Wydział Inżynierii Środowiska; kierunek: Inżynieria Środowiska.

Lista zadań nr 2 do kursu Fizyka 1. Rok. ak. 2011/12

Tabele wzorów matematycznych i fizycznych oraz obszerniejsze listy zadań do kursu są dostępne na stronie

http://www.if.pwr.wroc.pl/index.php?menu=studia&left_menu=jkf

. Student jest zobowiązany do wydrukowania

ww. tabel i przynoszenia na zajęcia. Lista nr 2 ma za zadanie zdobycie przez studentów wiedzy matematyczno-
fizycznej i nabycie umiejętności rozwiązywania prostych równań ruchu w oparciu o II zasadę dynamiki.

10.

Dynamika rzutu ukośnego. Ciało o masie m wyrzucono przy powierzchni ziemi pod kątem

ostrym

α

do poziomo nadając mu prędkość początkową v

0

.

A) Wyznaczyć składowe wektora prędkości początkowej ciała.

B) Przyjmując, że:

•

ciało wyrzucono z początku prostokątnego układu współrzędnych OXYZ,

•

ciało porusza się w płaszczyźnie OXY, przy czym oś OX jest pozioma a OY pionowa,

•

jedyną siłą działającą na ciało jest stała siła ciężkości (siła grawitacyjna) Q

1

,

i korzystając z II zasady dynamiki (

wypadkowa

d

d

V

m

F

t

=

)

2

oraz wzoru

d

d

R

V

t

=

:

a)

wyznaczyć współrzędne wektorów: siły ciężkości Q = [Q

x

, Q

y

] i przyspieszenia chwilowego

ciała a = (a

x

, a

y

) w przyjętym układzie współrzędnych,

b)

podać wektorową postać równania ruchu ciała (zastosować II zas. dynamiki) a następnie

sformułować matematyczne skalarne postacie równań ruchu w kierunku osi OX i OY,

c)

całkując równanie ruchu z punktu b) i korzystając z podanych warunków początkowych

wyznaczyć

zależności

od

czasu

składowych

wektora

prędkości

chwilowej

V(t) = [V

x

(t), V

y

(t)] = V

x

(t) i + V

y

(t) j,

d)

wyznaczyć zależność od czasu t długości |V(t)| = V(t) wektora prędkości chwilowej,

e)

całkując równanie ruchu z punktu c) i korzystając z podanych warunków początkowych

wyznaczyć

zależności

od

czasu

składowych

wektora

(promienia)

wodzącego

3

R(t) = [X

(t), Y(t)] = X(t) i + Y

(t) j,

f)

wyprowadzić równanie toru (trajektorii) ruchu ciała, tj. zależność Y(X),

g)

wyznaczyć zasięg ruchu, czas t

w

wznoszenia się na największą wysokość Y

max

, wartość Y

max

,

czas t

s

spadku z wysokości Y

max

, całkowity czas t

c

ruchu; czy prawdą jest, że t

w

= t

s

?

h)

wyznaczyć zależność przyspieszenia stycznego a

s

(t) od czasu

4

,

1

Na oznaczenia wielkości fizycznych wektorowych będą używane zamiennie symbole:

,

F

f

(duża/mała litera ze strzałką

nad nią) lub

F, f

(duża/mała litera pisane czcionką pogrubioną (bold)). Długości wektorów będą oznaczane symbolami

F, f.

2

Wyrażenie typu

d

d

A

m

B

t

=

jest równoważne układowi 3 równań skalarnych:

d

d

x

x

A

m

B

t

=

,

d

d

y

y

A

m

B

t

=

,

d

d

z

z

A

m

B

t

=

.

3

Wektor wodzący – dla danego punktu A to wektor zaczepiony w początku prostokątnego układu współrzędnych i o końcu w

punkcie A. W fizyce wektor wodzący jest wektorem położenia ciała względem początku układu współrzędnych. Długość
wektora wodzącego, czyli promienia wodzącego, jest odległością punktu od początku układu współrzędnych.

i)

wyznaczyć zależność przyspieszenia normalnego a

n

(t) od czasu,

j)

promień krzywizny

ρ

(t) toru w danym punkcie trajektorii określa wzór

( )

( )

2

( ) =

;

n

V

t

t

a t

ρ

wyznaczyć

ρ

(t) toru ciała wykonującego rzut ukośny,

k)

pokazać, że w trakcie ruchu wartość sumy

( )

( )

2

2

V

t

gY t

+

jest stała, tj. nie zależy od czasu t;

korzystając z tego wyniku obliczyć wartość prędkości z jaką ciało uderzy o powierzchnię,

l)

obliczyć pochodne względem czasu wyznaczonych zależności V

x

(t), V

y

(t), X

(t) i Y(t),

m)

obliczyć wybrane wartości wyznaczonych wcześniej wielkości kinematycznych dla m = 0,2
kg,

v

0

= (3, 4) = 3

i +4j; wartości prędkości podano w jednostkach SI.

11.

Dynamika rzutu poziomego. Ciało o masie m rzucono poziomo z wysokości y

0

przy powierzchni

ziemi nadając mu prędkość początkową

v

0

= (v

x0

≠

0, v

y0

= 0) = v

x0

i. Wykonać samodzielnie

polecenia pkt. A) i B) z zadania 10 wzorując się na rozwiązaniu poprzedniego zadania. Obliczyć
wybrane wartości wyznaczonych wcześniej wielkości kinematycznych dla m = 0,3 kg,

v

0

= (5, 0) =

5

i; wartości prędkości w SI. Jak zmienią się wyniki zadania, jeśli opisane ciało wyrzucimy

z prędkością

v

0

= (v

x0

≠

0, v

y0

≠

0) = v

x0

i + v

y0

j dla v

y0

> 0 lub v

y0

< 0?

12.

Dynamika ruchu ciała po równi pochyłej. Ciało o masie m spoczywające (v

0

= 0) początkowo na

równi o wysokości H zaczyna zsuwać się wzdłuż równi. Współczynnik tarcia wynosi

µ

. W

prostokątnym układzie współrzędnych, którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY
jest do niej prostopadła:

a)

wyznaczyć współrzędne wektorów sił przyłożonych do ciała: ciężkości

Q = [Q

x

, Q

y

], tarcia

T = [T

x

, T

y

] i siły reakcji równi

R = [R

x

, R

y

] oraz wektora przyspieszenia chwilowego ciała

a =

(a

x

, a

y

) w przyjętym układzie współrzędnych,

b)

podać wektorową postać równania ruchu ciała (zastosować II zas. dynamiki) a następnie

sformułować matematyczne postacie skalarnych równań ruchu w kierunku osi OX i OY,

c)

całkując równanie ruchu z punktu b) i korzystając z podanych warunków początkowych

wyznaczyć zależności od czasu składowych wektora prędkości chwilowej

V(t) = [V

x

(t), V

y

(t)],

d)

wyznaczyć zależność od czasu t długości |

V(t)| = V(t) wektora prędkości chwilowej,

e)

całkując równanie ruchu z punktu c) i korzystając z podanych warunków początkowych

wyznaczyć zależności od czasu składowych wektora (promienia) wodzącego

R(t) = [X

(t), Y(t)],

f)

wyznaczyć czas ruchu ciała po równi oraz wartość prędkości końcowej ciała,

g)

ile wynosi

ρ

(t) toru ciała zsuwającego się po równi

5

,

h)

wyznaczyć zależność przyspieszenia stycznego a

s

(t) i przyspieszenia normalnego a

n

(t) od czasu,

i)

jak zmienią się wyniki zadania, jeśli ciało ruszy z prędkością

v

0

≠

0 w dół lub w górę równi?

Wrocław, 26 września 2011

W. Salejda

4

Wskazówka:

s

d

( ) =

d

V

a t

t

.

5

Wskazówka: Wektor prędkości chwilowej dowolnego ruchu płaskiego można zawsze przedstawić w postaci

,

V

V

V

V

V

τ

= ⋅ = ⋅

gdzie

τ

jest wersorem (V > 0) w każdym punkcie toru stycznym do trajektorii o zwrocie i kierunku

V

;

wektor przyspieszenia całkowitego

,

s

n

a

a

a

= +

gdzie

s

a

jest wektorem prostopadłym do

n

a

i

d

d

n

a

t

τ

=

. Czy w

rozpatrywanym ruchu zmienia się wartość i kierunek wersora

τ

?