P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji

1

2. Wybór optymalnego planu (asortymentu) produkcji przy ograniczonej
dostępności środków produkcji

Firma może produkować n rodzajów wyrobów. Zakładamy, że wszystkie wyprodukowane wyroby można
sprzedać ze stałymi zyskami jednostkowymi tzn. nie zależącymi od wielkości sprzedaży. Do produkcji
wyrobów zużywane są różne środki produkcji (surowce, energia, maszyny, siła robocza, powierzchnia
magazynowa etc.), z których część lub wszystkie (w liczbie m) jest dostępna w ograniczonych ilościach w
pewnym ustalonym okresie czasu. Dane są:

•

normy zuż

ycia środków produkcji na jednostkę każdego wyrobu (liczone np. w g/kg, mg/l, kg/m

3

, kWh/t,

h/t itp.);

•

maksymalne dostępne zasoby środków produkcji w rozważanym okresie czasu (liczone np. w kg, l, hl, t, m,

m

2

, m

3

, kWh itp.);

•

zyski jednostkowe dla każdego z wyrobów (liczone w PLN/m

3

, PLN/kg, PLN/m

2

, PLN/t itp. – zamiast PLN

może być oczywiście dowolna inna waluta, ale dla wszystkich wyrobów jednakowa).

a zatem parametrami w modelu matematycznym zagadnienia są:

•

ij

a

- zużycie

i

-tego środka produkcji na wytworzenie jednej jednostki wyrobu

j

-tego rodzaju (i= 1

,...,m;

j

= 1

,...,n

),

•

i

b

- maksymalne dostępne zasoby

i

-tego środka produkcji (i= 1

,...,m

),

•

j

c -

zysk jednostkowy dla

j

-tego wyrobu (

j

= 1

,...,n

).

Nale

ż

y okre

ś

li

ć

, które wyroby i w jakich ilo

ś

ciach produkowa

ć

,

aby nie przekraczając zużycia posiadanych za-

sobów środków produkcji, zmaksymalizować zysk ze sprzedaży tych wyrobów w pewnym ustalonym okresie
czasu.

Zmiennymi decyzyjnymi w tym zagadnieniu są zatem wielkości produkcji wyrobów:

j

x -

wielkość produkcji

j

-tego wyrobu,

a ogólny model zagadnienia można zapisać następująco:

max

...

2

2

1

1

→

+

+

+

n

n

x

c

x

c

x

c

- ł

ą

czny zysk ze sprzeda

ż

y wyrobów

przy ograniczeniach

rzeczywiste zu

ż

ycie

maksymalne dost

ę

pne zasoby

ś

rodków produkcji

ś

rodków produkcji

1

1

2

12

1

11

...

b

x

a

x

a

x

a

n

n

≤

+

+

+

2

2

2

22

1

21

...

b

x

a

x

a

x

a

n

n

≤

+

+

+

⋮

⋮

m

n

mn

m

m

b

x

a

x

a

x

a

≤

+

+

+

...

2

2

1

1

0

1

≥

x

,

0

2

≥

x

,....,

0

≥

n

x

ilo

ś

ci wyrobów nie mog

ą

by

ć

ujemne

P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji

2

Zadanie - optymalny plan produkcji

Zakład przetwórstwa owocowo-warzywnego produkuje z pulpy jabłkowej d

ż

em, mus oraz sok. Ze wzgl

ę

dów

technologicznych dzienne zu

ż

ycie zarówno samej pulpy, jak i niektórych innych

ś

rodków produkcji jest

limitowane. Nale

ż

y znale

źć

plan produkcji w/w trzech wyrobów maksymalizuj

ą

cy dzienny zysk z uwzgl

ę

-

dnieniem dziennych limitów. Dane liczbowe znajduj

ą

si

ę

w tabeli.

Wyroby

Maksymalne

dzienne

zużycie środków

produkcji

Dżem (kg DŻ)

Mus (kg M)

Sok (l S)

Zyski jednostkowe
(PLN/ jedn. wyrobu finalnego)

0,40 PLN/kg DŻ

0,50 PLN/kg M

0,10 PLN/l S

Środki produkcji

Jednostkowe zużycia środków produkcji

pulpa jabłkowa
(kg/ jedn. wyrobu finalnego)

0,4

(kg PJ/kg DŻ)

0,6

(kg PJ/kg M)

0,05

(kg PJ/l S)

16000 kg PJ

cukier
(kg/ jedn. wyrobu finalnego)

0,25

(kg C/kg DŻ)

0,2

(kg C/kg M)

0,08

(kg C/l S)

7000 kg C

pektyny
(kg/ jedn. wyrobu finalnego)

0,022

(kg P/kg DŻ)

0

(kg P/kg M)

0

(kg P/l S)

250 kg P

kwas cytrynowy
(g/ jedn. wyrobu finalnego)

2

(g/kg DŻ)

1,7

(g/kg M)

2,5

(g/l S)

80000 g

woda
(l/ jedn. wyrobu finalnego)

0,35

(l W/kg DŻ)

0,2

(l W/kg M)

0,92

(l W/l S )

20000 l

energia elektryczna
(kWh/ jedn. wyrobu finalnego)

0,03

(kWh/kg DŻ)

0,02

(kWh/kg M)

0,006

(kWh/l S)

1200 kWh

Uwaga. Jednostki, w których są mierzone zarówno niektóre wyroby jak i środki produkcji, czyli kilogramy oraz litry,
zostały opatrzone dodatkowymi skrótami dla rozróżnienia, do czego się odnoszą. Oznaczenia te są wykorzystane przy
„skracaniu” w formułach „rozpisanych” z jednostkami.
Zadanie – ciąg dalszy
Sprawdzić czy jest możliwa zmiana optymalnego planu produkcji na któryś z wymienionych:
1)

=

1

x

8900

=

2

x

10000

=

3

x

16150 2)

=

1

x

2400

=

2

x

23000

=

3

x

14440 3)

=

1

x

7900

=

2

x

20450

=

3

x

11850

4)

=

1

x

10000

=

2

x

10000

=

3

x

20000.

Sprawdzenia należy dokonać przez podstawienie każdej z trójek liczb do odpowiednich komórek i porównanie wartości
lewych stron warunków ograniczających z wartościami ich prawych stron.

Model matematyczny do zadania

1

x

,

2

x

,

3

x

- ilo

ś

ci wyrobów – odpowiednio d

ż

emu i musu w kg oraz soku w l.

max

1

,

0

5

,

0

4

,

0

3

2

1

→

+

+

x

x

x

(funkcja celu – ł

ą

czny zysk)

przy ograniczeniach
rzeczywiste zu

ż

.

ś

rod. produkcji maks. dzienne zu

ż

.

ś

rod. produkcji

16000

05

,

0

6

,

0

4

,

0

3

2

1

≤

+

+

x

x

x

7000

08

,

0

2

,

0

25

,

0

3

2

1

≤

+

+

x

x

x

250

0

0

022

,

0

3

2

1

≤

+

+

x

x

x

80000

5

,

2

7

,

1

2

3

2

1

≤

+

+

x

x

x

20000

92

,

0

2

,

0

35

,

0

3

2

1

≤

+

+

x

x

x

1200

006

,

0

02

,

0

03

,

0

3

2

1

≤

+

+

x

x

x

0

1

≥

x

,

0

2

≥

x

,

0

3

≥

x

- ilo

ś

ci wyrobów nie mog

ą

by

ć

ujemne

P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji

3

Funkcja celu i pierwszy z warunków ograniczaj

ą

cych „rozpisane” z jednostkami.

Rozwiązywanie zadania

Wprowadzanie danych do komórek arkusza

Podstawowa zasada tworzenia modeli optymalizacyjnych w Excelu, które nast

ę

pnie s

ą

rozwi

ą

zywane przy

pomocy dodatku Solver jest nast

ę

puj

ą

ca.

U

ż

ytkownik

MUSI ZDECYDOWAĆ, KTÓRE KOMÓRKI ARKUSZA BĘDĄ PEŁNIĆ ROLĘ

ZMIENNYCH DECYZYJNYCH

(„iksów”).

Wszystkie formuły opisuj

ą

ce funkcj

ę

celu oraz warunki ograniczaj

ą

ce musz

ą

by

ć

Excelowymi odpowiednikami

formuł z zapisu matematycznego, gdzie w miejscu zmiennych decyzyjnych pojawiaj

ą

si

ę

referencje do

komórek pełni

ą

cych rol

ę

zmiennych decyzyjnych. Komórki te b

ę

d

ą

równie

ż

zadeklarowane w odpowiednim

polu dodatku Solver jako tzw. „komórki zmieniane”.
W rozwi

ą

zywanym wła

ś

nie zadaniu komórkami pełni

ą

cymi rol

ę

zmiennych decyzyjnych b

ę

d

ą

B2, C2, D2 –

w skrócie: zakres (tablica) B2:D2. Odpowiednio

ść

pomi

ę

dzy komórkami a zmiennymi jest nast

ę

puj

ą

ca:

B2 -

1

x

, C2 -

2

x

, D2 -

3

x

.

Poniewa

ż

współczynniki funkcji celu znajduj

ą

si

ę

w komórkach B4, C4 i D4 zatem odpowiednikiem funkcji

celu

3

2

1

1

,

0

5

,

0

4

,

0

x

x

x

+

+

b

ę

dzie formuła

=B4*B2+C4*C2+D4*D2

Zastosujemy jednak równowa

ż

n

ą

formuł

ę

, jednak

ż

e prostsz

ą

we wprowadzaniu, zwłaszcza, je

ż

eli u

ż

yty

zostanie kreator funkcji z menu Wstaw-Funkcja (w Excelu 2007/2010 Formuł y-Wstaw funkcj

ę

)

=SUMA.ILOCZYNÓW(B4:D4;B2:D2).

Jak wida

ć

, funkcja celu jest podobna do formuł w lewych stron warunków ograniczaj

ą

cych (wszystkie one s

ą

sumami iloczynów liczb i zmiennych). Dzi

ę

ki temu formuła reprezentuj

ą

ca w arkuszu funkcj

ę

celu zostanie

wykorzystana do stworzenia, przy pomocy kopiowania, formuł reprezentuj

ą

cych lewe strony warunków

ograniczaj

ą

cych W tym celu formuła ta musi by

ć

wpisana w postaci

=SUMA.ILOCZYNÓW(B4:D4;B$2:D$2)

S

l

x

S

l

PLN

M

kg

x

M

kg

PLN

DŻ

kg

x

DŻ

kg

PLN

3

2

1

1

,

0

5

,

0

4

,

0

+

+

PJ

kg

S

l

x

S

l

PJ

kg

M

kg

x

M

kg

PJ

kg

DŻ

kg

x

DŻ

kg

PJ

kg

16000

05

,

0

6

,

0

4

,

0

3

2

1

≤

+

+

P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji

4

Informacja na temat formuł: wprowadzanej i kopiowanych

Zapis matematyczny

Formuły „dosłowne” tzn. takie które

należałoby wpisać przy literalnym

„przełożeniu” zapisu matematycznego

na składnię Excela

K

om

ór

ka

Formuły z SUMA.ILOCZYNÓW

odpowiadające formułom „dosłownym”

Uwagi

3

2

1

1

,

0

5

,

0

4

,

0

x

x

x

+

+

=B4*B2+C4*C2+D4*D2

E4

=SUMA.ILOCZYNÓW(B4:D4;B$2:D$2)

Wprowadzona przez

użytkownika

3

2

1

05

,

0

6

,

0

4

,

0

x

x

x

+

+

=B6*B2+C6*C2+D6*D2

E6

=SUMA.ILOCZYNÓW(B6:D6;B$2:D$2)

Otrzymana przez

kopiowanie z E4

3

2

1

08

,

0

2

,

0

25

,

0

x

x

x

+

+

=B7*B2+C7*C2+D7*D2

E7

=SUMA.ILOCZYNÓW(B7:D7;B$2:D$2)

Otrzymana przez

kopiowanie z E4

3

2

1

0

0

022

,

0

x

x

x

+

+

=B8*B2+C8*C2+D8*D2

E8

=SUMA.ILOCZYNÓW(B8:D8;B$2:D$2)

Otrzymana przez

kopiowanie z E4

3

2

1

5

,

2

7

,

1

2

x

x

x

+

+

=B9*B2+C9*C2+D9*D2

E9

=SUMA.ILOCZYNÓW(B9:D9;B$2:D$2)

Otrzymana przez

kopiowanie z E4

3

2

1

92

,

0

2

,

0

35

,

0

x

x

x

+

+

=B10*B2+C10*C2+D10*D2

E10

=SUMA.ILOCZYNÓW(B10:D10;B$2:D$2)

Otrzymana przez

kopiowanie z E4

3

2

1

006

,

0

02

,

0

03

,

0

x

x

x

+

+

=B11*B2+C11*C2+D11*D2

E11

=SUMA.ILOCZYNÓW(B11:D11;B$2:D$2)

Otrzymana przez

kopiowanie z E4

P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji

5

Kopiowanie komórki E4

Kolejnym etapem jest skopiowanie komórki E4 na zakres E6:E11. Dzięki właściwościom kopiowania nie trzeba bowiem
wprowadzać 7 formuł (funkcja celu + 6 formuł na lewe strony warunków ograniczających). Wystarczy wpisać formułę
(odpowiadającą funkcji celu) jeden raz, a pozostałe formuły „wygenerować” poprzez kopiowanie.

Zrzut ekranu powy

ż

ej

nie ilustruje żadnych czynności

, a jedynie słu

ż

y do

kontroli poprawności

wprowadzenia danych!!!

To samo, co powy

ż

ej ale

zamiast wyników formuł

(które to wyniki na tym etapie s

ą

, jak ju

ż

wiadomo,

zerami) s

ą

wy

ś

wietlone

same formuły

.

P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji

6

Ustawienia Solvera

Na tym etapie zako

ń

czyło si

ę

wprowadzanie danych bezpo

ś

rednio do komórek arkusza.

Mamy nast

ę

puj

ą

ce zwi

ą

zki mi

ę

dzy zapisem matematycznym a zapisem w Excelu:

B2 C2 D2

1

x

,

2

x

,

3

x

E4

max

1

,

0

5

,

0

4

,

0

3

2

1

→

+

+

x

x

x

przy ograniczeniach

rzeczywiste zu

ż

.

ś

rod. prod. maks. dzienne zu

ż

.

ś

rod. prod.

E6

16000

05

,

0

6

,

0

4

,

0

3

2

1

≤

+

+

x

x

x

F6

E7

7000

08

,

0

2

,

0

25

,

0

3

2

1

≤

+

+

x

x

x

F7

E8

250

0

0

022

,

0

3

2

1

≤

+

+

x

x

x

F8

E9

80000

5

,

2

7

,

1

2

3

2

1

≤

+

+

x

x

x

F9

E10

20000

92

,

0

2

,

0

35

,

0

3

2

1

≤

+

+

x

x

x

F10

E11

1200

006

,

0

02

,

0

03

,

0

3

2

1

≤

+

+

x

x

x

F11

0

1

≥

x

,

0

2

≥

x

,

0

3

≥

x

- ilo

ś

ci wyrobów nie mog

ą

by

ć

ujemne

B2 C2 D2

Nale

ż

y teraz z menu Narz

ę

dzia-Solver

(w Excelu 2007/2010 wst

ąż

ka Dane-Solver) otworzy

ć

okno Solver-

Parametry

, a nast

ę

pnie zadeklarowa

ć

ustawienia:

Komórka celu

:

E4

Równa

: Maks (funkcja celu jest maksymalizowana – jest to ustawienie domy

ś

lne i nie trzeba go zmienia

ć

)

Komórki zmieniane

:

B2:D2

Warunki ograniczaj

ą

ce

:

B2:D2>=0
E6:E11<=F6:F11

.

Uwaga 1

Je

ż

eli adresy komórek w polach okien Solvera s

ą

wskazywane mysz

ą

lub klawiszami strzałek, s

ą

one „wzboga-

cone” o znaki $. Równie

ż

w przypadku adresów komórek podawanych z klawiatury po ich zatwierdzeniu (tzn.

po zamkni

ę

ciu i ponownym otwarciu okna) pojawi

ą

si

ę

w nich znaki $. Znaki te nie maj

ą

ż

adnego prakty-

cznego znaczenia. a ich pojawianie si

ę

jest uwarunkowane wzgl

ę

dami techniczno-programistycznymi.

Nie ma

potrzeby wprowadzania znaków $ przez użytkownika.

Niemniej dopisywanie znaków $ jest wskazane

w starszych wersjach Excela (do 2002), poniewa

ż

przy braku tych

ż

e niekiedy warunki ograniczaj

ą

ce s

ą

zatwierdzane nieprawidłowo.

Uwaga 2

Warunki ograniczaj

ą

ce w oknie Solvera s

ą

sortowane alfabetycznie niezale

ż

nie od kolejno

ś

ci ich wprowa-

dzania.

Uwaga 3

B2:D2>=0 jest skróconym zapisem dla B2>=0, C2>=0, D2>=0 (czyli

0

1

≥

x

,

0

2

≥

x

,

0

3

≥

x

)

E6:E11<=F6:F11 jest skróconym zapisem dla E6<=F6, E7<=F7, E8<=F8, E9<=F9, E10<=F10, E11<=F11
(warunki zwi

ą

zane ze zu

ż

yciem

ś

rodków produkcji)

Szczegółowe zasady wprowadzania definiowania zadania w Solverze w tym w szczególności warunków
ograniczających ukazane na przykładzie rozwiązywanego zadania.

Teraz trzeba otworzy

ć

okno Solvera z menu Narz

ę

dzia-Solver

. W Komórka celu wpisujemy E4, w Komórki

zmieniane

B2:D2. Opcj

ę

Równa zostawiamy jako domy

ś

ln

ą

(Maks). Dolary w adresach komórek s

ą

dostawiane

automatycznie przez Excela przy wskazywaniu zakresów komórek mysz

ą

albo po zatwierdzeniu danych

P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji

7

poprzez przej

ś

cie do innego pola. Dolary te do niczego nie słu

żą

, a ich pokazywanie jest prawdopodobnie

uwarunkowane wzgl

ę

dami technicznymi.

Główne okno Solvera (Solver - Parametry) przed dodaniem warunków ograniczaj

ą

cych. W samym polu Wa-

runki ograniczaj

ą

ce

nic nie wpisujemy, poniewa

ż

jest to

NIEMOŻLIWE

. Aby doda

ć

warunki, klikamy

w Dodaj
Otwiera si

ę

nowe okno Dodaj warunek ograniczaj

ą

cy

Wprowadzamy pierwsz

ą

grup

ę

warunków czyli warunki nieujemno

ś

ci zmiennych (B2:D2>=0) i klikamy Dodaj

Pojawia si

ę

znowu okno Dodaj warunek ograniczaj

ą

cy

. Wprowadzamy analogicznie warunki ogranicze

ń

funkcyjnych (E6:E11<=F6:F11). Poniewa

ż

nie ma ju

ż

wi

ę

cej warunków do dodania, klikamy OK. Nast

ę

puje

powrót do okna Solver - Parametry

Po dodaniu warunków ograniczaj

ą

cych okno Solver – Parametry powinno wygl

ą

da

ć

jak ni

ż

ej

Tu rów nież możemy skorzystać ze "zw ijania" i "rozw ijania"

okienek do w prow adzania adresów komórek

.

Tu rów nież możemy skorzystać ze "zw ijania" i "rozw ijania"

okienek do w prow adzania adresów komórek

.

P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji

8

Ustawienia Solvera dla rozwiązywanego zadania

Teraz trzeba tylko klikn

ąć

w Rozwi

ąż

i zaczeka

ć

(bardzo krótko), a

ż

pojawi si

ę

nast

ę

puj

ą

ce okno:

Pozostaje ju

ż

tylko klikn

ąć

w OK, aby zaakceptowa

ć

wynik.

Rozwiązanie zadania

Odpowiedź „słowna”.

Maksymalny dzienny zysk wynosi 14547,10556 PLN. Jest on osi

ą

gni

ę

ty dla planu produkcji:

412

,

7877

*

1

=

x

kg d

ż

emu,

33

,

20431

*
2

=

x

kg musu,

77

,

11804

*

3

=

x

l soku

Uwagi do rozwiązania

Jak wida

ć

, w rozwi

ą

zaniu optymalnym zu

ż

ycie 1, 2 oraz 4

ś

rodka produkcji jest równe zu

ż

yciu maksymalne-

mu, natomiast zu

ż

ycie pozostałych

ś

rodków produkcji tzn. 3, 4 oraz 6 jest mniejsze ni

ż

maksymalne. Innymi

słowy, dla rozwi

ą

zania optymalnego 3 warunki ograniczaj

ą

ce zwi

ą

zane ze zu

ż

yciem

ś

rodków produkcji s

ą

spełnione z równo

ś

ci

ą

, a 3 z nierówno

ś

ci

ą

ostr

ą

. Oznacza to, i

ż

ewentualne zmniejszenie któregokolwiek z

P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji

9

limitów

ś

rodków produkcji 3, 4 oraz 6 do poziomów odpowiednio nawet 173,3030647, 17703,74574 oraz

715,7775255 nie wpłynie w jakikolwiek sposób na plan produkcji, a zatem i na osi

ą

gni

ę

ty zysk. Ewentualne

zwi

ę

kszenie któregokolwiek z limitów

ś

rodków produkcji 3, 4 oraz 6 oczywi

ś

cie tym bardziej nie wpłynie na

plan produkcji. Z kolei zmniejszenie któregokolwiek z limitów zu

ż

ycia

ś

rodków produkcji 1, 2 oraz 4 b

ę

dzie

skutkowa

ć

zmniejszeniem wielko

ś

ci produkcji przynajmniej jednego z wyrobów, a zatem i zmniejszeniem

zysku. Z drugiej strony, zwi

ę

kszenie któregokolwiek z limitów zu

ż

ycia

ś

rodków produkcji 1, 2 oraz 4 mo

ż

e

skutkowa

ć

(ale nie musi) zwi

ę

kszeniem wielko

ś

ci produkcji przynajmniej jednego z wyrobów, a zatem i zwi

ę

-

kszeniem zysku.
Liczba warunków ograniczaj

ą

cych zwi

ą

zanych ze zu

ż

yciem

ś

rodków produkcji, które s

ą

spełnione z równo

ś

ci

ą

zale

ż

y od konkretnego zadania. Mog

ą

to by

ć

nawet wszystkie z nich, a na pewno b

ę

dzie to przynajmniej jeden

z nich.

Sprawdzanie dopuszczalności rozwiązań (wykonalności planów produkcji)

Nie zawsze zaplanowanie produkcji według planu optymalnego jest możliwe ze względu na brak zbytu dla wyproduko-
wanych wyrobów. Zamiast tego produkcja może być realizowana według konkretnych zamówień. Oczywiście w takiej
sytuacji nie ma mowy o maksymalizacji zysku poprzez dopasowanie wielkości

Zadanie – ciąg dalszy

Sprawdzić czy jest możliwa zmiana optymalnego planu produkcji na któryś z wymienionych:
1)

=

1

x

8900

=

2

x

10000

=

3

x

16150

2)

=

1

x

2400

=

2

x

23000

=

3

x

14440

3)

=

1

x

7900

=

2

x

20450

=

3

x

11850

4)

=

1

x

10000

=

2

x

10000

=

3

x

20000.

Sprawdzenia należy dokonać przez podstawienie każdej z trójek liczb do odpowiednich komórek i porównanie wartości
lewych stron warunków ograniczających z wartościami ich prawych stron.

Rozwiązanie
Sprawdzenie czy wymienione niżej plany produkcji:
1)

=

1

x

8900,

=

2

x

10000,

=

3

x

16150

2)

=

1

x

2400,

=

2

x

23000,

=

3

x

14440

3)

=

1

x

7900,

=

2

x

20450,

=

3

x

11850

4)

=

1

x

10000

=

2

x

10000

=

3

x

20000

są dopuszczalne (wykonalne) odbywa się poprzez podstawienie wartości

1

x

,

2

x

,

3

x

odpowiednio do komórek B2, C2,

D2 a następnie porównania wartości w komórkach E6, E7, …., E11 (rzeczywiste zużycie środków produkcji) z odpowia-
dającymi im komórkami F6, F7, …., F11 (górne limity zużycia – maksymalne zużycie środków produkcji).

Ad. 1.

P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji

10

Wyniki dla planu produkcji

=

1

x

8900,

=

2

x

10000,

=

3

x

16150. Plan produkcji jest dopuszczalny, ponieważ:

•

zużycie wszystkich środków produkcji jest mniejsze od maksymalnego dziennego zużycia (oznacza to możliwość

zwiększenia produkcji dowolnego wyrobu);

•

wszystkie ilości wyprodukowanych wyrobów są dodatnie.

Ad. 2

Wyniki dla planu produkcji

=

1

x

2400,

=

2

x

23000,

=

3

x

14440. Plan produkcji jest dopuszczalny, ponieważ:

•

zużycie wszystkich środków produkcji jest mniejsze lub równe (równe dla środka produkcji 4, czyli kwasu

cytrynowego) od maksymalnego dziennego zużycia (produkcji nie można zwiększyć, ponieważ kwas cytrynowy
jest potrzebny do produkcji wszystkich wyrobów, a dla danego produkcji jest zużywany w całości);

•

wszystkie ilości wyprodukowanych wyrobów są dodatnie.

Ad 3.

Wyniki dla planu produkcji

=

1

x

7900,

=

2

x

20450,

=

3

x

11850. Plan produkcji nie jest dopuszczalny, ponieważ:

•

zużycie środków produkcji 1, 2 oraz 4 czyli pulpy jabłkowej, cukru oraz kwasu cytrynowego jest większe od

maksymalnego dziennego zużycia.

Je

ż

eli znana jest maksymalna warto

ść

zysku dla rozwa

ż

anego modelu, wówczas mo

ż

na stwierdzi

ć

bez

sprawdzania spełnienia warunków ograniczaj

ą

cych,

ż

e ten plan produkcji nie jest dopuszczalny. Wynika to

z faktu, i

ż

dla tego planu wysoko

ść

zysku (14570) jest wi

ę

ksza od maksymalnej (14547,10556), a zatem, gdyby

to był plan dopuszczalny, to zysk maksymalny nie mógłby by

ć

mniejszy ni

ż

14570.

P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji

11

Ad 4.

Wyniki dla planu produkcji

=

1

x

10000

=

2

x

10000

=

3

x

20000. Plan produkcji nie jest dopuszczalny, ponieważ:

•

zużycie środków produkcji 4 oraz 5 czyli kwasu cytrynowego oraz wody jest większe od maksymalnego

dziennego zużycia.

Jak wida

ć

, ten plan produkcji nie jest dopuszczalny, pomimo i

ż

wysoko

ść

zysku (11000) jest znacznie mniejsza

od maksymalnej (14547,10556).

Uwagi końcowe

Warto zwróci

ć

uwag

ę

na fakt,

ż

e optymalny plan produkcji (=maksymalizuj

ą

cy zysk) nie musi by

ć

planem pro-

dukcji maksymalizuj

ą

cym wielko

ś

ci produkcji wszystkich wyrobów. Jak wida

ć

w przypadku 1, produkcja d

ż

e-

mu i soku jest wi

ę

ksza, a musu mniejsza ni

ż

w planie optymalnym. W przypadku 2 produkcja musu i soku jest

wi

ę

ksza, a d

ż

emu mniejsza ni

ż

w planie optymalnym. Przypadek 3 (produkcja wszystkich wyrobów wi

ę

ksza

ni

ż

w planie optymalnym) oznacza ju

ż

jednak,

ż

e taki plan produkcji nie jest dopuszczalny.