P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
1
2. Wybór optymalnego planu (asortymentu) produkcji przy ograniczonej
dostępności środków produkcji
Firma może produkować n rodzajów wyrobów. Zakładamy, że wszystkie wyprodukowane wyroby można
sprzedać ze stałymi zyskami jednostkowymi tzn. nie zależącymi od wielkości sprzedaży. Do produkcji
wyrobów zużywane są różne środki produkcji (surowce, energia, maszyny, siła robocza, powierzchnia
magazynowa etc.), z których część lub wszystkie (w liczbie m) jest dostępna w ograniczonych ilościach w
pewnym ustalonym okresie czasu. Dane są:
•
normy zuż
ycia środków produkcji na jednostkę każdego wyrobu (liczone np. w g/kg, mg/l, kg/m
3
, kWh/t,
h/t itp.);
•
maksymalne dostępne zasoby środków produkcji w rozważanym okresie czasu (liczone np. w kg, l, hl, t, m,
m
2
, m
3
, kWh itp.);
•
zyski jednostkowe dla każdego z wyrobów (liczone w PLN/m
3
, PLN/kg, PLN/m
2
, PLN/t itp. – zamiast PLN
może być oczywiście dowolna inna waluta, ale dla wszystkich wyrobów jednakowa).
a zatem parametrami w modelu matematycznym zagadnienia są:
•
ij
a
- zużycie
i
-tego środka produkcji na wytworzenie jednej jednostki wyrobu
j
-tego rodzaju (i= 1
,...,m;
j
= 1
,...,n
),
•
i
b
- maksymalne dostępne zasoby
i
-tego środka produkcji (i= 1
,...,m
),
•
j
c -
zysk jednostkowy dla
j
-tego wyrobu (
j
= 1
,...,n
).
Nale
ż
y okre
ś
li
ć
, które wyroby i w jakich ilo
ś
ciach produkowa
ć
,
aby nie przekraczając zużycia posiadanych za-
sobów środków produkcji, zmaksymalizować zysk ze sprzedaży tych wyrobów w pewnym ustalonym okresie
czasu.
Zmiennymi decyzyjnymi w tym zagadnieniu są zatem wielkości produkcji wyrobów:
j
x -
wielkość produkcji
j
-tego wyrobu,
a ogólny model zagadnienia można zapisać następująco:
max
...
2
2
1
1
→
+
+
+
n
n
x
c
x
c
x
c
- ł
ą
czny zysk ze sprzeda
ż
y wyrobów
przy ograniczeniach
rzeczywiste zu
ż
ycie
maksymalne dost
ę
pne zasoby
ś
rodków produkcji
ś
rodków produkcji
1
1
2
12
1
11
...
b
x
a
x
a
x
a
n
n
≤
+
+
+
2
2
2
22
1
21
...
b
x
a
x
a
x
a
n
n
≤
+
+
+
⋮
⋮
m
n
mn
m
m
b
x
a
x
a
x
a
≤
+
+
+
...
2
2
1
1
0
1
≥
x
,
0
2
≥
x
,....,
0
≥
n
x
ilo
ś
ci wyrobów nie mog
ą
by
ć
ujemne
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
2
Zadanie - optymalny plan produkcji
Zakład przetwórstwa owocowo-warzywnego produkuje z pulpy jabłkowej d
ż
em, mus oraz sok. Ze wzgl
ę
dów
technologicznych dzienne zu
ż
ycie zarówno samej pulpy, jak i niektórych innych
ś
rodków produkcji jest
limitowane. Nale
ż
y znale
źć
plan produkcji w/w trzech wyrobów maksymalizuj
ą
cy dzienny zysk z uwzgl
ę
-
dnieniem dziennych limitów. Dane liczbowe znajduj
ą
si
ę
w tabeli.
Wyroby
Maksymalne
dzienne
zużycie środków
produkcji
Dżem (kg DŻ)
Mus (kg M)
Sok (l S)
Zyski jednostkowe
(PLN/ jedn. wyrobu finalnego)
0,40 PLN/kg DŻ
0,50 PLN/kg M
0,10 PLN/l S
Środki produkcji
Jednostkowe zużycia środków produkcji
pulpa jabłkowa
(kg/ jedn. wyrobu finalnego)
0,4
(kg PJ/kg DŻ)
0,6
(kg PJ/kg M)
0,05
(kg PJ/l S)
16000 kg PJ
cukier
(kg/ jedn. wyrobu finalnego)
0,25
(kg C/kg DŻ)
0,2
(kg C/kg M)
0,08
(kg C/l S)
7000 kg C
pektyny
(kg/ jedn. wyrobu finalnego)
0,022
(kg P/kg DŻ)
0
(kg P/kg M)
0
(kg P/l S)
250 kg P
kwas cytrynowy
(g/ jedn. wyrobu finalnego)
2
(g/kg DŻ)
1,7
(g/kg M)
2,5
(g/l S)
80000 g
woda
(l/ jedn. wyrobu finalnego)
0,35
(l W/kg DŻ)
0,2
(l W/kg M)
0,92
(l W/l S )
20000 l
energia elektryczna
(kWh/ jedn. wyrobu finalnego)
0,03
(kWh/kg DŻ)
0,02
(kWh/kg M)
0,006
(kWh/l S)
1200 kWh
Uwaga. Jednostki, w których są mierzone zarówno niektóre wyroby jak i środki produkcji, czyli kilogramy oraz litry,
zostały opatrzone dodatkowymi skrótami dla rozróżnienia, do czego się odnoszą. Oznaczenia te są wykorzystane przy
„skracaniu” w formułach „rozpisanych” z jednostkami.
Zadanie – ciąg dalszy
Sprawdzić czy jest możliwa zmiana optymalnego planu produkcji na któryś z wymienionych:
1)
=
1
x
8900
=
2
x
10000
=
3
x
16150 2)
=
1
x
2400
=
2
x
23000
=
3
x
14440 3)
=
1
x
7900
=
2
x
20450
=
3
x
11850
4)
=
1
x
10000
=
2
x
10000
=
3
x
20000.
Sprawdzenia należy dokonać przez podstawienie każdej z trójek liczb do odpowiednich komórek i porównanie wartości
lewych stron warunków ograniczających z wartościami ich prawych stron.
Model matematyczny do zadania
1
x
,
2
x
,
3
x
- ilo
ś
ci wyrobów – odpowiednio d
ż
emu i musu w kg oraz soku w l.
max
1
,
0
5
,
0
4
,
0
3
2
1
→
+
+
x
x
x
(funkcja celu – ł
ą
czny zysk)
przy ograniczeniach
rzeczywiste zu
ż
.
ś
rod. produkcji maks. dzienne zu
ż
.
ś
rod. produkcji
16000
05
,
0
6
,
0
4
,
0
3
2
1
≤
+
+
x
x
x
7000
08
,
0
2
,
0
25
,
0
3
2
1
≤
+
+
x
x
x
250
0
0
022
,
0
3
2
1
≤
+
+
x
x
x
80000
5
,
2
7
,
1
2
3
2
1
≤
+
+
x
x
x
20000
92
,
0
2
,
0
35
,
0
3
2
1
≤
+
+
x
x
x
1200
006
,
0
02
,
0
03
,
0
3
2
1
≤
+
+
x
x
x
0
1
≥
x
,
0
2
≥
x
,
0
3
≥
x
- ilo
ś
ci wyrobów nie mog
ą
by
ć
ujemne
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
3
Funkcja celu i pierwszy z warunków ograniczaj
ą
cych „rozpisane” z jednostkami.
Rozwiązywanie zadania
Wprowadzanie danych do komórek arkusza
Podstawowa zasada tworzenia modeli optymalizacyjnych w Excelu, które nast
ę
pnie s
ą
rozwi
ą
zywane przy
pomocy dodatku Solver jest nast
ę
puj
ą
ca.
U
ż
ytkownik
MUSI ZDECYDOWAĆ, KTÓRE KOMÓRKI ARKUSZA BĘDĄ PEŁNIĆ ROLĘ
ZMIENNYCH DECYZYJNYCH
(„iksów”).
Wszystkie formuły opisuj
ą
ce funkcj
ę
celu oraz warunki ograniczaj
ą
ce musz
ą
by
ć
Excelowymi odpowiednikami
formuł z zapisu matematycznego, gdzie w miejscu zmiennych decyzyjnych pojawiaj
ą
si
ę
referencje do
komórek pełni
ą
cych rol
ę
zmiennych decyzyjnych. Komórki te b
ę
d
ą
równie
ż
zadeklarowane w odpowiednim
polu dodatku Solver jako tzw. „komórki zmieniane”.
W rozwi
ą
zywanym wła
ś
nie zadaniu komórkami pełni
ą
cymi rol
ę
zmiennych decyzyjnych b
ę
d
ą
B2, C2, D2 –
w skrócie: zakres (tablica) B2:D2. Odpowiednio
ść
pomi
ę
dzy komórkami a zmiennymi jest nast
ę
puj
ą
ca:
B2 -
1
x
, C2 -
2
x
, D2 -
3
x
.
Poniewa
ż
współczynniki funkcji celu znajduj
ą
si
ę
w komórkach B4, C4 i D4 zatem odpowiednikiem funkcji
celu
3
2
1
1
,
0
5
,
0
4
,
0
x
x
x
+
+
b
ę
dzie formuła
=B4*B2+C4*C2+D4*D2
Zastosujemy jednak równowa
ż
n
ą
formuł
ę
, jednak
ż
e prostsz
ą
we wprowadzaniu, zwłaszcza, je
ż
eli u
ż
yty
zostanie kreator funkcji z menu Wstaw-Funkcja (w Excelu 2007/2010 Formuł y-Wstaw funkcj
ę
)
=SUMA.ILOCZYNÓW(B4:D4;B2:D2).
Jak wida
ć
, funkcja celu jest podobna do formuł w lewych stron warunków ograniczaj
ą
cych (wszystkie one s
ą
sumami iloczynów liczb i zmiennych). Dzi
ę
ki temu formuła reprezentuj
ą
ca w arkuszu funkcj
ę
celu zostanie
wykorzystana do stworzenia, przy pomocy kopiowania, formuł reprezentuj
ą
cych lewe strony warunków
ograniczaj
ą
cych W tym celu formuła ta musi by
ć
wpisana w postaci
=SUMA.ILOCZYNÓW(B4:D4;B$2:D$2)
S
l
x
S
l
PLN
M
kg
x
M
kg
PLN
DŻ
kg
x
DŻ
kg
PLN
3
2
1
1
,
0
5
,
0
4
,
0
+
+
PJ
kg
S
l
x
S
l
PJ
kg
M
kg
x
M
kg
PJ
kg
DŻ
kg
x
DŻ
kg
PJ
kg
16000
05
,
0
6
,
0
4
,
0
3
2
1
≤
+
+
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
4
Informacja na temat formuł: wprowadzanej i kopiowanych
Zapis matematyczny
Formuły „dosłowne” tzn. takie które
należałoby wpisać przy literalnym
„przełożeniu” zapisu matematycznego
na składnię Excela
K
om
ór
ka
Formuły z SUMA.ILOCZYNÓW
odpowiadające formułom „dosłownym”
Uwagi
3
2
1
1
,
0
5
,
0
4
,
0
x
x
x
+
+
=B4*B2+C4*C2+D4*D2
E4
=SUMA.ILOCZYNÓW(B4:D4;B$2:D$2)
Wprowadzona przez
użytkownika
3
2
1
05
,
0
6
,
0
4
,
0
x
x
x
+
+
=B6*B2+C6*C2+D6*D2
E6
=SUMA.ILOCZYNÓW(B6:D6;B$2:D$2)
Otrzymana przez
kopiowanie z E4
3
2
1
08
,
0
2
,
0
25
,
0
x
x
x
+
+
=B7*B2+C7*C2+D7*D2
E7
=SUMA.ILOCZYNÓW(B7:D7;B$2:D$2)
Otrzymana przez
kopiowanie z E4
3
2
1
0
0
022
,
0
x
x
x
+
+
=B8*B2+C8*C2+D8*D2
E8
=SUMA.ILOCZYNÓW(B8:D8;B$2:D$2)
Otrzymana przez
kopiowanie z E4
3
2
1
5
,
2
7
,
1
2
x
x
x
+
+
=B9*B2+C9*C2+D9*D2
E9
=SUMA.ILOCZYNÓW(B9:D9;B$2:D$2)
Otrzymana przez
kopiowanie z E4
3
2
1
92
,
0
2
,
0
35
,
0
x
x
x
+
+
=B10*B2+C10*C2+D10*D2
E10
=SUMA.ILOCZYNÓW(B10:D10;B$2:D$2)
Otrzymana przez
kopiowanie z E4
3
2
1
006
,
0
02
,
0
03
,
0
x
x
x
+
+
=B11*B2+C11*C2+D11*D2
E11
=SUMA.ILOCZYNÓW(B11:D11;B$2:D$2)
Otrzymana przez
kopiowanie z E4
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
5
Kopiowanie komórki E4
Kolejnym etapem jest skopiowanie komórki E4 na zakres E6:E11. Dzięki właściwościom kopiowania nie trzeba bowiem
wprowadzać 7 formuł (funkcja celu + 6 formuł na lewe strony warunków ograniczających). Wystarczy wpisać formułę
(odpowiadającą funkcji celu) jeden raz, a pozostałe formuły „wygenerować” poprzez kopiowanie.
Zrzut ekranu powy
ż
ej
nie ilustruje żadnych czynności
, a jedynie słu
ż
y do
kontroli poprawności
wprowadzenia danych!!!
To samo, co powy
ż
ej ale
zamiast wyników formuł
(które to wyniki na tym etapie s
ą
, jak ju
ż
wiadomo,
zerami) s
ą
wy
ś
wietlone
same formuły
.
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
6
Ustawienia Solvera
Na tym etapie zako
ń
czyło si
ę
wprowadzanie danych bezpo
ś
rednio do komórek arkusza.
Mamy nast
ę
puj
ą
ce zwi
ą
zki mi
ę
dzy zapisem matematycznym a zapisem w Excelu:
B2 C2 D2
1
x
,
2
x
,
3
x
E4
max
1
,
0
5
,
0
4
,
0
3
2
1
→
+
+
x
x
x
przy ograniczeniach
rzeczywiste zu
ż
.
ś
rod. prod. maks. dzienne zu
ż
.
ś
rod. prod.
E6
16000
05
,
0
6
,
0
4
,
0
3
2
1
≤
+
+
x
x
x
F6
E7
7000
08
,
0
2
,
0
25
,
0
3
2
1
≤
+
+
x
x
x
F7
E8
250
0
0
022
,
0
3
2
1
≤
+
+
x
x
x
F8
E9
80000
5
,
2
7
,
1
2
3
2
1
≤
+
+
x
x
x
F9
E10
20000
92
,
0
2
,
0
35
,
0
3
2
1
≤
+
+
x
x
x
F10
E11
1200
006
,
0
02
,
0
03
,
0
3
2
1
≤
+
+
x
x
x
F11
0
1
≥
x
,
0
2
≥
x
,
0
3
≥
x
- ilo
ś
ci wyrobów nie mog
ą
by
ć
ujemne
B2 C2 D2
Nale
ż
y teraz z menu Narz
ę
dzia-Solver
(w Excelu 2007/2010 wst
ąż
ka Dane-Solver) otworzy
ć
okno Solver-
Parametry
, a nast
ę
pnie zadeklarowa
ć
ustawienia:
Komórka celu
:
E4
Równa
: Maks (funkcja celu jest maksymalizowana – jest to ustawienie domy
ś
lne i nie trzeba go zmienia
ć
)
Komórki zmieniane
:
B2:D2
Warunki ograniczaj
ą
ce
:
B2:D2>=0
E6:E11<=F6:F11
.
Uwaga 1
Je
ż
eli adresy komórek w polach okien Solvera s
ą
wskazywane mysz
ą
lub klawiszami strzałek, s
ą
one „wzboga-
cone” o znaki $. Równie
ż
w przypadku adresów komórek podawanych z klawiatury po ich zatwierdzeniu (tzn.
po zamkni
ę
ciu i ponownym otwarciu okna) pojawi
ą
si
ę
w nich znaki $. Znaki te nie maj
ą
ż
adnego prakty-
cznego znaczenia. a ich pojawianie si
ę
jest uwarunkowane wzgl
ę
dami techniczno-programistycznymi.
Nie ma
potrzeby wprowadzania znaków $ przez użytkownika.
Niemniej dopisywanie znaków $ jest wskazane
w starszych wersjach Excela (do 2002), poniewa
ż
przy braku tych
ż
e niekiedy warunki ograniczaj
ą
ce s
ą
zatwierdzane nieprawidłowo.
Uwaga 2
Warunki ograniczaj
ą
ce w oknie Solvera s
ą
sortowane alfabetycznie niezale
ż
nie od kolejno
ś
ci ich wprowa-
dzania.
Uwaga 3
B2:D2>=0 jest skróconym zapisem dla B2>=0, C2>=0, D2>=0 (czyli
0
1
≥
x
,
0
2
≥
x
,
0
3
≥
x
)
E6:E11<=F6:F11 jest skróconym zapisem dla E6<=F6, E7<=F7, E8<=F8, E9<=F9, E10<=F10, E11<=F11
(warunki zwi
ą
zane ze zu
ż
yciem
ś
rodków produkcji)
Szczegółowe zasady wprowadzania definiowania zadania w Solverze w tym w szczególności warunków
ograniczających ukazane na przykładzie rozwiązywanego zadania.
Teraz trzeba otworzy
ć
okno Solvera z menu Narz
ę
dzia-Solver
. W Komórka celu wpisujemy E4, w Komórki
zmieniane
B2:D2. Opcj
ę
Równa zostawiamy jako domy
ś
ln
ą
(Maks). Dolary w adresach komórek s
ą
dostawiane
automatycznie przez Excela przy wskazywaniu zakresów komórek mysz
ą
albo po zatwierdzeniu danych
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
7
poprzez przej
ś
cie do innego pola. Dolary te do niczego nie słu
żą
, a ich pokazywanie jest prawdopodobnie
uwarunkowane wzgl
ę
dami technicznymi.
Główne okno Solvera (Solver - Parametry) przed dodaniem warunków ograniczaj
ą
cych. W samym polu Wa-
runki ograniczaj
ą
ce
nic nie wpisujemy, poniewa
ż
jest to
NIEMOŻLIWE
. Aby doda
ć
warunki, klikamy
w Dodaj
Otwiera si
ę
nowe okno Dodaj warunek ograniczaj
ą
cy
Wprowadzamy pierwsz
ą
grup
ę
warunków czyli warunki nieujemno
ś
ci zmiennych (B2:D2>=0) i klikamy Dodaj
Pojawia si
ę
znowu okno Dodaj warunek ograniczaj
ą
cy
. Wprowadzamy analogicznie warunki ogranicze
ń
funkcyjnych (E6:E11<=F6:F11). Poniewa
ż
nie ma ju
ż
wi
ę
cej warunków do dodania, klikamy OK. Nast
ę
puje
powrót do okna Solver - Parametry
Po dodaniu warunków ograniczaj
ą
cych okno Solver – Parametry powinno wygl
ą
da
ć
jak ni
ż
ej
Tu rów nież możemy skorzystać ze "zw ijania" i "rozw ijania"
okienek do w prow adzania adresów komórek
.
Tu rów nież możemy skorzystać ze "zw ijania" i "rozw ijania"
okienek do w prow adzania adresów komórek
.
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
8
Ustawienia Solvera dla rozwiązywanego zadania
Teraz trzeba tylko klikn
ąć
w Rozwi
ąż
i zaczeka
ć
(bardzo krótko), a
ż
pojawi si
ę
nast
ę
puj
ą
ce okno:
Pozostaje ju
ż
tylko klikn
ąć
w OK, aby zaakceptowa
ć
wynik.
Rozwiązanie zadania
Odpowiedź „słowna”.
Maksymalny dzienny zysk wynosi 14547,10556 PLN. Jest on osi
ą
gni
ę
ty dla planu produkcji:
412
,
7877
*
1
=
x
kg d
ż
emu,
33
,
20431
*
2
=
x
kg musu,
77
,
11804
*
3
=
x
l soku
Uwagi do rozwiązania
Jak wida
ć
, w rozwi
ą
zaniu optymalnym zu
ż
ycie 1, 2 oraz 4
ś
rodka produkcji jest równe zu
ż
yciu maksymalne-
mu, natomiast zu
ż
ycie pozostałych
ś
rodków produkcji tzn. 3, 4 oraz 6 jest mniejsze ni
ż
maksymalne. Innymi
słowy, dla rozwi
ą
zania optymalnego 3 warunki ograniczaj
ą
ce zwi
ą
zane ze zu
ż
yciem
ś
rodków produkcji s
ą
spełnione z równo
ś
ci
ą
, a 3 z nierówno
ś
ci
ą
ostr
ą
. Oznacza to, i
ż
ewentualne zmniejszenie któregokolwiek z
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
9
limitów
ś
rodków produkcji 3, 4 oraz 6 do poziomów odpowiednio nawet 173,3030647, 17703,74574 oraz
715,7775255 nie wpłynie w jakikolwiek sposób na plan produkcji, a zatem i na osi
ą
gni
ę
ty zysk. Ewentualne
zwi
ę
kszenie któregokolwiek z limitów
ś
rodków produkcji 3, 4 oraz 6 oczywi
ś
cie tym bardziej nie wpłynie na
plan produkcji. Z kolei zmniejszenie któregokolwiek z limitów zu
ż
ycia
ś
rodków produkcji 1, 2 oraz 4 b
ę
dzie
skutkowa
ć
zmniejszeniem wielko
ś
ci produkcji przynajmniej jednego z wyrobów, a zatem i zmniejszeniem
zysku. Z drugiej strony, zwi
ę
kszenie któregokolwiek z limitów zu
ż
ycia
ś
rodków produkcji 1, 2 oraz 4 mo
ż
e
skutkowa
ć
(ale nie musi) zwi
ę
kszeniem wielko
ś
ci produkcji przynajmniej jednego z wyrobów, a zatem i zwi
ę
-
kszeniem zysku.
Liczba warunków ograniczaj
ą
cych zwi
ą
zanych ze zu
ż
yciem
ś
rodków produkcji, które s
ą
spełnione z równo
ś
ci
ą
zale
ż
y od konkretnego zadania. Mog
ą
to by
ć
nawet wszystkie z nich, a na pewno b
ę
dzie to przynajmniej jeden
z nich.
Sprawdzanie dopuszczalności rozwiązań (wykonalności planów produkcji)
Nie zawsze zaplanowanie produkcji według planu optymalnego jest możliwe ze względu na brak zbytu dla wyproduko-
wanych wyrobów. Zamiast tego produkcja może być realizowana według konkretnych zamówień. Oczywiście w takiej
sytuacji nie ma mowy o maksymalizacji zysku poprzez dopasowanie wielkości
Zadanie – ciąg dalszy
Sprawdzić czy jest możliwa zmiana optymalnego planu produkcji na któryś z wymienionych:
1)
=
1
x
8900
=
2
x
10000
=
3
x
16150
2)
=
1
x
2400
=
2
x
23000
=
3
x
14440
3)
=
1
x
7900
=
2
x
20450
=
3
x
11850
4)
=
1
x
10000
=
2
x
10000
=
3
x
20000.
Sprawdzenia należy dokonać przez podstawienie każdej z trójek liczb do odpowiednich komórek i porównanie wartości
lewych stron warunków ograniczających z wartościami ich prawych stron.
Rozwiązanie
Sprawdzenie czy wymienione niżej plany produkcji:
1)
=
1
x
8900,
=
2
x
10000,
=
3
x
16150
2)
=
1
x
2400,
=
2
x
23000,
=
3
x
14440
3)
=
1
x
7900,
=
2
x
20450,
=
3
x
11850
4)
=
1
x
10000
=
2
x
10000
=
3
x
20000
są dopuszczalne (wykonalne) odbywa się poprzez podstawienie wartości
1
x
,
2
x
,
3
x
odpowiednio do komórek B2, C2,
D2 a następnie porównania wartości w komórkach E6, E7, …., E11 (rzeczywiste zużycie środków produkcji) z odpowia-
dającymi im komórkami F6, F7, …., F11 (górne limity zużycia – maksymalne zużycie środków produkcji).
Ad. 1.
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
10
Wyniki dla planu produkcji
=
1
x
8900,
=
2
x
10000,
=
3
x
16150. Plan produkcji jest dopuszczalny, ponieważ:
•
zużycie wszystkich środków produkcji jest mniejsze od maksymalnego dziennego zużycia (oznacza to możliwość
zwiększenia produkcji dowolnego wyrobu);
•
wszystkie ilości wyprodukowanych wyrobów są dodatnie.
Ad. 2
Wyniki dla planu produkcji
=
1
x
2400,
=
2
x
23000,
=
3
x
14440. Plan produkcji jest dopuszczalny, ponieważ:
•
zużycie wszystkich środków produkcji jest mniejsze lub równe (równe dla środka produkcji 4, czyli kwasu
cytrynowego) od maksymalnego dziennego zużycia (produkcji nie można zwiększyć, ponieważ kwas cytrynowy
jest potrzebny do produkcji wszystkich wyrobów, a dla danego produkcji jest zużywany w całości);
•
wszystkie ilości wyprodukowanych wyrobów są dodatnie.
Ad 3.
Wyniki dla planu produkcji
=
1
x
7900,
=
2
x
20450,
=
3
x
11850. Plan produkcji nie jest dopuszczalny, ponieważ:
•
zużycie środków produkcji 1, 2 oraz 4 czyli pulpy jabłkowej, cukru oraz kwasu cytrynowego jest większe od
maksymalnego dziennego zużycia.
Je
ż
eli znana jest maksymalna warto
ść
zysku dla rozwa
ż
anego modelu, wówczas mo
ż
na stwierdzi
ć
bez
sprawdzania spełnienia warunków ograniczaj
ą
cych,
ż
e ten plan produkcji nie jest dopuszczalny. Wynika to
z faktu, i
ż
dla tego planu wysoko
ść
zysku (14570) jest wi
ę
ksza od maksymalnej (14547,10556), a zatem, gdyby
to był plan dopuszczalny, to zysk maksymalny nie mógłby by
ć
mniejszy ni
ż
14570.
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
11
Ad 4.
Wyniki dla planu produkcji
=
1
x
10000
=
2
x
10000
=
3
x
20000. Plan produkcji nie jest dopuszczalny, ponieważ:
•
zużycie środków produkcji 4 oraz 5 czyli kwasu cytrynowego oraz wody jest większe od maksymalnego
dziennego zużycia.
Jak wida
ć
, ten plan produkcji nie jest dopuszczalny, pomimo i
ż
wysoko
ść
zysku (11000) jest znacznie mniejsza
od maksymalnej (14547,10556).
Uwagi końcowe
Warto zwróci
ć
uwag
ę
na fakt,
ż
e optymalny plan produkcji (=maksymalizuj
ą
cy zysk) nie musi by
ć
planem pro-
dukcji maksymalizuj
ą
cym wielko
ś
ci produkcji wszystkich wyrobów. Jak wida
ć
w przypadku 1, produkcja d
ż
e-
mu i soku jest wi
ę
ksza, a musu mniejsza ni
ż
w planie optymalnym. W przypadku 2 produkcja musu i soku jest
wi
ę
ksza, a d
ż
emu mniejsza ni
ż
w planie optymalnym. Przypadek 3 (produkcja wszystkich wyrobów wi
ę
ksza
ni
ż
w planie optymalnym) oznacza ju
ż
jednak,
ż
e taki plan produkcji nie jest dopuszczalny.