• 8. Założenia i podstawy analizy statycznej prętów cienkościennych

Na podst. „komputery i mechbud od elvisa.pdf”

Pręt cienkościenny to taki pręt, którego jeden z wymiarów określających przekrój poprzeczny (grubość) jest nieporównywalnie mały w stosunku do drugiego. Pręty cienkościenne wymagają innej analizy statycznej niż pręty lite, gdyż w ich przypadku nie obowiązują pewne założenia upraszczające dla prętów litych: hipoteza Bernoulliego (przekrój płaski przed przyłożeniem obciążenia pozostaje płaski po obciążeniu i prostopadły do ugiętej osi) i zasada de Saint Venanta (przyłożone obciążenie można zastąpić innym statycznie równoważnym - naprężenia, przemieszczenia i odkształcenia nie zmienią się poza niewielkim obszarem zawierającym obciążone pole). Pręty cienkościenne można podzielić na pręty o profilu otwartym i zamkniętym.

Analiza statyczna pręta cienkościennego zakłada wprowadzenie tzw. wycinkowych wielkości geometrycznych na jego przekroju poprzecznym na bazie tzw. teorii grafu. Na profilu pręta cienkościennego wybiera się tzw. korzeń, od którego odchodzą dendryty (drzewa) do każdego innego węzła. Definiuje się lokalny krzywoliniowy układ współrzędnych ortogonalnych,

którego współrzędną skierowaną wzdłuż krawędzi profilu jest tzw. współrzędna łukowa. Licząc całkę od bieguna (dowolny punkt płaszczyzny przekroju) aż do dowolnego punktu na drodze skierowanej otrzyma się tzw. współrzędną wycinkową, stanowiącą podstawę wyprowadzeń wszystkich innych wielkości geometrycznych profilu (tzw. charakterystyki wycinkowe i geometryczne): momentu statycznego, momentów odśrodkowych, momentu bezwładności i innych. Ważnymi pojęciami są także środek zginania (takie położenie bieguna, dla którego obydwa wycinkowe momenty odśrodkowe zerują się) oraz główny punkt zerowej współrzędnej wynikowej (główny korzeń).

Dla prętów cienkościennych otwartych poddanych prostemu skręcaniu wprowadzono następujące założenia upraszczające:

• • Przekrój poprzeczny aproksymuje się skończoną ilością prostokątów,

• • Prostokąty pracują niezależnie - tak jednak, że jednostkowy kąt skręcenia każdego nich jest taki sam.

Innymi pojęciami charakterystycznymi dla teorii prętów cienkościennych są bimoment i bipara. Na ich podstawie powstaje odpowiednik zasady de Saint Venanta w prętach cienkościennych (o kinematycznej równoważności układów).

U podstaw teorii pręta cienkościennego, oprócz założeń poprzednich, leżą następujące hipotezy sformułowane przez Własowa:

• • Powierzchnia środkowa (powierzchnia równoodległa od powierzchni górnej i dolnej) deformuje się tak, jakby w płaszczyźnie każdego przekroju rozpostarta była na linii środkowej sztywna tarcza, idealnie jednak wiotka dla deformacji w kierunku prostopadłym do tego przekroju,

• • Odkształcenia kątowe w punktach powierzchni środkowej są małe (),

• • Naprężenia normalne do powierzchni równoległych do powierzchni środkowej są pomijalnie małe w stosunku do dwóch pozostałych naprężeń normalnych .

Do wyprowadzenia równania różniczkowego rządzącego (np. równania ruchu) stosuje się najczęściej w teorii pręta cienkościennego podejście kinematyczne (przypuszczenie funkcji przemieszczeń).

Wytrzymałość złożona prętów cienkościennych o przekroju otwartym

Na podst. Mutermilch „Wytrzymałość materiałów” tom II

Do konstrukcji takich nie może być stosowana teoria oparta na założeniu płaskich przekrojów. Przekroje bowiem prętów cienkościennych ulegają na ogół nie tylko przy występowaniu momentów skręcających — spaczeniu (deplanacji) i to niejednakowemu na całej długości pręta, co powoduje dodatkowe naprężenia. Naprężenia te w prętach cienkościennych o przekroju otwartym (rys. 14-53) osiągają znaczne wartości w porównaniu z naprężeniami obliczonymi na podstawie założenia płaskich przekrojów. W prętach cienkościennych o przekroju zamkniętym -14-54) wpływ tych dodatkowych naprężeń jest niewielki (Pod warunkiem, że zapewniona jest nieodkształcalność konturu przekroju).

Do prętów cienkościennych nie może też być stosowana zasada de Saint-Venanta zgodnie z którą obciążenie przyłożone np. do końca pręta może być zastąpione przez statycznie równoważne. W prętach bowiem cienkościennych wpływ tego rodzaju zmiany obciążenia nie ogranicza się — jak przyjmuje ta zasada — do bezpośredniego sąsiedztwa przekroju obciążonego, lecz może obejmować nawet całą długość pręta.

Prętem cienkościennym nazywać będziemy w zasadzie pręt, którego przekrój składa się z wąskich elementów prostoliniowych lub krzywoliniowych, jeżeli δ ≤1/10 d, gdzie: δ — grubość ścianki, d — charakterystyczny wymiar przekroju np. jego wysokość lub szerokość).

W dalszym ciągu rozważać będziemy wyłącznie pręty pryzmatyczne (o przekroju stałym), których długość l≥ 10 d.

Powierzchnią środkową pręta nazywamy powierzchnię przechodzącą przez środki grubości płyt i elementów walcowych, z których utworzony jest pręt; ślad tej powierzchni na przekroju poprzecznym nazywa się linią środkową przekroju (rys. 14-53). Położenie punktów na powierzchni środkowej będziemy określali albo w układzie współrzędnych x, y, z (rys. 14-55a), przy czym oś x będziemy przyjmować jako równoległą do tworzących środkowej powierzchni, a układ współrzędnych — prawoskrętny, albo w układzie krzywoliniowym x, s (rys. 14-55b), gdzie x określa położenie przekroju, a s oznacza odległość punktów linii środkowej od pewnego punktu O_s.

Rys. 14-55

Teoria prętów cienkościennych o przekroju otwartym oparta jest na dwóch założeniach:

1. Przekroje poprzeczne nie ulegają odkształceniu w swoich płaszczyznach, tj. zachowują się tak, jakby każdy przekrój miał przeponę nieodkształcalną w swojej płaszczyźnie, ale wiotką w kierunku tworzących, czyli nie hamującą deplanacji przekroju.

2. Pomija się odkształcenie postaciowe powierzchni środkowej, którego miarą jest zmiana kąta prostego między liniami współrzędnych x — const i s = const krzywoliniowego układu współrzędnych.

Warunkiem dopuszczalności pierwszego założenia jest dostateczna grubość ścianek w pręcie, jak np. w stalowych profilach walcowanych, albo dostatecznie gęsto rozmieszczone przepony lub inne stężenia.

Założenie drugie jest w rzeczywistości spełnione tylko przy skręcaniu swobodnym (por. rozdz. 8.5), gdyż wówczas na linii środkowej naprężenia styczne t są równe .zeru. W innych przypadkach naprężenia te nie są równe zeru, lecz okazuje się, że wpływ ich na rozkład naprężeń jest mały i może być pominięty.

Poza omówionymi dwoma założeniami utrzymujemy w mocy inne założenia teorii elementarnej, jak np. prawo hooke'a.

Wymiarowanie

Wymiarowanie, a właściwie sprawdzenie założonych wymiarów przekroju poprzecznego prętów pracujących w warunkach wytrzymałości złożonej polega przede wszystkim na obliczeniu naprężeń normalnych σ i stycznych τ i sprawdzenia czy nie przekraczają one wartości naprężeń dopuszczalnych albo wytrzymałości obliczeniowych:

σ_max ≤ K_r lub K_c,

τ_max ≤ K_t.

• Naprężenia normalne σ_max należy obliczać od łącznego działania siły podłużnej N i momentu zginającego M w danym przekroju^*, uwzględniając przy tym na ogół wpływ ugięcia pręta na wartość M.

• Jeśli siła N jest ściskająca i moment zginający M ma dwie różne od zera składowe M_y i M_z (y i z oznaczają główne środkowe osie bezwładności), to sprawdzenie naprężeń σ od łącznego działania M i N jest wystarczające. Wystarcza ono również w przypadku siły rozciągającej.

• Jeżeli natomiast siła N jest ściskająca i moment M działa np. w płaszczyźnie xz (a więc M_y≠0, M_z = 0, rys. 14-68), to sprawdzenie naprężeń (σ_max od M_y i N jest konieczne, ale niewystarczające. Należy mianowicie sprawdzić pręt na wyboczenie w płaszczyźnie mniejszej sztywności zginania xy (por. rozdz. 15, w którym powrócimy zresztą do tej sprawy

Rys. 14-68

• Naprężenie styczne τ_max należy obliczyć od łącznego działania siły poprzecznej T i momentu skręcającego M° zwłaszcza w tych przypadkach, gdy τ_max od T i τ_max, od M° występują w tym samym punkcie przekroju. Taki przypadek zachodzi np., gdy pręt zginany w płaszczyźnie xz i skręcany ma przekrój kolisty (rys. 14-69). W punktach l i 2 występują mianowicie jednocześnie: od siły T

i od momentu M°:

W punktach, w których występują jednocześnie duże naprężenia normalne σ i styczne τ należy uwzględnić złożony stan naprężenia, tzn. opierając się na od­powiedniej dla danego materiału hipotezie wytrzymałościowej obliczyć naprężenie σ_zast będące funkcją σ i τ , i porównać je z naprężeniem K— por. rozdz. 13. W rozdziale tym przeprowadzono przykładowo takie obliczenia dla pręta zginanego, w którego przekroju występują w tych samych punktach duże σ pochodzące od M i duże τ pochodzące od T. W przekroju np. dwuteowym punkty takie leżą w środniku w miejscach jego połączenia z pasami, gdzie zarówno σ jak τ mają wartości bliskie maksymalnym w danym przekroju.

Obliczenie to nie ulegnie zasadniczej zmianie, jeśli oprócz M i T występuje w prze­kroju siła N, z tym tylko że σ będzie wówczas spowodowane nie tylko przez M, lecz i przez N.

Jako inny przykład wymiarowania przy złożonym stanie naprężenia rozpatrzmy pręt, w którego przekroju występuje moment zginający M i moment skręcający M ° (rys. 14-70).

M

Rys. 14-70

Niech przekrój pręta ma kształt koła o średnicy d, a K_r = K_c = K.

W punktach 1 i 2 przekroju zarówno naprężenia σ od M jak naprężenia τ od M^O osiągają ekstremalne wartości, przy czym:

Gdzie
oraz

oznaczają wskaźnik przekroju odpowiednio na zginanie i na skręcanie.

Zależnie od przyjętej hipotezy wytrzymałościowej, otrzymamy tutaj następujące naprężenia zastępcze:

---