8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

1

8.



8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

8.1. Wprowadzenie

Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien.

Przyczyny nieliniowości:

1) geometryczne:

•

wynikające z uwzględnienia konfiguracji początkowej i końcowej

Na przykład w sytuacji przedstawionej poniżej:

=

P l

3

3 EI

zależy liniowo od obciążenia. Jeśli geometria po odkształceniu zmienia się nieznacznie to

można zadanie takie utożsamić z układem niezmienionym i postępować zgodnie z zasadą zesztywnienia. W
rzeczywistości równowaga układu wystąpi, gdy zapiszemy jej warunki w układzie przemieszczonym (a więc
mamy do czynienia z układem nieliniowym).

•

wynikające z uwzględnienia deformacji:



ij

=

1
2

u

i , j

u

j , i



u

i , k

u

j , k



efekt duzych deformacji



(8.1)

2) fizyczne – ze względu na przyjęty materiał.

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

δ

P

δ

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

2

W naszych rozważaniach zakładaliśmy materiał liniowy:

W rzeczywistości mamy do czynienia z materiałem nieliniowym, którym jest stal:

czy też beton:

3) uwzględnienie tarcia

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

ε

σ

ε

σ

ε≈0

ε

T>0

stal w temp. ok. 300

o

C

ε

σ

mikrorysy

makrorysy w wyniku

dalszych obciążeń

odciążenia nie są

po tej samej

ścieżce

odciążenia

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

3

4) uwzględnienie zmieniających się warunków brzegowych, na przykład:

Wszystkie wyżej wymienione czynniki mogą wystąpić jednocześnie, co stanowi przyczynę dużej

nieliniowości.

8.2. Efekt nieliniowości w obliczeniach numerycznych

Analizę przeprowadzimy dla elementów prętowych i cięgnowych)

Układ równań nieliniowych algebraicznych

k

d d =

p

(8.2)

Macierz sztywności układu zależy od przemieszczeń, co zapisujemy

[

2

−x

1

2

1

−x

1

x

2

]

[

x

1

x

2

]

=

[

4
2

]



(8.3)

Zakładamy obciążenie jednoparametrowe (uproszczenie)

K

=K

o

K

NL

(8.4)

gdzie

K

NL

−macierz nieliniowa , geometryczna

EA

L

[

1

−1

−1

1

]



P

A

[

0 1
1 0

]

(8.5)

Zmiana energii sprężystej na kroku

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

δ

P

δ

0

P

P

δ

0

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

4

U

=

∫

L

∫

A

[

∫



o



o



a

 d 

]

dAdL

=E 

o

∫

L

∫

A



a

dAdx



E

2

∫

L

∫

A



a

2

dAdx

(8.6)

gdzie



a

=

du

dx



1
2



dv
dx



2

− y

d

2

v

dx

(8.7)

jest odkształceniem na kroku

Po podstawieniu

U

=E 

o

A

∫

L

[

du

dx



1
2



dv
dx



2

]

dx



E

2

∫

L

[

A



du

dx



2

I



d

2

v

dx

2



2

A

du

dx



du

dx



2



A
4



dv
dx



4

]

dx

(8.8)

∫

0



 d =

∫

0



E

 d =

E



2

2

(8.9)

gdzie

=

1
2



u

i , j

u

j ,i

u

i , k

u

j , k



(8.10)

Aproksymacja

u

=a

0

a

1

x

(8.11)

v

=b

0

b

1

x

b

2

x

2

b

3

x

3

(8.12)

u

=



1

−

x

l



u

1



x

l

u

2

(8.13)

v

=



1

−

3 x

2

l

2



2 x

3

l

3



v

1





3 x

2

l

2

−

2 x

3

l

3



v

2





−2 x

2

l

x

x

3

l

2





1





−x

2

l



x

3

l

2





2

(8.14)

U możemy wyrazić jako funkcję przyrostów przemieszczeń

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

5

d

T

=[u

1

, v

1

,



1

, u

2

, v

2

,



2

,

]

(8.15)

Przyrostowa macierz sztywności

K

I

 d = f

(8.16)

Obliczamy początkową macierz sztywności ze wzoru

K

I

=K

0

K

P



AE

2

K

1



AE

3

K

2

(8.17)

następnie wyznaczamy

d

1

K

d =0d =

p

(8.18)

dla obliczonego

d

1

obliczamy

 d

K

d

1

 d =

p

(8.19)

Dodajemy przemieszczenia zgodnie ze wzorem

d

2

=d

1

 d

(8.20)

i obliczamy macierz sztywności od przemieszczeń

d

2

. Następnie obliczamy

 d

K

d

2

 d =

p

(8.21)

Pełna metoda Newtona – tok obliczeń pokazano poniżej

Obliczamy przemieszczenia

d

1

dla macierzy sztywności

K

d =0

K

d =0d

1

=

p

(8.22)

następnie obliczamy macierz sztywności dla

d

1

i obliczamy przemieszczenia

 d

2

K

d

1

 d

2

=−r

1

(8.23)

dodajemy przemieszczenia

d

1

 d

2

=d

2

(8.24)

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

6

dla sumarycznych przemieszczeń obliczamy nową macierz sztywności i obliczamy

 d

3

K

d

2

 d

3

=−r

2

(8.25)

Kończymy iterację gdy:

∣

∣

r

i

∣

∣



(8.26)

Przyjmujemy kolejne poziomy obciążeń i dążymy do znalezienia odpowiedniego przemieszczenia

przez iteracje. Przy każdej iteracji buduje się nową macierz sztywności zależną od odkształceń z
poprzedniego kroku.

K

d

0

 d

1

 d =−r

1

(8.27)

Jeżeli iteracja się zbiega, to wielkości niezrównoważonych sił zmniejszają się.

K

d

0

 d

1

 d

2

 d =−r

2

(8.28)

W nieliniowych zagadnieniach mechaniki konstrukcji pomiędzy wielkościami typu statycznego i

geometrycznego zachodzi relacja proporcjonalności wyrażona przy pomocy współczynnika K
charakteryzującego sztywność konstrukcji. W układach o wielu stopniach swobody rolę współczynnika
proporcjonalności przejmuje macierz sztywności

q

=K

−1

Q

(8.29)

Przy braku proporcjonalności pomiędzy Q i q ich wzajemne zależności są nieliniowe. Macierz

sztywności zależy od przemieszczeń. Wyznaczana jest przez styczna do krzywej o równaniu

Q

= f q

(8.30)

zatem jest różna dla poszczególnych punktów

8.3. Przyczyny nieliniowości

Przyczyny nieliniowości mogą wynikać ze struktury materiału (np. materiały niejednorodne jak np.

beton), czyli w braku proporcjonalności pomiędzy naprężeniami



a odkształcenia



. Jest to nieliniowość,

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

7

którą nazywamy nieliniowością fizyczną, która może wystąpić również przy odkształceniach liniowo
zależnych od przemieszczeń q. Ma to miejsce np. w zagadnieniach dotyczących plastyczności.

Innym rodzajem nieliniowości jest ta, która wynika z braku proporcjonalności pomiędzy

odkształceniami



i przemieszczeniami q, co może mieć miejsce np. przy liniowych zależnościach

pomiędzy odkształceniami



a naprężeniami



. Mamy tu na myśli np. zagadnienia stateczności sprężystej.

Jest to nieliniowość geometryczna, związana z dużymi przemieszczeniami, które należy uwzględnić przy
budowaniu równań równowagi.

Niekiedy mogą występować takie przypadki, że pomimo małych przemieszczeń należy uwzględnić

ich wpływ, aby w ogóle możliwe było zapisanie warunków równowagi.

Stosowane współcześnie konstrukcje wiotkie, często o dużych rozpiętościach, albo też zbudowane z

materiałów pracujących w stanie plastycznym wymagają obliczeń nieliniowych. Nieliniowość może mieć
także charakter łączny, czyli jednocześnie mogą występować nieliniowość fizyczna i geometryczna np. w
konstrukcjach z materiałów gumowych lub gumopochodnych. Dotyczy to również asfaltów i gruntów, stąd
też zagadnienia dotyczące obliczeń gruntów należą do bardzo trudnych. Wymagają odpowiedniego
podejścia i przyjęcia skomplikowanych założeń przy matematycznych tworzeniu modelu.

8.4. Rozwiązanie

W zagadnieniach nieliniowych wyznaczenie Q przy danych q, lub też odwrotnie wyznaczeniu q przy

znanych Q, jest praktycznie niewykonalne przy pomocy metod bezpośrednich. Możliwe jest uzyskanie
wyników (rozwiązań) przybliżonych poprzez zastosowanie linearyzacji lub też przez stosowanie specjalnych
algorytmów obliczeniowych.

Równanie równowagi można zapisać w postaci:

K

qq=Q

(8.31)

W ogólności macierz sztywności zależy od niewiadomych przemieszczeń q. Otrzymaliśmy zatem

układ równań nieliniowych. Rozwiązanie równania jest skomplikowane. Macierz sztywności w
zagadnieniach nieliniowych może być osobliwa. W zagadnieniach liniowych taka sytuacja nie mogła się
zdarzyć. Analiza takiej sytuacji jest złożona numerycznie. Przyczyna nieliniowości może leżeć w materiale i
w braku proporcjonalności między naprężeniami i odkształceniami. Nieliniowość może też mieć inne
przyczyny, np.: jednostronne podpory, jednostronne podłoże, konstrukcje prętowo-cięgnowe nawet w
zakresie liniowym. Do rozwiązania tych zadań stosujemy techniki numeryczne.

8.5. Sposoby rozwiązywania

8.5.1. Metoda przyrostowa

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

8

Rozpatrujemy zagadnienie nieliniowe opisane zależnością

Q

= f q

(8.32)

w zakresie obciążenia (0,Q)

Dla danego obciążenia Q będziemy poszukiwać przemieszczenia q. Metoda polega na tym, że

obliczenia przeprowadzamy etapowo, zwiększając obciążenie na każdym etapie o pewien przyrost

Q

i

oraz odpowiadający mu przyrost przemieszczeń

 q

i

. Jako punkt startu przyjmujemy wartość

Q

0

dostatecznie małą, tak aby można było założyć, że w zakresie obciążenia (0,Q) konstrukcja zachowuje się
liniowo, czyli macierz sztywności

K

0

ma być stała i taka jak w konstrukcji liniowej.

Zaletami metody są:

➔

możliwość zastosowania do wszelkiego rodzaju nieliniowości (z wyjątkiem przypadków o malejącej
sztywności),

➔

pełny opis relacji obciążenia - przemieszczenia dla każdego przyrostu

Wady:

➔

duża chłonność obliczeniowa (odwracanie różnych macierzy dla każdego cyklu)

➔

trudność w określeniu wartości przyrostu obciążeń dla uzyskania założonej dokładności

➔

brak możliwości oceny poprawności rozwiązania, o ile nie istnieje jakaś baza porównawcza

➔

trudności algebraiczne związane z rozwiązywaniem źle uwarunkowanego układu równań w otoczeniu
punktów krytycznych

8.5.2. Metoda iteracyjna

Jest to bardzo popularna metoda ze względu na wielostronność zastosowań i wysoką dokładność

obliczeń. Nazywa się ją również metodą Newtona-Raphsona (w skrócie NR).

Rozwiązywanie przy pomocy tej metody polega na tym, że w każdym cyklu iteracyjnym operujemy

pełnym obciążeniem Q. W poszczególnych cyklach przyjmujemy stałe, przybliżone macierze sztywności, co
powoduje niespełnienie warunków równowagi. Po każdym cyklu oblicza się obciążenie niezrównoważone w
danej konfiguracji odkształcenia. To obciążenie służy do wyznaczania dodatkowych przemieszczeń, czyli
zmian konfiguracji zmierzających do konfiguracji odpowiadającej równowadze. Proces obliczeniowy
kończymy po osiągnięciu równowagi z przyjętą dokładnością.

Startujemy przy pełnym obciążeniu Q oraz macierzy sztywności K

L

równej macierzy sztywności

traktowanej jako liniowa. Dla tego stanu obciążenia i sztywności obliczamy przemieszczenia.

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

9

Zalety tej metody:

➔

większa łatwość w programowaniu niż w metodzie przyrostowej,

➔

duża efektywność, szczególnie w przypadku kilku wariantów obciążeń, przy nieliniowości fizycznej
możliwość uwzględniania zmian własności materiału zależnie od stanu naprężeń.

Wady:

➔

brak pewności co do zbieżności rozwiązania dokładnego (spełnienie równowagi to tylko jeden z
warunków),

➔

niemożliwość zastosowania do dynamiki (można operować tylko stałym obciążeniem),

➔

brak informacji o stanie obciążenia - przemieszczenia, kiedy stosujemy obciążenie o niepełnych
wartościach

8.5.3. Pełny algorytm Newtona (Full Newton Iteration)

Metoda Newtona, zwana też metodą stycznych, należy do metod iteracyjnych.

K

d d = p

K

d  d = 

p

(8.33)

K

d

0

 d

1

d =−R

1

(8.34)

K

d

0

 d

1

 d

2

d =−R

2

(8.35)

Iterację przeprowadzamy do momentu w którym dokładność jest satysfakcjonująca . Oszacowanie
błędu:

∥r∥

(8.36)

∥ d

i

∥

∥d∥



(8.37)

Przyjąć można np. normę euklidesową:

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

10





∑

i

R

i

2



- suma wszystkich niezrównoważonych sił w w węzłach

(8.38)

8.5.4. Metoda Newtona-Raphsona

i

i+1

k=1 2

R

i

4

R

i

1

d

d

i+1

d

i

Δ d

i+1

λ

p

λ

p

Δ

3 4

W metodzie Newtona-Raphsona szybciej uzyskuje się wiekszą dokładność.

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater