Matematyka – wybrane zagadnienia

Wybrane elementy analizy funkcjonalnej.

Lista nr 5

Zadanie 1
Udowodnić następujące twierdzenie:

Nich X, Y będą przestrzeniami unormowanymi, zaś  

Y

X

:

T

→

 operatorem liniowym 

ograniczonym. Wówczas prawdziwe są równości:

x

x

x

x

X

x

x

x

T

sup

T

sup

T

sup

T

0

1

1

∈

≠

=

≤

=

=

=

.

Zadanie 2

a.) Niech X = c oznacza przestrzeń liniową ciągów rzeczywistych, które są zbieżne. 

Niech 

( )

c

t

x

k

∈

=

 Określmy funkcję 

k

k

t

x

c

x

sup

,

:

=

→

R

. Wykazać, że 

⋅

 jest norma w przestrzeni c.

b.) Nich X

1

 = c

0

 będzie przestrzenią ciągów rzeczywistych zbieżnych do zera. 

Pokazać, że c

0

 jest podprzestrzenią c. 

 Zadanie 3

Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Dowolny operator liniowy z 
przestrzeni X w ciało K nazywamy funkcjonałem liniowym nad X. Niech X = c, zaś K = 
R. Określmy odwzorowanie T: 

k

k

t

x

c

∞

→

=

→

lim

T

,

R

, dla 

( )

k

t

x

=

. Wykazać, że T jest 

ciągłym nad c. Znaleźć jego normę. 

Zadanie 4
Niech X = C

1

([0,1]) będzie przestrzenią funkcji rzeczywistych mających w przedziale 

[0,1] ciągłą pochodną.

a.) udowodnić, że 

)

(

max

)

0

(

1

0

t

x

x

x

t

X

′

+

=

≤

≤

  jest normą w przestrzeni X.

b.) Niech Y = C([0,1]) będzie przestrzenią rzeczywistych funkcji ciągłych w 

przedziale [0,1] z normą  

)

(

max

1

0

t

y

y

t

Y

≤

≤

=

. Udowodnić, że odwzorowanie 

Tx = 

x

′

 , gdzie 

x

′

jest pochodną funkcji x jest ograniczonym operatorem 

liniowym. Znaleźć jego normę.