ALGORYTM WYZNACZANIA NAPRĘŻEŃ GŁÓWNYCH
Dla danego tensora naprężenia opisanego w ustalonym układzie współrzędnych macierzą:
σ =
[
σ
x
τ
xy
τ
xz
σ
y
τ
yz
sym
σ
z
]
wyznaczamy następujące niezmienniki:
p =
1
3
(σ
x
+σ
y
+σ
z
)
J
2
=
1
6
[
(σ
x
−σ
y
)
2
+(σ
x
−σ
z
)
2
+(σ
y
−σ
z
)
2
]
+
(
xy
2
+
xz
2
+
yz
2
)
J
3
= (σ
x
−
p)(σ
y
−
p)(σ
z
−
p) + 2
xy
xz
yz
− (σ
x
−
p)
yz
2
− (σ
y
−
p)
xz
2
− (σ
z
−
p)
xy
2
Δ =
1
4
J
3
2
−
1
27
J
2
3
•
0
- tensor ma trzy różne wartości własne:
σ
k+1
=
p+
√
2
3
q cos
(
θ+
2 k π
3
)
,
q=
√
2 J
2
,
θ =
1
3
arccos
3
√
3
2
J
3
J
2
3 /2
,
k =0,1,2
•
=
0
J
3
≠
0 - tensor ma jedną podwójną wartość własną i jedną pojedynczą:
σ
1
=σ
2
=−
3
√
J
3
2
+
p
σ
3
=
2⋅
3
√
J
3
2
+
p
•
=
0
J
3
=
0
- tensor ma jedną potrójną wartość własną:
σ
1
=σ
2
=σ
3
=
p
•
Sytuacja 0 nie może zajść z uwagi na symetrię tensora naprężenia.
W układzie osi własnych tensor ma postać:
σ =
[
σ
1
0
0
0
σ
2
0
0
0
σ
3
]
zaś naprężenia główne są ekstremalnymi wartościami, jakie mogą przyjąć składowe tego tensora we
wszystkich możliwych układach współrzędnych w danym punkcie.