ALGORYTM WYZNACZANIA NAPRĘŻEŃ GŁÓWNYCH

Dla danego tensora naprężenia opisanego w ustalonym układzie współrzędnych macierzą:

σ =

[

σ

x

τ

xy

τ

xz

σ

y

τ

yz

sym

σ

z

]

wyznaczamy następujące niezmienniki:

p =

1
3

(σ

x

+σ

y

+σ

z

)

J

2

=

1
6

[

(σ

x

−σ

y

)

2

+(σ

x

−σ

z

)

2

+(σ

y

−σ

z

)

2

]

+

(



xy

2

+

xz

2

+

yz

2

)

J

3

= (σ

x

−

p)(σ

y

−

p)(σ

z

−

p) + 2 

xy



xz



yz

− (σ

x

−

p)

yz

2

− (σ

y

−

p) 

xz

2

− (σ

z

−

p)

xy

2

Δ =

1
4

J

3

2

−

1

27

J

2

3

•



0

- tensor ma trzy różne wartości własne:

σ

k+1

=

p+

√

2
3

q cos

(

θ+

2 k π

3

)

,

q=

√

2 J

2

,

θ =

1
3

arccos

3

√

3

2

J

3

J

2

3 /2

,

k =0,1,2

•

=

0

J

3

≠

0 - tensor ma jedną podwójną wartość własną i jedną pojedynczą:

σ

1

=σ

2

=−

3

√

J

3

2

+

p

σ

3

=

2⋅

3

√

J

3

2

+

p

•

=

0

J

3

=

0

- tensor ma jedną potrójną wartość własną:

σ

1

=σ

2

=σ

3

=

p

•

Sytuacja 0 nie może zajść z uwagi na symetrię tensora naprężenia.

W układzie osi własnych tensor ma postać:

σ =

[

σ

1

0

0

0

σ

2

0

0

0

σ

3

]

zaś naprężenia główne są ekstremalnymi wartościami, jakie mogą przyjąć składowe tego tensora we
wszystkich możliwych układach współrzędnych w danym punkcie.