Konstrukcje zbiorów liczbowych

1

Zbiór liczb wymiernych

Rozważmy zbiór

X = Z × (Z \ {0} = {(a, b); a, b ∈ Z, b 6= 0}.

W zbiorze X określamy relację binarną

(a, b)%(c, d) ⇔ ad = bc.

Relacja % jest relacją równoważności.

Definicja. Q = X/% = {[x]

%

, x ∈ X}.

2

Jeśli % jest relacją równoważności w zbiorze X, to zbiór

[x]

%

=

{y ∈ X : x%y} = {y ∈ X : y%x}

nazywamy klasą abstrakcji (klasą równoważności) elementu x.

Przykład. Liczbę wymierną

1

2

definiujemy jako klasę abstrakcji

pary (1, 2). Mamy

(1, 2)%(a, b) ⇔ 1 · b = 2 · a,

więc

[(1, 2)]

%

=

{(a, b) ∈ X : b = 2a} =

=

{(1, 2), (−1, −2), (2, 4), (−2, −4), (3, 6), (−3, −6), . . . }

3

Działania w zbiorze Q określamy następująco:

[(a, b)]

%

+ [(c, d)]

%

= [(ad + bc, bd)]

%

,

[(a, b)]

%

· [(c, d)]

%

= [(ac, bd)]

%

.

Definicje te są poprawne, tzn. nie zależą od wyboru reprezentan-

tów klas abstrakcji:

jeśli (a, b)%(a

0

, b

0

) i (c, d)%(c

0

, d

0

),

to (ad + bc, bd)%(a

0

d

0

+ b

0

c

0

, b

0

d

0

) i (ac, bd)%(a

0

c

0

, b

0

d

0

).

4

Analogicznie konstruujemy zbiór liczb całkowitych mając dany

zbiór liczb naturalnych.

Rozważmy zbiór

X = N × N = {(a, b); a, b ∈ N}.

W zbiorze X określamy relację binarną

(a, b)%(c, d) ⇔ a + d = b + c.

Relacja % jest relacją równoważności.

Definicja. Z = X/% = {[x]

%

, x ∈ X}.

5

Przykład. Liczbę całkowitą

−1 definiujemy jako klasę abstrakcji

pary (0, 1).

Mamy (0, 1)%(a, b) ⇔ 0 + b = 1 + a, więc

[(0, 1)]

%

=

{(a, b) ∈ X : b = a+1} = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), . . . }

Działania w zbiorze Z określamy następująco:

[(a, b)]

%

+ [(c, d)]

%

= [(a + c, b + d)]

%

,

[(a, b)]

%

· [(c, d)]

%

= [(ac + bd, ad + bc)]

%

,

i sprawdzamy poprawność definicji: jeśli (a, b)%(a

0

, b

0

) i (c, d)%(c

0

, d

0

),

to (a+c, b+d)%(a

0

+c

0

, b

0

+d

0

) i (ac+bd, ad+bc)%(a

0

c

0

+b

0

d

0

, a

0

d

0

+b

0

c

0

).

6

Zbiór liczb naturalnych określamy aksjomatycznie, a istnienie

takiego zbioru wynika z kolei z aksjomatów teorii zbiorów.

N – zbiór,

∗ : N → N, n 7→ n

∗

– funkcja następnika,

0

∈ N – wyróżniony element (zero).

7

Aksjomaty Peana:

1) 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej:

∀

n∈N

n

∗

6= 0.

2) Funkcja następnika jest różnowartościowa:

∀

m,n∈N

m

∗

= n

∗

⇒ m = n.

3) Aksjomat indukcji matematycznej. Dla dowolnego podzbioru

A ⊂ N mamy:

(0

∈ A ∧ ∀

n∈N

(n ∈ A ⇒ n

∗

∈ A)) ⇒ A = N.

8

Dodawanie liczb naturalnych:

m + 0 = m dla m ∈ N,

m + n

∗

= (m + n)

∗

dla m, n ∈ N.

Mnożenie liczb naturalnych:

m · 0 = 0 dla m ∈ N,

m · n

∗

= m · n + m dla m, n ∈ N.

9

Określamy: 1 = 0

∗

, 2 = 1

∗

, 3 = 2

∗

, 4 = 3

∗

, . . .

Przykład: n + 1 = n

∗

.

Przykład: 2 + 2 = 4.

Przykład: 2

· 2 = 4.

10

Zbiór liczb rzeczywistych można skonstruować na dwa sposoby.

Sposób I. Rozważamy ciągi Cauchy’ego liczb wymiernych, czy-

li wszystkie ciągi liczb wymiernych, które okażą się zbieżne w

zbiorze liczb rzeczywistych. Za pomocą relacji równoważności

"sklejamy" ciągi zbieżne do tej samej liczby rzeczywistej.

Sposób II. Przekroje Dedekinda. Rozważamy podziały zbioru

liczb wymiernych na dwa niepuste podzbiory A, B spełniające

warunek

∀

a∈A

∀

b∈B

a < b.

11

Przekrój Dedekinda (A, B) określający liczbę

√

2:

A = Q ∩ (−∞,

√

2) =

{x ∈ Q : x < 0 ∨ x

2

< 2},

B = Q ∩ (

√

2, +∞) = {x ∈ Q : x > 0 ∧ x

2

> 2}.

Jeśli w jest liczbą wymierną to mamy dwa przekroje:

A

1

=

{x ∈ Q : x 6 w}, B

1

=

{x ∈ Q : x > w},

A

2

=

{x ∈ Q : x < w}, B

2

=

{x ∈ Q : x > w},

które należy utożsamić.

12

Liczby zespolone

13

Definicja: C = R × R = {(a, b); a, b ∈ R}.

Działania w C:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).

Para (a, 0) odpowiada liczbie rzeczywistej a:

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0), (a, 0) · (c, 0) = (ac, 0).

Przyjmując i = (0, 1) mamy:

a + bi = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b),

i

2

= (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.

14

Liczbę zespoloną z można jednoznacznie przedstawić w postaci

z = a + bi,

gdzie a, b ∈ R.

Działania wykonujemy jak na wyrażeniach algebraicznych, pa-

miętając o tym, że

i

2

=

−1.

15