ĆWICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ  ZADANIA
INDUKCJA MATEMATYCZNA
1. Udowodnić za pomocą metody indukcji matematycznej, że dla n natu-
ralnych:
n(n+1)
a) 1 + 2 + 3 + . . . + n =
2
n(n+1)(2n+1)
b) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =
6
n2(n+1)2
c) (1 + 2 + 3 + . . . + n)2 =
4
d) 12 - 22 + 32 - 42 + . . . + (-1)n-1n2 = (-1)n-1 n(n+1)
2
n(n+1)(n+2)
e) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + n · (n + 1) =
3
n(n+1)(n+2)(3n+1)
f) 2 · 12 + 3 · 22 + 4 · 32 + . . . + n(n - 1)2 + (n + 1)n2 =
12
n 1 n
g) =
k=1
k(k+1) n+1
n
1 n
h) =
k=1
(2k-1)(2k+1) 2n+1
n
1 n
i) =
k=1
(3k-2)(3k+1) 3n+1

n
1 1 1 1
j) = -
k=1
k(k+1)(k+2) 2 2 (n+1)(n+2)
n
k) 2k - 1 = n2
k=1
n
l) (2k - 1)3 = n2(2n2 - 1)
k=1
n
m) (4k - 3) = n(2n - 1)
k=1
n) (1 + 2 + . . . + n)2 = 13 + 23 + . . . + n3
2. Udowodnić za pomocą metody indukcji matematycznej, że dla n natu-
ralnych:
a) 5|n5 - n
b) 2|n2 + n
c) 19|(5 · 23n-2 + 33n-1)
d) 30|n5 - n
e) 6|n3 - n
f) 6|n3 + 5n
3. Udowodnić za pomocą metody indukcji matematycznej, że dla n natu-
ralnych:
"
1 1 1
" " "
a) + + . . . + e" n
n
1 2
b) 2n > n
n 1
c) < 1
k=2
k2

n n n
d) (a + b)n = an + an-1b + an-2b2 + . . . + abn-1 + bn
1 2 n - 1
1
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
e) (1 + x1)(1 + x2) . . . (1 + xn) e" 1 + x1 + x2 + . . . + xn przy założeniu:
x1, x2, . . . , xn e" 0
Wniosek: nierówność Bernoulliego (1 + x)n e" 1 + nx.
f) x1 + x2 + . . . + xn e" n jeśli x1, x2, . . . , xn > 0, x1x2 . . . xn = 1
Wniosek:
"
x1+x2+...+xn n
x1, x2, . . . , xn > 0 Ò! e" x1x2 . . . xn
n
"
n
n
x1, x2, . . . , xn > 0 Ò! d" x1x2 . . . xn
1 1 1
+ +...+
x1 x2 xn
g) an + bn d" (a + b)n, a, b e" 0
h) (a + b)n d" 2n(an + bn), a, b e" 0
2n
i) (-1)k+1k = -n
k=1
j) (n + 1)n < nn+1 dla n e" 3
2
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
" "
"
"
3+ n
1 n2+4
"
a) an = , b) bn = n + 2 - n, c) cn = , d) dn = ,
1-3n 3n-2
4n2+3n-2n

" " "
"
2
3n-2 1+2n2- 1+4n2
"n +5-n
e) en = , f) fn = , g) gn = n2 - 1 - n, h) hn = ,
n+10 n
n2+5+n
"
" " "
(3- n)2
1
"
i) in = n2 + n - n, j) jn = , k) kn = 2n - 1 - n + 7, l) ln = ,
5+4n
n2+6-n
" " "
"
2+ n
3n2+5-n 4n2+9
m) mn = 9n2 + 1 - 3n, n) nn = , o) on = , p) pn = .
3n+1 2n+1 1-2n
n
4n-1+5 3 2n+1-1 5·32n-1 4·3n+2+2·4n
a) an = , b) bn = · , c) cn = , d) dn = ,
22n-7 2 3n+1-1 4·9n+7 5·2n+4n+2
2n+(-2)n
4-6n 1-7·32n 3n+5n
e) en = , f) fn = , g) gn = , h) hn = .
8n-16n 22n 4·9n+7 6n-2n
-2n n2 3n+2 n
1 n2+6 n+5 2
a) an = 1 + , b) bn = , c) cn = , d) dn = 1 + ,
n n2 n
n n 2n+1 n n
1 1 n+2 1
e) en = 1 - , f) fn = 1 + , g) gn = , h) hn = 1 - ,
n n2 n n2
-n+4 n2 3n-4 2n2
+5
4 n2+2 2n+5 n2+3
i) in = 1 - , j) jn = , k) kn = , l) ln = ,
n 2n2+1 3n+7 n2+1
2n n 2n2 n
-4
n n-1 4 3n+2
m) mn = , n) nn = , o) on = 1 + , p) pn = .
n-6 n+2 n2+3 3n+1
n
"
n
n n 1
a) an = Ä„n + 3n + (3, 14)n, b) bn = 5 · 77 + 7 · 5n, c) cn = + n,
3
" " n
n n n 1
d) dn = 2 · 3n + 4 · 7n, e) en = 3n + sin n, f) fn = + 2n,
2
" " "
n n n
g) gn = en + 3n, h) hn = + n2, i) in = n2 + 5n - 10,
2n
" 1 n 2 n 3 n
n n n
j) jn = 10n + 9n + 8n, k) kn = + + , l) ln = 2n + (-1)n.
2 3 5
"
"
10000n 5n2+n-3
1) ; 2) ; 3) + 2 - n;
n2+1 15n2-7
n
"
"
" "
n2+1+ n
n+1
3
"
4) 3n2 + 2n - 5 - n 3; 5) ; 6) ;
3
3n+2
n- n2+8
" "
" "
3
7) n3 + 5n - n; 8) n( n + 2 - n); 9) (3n+2)4;
10+n
"
3
(-1)n n sin(n!)
sin n
10) ; 11) ; 12) ;
2n-1 n n
13) (-1)n+1(2)n; 14) (-3)n; 15) (-5)n;
3 5 3
2n+(-1)n
3n+1+2n+1 3·22n+2-10
16) ; 17) ; 18) ;
3n+2n 2n+1 5·4n+4+3
(-2)n+3n
2n+1-1 2n+2n!
19) (3)n · ; 20) ; 21) ;
2 3n+1-1 (-2)n+1+3n+1 3n+5
22)(n+1)!+(n+2)!.
n!+(n+3)!
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

" "
n n n sin 2n
n
1) 2n + 3n; 2) 4n + 6n; 3) 3n + (1)n + 9n; 4) ;
2
2
n +1 n
2n n+sin n 1 1 1 1 5
" " " " "
5) +
2
n2+1 n2+2 n2+3 n2+n
n +sin 6) n ; n 7) n + + . . . + ; 8) 1 + n n ;
nn+n;
n+9 1 3 n
9) 12) ;
n n2 n+1
n ; n 10) 1 - ; 11) 1 - ;
6
ln(1+ )
n2+2
n
13) ; 14) ; 15) n(ln(n + 1) - ln n).
1
2n2+1
n
1 3 n nĄ
1) 1 - ; 2) (-1)n-1(2 + ); 3) 1 + cos ;
n n n+1 2
n(n-1)
1 1 3 1 7 1 2n-1
2
4) 1 + 2(-1)n+1 + 3(-1) ; 5) {1, , , , , , . . . , , , . . .}.
2 2 4 4 8 8 2n 2n
n
limn" n+1 = 1
an = {0, 1, 0, 1, . . .}
an = {(-2)n}
"
limn"( n2 + 1 - n) = 0
(-1)n+1
an = {(-1)n + }
n
limn"(n2n ) = 0
3
+1
limn" (-1)n = 0
n
limn" xn = a limn" |xn| = |a|
an+1+bn
an+bn
{an} {bn} a1 = a b1 = b an+1 = bn+1 =
2 2
limn" an = limn" bn
{an} limn"(an+1 - an) = 0
"
"
"
"
"
n 2 n
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
"
n
limn" n = 1
1
limn" "n! = 0
n
limn" an = 0
n!


"
1 1 1 1
1) an = (1 + ); 2) (1 + )(1 + ) . . . (1 + ); 3) 2 + 2 + . . . + 2;
n 2 4 2n
sin 1 sin 2 sin n cos 1! cos 2! cos n! 1 1 1
4) + + . . . + ; 5) + + . . . + ; 6) 1 + + + . . . + .
2 22 2n 1·2 2·3 n(n+1) 22 32 n2
1 1
xk = 1 + + . . . +
2 k
1 1 1
xn = 1 + + + . . . +
ln 2 ln 3 ln n
an 0 {bn} anbn 0
" "
a1 = c an+1 = c + an
1
b1 = 0 b2 = 1 bn = (bn-1 + bn-2)
2
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
x + 1 x3 - 4x2 - 5x x3 - 27
a) lim , b) lim , c) lim ,
x2 x5 - 6x 5 x
x3 - 3
x2 + 1 x2
"+

2x3 + 5x2 - x + 5 (x - 1) 2 - x 1 3
d) lim , e) lim , f) lim - ,
x" - 2x - 2 x2 - 1 1
x1 x1 - x 1 - x3
4x3
x3 - 8 x3 + 3x2 + 2x
g) lim , h) lim ,
x2 - 2 x2
x-2 - x - 6
x
" " "
"
x - 1 - 2 x + 13 - 2 x + 1 x - 5
a) lim , b) lim , c) lim ,
x5 - 5 x2 - 9 x
x3 x25 - 25
x
" " "
tgx x2 + 1 - 1 x2 + 1 - x + 1
d) lim " , e) lim " , f) lim " ,
x0 - 1 + tgx
x0 x0
1
x2 + 25 - 5 1 - x + 1
"
2x
g) lim ( x2 + 1 + x), h) lim " .
x-" x-"
x2 + 1
sin t
lim = 1,
t0
t
sin 5x sin(x - 2) 3x
a) lim , b) lim , c) lim ,
x0 x2 - 4 5 sin 7x
x0
x
" "2x
1 - 1 - x 3x + 4 - 2 sin 3x
d) lim , e) lim , f) lim ,
x0 x0 x0
sin 4x sin 5x 4x
4x sin 2x tg2x
g) lim , h) lim , i) lim ,
x0 x0 x0
3 sin 2x sin 3x sin 3x
"
1 1 - cos x x2 - 4
j) lim x sin , k) lim , l) lim .
x" x0 x-2
x sin x arctg(x + 2)
cos 2x tg2x 1 - x
a) lim , b) lim , c) lim arcsin ,
Ä„
x0 x"
x - cos x tgx 1 + x
sin x
4
arcsin(x + 3) x + 1 arctgx
d) lim , e) lim arctg , f) lim ,
x-3 x" x0
x2 + 3x x + 2 x
arcsin(x + 2) sin 5x - sin 3x
g) lim , h) lim , i) lim ln(xctgx),
x-2 x0
x2 + 2x sin 3x
2x-1 x0
1 x + 1
x
j) lim(1 + 3x) , k) lim , l) lim x(ln(x + 1) - ln x).
x0 x" - 2
x"
x
x2-2x-8
limx4 x2-9x+20
limx1 xn-1, n " N
x-1
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
" "
"
limx0 x2+1- x+1
1- x+1
4x
limx0 3 sin 2x
8-x
limx8 sin( Ä„x)
1
8
limxĄ 1+cos x
sin2 x
x0
sin Ä…x
x0 = 0
x
x2
x2
x0 = +"
2+x2
1

x2 x2
x0 = 0
2+x2
arc tg x
x0 = 0
x
arc sin x
x0 = 0
x
1
sin x0 = 0
x
1
x sin x0 = 0
x
1 1
a) f(x) = , x0 = 1, b) f(x) = , x0 = 1,
(1 - x) (1 - x)2
1 1
x
c) f(x) = , x0 = 1, -1, d) f(x) = 2 , x0 = 0,
1 - x2
x x
e) f(x) = , x0 = 3, f) f(x) = , x0 = 3,
(3 - x)2 (3 - x)3
1 1
1-x
g) f(x) = 2 , x0 = 1, h) f(x) = , x0 = 2, -2,
x2 - 4
1
1
x2-4 x
i) f(x) = 4 , x0 = 2, -2, j) f(x) = e- , x0 = 0,
1
|2 - x|
1-x3
k) f(x) = e , x0 = 1, l) f(x) = , x0 = 2,
x - 2
|x - 1|
m) f(x) = 2ctgx, x0 = 0, n) f(x) = + x, x0 = 1,
x - 1
1
o) f(x) = arctg , x0 = 1.
1 - x
x0
f(x) = x2 + x x0 = 10
xn
x e" 0 f(x) = limn+" 1+xn x0 = 1
1
x
f(x) = xe x0 = 0
1
x-a
f(x) = 2 x0 = a a " R
x
"
f(x) = x0 = 0
| sin x|
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

x2-4 sin x
x = -2 x = 0

x+2 |x|
a) f(x) = , b) f(x) = ,
-4 x = -2 1 x = 0

ex-1
x = 0 2x + 3 x d" 0

x
c) f(x) = , d) f(x) = ,
1 x = 0 (x - 2)2 x > 0

1
1-cos x
x
2 x = 0 x = 0

x2
e) f(x) = , f) f(x) = ,
1
1 x = 0 x = 0
2
"
Ä„ 1
2ctgx x " (-Ä„ , ) \ {0} xarctgx x > 0
2 2
g) f(x) = , h) f(x) = .
0 x = 0 0 x = 0
f : R - R f(x) = x2
1
f : R \ {0} - R f(x) =
x
"
f : R+ - R f(x) = x
f : R - R f(x) = |x|

1 x " Q
f : R - R f(x) =
0 x " Q

0 x " Q
f : R - R f(x) =
x x " Q

1 x = 0
f : R - R f(x) =
sin x
x = 0

|x|
x2-x3
f : R \ {1} - R f(x) =
|x-1|
f : R - R f(x) = x - -x
a b

0 , x = 0
f(x) =
1
x sin , x = 0

x
Å„Å‚(x-1)
2
òÅ‚ , |x| = 1

x2-1
f(x) =
a , x = -1
ół
b , x = 1

x , |x| d" 1
f(x) =
x2 + ax + b , |x| > 1
ln(5+x)-ln 5
"
1+x-1
x = 0 x = 0

x x
a) f(x) = , b) f(x) = ,
a x = 0 a x = 0
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

1
x
x

2 + 1 x < 0 x = 0
|x|
c) f(x) = , d) f(x) = ,
3x2 + a x e" 0 a x = 0
Å„Å‚
2

"
ôÅ‚
òÅ‚x + b x > 2
sin22x
x = 0

2x
e) f(x) = - 1 x = 2 , f) f(x) = .
2a
ôÅ‚x +x-6
a x = 0
2
ół
x < 2
2-x

"C "x,x "R |f(x) - f(x )| d" C|x - x |
"
f : [0; 1) - R f(x) = x
f : R - R f(x) = x2
f : [-a; a] - R f(x) = x2 a > 0
1
f : (0; 1] - R f(x) =
x
1
f : (0; 1] - R f(x) = sin
x
"
f : [0; 1] - R f(x) = x
"
f : [1; ") - R f(x) = x
"
limx0 x = 0
"
"
limxx x = x0
0
lim supx0 f(x) lim infx0 f(x)
1
f(x) = sin
x
1
f(x) = sin2 1
x2 x
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
ĆWICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ  ZADANIA
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
1. Obliczyć pochodne funkcji:
"
4
x
3
a) f(x) = - ; b) f(x) = -3 cos3(6x); c) f(x) = arcsin(2x);
x 2x
1 arcsin x
d) f(x) = ; e) f(x) = ; f) f(x) = 23x+5;
sin arccos x

"x

"
ln x
g) f(x) = e ; h) f(x) = 1 + ln2 x; i) f(x) = + x;
x

"
"
3
j) f(x) = esin x; k) f(x) = ln(x + x2 + 1); l) f(x) = x + + 3 x;
xx
1
m) f(x) = x6x; n) f(x) = (cos x)sin(2x); o) f(x) = 1 + ;
x
x
Ä„ 1
2 sin x ln2 x
p) f(x) = (tg(2x))ctg ; q) f(x) = (x + 1) ; r) f(x) = x .
2. Obliczyć pochodne funkcji:


"

"
1-
1-arcsin x
"x
a) y = ; b) y = sin x + x + 2 x; c) y = ;
1+ x 1+arccos x
1
x
ln x
d) y = arc tg(2 tg + 1) - x; e) y = ln(ln(ln x)); f) y = x ;
2

x
1 x 1
g) y = ee ; h) y = ln(1 + )x; i) y = .
x x
3. Obliczyć pochodne funkcji:
" "
3
a) y = (1 + x) 2 + x2 3 + x3,
b) y = sin(cos2(tg3 x)),
"
c) y = eax a sin bx-b cos bx,
a2+b2
x
d) y = xx + xx + x.
4. Uzupełnić tabelkę:
Funkcja ciągła różniczkowalna klasy C1
y = |x|
y = x|x|

1
sin , x = 0

x
y =
0, x = 0

1
x sin , x = 0

x
y =
0, x = 0

1
x2 sin , x = 0

x
y =
0, x = 0
5. Wykazać, że funkcja f(x) = |x| nie jest różniczkowalna w punkcie x0 = 0.
6. Zbadać różniczkowalność funkcji:
a) f(x) = |x2 - x - 6|; b) f(x) = | sin(3x)|;

x2 dla x d" 1 x3 dla x d" 1
c) f(x) = ; d) f(x) = .
ax + b dla x > 1 -3x2 + 6x - 2 dla x > 1
1
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
7. Pokazać, że funkcje rzeczywiste:
a) xn, n " N;
b) loga x, 0 < a = 1;

c) xr, r " R
mają pochodne w każdym punkcie swojej dziedziny.
8. Dla jakich wartości ą funkcja:

1
|x|Ä… sin , x = 0

x
f(x) =
0, x = 0
w punkcie x0 = 0
a) jest ciągła;
b) ma pochodnÄ…;
c) ma ciągłą pochodną?
9. Znalez
ć kąty, pod jakimi przecinają się krzywe:
a) y = sin x, y = cos x;
b) y = x2, y2 = x.
10. Pokazać, że jeżeli f jest funkcją różniczkowalną na całej dziedzinie oraz a) parzystą,
b) okresowÄ… o okresie T , to jej pochodna f jest funkcjÄ… a) nieparzystÄ…, b) okresowÄ…
o okresie T .
11. Pokazać, że:
a-b a a-b
a) < ln < dla 0 < b < a;
a b b
b) | sin x - sin y| d" |x - y|;
c) | arc tg x - arc tg y| d" |x - y|;
2x
d) 2 arc tg x + arc sin = Ä„ sgn x dla |x| e" 1;
1+x2
1
e) 3 arccos x - arccos(3x - 4x3) = Ä„ dla |x| d" .
2
12. Dla jakiej wartości parametru a parabola y = ax2 jest styczna do krzywej y = ln x?
13. Obliczyć granice:
tg x-x
a) limx0 x-sin x; b) limx0 x ctg x-1; c) limx0 1-cos2 x;
x2 x2 sin2 x
+
d) limx0 arcsin 2x-2 arcsin x; e) limx0 ln(sin ax), a, b > 0; f) limx+" ln x, Ä… > 0;
ln(sin bx) xÄ…
cos x3
ex
+ + +
g) limx0 x x - ; h) limx0 x2 ln x; i) limx0 (sin x)x;
sin x
+
j) limx Ä„ -(tg x)2 cos x; k) limx0 (1 + x)ln x.
2
14. Znalez
ć przedziały monotoniczności funkcji:
a) f : [0; +") - R, f(x) = xne-x, (n " N);
b) f : R - R, f(x) = x + | sin 2x|.
2
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
1
15. Zbadać monotoniczność funkcji f(x) = (1 + )x w przedziale:
x
a) (0; +"),
b) (-"; -1).
16. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:
x
a) f(x) = ;
1+x2
1
b) f(x) = ;
1+x2
2
c) f(x) = e-x ;
17. Znalez
ć przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji:
a) y = x + sin x;
b) y = ln(1 + x2);
c) y = x ln x, x > 0;
d) y = xx, x > 0.
18. Zbadać wypukłość funkcji:
a) y = xÄ…, Ä… > 0,
b) y = ex.
19. Udowodnić wzór Leibniza:

k

k
(f · g)(k)(x) = f(i)(x) · g(k-i)(x).
i
i=0
20. Obliczyć:
a) (x2e2x)(20),
(100)
1+x
"
b) .
1-x
21. Podać rozwinięcie w szereg Taylora rzędu n w otoczeniu punktu x0 = 0 funkcji
f(x) = (1 + x)ą, gdzie ą " R. Rozważyć szczególne przypadki dla ą = 0, ą = 1,
1
Ä… = -1, Ä… = .
2
1 1 1
22. Wykazać, że ln 2 = 1 - + - + . . ..
2 3 4
23. Pokazać, że:
x2 x3 x4
a) ln(1 + x) = x - + - + . . . dla |x| < 1;
2 3 4
x3 x5 x7
b) arc tg(x) = x - + - + . . . dla |x| < 1;
3 5 7
24. Napisać wzór Maclaurina dla funkcji f(x). Zbadać limn+" Rn.
a) f(x) = ex, x ";
b) f(x) = sin x, x ";
c) f(x) = cos x, x ";
3
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
d) f(x) = (1 + x)a, gdzie a " N oraz |x| < 1;

1
e- x2
dla x = 0

e) f(x) = .
0 dla x = 0
4
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
" "

x( x-x2 3 x)
"
1) x(x - 1)(x - 2) dx, 2) (x2 - x + 1)2x dx, 3) dx,
4
x
" "

3
x- x
x 1
"
4) dx, 5) dx, 6) dx,
x2 (x2+a2)n 2x-3
"
2 x2
7) - 8) 9) x cos x dx,
x 2x3 3 dx, xe dx, sin
ln x x
"
10) dx, 11) dx, 12) xex dx,
x
1-x4

13) x sin x dx, 14) ex sin x dx, 15) ln x dx,

16) (ln x)2 dx, 17) arc tg x dx, 18) tg x dx,

1 x2+1 1
"
19) dx, 20) dx, 21) dx,
sin x x4+1 1+ex

ln(sin x)
1 xex
"
22) dx, 23) dx, 24) dx,
(1+x)2 sin2 x
x2+x
" "
x
25) eax cos bx dx, 26) e dx, 27) x a2 + x2 dx,
"
2
28)
"+
ln(x 1 + x2) dx, 29) x ln(x + 1) dx, 30) x3e-x dx,
"
31) x2 a2 + x2 dx.
A A
k > 1
(x-a) (x-a)k
Bx+C Bx+C
n > 0
(x2+a2) (x2+a2)n
A Bx+C
" < 0
(ax+b)k (x2+px+q)

1 2x5+6x3+1 cx+d
1) dx, 2) dx, 3) dx,
x4+64 x4+3x2 ax+b

x 6x-1 x-3
4) dx, 5) dx, 6) dx,
2x2-3x-2 3x2-x+2 x2-6x-5

1 11x-1 1
7) 8) 9)
2 2 2
2x +9x-5 dx, 3x -5x-2 dx, 9x -12x+4 dx,
9x-5 1 1
10) dx, 11) dx, 12) dx,
9x2-6x+1 x2+b 2x2+9

1 1 x+1
13) dx, 14) dx, 15) dx,
(x-k)2+b 2x2-12x+27 2x2+6x+5

x x3+1 1
16) dx, 17) dx, 18) dx,
(x+1)(x+2)(x-3) x3-5x2+6x x3+1

1 1 1
19) dx, 20) dx, 21) dx,
x4+1 (x+1)(x+2)2(x+3)2 x4+x2+1

1 x2+1 x4+1
22) dx, 23) dx, 24) dx.
(x2+x+1)(x2-x+1) x4+x2+1 x6+1

x+2

x+ +1
x-1
1 1
" "
1) dx, 2) dx, 3) dx,
x+2
3 x2+b ax2+bx+c
x3+2
x-1
" "

1
"x+1-"x-1 " "1
4) dx, 5) dx, 6) dx,
x+1+ x-1 1- 1-2x-x2 x+ x2+x
"

2
x- +3x+2
"x
7) dx.
x+ x2+3x+2

1) sin4 x dx, 2) cos7 x dx, 3) sinn x dx,

sin x 1 sin3 x
4) dx, 5) dx, 6) dx,
cos3 x-cos x sin x cos4 x

1
7) dx, 8) 5x cos x dx, 9) x cos 2x cos 3x dx,
sin x cos4 x
sin cos
1 1 1
10) dx, 11) dx, 12) dx,
sin(x+a) sin(x+b) 2+cos x sin6 x cos6 x

sin x cos x sin x cos x sin2 x
13) dx, 14) dx, 15) dx,
1+sin4 x sin x+cos x 1+sin2 x

1 1
16) dx, 17) dx.
a2 sin2 x+b2 cos2 x cos x+cos a
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
 Ä„
1
arc tg x
1 t
2
dx = dt
0 x 2 0 sin t
f : [0; a] - R a > 0

a a
f(x) dx = f(a - x) dx.
0 0
f : [a; b] - R "x"[a;b] f(x) e" 0

b
f(x) dx = 0 Ô! f = 0.
a
[a; b]
f : [0; 1] - R

1
1 , x =

n
f(x) = n " N
1
0 , x =
n

1
f(x) dx
0
r t0
Å‚ : [0; 1] - R2 Å‚(t) = (t, t2)
" "
y = ln x x " [ 3; 2 2]
T
Ä„
T : x " [-Ä„ ; ] 0 d" y d" cos x OX
2 2
Ä„
T : x " [0; ] 0 d" y d" sin x + cos x OX
2
T : x " [0; 1] 0 d" y d" e-x OY
f(x) = x3 0 d" x d" 1 OX
"
f(x) = 2 x 0 d" x d" 1 OY

+" +" +" +"
1 1 1
a) sin x dx, b) dx, c) dx, d) dx,
1 x2
0 1 xÄ… -" 1+x2
+" 1 +"
arc tg x
1 1
"
e) dx, f) dx, g) dx.
1 x -1 0 1+x2
1-x2
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
"
1 1 n
n
an = (n, (-1)n) bn = ( n, , ln )
n n+1
R2
{(x, y) : x2 + y2 < 2}
{(x, y) : x2 + y2 2}
{(x, y) : x2 + y2 > 2}
{(x, y) : 1 x2 + y2 < 2}
{(x, y) : x + y = 1}

" " "
"
f(x, y) = x sin y f(x, y) = arcsin y - x f(x, y) = ln( x + y)
xy (xy)2
x
lim(x,y)(0,0) x+y lim(x,y)(0,0) x2+y2 lim(x,y)(0,0) x2+y2
sin(xy)
, x = 0

x
lim(x,y)(0,0) f(x, y) f(x, y) =
0 , x = 0
f : R2 - R

x2 + y2 , x 0
f(x, y) =
2 , x < 0
x
a) f(x, y) = arccos b) f(x, y, z) = xy - zx c) f(x, y) = x sin(x + 2y)
y
"
3
d) f(x, y) = y2 cos(2x - y) e) f(x, y) = f) f(x, y) = 3xy
2xy

"
g) f(x, y) = y2x h) f(x, y) = x + y + x

3
f(x, y) = x3 - y3 (x0, y0) = (0, 0)

x3+y
, (x, y, z) = (0, 0, 0)

x2+y2+z2
f(x, y, z) = (x0, y0, z0) = (0, 0, 0)
0 , (x, y, z) = (0, 0, 0)
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

xy(x2-y2)
, (x, y) = (0, 0)

x2+y2
f(x, y) = .
0 , (x, y) = (0, 0)
"2f "2f
(0, 0) = (0, 0)
"x"y "y"x
f(x, y) = x2 - y2 (x0, y0) = (1, -2)

xy
"
, (x, y) = (0, 0)

x2+y2
f(x, y) = (x0, y0) = (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)

x y z z = f(u, v) = euv u = ln x2 + y2
x
v = arc tg
y

f(x, y) = x2 + y2
"
3
(x0, y0) = (0, 0) = (1, - )
v
2 2
f(x, y) = sin x cos y
"
3
(0, Ä„) = (-1, )
v
2 2
a) f(x, y) = 3x3 + 3x2y - y3 - 15x; b) f(x, y) = 3(x - 1)2 + 4(y + 2)2;
c) f(x, y) = x3 + 3xy2 - 51x - 24y; d) f(x, y) = x3 + y3 - 3xy.

f(x, y) = 2 - 3x2 + 4y2 f(x, y) = x8 - y4
f(x, y) = x2 + y2 - xy + x + y
x = 0 y = 0 y = -x - 3
f(x, y) = 2xy
D = {(x, y) : x2 + y2 d" 1}
f y = f(x) y3 - 4xy + x2 = 0
y = f(x) y4 - 8xy - 4y + 8x2 = 0
z = f(x, y) 5x2 + 5y2 + 5z2 - 2xy - 2xz - 2yz - 72 = 0
f(x, y) = xy
x2 + y2 = 2
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

2
y3ex dxdy R = [0; 2] × [-1; 1]
R
x
dxdy R = [1; 2] × [4; 6]
R y2

1
dxdy R = [0; 2] × [0; 1]
R (x+y+1)3

x sin xydxdy R = [0; 1] × [Ä„; 2Ä„]
R

f(x, y)dxdy D
D
x2 + y2 = 2 y3 = x2
x2 + y2 = 4 y = 2x - x2 x = 0
xy = 6 x + y = 7
y2
x = y2 x = + 1
2

2 2-y
dy f(x, y) dx
y2
-6
-1
4

Ä„ 2
dx f(x, y) dy
0 sin x

1 |x|
"
dx f(x, y) dy
-1 - 4-x2

| cos(x + y)| dxdy D = [0; Ä„] × [0; Ä„]
D
max(2x, y) dxdy D = [0; 2] × [0; 1]
D
(x2 + y2) dxdy D : x2 + y2 - 2y d" 0
D
1
dxdy D : x2 + y2 d" x, x2 + y2 d" y
D (1-x2-y2)2
y = x2 - x y = x
y = ex y = ln x x + y = 1 x = 2
x2 + y2 - 2y = 0 x2 + y2 - 4y = 0
x2 + y2 = 1 x + y + z = 3 z = 0
y = 0 y = 1 - |x| z = 0 z = 10 - 5x - 2y
x2 + y2 + z2 - 2z = 0
1
"
z = 0 z = x2 = y2 - ax d" 0
a2-(x2+y2)
x2 + y2 = 1 x2 + y2 = 4 z = 0 z = 2
"
x2 + y2 + z2 = R2 y = x y = 3x
z = x2 + y2 z = 4 - x2 - y2
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
 +" +" 1 +" 1
"
a) qn, b) , c) .
n=1 n=1 n=1
n(n+1) n
+" " "
"
1 1 1
a) + + . . . + + . . . , b) ( n + 2 - 2 n + 1 + n).
n=1
1·4 4·7 (3n-2)(3n+1)
+" 1 +" +" 1
"1 "
a) , b) , c) .
n=1 n=1 n=1
2n-1 n n+1
(2n-1)(2n+1)
+" cos nx-cos(n+1)x +" cos xn +" 1
a) , b)
n=1
n
+" n=1 n2 , c) n=1 n,
+"
1
"
d) (-1)n 1 , e) .
n=1 n=1
n
n(n+1)
+" 1+(-1)n +" 2+(-1)n +" n3("2+(-1)n)n
a) , b) , c) ,
n=1
2n
1
+" (n!)2 n=1 2n n=1 3n
+" +" n
nx nn+
d) , e) , f) ,
1
n=1 n=1 n=1
n
+" 2n2 +" (1+x2)n +" 1(n+ )n
1
1 1 n
2
g) sin tg , h) (2n+1) , i) (3)n,
n=1 n=1 n=1
n 5
+" n n +" 3n+1
2
j) ln(n +1), k) an,
n=1 n=1
n2
1 1
an = n = m2 an = n = m2

n n2
+" +" +"
a) (-1)n+1 1 , b) (-1)n 1 , c) (-1)n+1 1 ,
n=1 n=1 n=1
2n-1 ln(n+1)
2
+" +" (2n-1)2
d) (-1)n+1 2n , e) (-1)n+1 2n .
n-1
n=1 n=1
n!
( )n2
n
+" +"
+" n=1 an n=1 bn Ä…, ² " R
(Ä…an + ²bn)
n=1
+" +" +"

(Ä…an + ²bn) = Ä… an + ² bn).
n=1 n=1 n=1
+"
+" n=1 |an|
an
n=1
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
 +" +"
a2 b2
n n
n=1 n=1
+" +" +" |an|
|anbn| (an + bn)2
n=1 n=1 n=1
n
" "

xn yn " (x + y)n
· = .
n! n! n!
n=0 n=0 n=0
1 1 1 1 1 1 1 1
a) 1 + + - - - + + + - . . . ,
2 3 4 5 6 7 8 9
n(n-1)
+" (-1) +" ln100 n Ä„n
2
b) c) sin ,
n=1 n=1
2n n 4
Ä„n2
"
+" cos +"
n+1
d) , e) sin(Ä„ n2 + k2).
n=1 n=1
ln2 n
+" (-1)n+1
"
n=1
n
2
+" +"
qn = (n + 1)qn
n=0 n=0
+" 1 +" (-1)n
= 1
n=0 n=0
n! n!
fn(x) = xn(1 - xn) 0 d" x d" 1
1
fn(x) = 0 < x d" 1
nx
1
gn(x) = 0 < x < 1
x2
1
hn(x) = x(1 - ) 0 < x < 1
n
gnhn gn hn
fn : [a; b] - R f
{|fn|} |f|
{|fn|} {fn}
fn : [a; b] - R
f
"x "[a;b] "{x }‚"[a;b] lim xn = x0 Ò! lim (fn(xn)) = f(x0).
0 n
n+" n+"
f xn x0 limn+"(fn(xn)) = f(x0)

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

"
1
fn(x) = n( x + - x) x " (0; +")
n
fn(x) = nx x " R
"
n
fn(x) = 1 + xn x " [0; +")
fn(x) = nx(1 - x)n x " [0; 1]
" "
fn(x) = x + n + 1 - x + n x " R+
fn(x) = xn(1 - xn) x " [0; 1]
+" 1
x " R
n=1
x2+n2
+" (-1)n
x " (-2; +")
n=1
x+2n
+" sin(nx)
"
x " R
n=1
n n
+"
(1 - x)xn x " [0; 1]
n=0
+" x2
x " R
n=1
n4+x4
+" xn
x " [0; 1)
n=1
n
+" 1
x " R
n=1
x2-n2
+"
+" fn : (a; b) - R n=1 |fn(x)|
fn(x)
n=1
+" xn
n=1
n
+"
(2 + (-1)n)nxn
n=1
+" xn
n=1
n2
+"
(n - 1)3n-1xn-1
n=1
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.