KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI
Próbna Matura z OPERONEM
Matematyka
Poziom rozszerzony
Listopad 2011
W niniejszym schemacie oceniania zadań otwartych są prezentowane przykładowe poprawne odpowiedzi. W tego typu
zadaniach należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są inaczej sformułowane, ale ich sens jest zgodny z podanym
schematem, oraz inne poprawne odpowiedzi w nim nieprzewidziane.
Numer Liczba
ZdajÄ…cy otrzymuje po 1 punkcie za
zadania punktów
1. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt
Zdający zapisze równanie w postaci alternatywy.
2x - 1 - 2 = 4 lub 2x - 1 - 2 =-4
2x - 1 = 6 lub 2x - 1 =-2
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający zauważy, że równanie 2x - 1 =-2 jest sprzeczne.
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający rozwiąże równanie 2x - 1 = 6.
2x - 1 = 6 lub 2x - 1 =-6
x = 3,5 lub x =-2,5
rozwiązanie pełne 4 pkt
Zdający wskaże ujemny pierwiastek: x =-2,5.
2. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt
Zdający skorzysta z proporcjonalności boków prostokątów podobnych i rozważy
proporcjÄ™.
a b
=
a + 5 b + 5
a(b + 5) = b(a + 5)
ab + 5a = ba + 5b
a = b
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający zapisze drugą proporcję wynikającą z podobieństwa czworokątów i sprowadzi ją
do prostszej postaci.
a b
=
b + 5 a + 5
a2 + 5a = b2 + 5b
a2 - b2 + 5a - 5b = 0
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający przekształci odpowiednio otrzymane wyrażenie, aby znalez
ć zależność między
bokami a, b.
] - bg]a + bg+ 5]a - bg= 0
a
] - bg]a + b + 5g= 0
a
a = b lub a + b =-5
Warunek a + b =-5 nie może być spełniony, gdyż a + b 2 0.
www. operon. pl
1
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Liczba
ZdajÄ…cy otrzymuje po 1 punkcie za
zadania punktów
rozwiązanie pełne 4 pkt
Zdający stwierdzi, iż z równości a = b wynika, że pierwszy prostokąt jest kwadratem.
Skoro a = b, to a + 5 = b + 5, zatem drugi prostokąt też jest kwadratem.
3. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego 1 pkt
rozwiÄ…zania
1
Zdający zauważy, że aby wyrażenie miało sens, to tg x ! 0 dla x ! kr oraz
2tg x
r
x ! + kr (tangens jest wtedy określony).
2
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający wykorzysta własność kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego  zapisze
odpowiedni warunek i przekształci go tak, aby otrzymać wyrażenie zawierające tylko
jednÄ… funkcjÄ™ trygonometrycznÄ….
Np.:
1
cos2x = sin x$
2tg x
1
cos2x = sin x$
2 sin x
cos x
2 cos2x = cos x
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający przedstawi równanie w formie alternatywy.
cos x = 0 lub 2 cos x - 1 = 0
rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt
Zdający rozwiąże uzyskane równania.
r r r
x = + kr lub x =- + 2kr lub x = + 2kr, gdzie k ! C
2 3 3
rozwiązanie pełne 5 pkt
Zdający wybierze spośród uzyskanych rozwiązań właściwe i zapisze odpowiedz
.
r r
x = + 2kr lub x =- + 2kr, gdzie k ! C
3 3
4. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt
Zdający wykorzysta wzór na zamianę podstawy logarytmu i zapisze nierówność w postaci
log2]rag+ log2]r + agH 2 log(r + a) - 1.
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający zapisze nierówność w równoważnej postaci
log2]rag+ log2]r + ag- 2 log(r + a) + 1 H 0,
aby wykazać, że lewa strona nierówności jest większa bądz
równa zero.
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający zapisze lewą stronę nierówności w postaci sumy kwadratów dwóch wyrażeń
+
6log]rag@2 6log]r + ag- 1@2 .
rozwiązanie pełne 4 pkt
Zdający zauważy, że suma kwadratów dwóch liczb jest zawsze liczbą nieujemną i wyprowadzi
stąd wniosek, że
6log]rag@2 +6log]r + ag- 1@2 H 0.
www. operon. pl
2
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Liczba
ZdajÄ…cy otrzymuje po 1 punkcie za
zadania punktów
5. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego 1 pkt
rozwiÄ…zania
Zdający znajdzie współrzędne punktu C jako współrzędne wierzchołka paraboli.
6
x = = 3, y = 9 - 18 =-9
2
C =]3, - 9g
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający zauważy, że punkty A, B leżą na prostych przechodzących przez punkt C oraz
nachylonych do osi OX pod kÄ…tem odpowiednio 60° i (jako wierzchoÅ‚ki trójkÄ…ta
120°
równobocznego) i określi, że szuka np. współrzędnych punktu A leżącego na prostej p
nachylonej do osi OX pod kÄ…tem 60°.
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający znajdzie równanie prostej p.
y = 3 x + b
-9 = 3 3 + b
b =-9 - 3 3
y = 3 x - 9 - 3 3
rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt
Zdający znajdzie pierwszą współrzędną punktu A, wykorzystując fakt, że punkt leży na
paraboli i prostej p.
x2 - 6x = 3 x - 9 - 3 3
x2 - x(6 + 3) + 9 + 3 3 = 0
D = 3
x = 3 lub x = 3 + 3
Zdający zauważy, że liczba 3 to pierwsza współrzędna punktu C, zatem w dalszych
rozważaniach uwzględni liczbę 3 + 3 .
rozwiązanie pełne 5 pkt
Zdający znajdzie drugą współrzędną punktu A.
2
^
y =
3 + 3h - 6^3 + 3h=-6
Zdający poda obie współrzędne punktu A.
^h
A = 3 + 3, - 6
6. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt
C
h
x
Zdający obliczy długość połowy przekątnej podstawy.
2a
1 A
1d
 a
d = a 2
2
2
B
www. operon. pl
3
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Liczba
ZdajÄ…cy otrzymuje po 1 punkcie za
zadania punktów
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający zauważy, że trójkąt ABC jest prostokątny i obliczy długość odcinka x.
x
= tg a
a 2
x = a 2 $tg a
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający obliczy wysokość graniastosłupa.
^ h2
h2 + a 2 = x2
h = 2a2tg2a - 2a2
rozwiązanie pełne 4 pkt
Zdający obliczy objętość graniastosłupa.
2
2ag
V =] $ 2a2tg2a - 2a2 = 4a2$a 2 $ tg2a - 1 = 4 2 $a3$ tg2a - 1
7. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt
Zdający określi liczbę zdarzeń elementarnych  liczbę sposobów wyboru 4 spośród 20 piosenek.
17$18$19$20
X == 4845
1$2$3$4
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający rozważy zdarzenie przeciwne  uczestnik wysłuchał 4 piosenek spośród 8,
których nie zna, i określi liczbę zdarzeń sprzyjających.
5$6$7$8
A == 70
1$2$3$4
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.
70
P(A) =
4845
rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt
Zdający obliczy prawdopodobieństwo rozważanego zdarzenia.
70 4775
P(B) = 1 - =
4845 4845
rozwiązanie pełne 5 pkt
Zdający podaje wynik z żądaną dokładnością.
P(B) = 0,9855... . 0,99
8. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego 1 pkt
rozwiÄ…zania
Zdający znajdzie współrzędne punktu przecięcia prostych.
y =-x
*
y = x + k
-x = x + k
k k
x =- , y =
2 2
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający skorzysta z tego, że punkt przecięcia prostych musi należeć do koła i przekształci
uzyskaną nierówność do najprostszej postaci.
kl2 kl2
b - +b 2 G 10
1 1 +
2
k2 G 16
www. operon. pl
4
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Liczba
ZdajÄ…cy otrzymuje po 1 punkcie za
zadania punktów
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający zapisze uzyskaną nierówność w postaci (k - 4)(k + 4) G 0 (zdający może
zaznaczyć te liczby na rysunku).
rozwiązanie pełne 4 pkt
ZdajÄ…cy podaje rozwiÄ…zanie.
k ! -4, 4
9. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt
Zdający znajdzie współczynniki wielomianu, korzystając z tego, że liczby -1, 2 są
pierwiastkami wielomianu.
-1 + a - b + 6 = 0
*
8 + 4a + 2b + 6 = 0
a =-4, b = 1
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
ZdajÄ…cy znajdzie trzeci pierwiastek wielomianu W(x) = x3 - 4x2 + x + 6, stosujÄ…c
twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych.
W(3) = 27 - 36 + 3 + 6 = 0
x = 3
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający zapisze wielomian oraz nierówność w postaci iloczynowej.
W(x) =]x + 1g]x - 2g]x - 3g
] - 2g]x - 3g> 0
x + 1g]x
rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt
Zdający określi przedziały (może zaznaczyć je np. na osi liczbowej), w których będzie
]
poszukiwał wartości dodatnich wyrażenia x + 1g]x - 2g]x - 3g.
1. ]-3, - 1g
2. -1, 2
h
3. 2, 3h
4. 3,3
h
rozwiązanie do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności 5 pkt
rozwiązania (np. błędy rachunkowe)
Np. z
le zaznaczone końce jednego z przedziałów; błędne obliczenie jednego z pierwiastków
wielomianu; błąd w obliczeniu współczynników wielomianu.
rozwiązanie pełne 6 pkt
Zdający określi, kiedy rozpatrywane wyrażenie przyjmuje wartości dodatnie (np. za
pomocą siatki znaków albo odpowiedniego  wężyka ) i zapisze odpowiedz
.
x !]-1, 2g,]3,3g
10. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego 1 pkt
rozwiÄ…zania
Zdający rozważy przypadek, gdy analizowane równanie jest równaniem liniowym.
m - 1 = 0
m = 1
4x + 1 + 4 = 0
x =-5
4
www. operon. pl
5
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Liczba
ZdajÄ…cy otrzymuje po 1 punkcie za
zadania punktów
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający założy, że rozpatruje równanie kwadratowe i zapisuje jego wyróżnik.
m ! 1
D = 2(m + 1)@2 - 4(m - 1)(m + 4) =-4m + 20
6
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający zauważa, że równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek, gdy wyróżnik jest
równy zero.
-4m + 20 = 0
m = 5
rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt
Zdający sprawdza, czy znalezione rozwiązanie spełnia zakładane warunki m = 5 ! 1.
rozwiązanie pełne 5 pkt
ZdajÄ…cy podaje rozwiÄ…zanie.
m = 1 lub m = 5
11. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego 1 pkt
rozwiÄ…zania
Zdający znajduje sinus kąta zawartego między bokami a, b.
1 1
ab sin a = ab
2 4
1
sin a =
2
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający znajduje miarę kąta zawartego między bokami ai b.
a = 30° lub a = 150°
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający wykorzystuje twierdzenie cosinusów do znalezienia długości c trzeciego boku
trójkąta.
c2 = a2 + b2 - 2ab cos 30° lub c2 = a2 + b2 - 2ab cos 150°
rozwiązanie pełne 4 pkt
ZdajÄ…cy poda rozwiÄ…zanie.
c = a2 + b2 - ab 3 lub c = a2 + b2 + ab 3
www. operon. pl
6