystyk statycznych dla wektora zmiennych x na podstawie
(II-5) trzeba by operować na macierzach wielowymiarowych albo rozpisać wzór na
elementy wektora x i użyć pętli.

2.3. Zadania

2.3.1.

Charakterystyki statyczne pomieszczenia z grzejnikiem

Dla pomieszczenia z grzejnikiem elektrycznym (Rys. II-3) można skonstruować bilans

ciepła dostarczanego przez grzejnik i traconego przez zewnętrzne ściany o współczynniku
strat K

cw

:

T

zew

T

wew

q

g

K

cw

Rys. II-3. Pomieszczenie z grzejnikiem

(

)

zew

wew

cw

g

T

T

K

q

−

−

=

0

(II-8)

Obiekt ma dwie zmienne wejściowe: moc grzejnika elektrycznego (q

g

) i temperatura na

zewnątrz (T

zew

). Z wykonanych pomiarów wiadomo, że dla q

g

=1000 W i T

zew

=-20 °C,

temperatura wewnątrz pomieszczenia T

wew

wynosi 20°C.

Wyznacz wzór i narysuj charakterystyki statyczne układu (dwu- lub trój-wymiarowe).
Uwagi:
- wyznacz współczynnik strat na podstawie dostępnych pomiarów,
- dobierz realne zakresy zmiennych na charakterystykach,
- opisz wykresy (osie, rodziny krzywych), użyj siatki, wprowadź zróżnicowanie linii dla

poszczególnych wykresów.

2.3.2.

Charakterystyki układu elektrycznego

Przedmiotem kolejnej analizy jest szeregowo-równoległe połączenie dwóch rezystorów i

potencjometru (Rys. II-4).

R

2

U

R

1

R

o

Rys. II-4. Dzielnik napięcia

Określ wejścia, wyjścia i parametry układu. Wyznacz charakterystyki statyczne układu.
Kiedy trzeba uwzględnić rezystancje przewodów łączących? Jak to wpłynie na opis układu?

M:

I.2.2.1

M:

I.2.4.1