Уважаемый старшеклассник!

Вашему вниманию предлагается Заочная физико-математическая олимпиада,

которая традиционно проводится Факультетом Молекулярной и Биологической
Физики. Задачи, приведенные ниже, представляют собой удивительный сплав
необычности повседневных жизненных ситуаций и необходимости творческого
подхода к ним. Если Вы решаете такие задачи, Вы приобщаетесь к тому
прекрасному и благородному, что движет физтехами уже многие годы. Если Вы
можете решить такие задачи, Ваше место среди нас.

Еще одной целью олимпиады является предоставление возможности

попробовать свои силы в самостоятельном осмысленном использовании
дополнительных источников знаний. Такие навыки необходимы настоящему
исследователю, независимо от того, в какой области он применяет свой
интеллект.

Всем участникам олимпиады будут высланы подробные решения задач,

проспекты факультета и института, дипломы участника олимпиады и
приглашения на пробные вступительные экзамены в конце марта 1999 года.

Если Вы не смогли решить какую-либо задачу, не огорчайтесь – ведь

правильное решение даже трети столь нетривиальных задач дает повод
гордиться своими знаниями, а так же шанс получить почетный диплом
Победителя олимпиады, что будет учитываться при поступлении на наш
факультет.

Решения задач следует присылать в тонкой тетради простой бандеролью по

адресу:

141700, Московская обл., г. Долгопрудный,
Институтский пер., 9, МФТИ,
Деканат ФМБФ, Олимпиада ФМБФ-98/99

Последний срок отправки решения – 1 марта 1999 года. На титульном листе

укажите свою фамилию, имя, отчество, почтовый адрес, место учебы, класс. Так
же просим прислать большой конверт с обратным адресом и наклеенными
марками.

Желаем успеха!

Оргкомитет олимпиады

Над задачами работали: Баев Д., Володин В., Матюхин В., Николенко В.,

Чубыкин А., Яворский В. Часть задач взята из сборников и фольклора
(понравились очень).

Оформление – Яворского Владислава

Московский физико-технический институт

Факультет Молекулярной и Биологической Физики

ТРАДИЦИОННАЯ ЗАОЧНАЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

ОЛИМПИАДА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

Долгопрудный – 1999

Задачи по математике

1.Из городов А и Б навстречу друг другу выехали два мотоциклиста.

Первая встреча произошла в 30 километрах от города Б. Мотоциклисты
проехали до другого города, там развернулись и вновь встретились в 18
километрах от города А. Какое расстояние между городами А и Б?

2.Найти количество точек пересечения диагоналей правильного 1999-

угольника.

3. Найти количество нулей в конце числа 1999!=1*2*…*1999
4.В «подшипнике» находится 1999 цилиндров, соприкасающихся друг с

другом, центры которых расположены на окружности. По цилиндрам без
проскальзывания катится шар такого же радиуса. На сколько оборотов
вокруг своей оси, проходящей через центр, сделает шар больше, когда
будет катится по внешней стороне «подшипника», чем по внутренней?

5. Даны две параллельные прямые и отрезок на одной из них. Пользуясь

только линейкой, то есть проводя прямые линии, разделить отрезок на две
равные части (построение обосновать).

6. В

квадрат

со

стороной

a

вписаны 1999 окружностей,

соприкасающихся друг с другом. Их центры лежат на диагонали квадрата, а
крайние окружности касаются сторон квадрата. Радиусы окружностей
представляют собой геометрическую прогрессию с коэффициентом q.
Найти сумму длин окружностей.

7. Дан остроугольный треугольник со сторонами a, b, c. Дана

окружность, центр которой лежит на стороне c, а сама окружность касается
сторон a и b. Найти радиус окружности.

8. Доказать:

4

log

3

log

3

2

>

9.Пифагоровыми тройками называются три натуральных, взаимно

простых числа x, y, z, для которых справедливо

2

2

2

z

y

x

=

+

. Доказать:

а) z – нечетное число; б) x или y делится на 4; в) x или y делится на 3;

10. Решить уравнение:

x

k

kx

sin

sin

⋅

=

,

2

≥

k

.

Задачи по физике

1. Когда легче вдеть нитку в иголку – смотря одним глазом или двумя?
2. Мальчик и девочка идут в одном направлении, мальчик со скоростью

M

v

, девочка со скоростью

M

D

v

v

<

. Между мальчиком и девочкой со

скоростью

M

C

v

v

>

бегает собака, мгновенно разворачиваясь в крайних

точках. В начальный момент собака рядом с девочкой, мальчик впереди на
расстоянии

0

x

. Через какое время собака в k-ый раз догонит мальчика?

3. Если в бокал с шампанским положить маленький кусочек черного

шоколада, можно наблюдать в течении длительного времени периодические
подъем шоколада к поверхности и опускание его на дно. Объясните
явление.

4. О жидкости известны: удельная энергия поверхностного натяжения

σ

, плотность

ρ

и молекулярная масса

M

. Оценить удельную теплоту

парообразования.

5. Оценить массу Винни Пуха, если он поднялся к пчелиному гнезду,

находящемуся на высоте h=10 м, за время t=6 с на шарике радиусом R=0.5
м, надутом гелием. Определить количество меда, которое ему нужно съесть,
чтобы и то же время t спуститься вниз.

6. Оценить, на сколько нужно изменить массу Земли, чтобы на ней

исчезла жизнь.

7. Трансформатор включен на нагрузку и дает ток I. Нагрузку изменили

таким образом, что ток возрос вдвое. Как изменится магнитная индукция в
сердечнике?

8. На каком расстоянии летучая мышь способна успешно охотится за

бабочкой? Она использует биолокатор, работающий в ультразвуковом
диапазоне. Площадь бабочки, отражающей ультразвук, 5см

2

. Площадь ушей

летучей мыши 5см

2

. Летучая мышь улавливает отраженные сигналы, если

их мощность более чем 10

-8

от мощности излученных волн.

9. Живая клетка сферической формы радиуса 5*10

-6

м имеет внутренний

электрический заряд 10

-13

Кл, создаваемый избытком подвижных анионов.

Вычислить давление, обусловленное электрическими силами, которое
испытывает внешняя (наружная) мембрана клетки. Считать, что клетка
является диэлектриком с

ε

= 5.

10. Когда прислушиваются к отдаленному шуму, то невольно открывают

рот. Почему?