1

Wykład VII

Powierzchnie drugiego stopnia

Kula

Elipsoida

Hiperboloida jednopowłokowa i dwupowłokowa

Paraboloida eliptyczna i hiperboliczna

Stożek i walec

2

Kula

Kula o środku w punkcie S(a,b,c) i promieniu r (r>0) jest
opisana równaniem:

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

r

c

z

b

y

a

x

=

−

+

−

+

−

S(a,b,c)

r

P(x,y,z)

x

y

z

3

Elipsoida

Elipsoida

opisana jest równaniem:

1

2

2

2

2

2

2

=

+

+

c

z

b

y

a

x

z

x

y

4

Hiperboloida jednopowłokowa

Hiperboloida jednopowłokowa

jest opisana równaniem:

1

2

2

2

2

2

2

=

−

+

c

z

b

y

a

x

z

x

y

5

Hiperboloida dwupowłokowa

Hiperboloida dwupowłokowa

jest opisana równaniem:

1

2

2

2

2

2

2

=

−

−

c

z

b

y

a

x

z

x

y

6

Paraboloida eliptyczna

Paraboloida

eliptyczna

opisana jest równaniem

z

b

y

a

x

=

+

2

2

2

2

z

x

y

7

Paraboloida hiperboliczna

Paraboloida

hiperboliczna

opisana jest równaniem

z

b

y

a

x

=

−

2

2

2

2

z

x

y

Przecięcie płaszczyzną
zawierającą oś OZ jest parabolą

Przecięcie płaszczyzną
z=const

jest hiperbolą

8

Stożek eliptyczny

Stożek

eliptyczny

opisany jest równaniem:

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

=

+

z

x

y

Przecięcie płaszczyzną
z=const

jest elipsą

Przecięcie płaszczyzną XOZ lub
YOZ jest parą prostych

9

Walec eliptyczny

Walec

eliptyczny

opisany jest równaniem:

1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x

z

x

y

Przecięcie płaszczyzną
z=const

jest elipsą

Przecięcie płaszczyzną XOZ lub
YOZ jest prostokąt

10

Zadania z powierzchni drugiego stopnia

Zadanie 1. Znaleźć równanie powierzchni powstałej z obrotu

elipsy

dookoła osi OY

:

1

9

25

2

2

=

+

y

x

y

x

z

P ( ?, k, 0)

k

S( 0,k,0)

Q ( x,k,z)

2. Punkt P obracając się
dookoła osi OY zatacza okrąg o
ś

rodku w punkcie S(0,k,0)

1.Punkt P leży na elipsie

zatem

czyli













−

=

⇒

=

+

9

1

25

1

9

25

2

2

2

k

x

k

x





























−

0

,

,

9

k

1

25

P

2

k

3. Ponieważ punkty P i Q leżą
na okręgu, zatem |SP|=|SQ|.

11

4. Jeżeli |SP|=|SQ| to |SP|

2

=|SQ|

2

0

0

9

1

25

SP

2

2

+

+













−

=

k

2

2

2

Q

S

z

x +

=

5. Porównujemy kwadraty odległo

ś

ci uzyskuj

ą

c:

25

:

9

1

25

2

2

2

z

x

k

+

=













−

1

25

9

25

1

9

25

25

2

2

2

2

2

2

=

+

+

⇔

=

+

+

z

y

x

k

z

x

Odp. Otrzymaliśmy równanie elipsoidy.

12

Zadanie 2. Znaleźć równanie powierzchni powstałej z obrotu

hiperboli

dookoła osi OX

:

1

9

25

2

2

=

−

z

x

2.

Ś

rodek okr

ę

gu jest w punkcie S(k,0,0)

1.Punkt P le

ż

y na hiperboli, zatem

czyli













−

=

⇒

=

−

1

25

9

1

9

25

2

2

2

k

z

z

k





























−

1

25

9

,

0

,

P

2

k

k

3

3

P ( k,0,?)

S( k,0,0)

Q ( k,y,z)

x

z

y

3. Punkt Q ma współrz

ę

dne Q(k,y,z)

⇔

+

=













−

9

:

1

25

9

2

2

2

z

y

k













−

+

+

=

1

25

9

0

0

SP

2

2

k

2

2

2

Q

S

z

y +

=

1

9

9

25

2

2

2

=

−

−

z

y

x

Odp. Otrzymaliśmy hiperboloidę dwupowłokową.

5

5