Matematyka – wybrane zagadnienia
Wybrane elementy analizy funkcjonalnej.
Lista nr 5
Zadanie 1
Udowodnić następujące twierdzenie:
Nich X, Y będą przestrzeniami unormowanymi, zaś
Y
X
:
T
→
operatorem liniowym
ograniczonym. Wówczas prawdziwe są równości:
x
x
x
x
X
x
x
x
T
sup
T
sup
T
sup
T
0
1
1
∈
≠
=
≤
=
=
=
.
Zadanie 2
a.) Niech X = c oznacza przestrzeń liniową ciągów rzeczywistych, które są zbieżne.
Niech
( )
c
t
x
k
∈
=
Określmy funkcję
k
k
t
x
c
x
sup
,
:
=
→
R
. Wykazać, że
⋅
jest norma w przestrzeni c.
b.) Nich X
1
= c
0
będzie przestrzenią ciągów rzeczywistych zbieżnych do zera.
Pokazać, że c
0
jest podprzestrzenią c.
Zadanie 3
Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Dowolny operator liniowy z
przestrzeni X w ciało K nazywamy funkcjonałem liniowym nad X. Niech X = c, zaś K =
R. Określmy odwzorowanie T:
k
k
t
x
c
∞
→
=
→
lim
T
,
R
, dla
( )
k
t
x
=
. Wykazać, że T jest
ciągłym nad c. Znaleźć jego normę.
Zadanie 4
Niech X = C
1
([0,1]) będzie przestrzenią funkcji rzeczywistych mających w przedziale
[0,1] ciągłą pochodną.
a.) udowodnić, że
)
(
max
)
0
(
1
0
t
x
x
x
t
X
′
+
=
≤
≤
jest normą w przestrzeni X.
b.) Niech Y = C([0,1]) będzie przestrzenią rzeczywistych funkcji ciągłych w
przedziale [0,1] z normą
)
(
max
1
0
t
y
y
t
Y
≤
≤
=
. Udowodnić, że odwzorowanie
Tx =
x
′
, gdzie
x
′
jest pochodną funkcji x jest ograniczonym operatorem
liniowym. Znaleźć jego normę.